Tatap muka ke 9 : KALKULUS

Diferensial Fungsi

koefisien Diferensi dan Derivatif Kaidah-kaidah DiferensialHakikat Derivatif dan DiferensialDerivatif dari Derivatif

TOKOH KALKULUS

Sir Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang artinya "batu kecil") adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus, yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang sains dan teknik, digunakan untuk memecahkan masalah kompleks yang tidak cukup diselesaikan dengan menggunakan teknik aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.

KALKULUS adalah konsep matematika yang mempelajari mengenai analisis tingkat perubahan dari suatu fungsi

KALKULUS terdiri 2 bidang studi- kalkulus diferensial, tingkat perubahan rata-rata atau seketika dari suatu fungsi- kalkulus integral, mengenai pencarian nilai fungsi asal bila diketahui nilai perubahannya dan juga penentuan luas bidang dibawah kurva yang dibatasi oleh sumbu X

PENEMU Operasi matematika untuk diferensial dan integral adalah Isaac Newton ( warga negara Inggris)

PENERAPAN diferensial untuk membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan lama ke suatu keseimbangan baru (Analisis statis komparatif)Analisis tingkat perubahan nilai keseimbangan variabel endogen terhadap perubahan dalam parameter khusus atau variabel eksogen

TITIK KRITIS MAKSIMUMMAKSIMUM RELATIFMAKSIMUM ABSOLUT (INTERVAL)

TITIK KRITIS MINIMUMMAKSIMUM RELATIFMAKSIMUM ABSOLUT (INTERVAL)

MENCARI TITIK KRITIS

MENCARI TITK KRITISLANGKAH-LANGKAH UNTUK DERIVATIF PERTAMA =O, dan CARI

NILAI “X” MISAL XoMASUKAN NILAI “Xo” KE DERIVATIF KEDUAJIKA f ”(X) < 0, MAKSIMUM RELATIF PADA TITIK

(Xo, f (Xo)JIKA f”(X) > 0, MAKA TITIK MINIMUM NEGATIFJIKA F”(X) = 0, UJI DERIVATIF GAGAL DAN

TIDAK DAPAT DISIMPULKAN SECARA PASTI, KEMBALI KE UJI DERIVATIF PERTAMA ATAU YG LEBIH TINGGI

6122

0122

XX

XdXdY

CONTOH : Y= -X 2 +12X + 2CARI TITIK KRITIS DENGAN DERIVATIF PERTAMA

MASUKAN NILAI X=6 KE PERSAMAAN PERTAMA Y = -X 2 +12X + 2 = -6 2 + 12 . 6 + 2 = 38TITIK KRITIS (6,38)DERIVATIF KEDUA f “ (X) = -2 , -2 < 0 BERARTI TITIK MAKSIMUM RELATIF

DERIVATIF PERTAMAf’ (X) = 3X2 -24X + 36 =0Atau 3 (X2 -8X + 12)Sehingga (X-2)(X-6)Titik kritis X1=2 dan X2=6 Masukan titik kritis X1=2 dan X2=6 ke

persamaan semula

Y=X3-12X2+36X+8

Y= f(X) = X3-12X2+36X+8 Untuk X =2 maka

(2)3-12. (2)2+36.(2)+8 =40 ; titik (2,40) Untuk X =6 maka

(6)3-12. (6)2+36.(6)+8 = 8; titik (6,8)Jadi titik kritisnya adalah titik (2,40) dan titik

(6,8)Uji DERIVATIF KEDUAf’ (X) = 3X2 -24X + 36F” (X) = 6X-24UNTUK X=2 ; f’’ (X) = 6.2 -24 =-12 < 0,

maksimumUNTUK X=6 ; f’’ (X) = 6.6 -24 =12 > 0, MINIMUM

1. f(X) = X2 -4X +32. f(X) = X2 -6X +83. f(X) = X3 -6X2 +9X +54. f(X) = 2X2 -5X +85. f(X) = 3X2 -6X +106. f(X) = X3 +X2 - X +1CARILAH TITIK MAKSIMUM ATAU MINIMUM

DARI FUNGSI-FUNGSI DIATAS DENGAN MENGGUNAKAN UJI DERIVATIF PERTAMA DAN KEDUA

SOAL LATIHAN

TC = f (Q) AVERAGE COST (AC) = TC / Q = f(Q)/Q MARGINAL COST (MC) = TINGKAT PERUBAHAN

DARI BIAYA TOTAL (TC) TERHADAP PERUBAHAN SATU UNIT PRODUK YANG DIHASILKAN

ISTILAH MARGINAL PENGGANTI “DERIVATIF” DALAM MATEMATIKA

MARGINAL COST (MC) = DERIVATIF PERTAMA TOTAL COST (TC)

MARGINAL AVERAGE COST (MAC) = DERIVATIF PERTAMA BIAYA RATA-RATA

BIAYA TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL

CONTOH: JIKA DIKETAHUI FUNGSI BIAYA TOTAL DARI SUATU PERUSAHAAN ADALAH ; TC = 0,2 Q2 + 500Q + 8000 CARILAH : 1. FUNGSI BIAYA RATA-RATA? 2. JUMLAH PRODUK AGAR BIAYA RATA-RATA MINIMUM ?3.BERAPA NILAI RATA-RATA MINIMUM TERSEBUT ?

• TC = 0,2 Q2 + 500Q + 80001. FUNGSI BIAYA RATA-RATA (AC) = TC/Q AC = TC/Q = TC = (0,2 Q2 + 500Q + 8000 )/Q

= 0,2 Q + 500 + 8000/Q 2. JUMLAH PRODUK AGAR BIAYA RATA-RATA MINIMUM DENGAN DERIVATIF PERTAMA BIAYA RATA-RATA=0

AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q 0,2 Q + 500 + 8000 . Q -1

dAC / dQ = 0,2 -8000 .Q-2 = 00,2 = 8000 / (Q2)0,2 Q2 = 8000Q2 = 40.000 ; Q = 200

UJI TITIK MINIMUM DENGAN DERIVATIF KEDUAd’ AC / dQ = 0,2 -800 .Q -2

D’’ AC / dQ =16000 .Q -3 = 16.000/Q3

UNTUK Q = 200 MAKA 16.000/2003 > 0 ; MINIMUMSUBSTITUSIKAN NILAI Q =200 KE PERSAMAAN AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q = 0,2 . 200 + 500 + 8000/200 = 580

TR = P. Q DIMANA P = f (Q) SEHINGGA TR = f(Q) . Q AR = TR /Q = P.Q/Q = P AR = P = f(Q) ; DIMANA f(Q) ADALAH

FUNGSI PERMINTAAN MR = dTR/dQ

PENERIMAAN TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL

JIKA DIKETAHUI SUATU FUNGSI PERMINTAAN ADALAH P= 18 – 3Q

CARILAH:- PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUM- GAMBARKAN KURVA UNTUK - AR,

MR DAN TR

PERMINTAAN P= f(Q)P =18 – 3Q

TR = P. Q = f(Q) . Q = (18 – 3Q ). Q= 18Q -3Q2

UNTUK MAKS MAKA dTR/dQ=0dTR/dQ=0

TR = 18Q -3Q2

dTR/dQ = 18 – 6.Q =0; 6Q = 18 ; Q = 3

UNTUK Q = 3, TR = 18. 3 -3.(3)2 = 54-27= 27

MAKSIMUM TR PADA TITIK (3,27)

MR = MARGINAL REVENUE = dTR/dQTR = 18Q -3Q2 (GAMBAR KURVA)

MR = dTR/dQ = 18 – 6 Q (GAMBAR KURVA)AR = TR/Q = 18 -3Q (GAMBAR KURVA)

0 1 2 3 4 5 6

-30

-20

-10

0

10

20

30

TRARMR

SOALJIKA FUNGSI BIAYA TOTAL ADALAH TC=4 + 2Q + Q2

TC = (1/50)Q2 +6Q + 200 TC = Q3 + Q + 8CARILAH : BIAYA RATA-RATA MINIMUM DAN

GAMBARKANKURVA BIAYA TOTAL DAN RATA-RATA DALAM SATU DIAGRAM

SOALFUNGSI PERMINTAAN SUATU PRODUK

ADALAH :1. P = 24 -7Q2. P = 12 – 4 Q3. P = 212 – 3 Q4. P = 550 – QHITUNGLAH PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUMGAMBARKAN KURVA AR, MR, DAN TR DALAM

SATU DIAGRAM

LABA (Π) = TR – TC TR = P.Q DIMANA P = f(Q) DAN TC = f(Q)TC

Π = P. Q – (TC) LABA MAKSIMUM , dicari dengan

menghitung derivatif pertama dari fungsi LABA atau dΠ/dQ = Π’

PENGAUJIAN TERHADAP TITIK MAKSIMUM , dengan mencari derivatif kedua dari fungsi LABA.

LABA MAKSIMUM

contoh

Elastisitas harga dari permintaan dapat didefinisikan sebagai perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen yang diakibatkan oleh perubahan persentase dari harga barang itu sendiri.

ELASTISITAS PERMINTAAN

(ELASTISITAS KONSTAN)ELASTISITAS FUNGSI PERMINTAAN HIPERBOLA SAMA SISI

FUNGSI UMUM

ELASTISITAS NYA ADALA KONSTAN = -m

ELASTISITAS