BAB IPENDAHULUAN1.1. Latar BelakangDi dalam tubuh manusia, terdapat banyak proses biokimia yang terjadi dan sebagian besar proses tersebut bersifat stokastik. Contohnya, regulasi ekspresi gen dalam tubuh manusia dan pertumbuhan kanker metastasis yang terjadi dalam tubuh manusia. Pada sebagian besar negara berkembang, kanker merupakan salah satu penyebab kematian terbesar. Untuk alasam inilah, para peneliti melakukan banyak riset mengenai kanker. Namun, pemahaman tentang kanker secara rinci masih jauh dari sempurna karena proses terbentuknya kanker mencakup interaksi dari berbagai macam faktor. Sampai saat ini, terapi untuk para penderita kanker sebagian besar berujung pada kegagalan. Salah satu penyebab utama kegagalan tersebut adalah pertumbuhan kanker prima biasanya disertai pertumbuhan metastasis yang sudah ada sejak tahap awal, sehingga 90% dari semua kematian akibat kanker timbul dari metastasis penyebaran kanker primer.Metastasis adalah penyebaran kanker dari suatu organ tubuh ke organ tubuh yang lain seperti ke otak, tulang, paru-paru dan lain-lain. Pertumbuhan kanker metastasis dalam tubuh manusia bersifat stokastik sehingga waktu pertumbuhan kanker tersebut tidak dapat diketahui secara pasti. Hal ini tentunya sangat berbahaya karena penyebaran kanker akan menjadi lebih cepat dan lebih luas. Oleh karena itu, didalam makalah ini akan dibahas mengenai model matematika untuk menentukan pertumbuhan kanker metastasis.1.2. Rumusan Masalaha. Apa saja faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan kanker metastasis?b. Bagaimana modal matematika untuk menentukan pertumbuhan kanker metastasis?1.3. Metode PenelitianMetode yang digunakan di dalam makalah ini adalah kajian pustaka yang diperoleh dari studi pustaka dan studi internet.

1.4. Tujuan MakalahAdapun tujuan dibuatnya makalah ini adalah :1. Untuk menyelesaikan tugas individu mata kuliah pemodelan matematika2. Agar dapat dijadikan literatur bagi para pembaca yang membutuhkan bahan mengenai pemodelan matematika1.5. Manfaat MakalahAdapun manfaat yang diharapkan dengan adanya makalah ini adalah:1. Bagi para pembaca, makalah ini diharapkan dapat menambah wawasan para pembaca mengenai materi pemodelan matematika khususnya mengenai pertumbuhan kanker metastasis.2. Bagi pemerintah dan para pakar kesehatan, makalah ini diharapkan dapat menjadi salah satu bahan pertimbangan sehingga memudahkan dalam mengambil keputusan untuk mengatasi penyakit kanker.

BAB IILANDASAN TEORI2.1. Sel dalam Tubuh ManusiaSel pada tubuh manusia yang memiliki potensi menjadi sel induk kanker setelah sel normal tersebut mengalami perubahan genetik. sel pad amanusia dewasa dapat digolongkan dalam tiga sub bagian yaitu sel induk, sel progenitor dan sel yang sudah terdeferensiasi. Sel induk adalah sel didalam tubuh yang memiliki 2 karakteristik yaitu memiliki kempuan untuk memperbaharui diri dan memiliki kemampuan dalam diferensiasi sel yaitu dapat menghasilkan sel-sel dewasa yang memiliki karakteristik bentuk dan fungsi tertentu. Sel induk dalam tubuh manusia memiliki 2 fungsi utama yaitu untuk memelihara sel sehingga berada dalam keadaan stabil (homeostasis) dan untuk mengganti sel-sel yang mati karena terluka atau penyakit.Niche merupakan ruang untuk melakukan segala aktivitas sel dalam tubuh manusia. Secara fisik, niche sel induk disusun dari microenvironment cell atau daerah mikroskopik yang dibentuk dari lingkungan sel-sel yang memelihara sel induk dan membuat sel induk dapat mengatur jaringan homoestasis. Homoestasis merupakan kemampuan tubuh untuk mengatur lingkungan internal untuk tetap stabil dan berfungsi di bawah perubahan yang terjadi di lingkungan eksternal. Sama halnya dengan sel induk normal, sel induk kanker pun hanya dapat melakukan aktivitasnya pada niche. 2.2. Kanker dan Sel Induk KankerMenurut national institute of health, kanker adalah penyakit yang memiliki karakteristik diantaranya, pertumbuhan yang tidak terkontrol dan invasi sel ke jaringan lain yang berpotensi melakukan metastasis. Kanker diawali oleh sel induk kanker. Sel-sel yang mengawali kanker ini dapat memperbaharui diri dan dapat menjadi berbagai macam sel yang memiliki karakteristik biologi dan fungsi ini dimiliki oleh sel induk. Sel induk kanker dalam tubuh manusia tidak langsung terdapat begitu saja. Sel induk kanker merupakan hasil akumulasi mutasi genetik sel normal yang ada didalam tubuh manusia. Metastasis merupakan proses penyerbuan sel induk kanker ke jaringan lain yang selanjutnya akan tumbuh kanker di tempat tersebut. Hal ini merupakan salah satu tanda utama kanker. Sebagian besar kanker memiliki kemapuan dalam metastasis. Metastasis biasanya terjadi melalui sel induk kanker yang bermigrasi ke dalam saluran limfatik atau melalui pembuluh darah dan selanjutnya sel induk kanker tersebut akan bermigrasi ke jaringan tubuh lain dan membentuk kanker sekunder.

BAB IIIPEMBAHASANFormulasi Masalaha. Menentukan laju pertumbuhan kanker metastasis.b. Memilih faktor-faktor yang diperlukan, yaitu :1. Populasi sel induk kanker 2. Probabilitas niche yang mengandung sel kanker3. Laju pertumbuhan sel induk kanker pada niche4. Distribusi sel induk kanker pada niche.AsumsiPada kasus ini, diasumsikan bahwa :1. Pertumbuhan kanker tidak terjadi bersamaan2. Didalam tubuh manusia sudah memiliki sebuah kanker yang akan memicu kanker-kanker lainnya (kanker primer).3. Laju kematian sel induk kanker adalah konstan.4. Banyannya niche didalam tubuh manusia sebanyak N.AnalisaKanker yang ada dalam tubuh manusia diawali oleh sel induk kanker. Sebuah kanker yang sudah terdapat dalam tubuh manusia disebut kanker primer sedangkan kanker yang dihasilkan dari metastasis disebut kanker sekunder. Kanker primer dan kanker sekunder akan memicu pertumbuhan kanker sekunder lainnya melalui metastasis. Pertumbuhan kanker pada niche dapat dipandang sebagai transisi niche yang sebelumnya tidak mengandung sel induk kanker, mengalami berbagai macam proses dan akhirnya terdapat sel induk kanker pada niche tersebut. Sehingga, adanya sel induk kanker menyatakan bahwa kanker sudah terbentuk didalam niche tersebut.

Misalkan adalah probabilitas niche ke-,, mengandung sel induk kanker dan adalah probabilitas dimana niche ke- tidak mengandung sel induk kanker. untuk niche ke- yang didalamnya tidak terdapat sel induk kanker dan untuk niche ke- yang didalamnya terdapat sel induk kanker.Pada kondisi awal, , diasumsikan pada tubuh manusia sudah terdapat kanker primer sedangkan kanker-kanker sekunder belum terbentuk. Kanker primer yang ada dalam tubuh manusia menempati niche ke-1( ) dari N niche yang ada, dan pada niche-niche yang lain belum tumbuh kanker didalamnya, sehingga kondisi awal untk yang merupakan probabilitas niche ke-i mengandung selinduk kanker dapat ditulis sebagai:

Sel induk kanker yang mempunyai potensi mampu memperbanyak diri secara terus-menerus dan tidak terbatas dapat mengakibatkan perubahan sifat sel induk kanker sehingga, mungkin tidak menyerupai sel asalnya. Hal ini memungkinkan adanya beberapa jenis sel induk yang berada di luar niche ke-i dapat dinotasikan dengan , , dimana menyatakan jenis sel kanker yang ada diluar niche ke-i, dinyatakan sebagai berikut :

Secara umum, perubahan probabilitas sel induk kanker yang menyatakan pertumbuhan kanker pada niche ke-i dalam interval waktu dt dapat dinyatakan dengan :

(3.1)

dimana adalah laju konstan pertumbuhan kanker pada niche ke-i yang berinteraksi dengan sel induk kanker jenis ke-j.Sementara itu, sel induk kanker memiliki potensi dapat memperbanyak dirinya sendiri sehingga populasi sel induk kanker akan bertambah. Pertambahan sel induk kanker tersebut dipengaruhi oleh laju pertumbuhan dalam populasi sel, pada model ini laju pertumbuhan sel dinotasikan dengan . Perubahan populasi sel induk kanker jenis ke-j, , pada interval waktu proporsional terhadap laju pertumbuhan sel induk kanker pada niche ke-k, , dan distribusi sel induk kanker jenis ke-j untuk niche ke-k, . Sehingga perubahan populasi sel induk kanker yang berada diluar niche ke-i dapat didefinisikan sebagai :

(3.2), dimana:

Pada populasi sel yang normal terdapat kesinambungan antara angka kelahiran dan kematian sel-sel disetiap jaringan. Keseimbangsan harus terpelihara agar tubuh tetap bertahan hidup dan sehat. Pada populasi sel induk kanker terdapat sel induk kanker yang mati walaupun perbandingan sel induk kanker yang lahir lebih besar dibandingkan sel induk kanker yang mati. Misalkan r merupakan laju kematian sel induk kanker, maka banyaknya sel kanker jenis ke-j yang mati dalam populasi sel induk kanker dinyatakan oleh .Sehingga, perubahan populasi sel induk kanker jenis ke-j pada persamaan (3.2) menjadi:

(3.3),

Pada model ini, diasumsikan bahwa laju kematian sel induk kanker jenis ke-j atau rj adalah konstan.Skala waktu pertumbuhan kanker metastasis pada niche ke-i biasanya lebih lama daripada laju pertambahan dan kematian sel induk kanker yang di luar niche ke-i. Oleh karena itu, dapat diasumsikan bahwa pertumbuhan kanker terjadi pada saat besarnya populasi sel induk kanker yang terletak diluar niche ke-i antara satu waktu ke waktu yang lainnya tidak jauh berbeda, sehingga perubahan populasi sel induk kanker jenis ke-j pada interval waktu dapat dianggap 0. Sehingga, persamaan (3.2) menjadi:

(3.4)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.4) ke persamaan (3.1), maka diperoleh :

Persamaan diatas merupakan model matematika yang menyatakan pertumbuhan kanker pada niche ke-i.Contoh: Misalkan dalam tubuh manusia terdapat 2 niche, dengan laju kematian sel induk kanker adalah 2 untuk setiap jenisnya, banyaknya jenis sel induk kanker adalah 2 dan probabilitas jenis ke-1 adalah 0,1 dan probabilitas jenis ke-2 adalah 0,9. Laju konstan pertumbuhan kanker metastasis untuk sel induk kanker jenis ke-1 adalah , untuk sel induk kanker jenis kedua yaitu /bulan. Distribusi sel induk kanker jenis ke-1 adalah 1 dan distribusi sel induk kanker jenis ke-2 adalah 2. Laju pertumbuhan sel induk kanker pada niche ke-1 adalah dan untuk niche yang kedua adalah . Tentukan pertumbuhan kanker pada niche ke-1. Penyelesaian :Diketahui : Maka,

BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN4.1. KesimpulanBerdasarkan bab-bab sebelumnya, maka dapat kita simpulkan bahwa suatu kanker itu bermula dari sel induk kanker. Dimana setiap kanker itu berpotensi untuk mengalami metastasis yaitu proses penyerbuan sel induk kanker ke jaringan lain, sehingga akan mengakibatkan tumbuhnya kanker di tempat tersebut. Tempat dimana sel induk normal maupun sel induk kanker beraktifitas disebut niche. Dengan asumsi bahwa laju kematian sel induk kanker adalah konstan, pertumbuhan kanker tidak bersamaan dan didalam tubuh manusia sudah terdapat sel induk kanker, maka model matematika untuk pertumbuhan kanker metasatasis dapat definisikan oleh formula berikut :

4.2. SaranAdapun saran yang dapat Penulis berikan adalah sebaiknya kita selalu memperhatikan nutrisi-nutrisi makanan yang akan dikonsumsi. Sebab, dengan mengkonsumsi makanan yang bergizi dan tentunya dengan pola makan dan olahraga yang teratur serta kebersihan lingkungan yang selalu terjaga, akan meminimalkan kemungkinan untuk menderita penyakit kanker.

DAFTAR PUSTAKA

Yani, Riani dkk. BiologI 1 Kelas X SMA dan MA. Jakarta. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalKarmana, Oman. Cerdas Belajar Biologi. Jakarta. Grafindowww.google.com

9