irisan_kerucut.docx
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
1/36
IRISAN KERUCUT
Materi Pembelajaran
A. Macam-macam Irisan Kerucut
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai benda-benda yang
cukup besar kegunaannya bagi perkembangan kemajuan peradaban
manusia. Benda-benda itu misalnya antena yang berbentuk parabola
(antena parabola untuk menangkap siaran tele!isi le"at satelit
komunikasi# sarana atau lapangan olah raga berbentuk elips# serta paling
banyak kita jumpai adalah benda-benda dengan bangun lingkaran seperti
roda maupun ban kendaraan# baik kendaraan bermotor maupun yang
tidak bermotor. $iperbola adalah seperti bangun dua buah parabola yang
sama saling berhadapan. Bangun-bangun di atas dapat digolongkan ke
dalam bangun irisan kerucut.
Dalam bahasan berikut# kita akan mempelajari irisan kerucut antara
lain pengertian tentang parabola# lingkaran# elips dan hiperbola.
%. Pengertian Irisan KerucutPerhatikan de&nisi berikut ini.De&nisi '.% Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan dari semua titik
pada bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik
tertentu mempunyai nilai yang tetap.)itik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut
direktriks. *edangkan nilai perbandingan yang tetap itu dinamakan
eksentrisitas disingkat e.
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
2/36
*ecara geometris bentuk irisan kerucut dapat diperoleh dengan
cara mengiriskan sebuah bidang datar terhadap kerucut lingkaran tegak
berselimut ganda. +ika bidang pengirisnya tidak melalui puncak kerucut#
ada empat kemungkinan irisan kerucut# seperti diperhatikan pada
gambar '.%
,ambar '.% (a adalah irisan kerucut berbentuk lingkaran. )erlihat bah"a
bidang datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut dan
tegak lurus sumbu kerucut.
,ambar '.% (b adalah irisan kerucut bentuk elips. )erlihat bidang
datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut kerucut dan
tegak lurus sumbu kerucut.
,ambar '.% (c adalah irisan kerucut berbentuk Parabola. )erlihat bidang
datarmya sejajar dengan salah satu garis pelukis.
,ambar '.% (d adalah irisan kerucut berbentuk hiperbola. )erlihat bidang
datarmya memotong kedua selimut kerucut.
'. umus +arak di antara Dua )itik,ambar '.' memperlihatkan jarak di antara dua titik P%dan P' yang
dihitung dari koordinat-koordinatnya
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
3/36
+ika d adalah jarak antara titik P%
(%# y% dan P'('#y' maka
berdasarkan ,ambar '.' kita
dapat mende&nisikan jarak di
antara titik P%(%#y% dan P'('#y'
adalah
d=(x2x1)2+(y
2y
1)2
/ontoh %)entukan jarak antara titik A('#0 dan B(1#2.
+a"ab
|ab|=d=(x2x1 )2+(y2y1)
2
(52 )2+(03 )
2
9+9=18=32+adi# jarak titik A dan B adalah 32
B. ParabolaPerhatikan de&nisi berikut iniDe&nisi '.0 Parabola tempat kedudukan titik titik di dalam bidang yang jaraknya ke
sebuah titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu
dalam bidang tersebut.)itik tertentu itu dinamakan fokusparabola dan garis tertentu dinamakan
direktriks.
%. Parabola yang terbuka ke atasKita misalnya garis g sebagai garis tetap (garis direktriks dan titik 3
sebagai titik 3 sebagai titik tetap (4okus atau titik api. +ika 3 tidak
terletak pada g# maka kita dapat memilih sebuah sistem koordinat
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
4/36
yang menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk
parabola dengan mengambil sumbu 5 melalui 3 dan tegak lurus garis
g# dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara 3 dan g.
6ihat ,ambar '.%1+ika titik 3 dan garis g adalah 'p#
maka kita dapat menetapkan
koordinat titik 3# yakni (2# p.
Dengan demikian persamaan garis
g menjadi y7-p. )itik P(#y
terletak pada parabola jika dan
hanya jika p37P8 9.(%:Dengan rumus jarak# persamaan
(%: menjadi
x2+(yp )2=(y+p )
2
x2+ (yp )
2=(yp )
2
x2
+y2
2py+p2
=y2
+2py+p2
x2=4py 99(%;
+adi# persamaan parabola dengan titik puncak di (2#2 dan 4okus di 3(2#p
dide&nisikan dengan persamaan
x2=4py
a. *umbu dan Puncak ParabolaKarena p merupakan bilangan bulat positi4 dalam persamaan (%;# maka y
tidak mungkin negati!e. Ini artinya parabola tersebut akan terletak pada
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
5/36
atau di atas sumbu yang melalui titik 4ocus 3 dan tegak lurus sumbu simetri
dinamakan latus rectum (lihat gambar '.%1. Panjang latus rectum untuk
parabola dengan persamaan (%; adalah ?p./ontoh %@./arilah 4ocus dan direktris dari parabola '7 @y
Pandang persamaan '7 @y dan '
7 ?py# maka didapat p 7 '.3okusnya berada pada sumbu 5
yang jauhnya p 7 ' satuan dari
puncak# yakni 3(2#p 7 3(2#'.Direktriksnya y 7 -p adalah garus y
7 -'.,ambar '.%: memperlihatkan
parabola '7 @y.)entukan persamaan parabola yang mempunyai titik 4ocus di (2#0 dan
persamaan direktrisnya y 7 -0+a"ab )itik 4okusnya di 3(2#0# maka p 7 0
?p 7 %'
Persamaan parabolanya '7 ?py
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
6/36
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
7/36
,ambar '.'2?. Parabola yang terbuka ke kiri
+ika parabola tersebut terbuka ke kiri# seperti di dalam gambar '.'%#
dengan 4okusnya di 3-p#2 dan dengan persamaan direktriksnya 7 p#
maka persamaan parabolanya adalah y'7 -?p/ontoh '')entukanlah titik 4ocus dan persamaan direktriks parabola y' 7 -%'#
kemudian gambarlah sketsa gra&knyaC+a"ab Pandang y'7 -?p dan y'7 -%'# maka p 7 0# Koordinat 4ocus 3(-p#2
adalah 3(-0#2.Persamaan direktriksnya 7 p adalah 7 0 atau -0 72
*ketsa gra&knya dapat dilihat dalam ,ambar '.''
,ambar '.''1. )ranslasi *umbu-*umbu
Bila puncak parabola berada di titik (a#b# maka kita dapat menentukan
persamaan parabola dengan memperkenalkan sebuah system koordinat
baru# dengan titik asal => yang berada di titik (a#b. *istem koordinat
baru ini kita namakan system koorinat =>5>. *umbu sejajar dengan
sumbu < dan sumbu 5> sejajar dengan sumbu 5.Perhatikan ,ambar '.'0 di ba"ah ini.
,ambar '.'0)itik P mempunyai koordinat (# y di dalam system semula (#
y> system baru (=>5>. Entuk bergerak dari = ke P# kita mempunyai
pergeseran hborisontal dan pergeseran !ertical y.FIlai akan didapatkan dari dua pergeseran horiGontal# yakni a dari = ke
=> dan > dari => ke P. Demikian pula# y akan didapatkan dari dua
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
8/36
pergeseran !ertical# yakni b dari = ke => dan y> dari => ke P. *ehingga
kedua koordinat tersebut akan dihubungkan sebagai berikut.
{x=x'+a
y=y '+b}(18a )atau {x '=x+a
y '=y+b} (18b )Persamaan (%@ dinamakan persamaan-persamaan untuk translasi
sumbu-sumbu*elanjutnya pandang sebuah parabola dengan puncaknya di (a#b dan
yang membuka ke atas# seperti diperlihatkan di dalam ,ambar '.'?. Bila
kita menyatakan persamaan parabolanya dalam system koordinat =>5>#
maka persamaannya adalah(>'7 ?py> 999..(%
,ambar '.'?Dengan mensubtitusikan persamaan (%@a ke dalam persamaan (%# kita
dapat menyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
9/36
y 7 b p
,ambar '.'1Persamaan ('2c mempunyai sebuah gra&k yang simetris terhadap garis
y 7 b dan yang membuka ke kanan.Perhatikan gambar '.':.3okus 3(a p# b direktriksnya garis 7 a H p
,ambar '.':Persamaan ('2d mempunyai sebuah gra&k yang simetris terhadap y 7 b#
dan yang membuka ke kiri.Perhatikan gambar '.';. 3okusnya 4( a-p# b.Persamaan direktrisknya adalah 7 a p.
/ontoh '0.)entukan persamaan parabola dengan titik 4ocus (1#? dan titik puncaknya
di ('#?. Kemudian gambarkanlah sketsa gra&knya dan tentukan
persamaan direktriksnya C
+a"ab Puncak (a#b adalah ('#?.3okus 3(ap# b adalah 3( ' 0# ? 7 3 (1#?.*ehingga parabola terbuka ke kanan. Bentuk baku persamaan parabola
ini adlaha(y-b'7 ?p ( H a (y-?' 7 ? (0 ( H '
(y-?' 7 %' ( H ' y'H @y %: 7 %' H '? y'H @y H %' ?2 7 2
*ketsa gra&knya tampak di dalam ,ambar '.'@.
Persamaan direktrisknya adalah< 7 a H p 7 ' H 0 7 - % % 7 2
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
10/36
,ambar '.'@/ontoh '?)entukan persamaan parabola dengan titik puncak (%# -0 dan titik
4okusnya (2#02. *elanjutnya tentukan persamaan direktriksnya dan
gambarkan sketsa gra&knyaC+a"ab Puncak (a# b adalah (%# -03okus 3(a-p# b adalah 3(% H %# -0 7 3(2#-0*ehingga parabola terbuka ke kiri. Bentuk persamaan parabola ini adalah(y-b'7 -?p ( H a (y-(-0' 7 -? (% ( H %
(y 0' 7 -? ( H % y'H :y 7 -? H ? y'H :y H ? 1 7 2
*ketsa gra&knya tampak di dalam ,ambar '.'.Persamaan direktrisknya adalah< 7 a p 7 % % 7 '/=ntoh '1*uatu parabola mempunyai persamaan ' : H @y H 0% 7 2. )entukan a. Koordinat titik puncaknyab. Koordinat titik 4okusnyac. Persamaan direktriksnyad. ,ambarkan sketsa gra&knya
+a"ab
' : H @y H 0% 7 2
' : 7 @y 0%
' :y 7 @y 0%
( 0' 7 @ ( y 1
Persamaan di atas merupakan persamaan parabola yang terbuka ke atas
dengan a 7 -0# b 7 -1# dan ?p 7 @ sehingga p 7 '
a. Koordinat titik puncaknya (a# b adalah (-0# -1b. Koordinat titik 4okusnya 3 (a# b p adalah 3 (-0# -1 '# sehingga 3 (-
0# -0.
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
11/36
c. Persamaan direktriksnya y 7 b H p adalah y 7 -1-'# sehingga y 7 -;.d. *ketsa gra&knya tampak dalam gambar '.02.
,ambar '.02
:. Perpotongan antara ,aris dengan ParabolaPandang parabola dengan persamaan5'7 ?pDan garis h dengan persamaan 9('%y 7 m n 9(''
Bila persamaan ('' disubtitusikan ke dalam persamaan ('%# diperoleh(m n'7 ?p m'''mn n'H ?p 7 2 m'' ('mn H ?p n'7 2 9('0Persamaan ('0 merupakan persamaan kuadrat dalam .Diskriminan dari persamaan ini adalahD 7 ('mn H ?p'H ?m'n'
D 7 ?m'n'H %:mnp %:p'H ?m'n'
D 7 ':p (p-mn 9('?Kedudukan garis h terhadap parabola ditentukan oleh nilai D di atas#
sehingga ada tiga kemungkinan hubungan antara garis dan parabola#
seperti diperlihatkan di dalam ,ambar '.0%
,ambar '.0%,ambar 0% (a menunjukkan bah"a garis h tidak memotong maupun
menyinggung parabola. $al ini terjadi bila D J 2.,ambar 0% (b menunjukkan bah"a garis h menyinggung parabola. $al
ini terjadi bila D 7 2,ambar 0% menunjukkan bah"a garis h memotong parabola di dua
titik yang berlainan. $al ini terjadi bila D L 2./ontoh ':)entukan kedudukan garis y 7 ' terhadap parabola y'7 @+a"ab 5 7 '
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
12/36
5'7 @Dari persamaan (a dan (b# diperoleh( ''7 @ ' ? ? H @ 7 2 'H ? ? 7 2
D 7 (-?'
H ?.%.? 7 %: H %: 7 2)ernyata D 7 2# sehingg dapat disimpulkan bah"a garis y 7 '
merupakan garis singgung parabola y'7 @.
;. Persamaan ,aris *inggung dengan ,radien m pada Parabola*yarat garis menyinggung parabola adalah D 7 2. *ehingga dari
persamaan ('?# kita dapat menuliskan persamaan%:p (p H mn 7 2 %:p'H %: pmn 7 2
%: pmn 7 %: p'
n 7 16p2
16pm
n 7 pm
+adi# persamaan garis singgung pada parabola y' 7 ?p dide&nisikan
dengan persamaan
5 7 m pm
/ontoh ';
)entukan persamaan garis singgung pada parabola y
'
7
4
3 x dengan
gradient sama dengan '.
y'74
3x , maka ? p 7
4
3# sehingga p 7
1
3
,radien 7 '# maka m 7 'Persamaan garis singgungnya adalah
y7 m pm
y 7 ' 1
3
2
y 7 ' 1
6
@. Persamaan ,aris *inggung melalaui sebuah titik pada parabola
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
13/36
Perhatikan gambar '.0' yang memperlihatkan sebuah garis h yang
menyinggung parabola y'7 ?p di titik P (%# y%.,aris h yang melalui titik P (%# y%# sehingga persamaan garis h adalahy-y%7 m ( H % 9('1
*ecara geometri gradient garis singgung di titik (%# y% pada kur!a (dalam
hal ini parabola dide&nisikan dengan persamaan
m 7dy
dx ](x 1,y 1)*elanjutnya pandang parabola
y' 7 ?p 7 y2
4p
dx
dy=2y
4p=
y
2p, maka
dxdy=2py
*ehingga gradient garis singgung pada parabola y'7 ?p di titik (%# y%
adalah
m 7dydx ](x 1,y 1) 7
2py1
Dari persamaan ('1 dan (':# diperoleh
5 H y%72py1
( H %
yy%H y%7 'p( H %)itik P (%# y% terletak pada parabola y'7 ?p# makay%'7 ?p
Dari persamaan ('; dan ('@# diperoleh5y%H ?p%7 'p H 'p% yy%7 'p 'p% yy%7 'p ( %
+adi# persamaan garis singgung parabola y' 7 ?p di titik (%# y%
dide&nisikan dengan5y%7 'p ( %/ontoh '@)entukan persamaan garis singgung parabola y'7 @ di titik (%@#%'.+a"ab 5'7 @# maka ?p 7 @# sehingga 7 '.
(%# y% adalah (%@# %'.Persamaan garis singgungnya adalah5y%7 'p ( % y (%' 7 '.' ( %@
%'y 7 ? ( %@
y 71
3 :.
/ontoh '
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
14/36
)entukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik potong antara
garis H y 7 0 dan parabola y'7?.+a"ab < H y 7 0 y 7 H 0
y'
7 ?Dari persamaan (a dan (b# diperoleh( H 0'7? 'H : H ? 7 2
'H %2 7 2 ( H ( H % 7 2
< 7 atau 7 %Entuk 7 # maka y 7 H 0 7 :Entuk 7 %# maka y 7 % H 0 7 -'*ehingga titik potongnya adalah (#: dan (%# -'.y'7 ?# maka ?p 7 ?# sehingga p 7 %Persamaan garis singgung parabola y'7 ? di titik (# :2 adalah
5y%7 'p ( % :y 7 '( y 7
1
3 0
*edangkan di titik (%# -' adalah-'y 7 ' ( % y 7 - -%
. Persamaan ,aris *inggung melalui sebuah titik di luar parabola
/ontoh 02
Buktikan bah"a titik P (?# 0 terletak di luar parabola y'7 '. Kemudian
tentukan persamaan garis singgung parabola itu yang melalui titik P.
+a"ab
*ubtitusikan P (?# 0 pada parabola y'7 '. )ernyata 0'L '(?# ini artinya
titik P (?#0 terletak di luar parabola y'7 '.
Karena y'7 ?p dan y'7 '# maka
' 7 ?p# maka p 7
1
2
Persamaan garis singgung dengan gradient m pada y'7 ?p adalah y 7
m pm
..(a
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
15/36
,aris singgung tersebut melalui titik P( ?#0 pada parabola y'7 '# maka
persamaan (a menjadi
0 7 ?m
1
2m
0 7 ?m 1
2m%% 'm
:m 7 @m' %
@m'H :m % 7 2
('m H % (?m H % 7 2
M 71
2# m 7
1
4
Entuk m 71
4 maka persamaan garis singgungnya adalah
y H 0 71
4( H ? y 7
1
4x '
g% y 7
1
4x
'
*edangkan untuk m 71
2persamaan garis singgungnya adalah
y H 0 71
2(x4 )>y=
1
2 %
g' y 71
2x %
6A)I$AF
%. )entukan kedudukan garis berikut terhadap parabola y'7 1'. ,aris y 7 c menyinggung parabola y'7 @ di titik P. )Nntukan0. *uatu garis dengan gradient I menyinggung parabola y'7 ? di titik P#
tentukan?. )itik P yang berkoordinat ? terletak pada parabola y'7 -@. )entukan
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
16/36
1. )entukan persamaan garis singgung parabola y' 7 @ yang
membentuk sudut ?12terhadap sumbu
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
17/36
a'(( H c' y' 7 (a'H c'
a''-'a'c a'c' a'y' 7 a?H 'a'c c''
(a'H c'' a'y' 7 a'(a'H c'
x
2
a2
y
2
(a2c2)=1
Dari gambar '.0? (b diperoleh hubungan a'7 b' c'atau a'H c'7 b'Dari persamaan (02 dan (0%# diperoleh persamaan elips dengan
pusat =(2#2# yakni x
2
a2+y
2
b2
7%
*i4at-si4at elips% Nlips mempunyai sumbu mayor (sumbu panjang dan sumbu minor
(sumber pendek. Dalam gambar '.0? (a# yang merupakan sumbu
mayor adalah AA> dan sumbu minor adalah BB>
' Nlipsx
2
a2+y
2
b27% memotong sumbu < di titik (a# 2 dan (-a# 2# dan
memotong sumbu 5 di titik (2# b dan (2# -b. *ehingga panjang
sumbu mayor 7 'a dan panjang sumbu minor 7 'b.0 *umbu simetri elips adalha sumbu mayor dan sumbu minor. *umbu
mayor dan sumbu minor berpotongan di titik pusat elips.
? *umbu mayor dan sumbu minor berpotongan dengan elips di
puncak-puncak elips. Dalam gambar '.0? (a# yang merupakan
puncak elips adalah titik A (a#2# A>(-a# 2# B(2# b# dan B>(2# -b.1 Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik 4ocus dengan
garis direktriks disebut eksentrisitas# disingkat e.Besarnya eksentrisitas (e adalah
e 7c
a dengan 2 J e J %.
Karena c 7 a2b2, maka e 7
a2b2
a
/ontoh 0%
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
18/36
Diketahui persamaan elips adalah ' '1 y'7 ''1
)entukan titik-titik puncak elips# dan titik-titik 4okusnya# kemudian
sketsalah elips tersebutC
+a"ab
' '1y'7 ''1
9x
2
225
25y2
2257%
x
2
25
y2
97%
*ehingga diperoleh
a'7 '1 a 7 O1
b'7 b 7 O 0
+adi puncak-puncak elips adalah A (1# 2#
A> (-1# 2# B(2#0# dan B> (2# -0.
Pada elips berlaku hubungan c'7 a'H b'# sehingga
c'7'1- 7%: c 7 ?
+adi# 4ocus elips adalah 3%(-?# 2 dan 3'(?#2.
*ketsa elipsnya tampak dalam gambar '.01
,ambar '.01
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
19/36
'. Persamaan Nlips yang Pusatnya di (p# Perhatikan gambar '.0 yang memperlihatkan sebuah elips dengan
pusat di (p# . 3%dan 3'merupakan 4ocus dengan koordinat (p c#
dan (p H c# .)itik-titik A# A># B# dan B> merupakan puncak-puncak elips dengan
koordinat A (p a# A> (p H a# # B (p# b# dan B> (p# H b.Persamaan elips pada gambar '.0 adalah
px2
q
y2
7%
/ontoh 01Diketahui elips dengan persamaan ' ?y'-' H %:y %0 7 2)entukanlaha. Pusat elipsb. *umbu mayor dan sumbu minorc. Koordinat titik 4ocusd. Koordinat titik puncake. *ketsa gra&knya+a"ab Ebahlah persamaan ' ? y'H ' H %:y %0 7 2 ke dalam bentuk
p
x2
q
y2
7%# sebagai berikut
' ?y'H ' H %:y %0 7 2 'H ' % ?y'H %:y %: H ? 7 2 ('H ' % (?y'H %:y %: 7?
(x22x+1)
4
4(y24 y+4)4
7%
x12
y22
7%
Dari persamaan terakhir# diperoleh a 7 '# b 7 %# p 7 % dan 7 '.
*ehingga dpaat ditentukana. Pusat elips di (p# adalah (%# 'b. *umbu mayor ' a adalah ? dan sumbu minor ' b adalah 'c. / 7 a2b2, 7 2212 , 7 3
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
20/36
Koordinat 3 %(p c# dan 3'(p H c# adalah 3%(% 3, 0 dan
3'(% - 3, 'd. Koordinat titik puncaknya A (p a# # A>(p-a# A# B(p# b# dan
B>(p# -b adalah A(0#'# A>(-%#'# B(%#0 dan B>(%#%.e. *ketsa gra&knya tampak pada gambar '.?2
,ambar '.?2
Persamaan elips dengan pusat di (p# yang lalin diperlihatkan di
dalam gambar '.?%.
,ambar '.?%Koordinat titik 4okusnya 3%(p# c dan 3'(p# H c. Koordinat titik
puncaknya A (p# a# A>(p# H a# B(p b# dan B>(p-b# .
Persamaan elips ini adalah.
xp2
yp2
7%
Diketahui elips dengan persamaan ?' y'-@ H ?y ? 7 2)entukanlah a. Pusat elipsb. *umbu mayor dan sumbu minorc. Koordinat titik 4okusd. Koordinat titik puncake. *ketsa gra&knya
+a"ab
?' y'-@ H ?y ? 7 2
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
21/36
?'H @ ? y'H ?y ? H ? 7 2
(?'H @ ? (y'H ?y ? 7 2
4(x22x+1)
4
(y24y+4 )
4
7 %
x12
y22
7%
Dari persamaan terakhir # diperoleh b 7 %# a 7 '# p 7 % dan 7 '
*ehingg adapat ditentukan
a. Pusat elips di (p# adalah (%#'.
b. *umbu mayor ' a adalah ? dan sumbu minor 'b adalah '.c. c 7 a2b2 7 2212 7 3 # koordinat titik 4okusnya 3%(%# '
3 dan 3'(%# ' - 3 .d. Koordinat titik puncaknya A (p# a# A> (p# H a# B(p b# # dan
B> (p H b# adalah A (%# ?# A> (%# 2# B ('#' dan B> (2# '.e. *ketsa gra&knya tampak di dalam gambar '.?'
,ambar '.?'
0. Perpotongan antara ,aris dengan NlipsPerhatikan gambar '.?0 yang memperlihatkan kedudukan sebuah garis
lurus terhadap elips.
,ambar '.?0
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
22/36
Bila persamaan garis h adalah y 7 m n dan persamaan elips
adalahx
2
a2+y
2
b2
7%# maka dari kedua persamaan tersebut
diperoleh
x2
a2+(mx+n)2
b2
7 %
b'' a'(m'' 'm n' 7a'b' (b' a'm'' 'mna' (a'n H a'b' 7 2 (b' a'm'' 'a'mn a'(n'H b' 7 2Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam .
Diskriminan persamaan ini adalah
D 7 ('a'
mn'
H ? (b'
a'
m'
a'
(n'
b'
D 7 ?a?m'n'H ?a' (b'n'H b? a'm'n'H a'b'm' D 7 ?a?m'n'H ?a' b'n' ?a'm'n'H ?a'b'm' ?a'b'm'
D 7 H ?a' b'(n'H b' a'm'Kedudukan garis h terhadpa elips ditentukan oleh nilai diskriminan di
atas# sebagai berikut.a. +ika D J 2# maka garis h tidak memotong maupun menyijnggung
elips (lihat gambar '.?0(a.b. +ika D 7 2# maka garis h menyinggung elips (lihat gambar '.?0 (b.c.
+ika D L 2# maka garis h memotong elips di dua titik yang berbeda
(lihat gambar '.?0 (c.?. Persamaan ,aris *inggung dengan gradient m pada Nlips
+ika garis h y 7 m n menyinggung elipsx
2
a2+y
2
b2
7%# maka
besarnya diskriminan D 7 2. Kita sudah mengetahui bah"a
diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua
persamaan di atas adalah D 7 -?a'b'(n'-b'H a'm'# sehingga diperoleh
-?a'b'' (n'-b'Ha'm' 7 2 n'- b'H a'm'7 2 n'7 b' a'm'
n 7 O a2m2+b2
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
23/36
+adi# persamaan garis singgung pada elipsx
2
a2+y
2
b2
7% dengan gradient
m dide&nisikan dengan persamaan y 7 m O a2m2+b2
1. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik pada elipsPerhatikan gambar '.?? yang memperlihatkan sebuah garis h yang
menyinggung elipsx
2
a2+y
2
b2
7% di titik P (%# y%.
Karena garis h melalui titik P (%# y%# maka persamaan garis h adalahy H y%7 m ( H % 9(0'*ecara geometri gradient garis singgung di titik P (%# y% pada elips
dide&nisikan dengan persamaanm 7
dydx ](x 1,y 1)
Dengan mengambil di4erensial pada elipsx
2
a2+y
2
b2
7%
d (x2
a2+y
2
b2 ) 7 d (%
d (x2
a2 ) d +(y
2
b2 ) 72
2x
a2 d
2y
b2 7 2
2y
b2 dy 7 -
2x
a2 d
dydx
7 -2x
a2
b2
2y
dydx
7b2
a2
xy
Diperoleh gradient garis singgung pada elipsx
2
a2+y
2
b2
7% di titik (%# y%
adalah
m 7dydx ](x 1,y 1) 7 b
2
a2
xy
dari persamaan (0' dan (00# diperoleh
y H y%7 -b2
a2
xy
( H %
a'yy%H a'y%'7 -b'% b'%'
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
24/36
a'yy% b'%7 a'y%' b'%'
xx 1
a2
yy 1
b2 7
y12
b2
x1
2
a2
xx 1
a2
yy 1
b2 7
x12
a2
y1
2
b2
9(0?
)itik P (%# y% terletak pada elipsx
2
a2+y
2
b2
7%# maka berlaku
x12
a2+y 1
2
b2
7% 9(01
Dari persamaan (0? dan (01 diperoleh
xx 1
a2
yy 1
b2
+adi# persamaan garis singgung elips x
2
a2+y
2
b2 7% di titik P (%# y%
dide&nisikan dengan persamaan.xx 1
a2
yy 1
b2
D. $IPNB=6A%. Persamaan $iperbola dengan Pusat di =(2#2
Perhatikan gambar '.?1# yakni sebuah hiperbola yang berpusat di = (2#
2.
,ambar '.?1+ika kita menentukan dua titik tertentu# yang dinamakan 4okus# di 3% (-
c# 2 dan 3'(c# 2 dan jika konstanta tersebut sama dengan 'a# maka
sebuah titik P (# y terletak pada hiperbola itu jika dan hanya jika
x+c2+y2
7 'a x+c2+y2
x+c2+y2
7
x+c2+y2
2a+
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
25/36
( c' y' 7 ?a' ?ax+c2+y2
( H c' y'
' 'c c' y'7 ?a' ?ax+c2+y2
'H 'c c' y'
?a x+c2
+y2
7 -?a' ?c
ax+c2+y2
7 -a' c
(ax+c2+y2
()
' 7 (a' c'
a'(( H c' y' 7 a?H 'a'c c''
a'('H 'c c' y'7 a?H 'a'c c''a''H 'a'c a'c' a'y' 7 a?H 'a'c c''
(a'
H c'
'
a'
y'
7 a?
Ha'
c'
(c'H a' 'H a'y' 7 a'(c'Ha'
x
2
a2
-
c(2a2)
y2
7 % 9(0:
Karena c L 2# maka c' L a' # sehingga c' H a'L 2 . Misalkan kita
tentukan c'H a'7 b'# sehingga persamaan (0: menjadix
2
a2+y
2
b2
7% 9(0;
Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola*i4at-si4at hiperbolaa. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut
puncak. Koordinat-koordinat puncak persamaan hiperbola (0;
adalah (-a# 2 dan (a# 2.b. uas garis yang menghubungkan kedua 4okus disebut sumbu
mayor. Pada gambar '.?1 sumbu mayornya adalah AA# yang
panjangnya 'a.c. uas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak
lurus sumbu mayor disebut sumbu minor. Pada gambar '.?1 sumbu
minornya adalah BB> yang panjangnya 'b.
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
26/36
d. *umbu simetri persamaan hiperbola (0; adalah sumbu < dan
sumbu 5. *umbu simetri yang melalui 3% dan 3' disebut sumbu
utama atau sumbu nyata. *umbu simetri yang melalui titik tengah
3%dan 3'serta tegak lurus sumbu mayor disebut sumbu seka"an
atau sumbu imajinere. Persamaan hiperbola (0; mempunyai asimtot
y 7b
a dan y 7 -
b
a
Perhatikan gambar '.?:.,aris g dan h adalah garis asimtot
g y 7 -ba
h y 7 ba
terlihat bah"a garis g dan h membatasi daerah gra&k dari masing-
masing cabang hiperbola.'. Persamaan $iperbola dengan Pusat di (p#
Perhatikan gambar '.1% yakni sebuah hiperbola dengan pusat di (p#Persamaan hiperbola dalam ,ambar '.1% adalahxp2
yq2
$iperbola ini mempunyai si4ata. Koordinat titik puncaknya A(p a# dan A>(p H a#b. Koordinat 4okusnya 3%(p c# dan 3'(p H c#c. Koordinat titik ujung sumbu minor (p# b dan (p# H bd. Persamaan asimtotnya adalah
g y 7 ba
(xp )+qdanh :yba
(xp )+q
/ontoh ??
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
27/36
Diketahui hiperbola dengan persamaan
x32
y2
2
)entukan
a. Koordinat titik pusatb. Koordinat titik puncakc. Koordinat titik 4ocusd. Koordinat ujung sumbu minor
e. Persamaan asimtot4. *ketsalah ,ra&knya0. Perpotongan antara garis dengan hiperbola
Diketahui hiperbola dengan persamaanx
2
a2y
2
b2=1 9(0@
Dan garis h dengan persamaany 7 m n 9(0+ika persamaan (0 disubtitusikan ke dalam persamaan (0@# diperoleh
mx+n
2
x2
a2
b''H a'(m'' 'mn n' H a'b' 7 2 (b'H a'm''H 'a'mn H a'(n' b' 7 2Persamaan yang terkahir merupakan persamaan kuadrat dalam .
Diskriminan dari persamaan ini adalahD 7 (-'a'mn'H ? (b'Ha'm' (-a'(n' b'
D 7 ?a?
m'
n'
?a'
(b'
n'
b?
H a'
m'
n'
H a'
b'
m'
D 7 ?a'b'(n' b'Ha'm'Kedudukan garis h terhadap hiperbola ditentukan oleh nilai D di atas#
sehingga ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan
hiperbola# seperti diperlihatkan dalam ,ambar '.11
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
28/36
,ambar '.11,ambar '.11 (a menunjukkan bah"a garis h tidak memotong
maupun menyinggung hiperbola. $al ini terjadi bila D J 2Q,ambar '.11 (b menunjukkan bah"a garis h menyinggung hiperbola.
$al ini terjadi bila D 7 2.,ambar '.11 (c menunjukkan bah"a garis h memotong hiperbola di
dua titik yang berbeda. $al ini terjadi bila D L 2.?. Persamaan ,aris singgung dengan gradient m pada $iperbola
+ika garis h menyinggung hiperbola# maka diskriminan D 7 2# sehingga?a'b'(n' b'H a'm' 7 2
n'
b'
H a'
m'
7 2 n'7 a'm'H n' n 7 O a2m2b2
+adi persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola
x2
a2y
2
b2=1 dide&nisikan dengan persamaan
5 7 m O a2m2b2 /ontoh ?;
)entukan persamaan garis singgung dengan gradient % pada hiperbolax
2
100y
2
64=1
+a"ab x
2
100y
2
64=1 # maka a'7 %22# b'7 :?
,radien m 7 %Persamaan garis singgungnya adalah 5 7 m O a2m2b2 y 7 O 100.164 y 7 O 36 5 7 < O :
1. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik pada hiperbolaDari gambar '.1: tampak sebuah garis h yang menyinggung hiperbola
x
2
a2y
2
b2=1 di titik P (%# y%
,aris h melalui titik (%# y% sehingga persamaan garis h adalah
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
29/36
y - y%7 m ( H % 9(?2
Kita mengetahui bah"a m 7dy
dx ](x 1,y 1)Di4erensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut
,ambar '.1:
d (x2
a2y
2
b2 )=d (1)
d (x2
a2 ) d (y
2
b2 )=0
2x
a2dx -
2y
b2 dy 7 2
2y
b2 dy 7
2x
a2 dx
dydx
72x
a2 b
2
2y
dydx
7b2x
a2y
*ehingga gradient garis singgung pada hiperbolax
2
a2y
2
b2
7 % di titik
(%# y% adalah
m 7
b2x1
a2y 1 9(?%dari persamaan (? dan (?%# diperoleh
y H y%7b
2x1
a2y 1
( H %
a'yy%H a'y%' 7 b'%H b'%'
a'yy%H b'% 7 a'y%H b'%'
yy 1
b2
xx1
a2
7y1
2
b2x1
2
a2
xx 1
a2
yy 1
b 7
x12
a
2y 1
2
b
2 9(?'
)itik P (%# y% terletak pada hiperbolax
2
a2y
2
b2
7 %# maka berlaku
x12
a2y 1
2
b2
7 % 9(?0
Dari persamaan (?' dan (?0# diperoleh
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
30/36
xx 1
a2
yy 1
b2
7 %
+adi persamaan garis singgung hiperbolax
2
a2y
2
b2
7 % di titik (%# y%
di de&nisikan dengan persamaanxx 1
a2
yy 1
b2
7 %
:. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik di luar hiperbola/ontoh ?
)unjukkan bah"a titik P(2#2 terletak di luar hiperbola x2
9y
2
4=1
)entukan persamaan garis singgung pada hiperbola tersebut yang
melalui titik P.
+a"ab*ubtitusikan titik P (2#2 pada hiperbola x
2
9y
2
4=1 # di dapat
02
902
4
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
31/36
%': m'7 1;:
m 7 O 5761296= 2436= 23 Persamaan garis singgung untuk m 7 2
3 adalah y 7 2
3
sedangkan untuk m 7 -2
3adalah y 7 -
2
3
6A)I$AF E6AF,AF BAB '
A. Pilihlah satu ja"aban yang benarC%. Persamaan lingkaran yang titik pusatnya P(-1# ? dan melalui titik 8 ('#
-0 adalah9..a. 'y' 1 H ?y 1; 7 2b. ' y'H %2 @y 7 2c. ' y'-%2 @y - 72d. ' y' %2 H @y -1; 7 2e. ' y' %2H @y 1; 7 2
'. 6ingkaran yang titik pusatnya P (-0# ? dan menyinggung garis : H @y
'1 7 2 mempunyai jari-jari r 7 9..satuan.
a. 1
10
b. '1
2
c. 1
d. ; 3
10
e. %20. Diketahui titik A(%# % dan B (1# ;. Persamaan lingkaran yang
diameternya AB adalah 9.a. ' y'H : H @y H '; 7 2b. ' y'
?. Diketahui garis g dengan persamaan ' y 7 '. Persamaan lingkaran
yang menyinggung garis g di titik (%# 2 dan berjari H jari 'R1 adalah 9.
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
32/36
a. ' y' %2 ?y 7 2 d. ' y' %2 ?y H
7 2b. ' y' H %2 -?y 7 2 e. ' y' H ? H %2y
7 2c. ' y' H %2 H ?y H 7 21. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' H ? : H ?1 7 2
melalui titik P (S%# ? adalah 9.a. 0 H ;y H 0% 7 2 d. ; H 0y H 0% 7 2b. 0 H ;y 0% 7 2 e. ; H 0y 0% 7 2c. ; 0y H 0% 7 2:. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' @ :y 7 2
melalui titik (2# 2 adalah 9.
a. ? H 0y 7 2 d. ' H 0y 7 2b. 0 H ?y 7 2 e. 0 ?y 7 2c. ? 0y 7 2
;. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' 7 '? yang di tarik
dari titik Ppada lingkaran itu dengan ordinat H ? di daerah kuadran III
adalah 9.a. ' 'y %' 7 2 d. y R' H : 7 2b. R' 'y H %' 7 2 e. ' yR' %' 7 2c. y R' : 7 2
@. persamaan parabola dengan titik puncak ( '#-0 melalui titik (?#% dan
sumbu simetrinya sejajar sumbu adalah9a. y2 :y H @ H '1 7 2 d. y2 :y H ' %0
7 2b. y2 :y H @ '1 7 2 e. y2 :y H ' %0
7 2c. y2 - :y H ' %0 7 2
. Koordinat titik 4okus parabola (' H 0'7 %: (y H ' adalah9.
a. (12,1) d. (1 1
2,1)
b. (1
2,3) e. (1
1
2,4)
c. (11
2,3)
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
33/36
%2. Parabola diba"ah ini titik 4okusnya di (2#0. Persamaannya
adalah
,ambar parabolaa. (y 0'7 -@( 'b. (y H 0'7 @( H 'c. (y H 0'7 -@( H 'd. ( H ''7 -@ (y H 0e. ( '7 @ (y 0
%%. Persamaan parabola yang titik puncaknya (:#2 dan titik
4okusnya (2#2 adalah9a. y'7 -'? %?? d. y'7 0: - '%:b. y'7 '? H %?? e. y'7 ? - '?
c. y'
7 -0: '%:%'. )itik 4okus parabola y'-%' H ?y %: 7 2 adalah9
a. (1#%b. (?#'c. (-%#%d. (-'#'e. (%#'
%0. Bentuk umum persamaan irisan kerucut A' By /y' D
Ny 3 7 2 akan berbentuk persamaan parabola yang menghadap ke
kiri apabila9a. A 7 2 dan B 7 2b. A 7 B 7 2# / L 2 dan D L 2# atau / J 2 dan D J 2c. A 7 2# / L 2# D J 2d. B 7 / 7 2# A L 2 dan N L 2 atau A J 2 dan N J 2e. B 7 / 7 2# A L 2 dan N J 2
%?. Persamaan garis singgung pada parabola y'H @ H ?y %' 7 2 di
titik (0# : adalah9a. < H y 0 7 2b. ' H y 7 2
c. < H 'y 7 2d. < y H 7 2e. 0 y H %1 7 2
%1. Persamaan garis singgung pada parabola y' H @ H :y % 7 2
yang tegak lurus pada garis 'y 7 2 adalah9a. ? H 'y %2 7 2b. : H 0y ' 7 2
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
34/36
c. ' H y @ 7 2d. ' H y : 7 2e. @ H ?y 1 7 2
%:. Nlips dengan titik titik puncak (';#'# (-'0#'# ('# dan ('#-1
persamaannya adalah9
a.
2
x2
2
y2
7 %
b.
2
x2
2
y2
7 %
c.
2x2
2y2
7 %
d.
2
x2
2
y2
7 %
e.
2
x+2
2
y+2
7 %
%;. Persamaan garis singgung pada elips ' y'7 di titik ('#
1
35 adalah9
a. ' ' 5y 7 b. '
5y
'y 7 c. ' ? 5y 7 d. ' 0 5y 7 e. 0 5y 'y 7
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
35/36
%@. Persamaan irisan kerucut A'By /y' D Ny 3 7 2#
akan berupa persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu
atau y jika9
a. A 7 /# B 7 2b. A 7 B 7 2c. A L 2# / L 2# A L /# B 7 2d. A L 2# / J 2# B 7 2e. A T / # B T 2.
%. Persamaan hiperbola dengan pusat (2#2 asimtotnya 5 73
4
dan 5 7-3
4 . Panjang sumbu imajiner 7 dan 4okusnya pada
sumbu adalah9a.
-
8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx
36/36
1. )entukan persamaan asimtot hiperbola 'H %: y' %@ :? y H %
7 2.