8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

1/36

IRISAN KERUCUT

Materi Pembelajaran

A. Macam-macam Irisan Kerucut

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai benda-benda yang

cukup besar kegunaannya bagi perkembangan kemajuan peradaban

manusia. Benda-benda itu misalnya antena yang berbentuk parabola

(antena parabola untuk menangkap siaran tele!isi le"at satelit

komunikasi# sarana atau lapangan olah raga berbentuk elips# serta paling

banyak kita jumpai adalah benda-benda dengan bangun lingkaran seperti

roda maupun ban kendaraan# baik kendaraan bermotor maupun yang

tidak bermotor. $iperbola adalah seperti bangun dua buah parabola yang

sama saling berhadapan. Bangun-bangun di atas dapat digolongkan ke

dalam bangun irisan kerucut.

Dalam bahasan berikut# kita akan mempelajari irisan kerucut antara

lain pengertian tentang parabola# lingkaran# elips dan hiperbola.

%. Pengertian Irisan KerucutPerhatikan de&nisi berikut ini.De&nisi '.% Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan dari semua titik

pada bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik

tertentu mempunyai nilai yang tetap.)itik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut

direktriks. *edangkan nilai perbandingan yang tetap itu dinamakan

eksentrisitas disingkat e.

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

2/36

*ecara geometris bentuk irisan kerucut dapat diperoleh dengan

cara mengiriskan sebuah bidang datar terhadap kerucut lingkaran tegak

berselimut ganda. +ika bidang pengirisnya tidak melalui puncak kerucut#

ada empat kemungkinan irisan kerucut# seperti diperhatikan pada

gambar '.%

,ambar '.% (a adalah irisan kerucut berbentuk lingkaran. )erlihat bah"a

bidang datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut dan

tegak lurus sumbu kerucut.

,ambar '.% (b adalah irisan kerucut bentuk elips. )erlihat bidang

datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut kerucut dan

tegak lurus sumbu kerucut.

,ambar '.% (c adalah irisan kerucut berbentuk Parabola. )erlihat bidang

datarmya sejajar dengan salah satu garis pelukis.

,ambar '.% (d adalah irisan kerucut berbentuk hiperbola. )erlihat bidang

datarmya memotong kedua selimut kerucut.

'. umus +arak di antara Dua )itik,ambar '.' memperlihatkan jarak di antara dua titik P%dan P' yang

dihitung dari koordinat-koordinatnya

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

3/36

+ika d adalah jarak antara titik P%

(%# y% dan P'('#y' maka

berdasarkan ,ambar '.' kita

dapat mende&nisikan jarak di

antara titik P%(%#y% dan P'('#y'

adalah

d=(x2x1)2+(y

2y

1)2

/ontoh %)entukan jarak antara titik A('#0 dan B(1#2.

+a"ab

|ab|=d=(x2x1 )2+(y2y1)

2

(52 )2+(03 )

2

9+9=18=32+adi# jarak titik A dan B adalah 32

B. ParabolaPerhatikan de&nisi berikut iniDe&nisi '.0 Parabola tempat kedudukan titik titik di dalam bidang yang jaraknya ke

sebuah titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu

dalam bidang tersebut.)itik tertentu itu dinamakan fokusparabola dan garis tertentu dinamakan

direktriks.

%. Parabola yang terbuka ke atasKita misalnya garis g sebagai garis tetap (garis direktriks dan titik 3

sebagai titik 3 sebagai titik tetap (4okus atau titik api. +ika 3 tidak

terletak pada g# maka kita dapat memilih sebuah sistem koordinat

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

4/36

yang menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk

parabola dengan mengambil sumbu 5 melalui 3 dan tegak lurus garis

g# dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara 3 dan g.

6ihat ,ambar '.%1+ika titik 3 dan garis g adalah 'p#

maka kita dapat menetapkan

koordinat titik 3# yakni (2# p.

Dengan demikian persamaan garis

g menjadi y7-p. )itik P(#y

terletak pada parabola jika dan

hanya jika p37P8 9.(%:Dengan rumus jarak# persamaan

(%: menjadi

x2+(yp )2=(y+p )

2

x2+ (yp )

2=(yp )

2

x2

+y2

2py+p2

=y2

+2py+p2

x2=4py 99(%;

+adi# persamaan parabola dengan titik puncak di (2#2 dan 4okus di 3(2#p

dide&nisikan dengan persamaan

x2=4py

a. *umbu dan Puncak ParabolaKarena p merupakan bilangan bulat positi4 dalam persamaan (%;# maka y

tidak mungkin negati!e. Ini artinya parabola tersebut akan terletak pada

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

5/36

atau di atas sumbu yang melalui titik 4ocus 3 dan tegak lurus sumbu simetri

dinamakan latus rectum (lihat gambar '.%1. Panjang latus rectum untuk

parabola dengan persamaan (%; adalah ?p./ontoh %@./arilah 4ocus dan direktris dari parabola '7 @y

Pandang persamaan '7 @y dan '

7 ?py# maka didapat p 7 '.3okusnya berada pada sumbu 5

yang jauhnya p 7 ' satuan dari

puncak# yakni 3(2#p 7 3(2#'.Direktriksnya y 7 -p adalah garus y

7 -'.,ambar '.%: memperlihatkan

parabola '7 @y.)entukan persamaan parabola yang mempunyai titik 4ocus di (2#0 dan

persamaan direktrisnya y 7 -0+a"ab )itik 4okusnya di 3(2#0# maka p 7 0

?p 7 %'

Persamaan parabolanya '7 ?py

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

6/36

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

7/36

,ambar '.'2?. Parabola yang terbuka ke kiri

+ika parabola tersebut terbuka ke kiri# seperti di dalam gambar '.'%#

dengan 4okusnya di 3-p#2 dan dengan persamaan direktriksnya 7 p#

maka persamaan parabolanya adalah y'7 -?p/ontoh '')entukanlah titik 4ocus dan persamaan direktriks parabola y' 7 -%'#

kemudian gambarlah sketsa gra&knyaC+a"ab Pandang y'7 -?p dan y'7 -%'# maka p 7 0# Koordinat 4ocus 3(-p#2

adalah 3(-0#2.Persamaan direktriksnya 7 p adalah 7 0 atau -0 72

*ketsa gra&knya dapat dilihat dalam ,ambar '.''

,ambar '.''1. )ranslasi *umbu-*umbu

Bila puncak parabola berada di titik (a#b# maka kita dapat menentukan

persamaan parabola dengan memperkenalkan sebuah system koordinat

baru# dengan titik asal => yang berada di titik (a#b. *istem koordinat

baru ini kita namakan system koorinat =>5>. *umbu sejajar dengan

sumbu < dan sumbu 5> sejajar dengan sumbu 5.Perhatikan ,ambar '.'0 di ba"ah ini.

,ambar '.'0)itik P mempunyai koordinat (# y di dalam system semula (#

y> system baru (=>5>. Entuk bergerak dari = ke P# kita mempunyai

pergeseran hborisontal dan pergeseran !ertical y.FIlai akan didapatkan dari dua pergeseran horiGontal# yakni a dari = ke

=> dan > dari => ke P. Demikian pula# y akan didapatkan dari dua

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

8/36

pergeseran !ertical# yakni b dari = ke => dan y> dari => ke P. *ehingga

kedua koordinat tersebut akan dihubungkan sebagai berikut.

{x=x'+a

y=y '+b}(18a )atau {x '=x+a

y '=y+b} (18b )Persamaan (%@ dinamakan persamaan-persamaan untuk translasi

sumbu-sumbu*elanjutnya pandang sebuah parabola dengan puncaknya di (a#b dan

yang membuka ke atas# seperti diperlihatkan di dalam ,ambar '.'?. Bila

kita menyatakan persamaan parabolanya dalam system koordinat =>5>#

maka persamaannya adalah(>'7 ?py> 999..(%

,ambar '.'?Dengan mensubtitusikan persamaan (%@a ke dalam persamaan (%# kita

dapat menyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

9/36

y 7 b p

,ambar '.'1Persamaan ('2c mempunyai sebuah gra&k yang simetris terhadap garis

y 7 b dan yang membuka ke kanan.Perhatikan gambar '.':.3okus 3(a p# b direktriksnya garis 7 a H p

,ambar '.':Persamaan ('2d mempunyai sebuah gra&k yang simetris terhadap y 7 b#

dan yang membuka ke kiri.Perhatikan gambar '.';. 3okusnya 4( a-p# b.Persamaan direktrisknya adalah 7 a p.

/ontoh '0.)entukan persamaan parabola dengan titik 4ocus (1#? dan titik puncaknya

di ('#?. Kemudian gambarkanlah sketsa gra&knya dan tentukan

persamaan direktriksnya C

+a"ab Puncak (a#b adalah ('#?.3okus 3(ap# b adalah 3( ' 0# ? 7 3 (1#?.*ehingga parabola terbuka ke kanan. Bentuk baku persamaan parabola

ini adlaha(y-b'7 ?p ( H a (y-?' 7 ? (0 ( H '

(y-?' 7 %' ( H ' y'H @y %: 7 %' H '? y'H @y H %' ?2 7 2

*ketsa gra&knya tampak di dalam ,ambar '.'@.

Persamaan direktrisknya adalah< 7 a H p 7 ' H 0 7 - % % 7 2

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

10/36

,ambar '.'@/ontoh '?)entukan persamaan parabola dengan titik puncak (%# -0 dan titik

4okusnya (2#02. *elanjutnya tentukan persamaan direktriksnya dan

gambarkan sketsa gra&knyaC+a"ab Puncak (a# b adalah (%# -03okus 3(a-p# b adalah 3(% H %# -0 7 3(2#-0*ehingga parabola terbuka ke kiri. Bentuk persamaan parabola ini adalah(y-b'7 -?p ( H a (y-(-0' 7 -? (% ( H %

(y 0' 7 -? ( H % y'H :y 7 -? H ? y'H :y H ? 1 7 2

*ketsa gra&knya tampak di dalam ,ambar '.'.Persamaan direktrisknya adalah< 7 a p 7 % % 7 '/=ntoh '1*uatu parabola mempunyai persamaan ' : H @y H 0% 7 2. )entukan a. Koordinat titik puncaknyab. Koordinat titik 4okusnyac. Persamaan direktriksnyad. ,ambarkan sketsa gra&knya

+a"ab

' : H @y H 0% 7 2

' : 7 @y 0%

' :y 7 @y 0%

( 0' 7 @ ( y 1

Persamaan di atas merupakan persamaan parabola yang terbuka ke atas

dengan a 7 -0# b 7 -1# dan ?p 7 @ sehingga p 7 '

a. Koordinat titik puncaknya (a# b adalah (-0# -1b. Koordinat titik 4okusnya 3 (a# b p adalah 3 (-0# -1 '# sehingga 3 (-

0# -0.

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

11/36

c. Persamaan direktriksnya y 7 b H p adalah y 7 -1-'# sehingga y 7 -;.d. *ketsa gra&knya tampak dalam gambar '.02.

,ambar '.02

:. Perpotongan antara ,aris dengan ParabolaPandang parabola dengan persamaan5'7 ?pDan garis h dengan persamaan 9('%y 7 m n 9(''

Bila persamaan ('' disubtitusikan ke dalam persamaan ('%# diperoleh(m n'7 ?p m'''mn n'H ?p 7 2 m'' ('mn H ?p n'7 2 9('0Persamaan ('0 merupakan persamaan kuadrat dalam .Diskriminan dari persamaan ini adalahD 7 ('mn H ?p'H ?m'n'

D 7 ?m'n'H %:mnp %:p'H ?m'n'

D 7 ':p (p-mn 9('?Kedudukan garis h terhadap parabola ditentukan oleh nilai D di atas#

sehingga ada tiga kemungkinan hubungan antara garis dan parabola#

seperti diperlihatkan di dalam ,ambar '.0%

,ambar '.0%,ambar 0% (a menunjukkan bah"a garis h tidak memotong maupun

menyinggung parabola. $al ini terjadi bila D J 2.,ambar 0% (b menunjukkan bah"a garis h menyinggung parabola. $al

ini terjadi bila D 7 2,ambar 0% menunjukkan bah"a garis h memotong parabola di dua

titik yang berlainan. $al ini terjadi bila D L 2./ontoh ':)entukan kedudukan garis y 7 ' terhadap parabola y'7 @+a"ab 5 7 '

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

12/36

5'7 @Dari persamaan (a dan (b# diperoleh( ''7 @ ' ? ? H @ 7 2 'H ? ? 7 2

D 7 (-?'

H ?.%.? 7 %: H %: 7 2)ernyata D 7 2# sehingg dapat disimpulkan bah"a garis y 7 '

merupakan garis singgung parabola y'7 @.

;. Persamaan ,aris *inggung dengan ,radien m pada Parabola*yarat garis menyinggung parabola adalah D 7 2. *ehingga dari

persamaan ('?# kita dapat menuliskan persamaan%:p (p H mn 7 2 %:p'H %: pmn 7 2

%: pmn 7 %: p'

n 7 16p2

16pm

n 7 pm

+adi# persamaan garis singgung pada parabola y' 7 ?p dide&nisikan

dengan persamaan

5 7 m pm

/ontoh ';

)entukan persamaan garis singgung pada parabola y

'

7

4

3 x dengan

gradient sama dengan '.

y'74

3x , maka ? p 7

4

3# sehingga p 7

1

3

,radien 7 '# maka m 7 'Persamaan garis singgungnya adalah

y7 m pm

y 7 ' 1

3

2

y 7 ' 1

6

@. Persamaan ,aris *inggung melalaui sebuah titik pada parabola

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

13/36

Perhatikan gambar '.0' yang memperlihatkan sebuah garis h yang

menyinggung parabola y'7 ?p di titik P (%# y%.,aris h yang melalui titik P (%# y%# sehingga persamaan garis h adalahy-y%7 m ( H % 9('1

*ecara geometri gradient garis singgung di titik (%# y% pada kur!a (dalam

hal ini parabola dide&nisikan dengan persamaan

m 7dy

dx ](x 1,y 1)*elanjutnya pandang parabola

y' 7 ?p 7 y2

4p

dx

dy=2y

4p=

y

2p, maka

dxdy=2py

*ehingga gradient garis singgung pada parabola y'7 ?p di titik (%# y%

adalah

m 7dydx ](x 1,y 1) 7

2py1

Dari persamaan ('1 dan (':# diperoleh

5 H y%72py1

( H %

yy%H y%7 'p( H %)itik P (%# y% terletak pada parabola y'7 ?p# makay%'7 ?p

Dari persamaan ('; dan ('@# diperoleh5y%H ?p%7 'p H 'p% yy%7 'p 'p% yy%7 'p ( %

+adi# persamaan garis singgung parabola y' 7 ?p di titik (%# y%

dide&nisikan dengan5y%7 'p ( %/ontoh '@)entukan persamaan garis singgung parabola y'7 @ di titik (%@#%'.+a"ab 5'7 @# maka ?p 7 @# sehingga 7 '.

(%# y% adalah (%@# %'.Persamaan garis singgungnya adalah5y%7 'p ( % y (%' 7 '.' ( %@

%'y 7 ? ( %@

y 71

3 :.

/ontoh '

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

14/36

)entukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik potong antara

garis H y 7 0 dan parabola y'7?.+a"ab < H y 7 0 y 7 H 0

y'

7 ?Dari persamaan (a dan (b# diperoleh( H 0'7? 'H : H ? 7 2

'H %2 7 2 ( H ( H % 7 2

< 7 atau 7 %Entuk 7 # maka y 7 H 0 7 :Entuk 7 %# maka y 7 % H 0 7 -'*ehingga titik potongnya adalah (#: dan (%# -'.y'7 ?# maka ?p 7 ?# sehingga p 7 %Persamaan garis singgung parabola y'7 ? di titik (# :2 adalah

5y%7 'p ( % :y 7 '( y 7

1

3 0

*edangkan di titik (%# -' adalah-'y 7 ' ( % y 7 - -%

. Persamaan ,aris *inggung melalui sebuah titik di luar parabola

/ontoh 02

Buktikan bah"a titik P (?# 0 terletak di luar parabola y'7 '. Kemudian

tentukan persamaan garis singgung parabola itu yang melalui titik P.

+a"ab

*ubtitusikan P (?# 0 pada parabola y'7 '. )ernyata 0'L '(?# ini artinya

titik P (?#0 terletak di luar parabola y'7 '.

Karena y'7 ?p dan y'7 '# maka

' 7 ?p# maka p 7

1

2

Persamaan garis singgung dengan gradient m pada y'7 ?p adalah y 7

m pm

..(a

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

15/36

,aris singgung tersebut melalui titik P( ?#0 pada parabola y'7 '# maka

persamaan (a menjadi

0 7 ?m

1

2m

0 7 ?m 1

2m%% 'm

:m 7 @m' %

@m'H :m % 7 2

('m H % (?m H % 7 2

M 71

2# m 7

1

4

Entuk m 71

4 maka persamaan garis singgungnya adalah

y H 0 71

4( H ? y 7

1

4x '

g% y 7

1

4x

'

*edangkan untuk m 71

2persamaan garis singgungnya adalah

y H 0 71

2(x4 )>y=

1

2 %

g' y 71

2x %

6A)I$AF

%. )entukan kedudukan garis berikut terhadap parabola y'7 1'. ,aris y 7 c menyinggung parabola y'7 @ di titik P. )Nntukan0. *uatu garis dengan gradient I menyinggung parabola y'7 ? di titik P#

tentukan?. )itik P yang berkoordinat ? terletak pada parabola y'7 -@. )entukan

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

16/36

1. )entukan persamaan garis singgung parabola y' 7 @ yang

membentuk sudut ?12terhadap sumbu

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

17/36

a'(( H c' y' 7 (a'H c'

a''-'a'c a'c' a'y' 7 a?H 'a'c c''

(a'H c'' a'y' 7 a'(a'H c'

x

2

a2

y

2

(a2c2)=1

Dari gambar '.0? (b diperoleh hubungan a'7 b' c'atau a'H c'7 b'Dari persamaan (02 dan (0%# diperoleh persamaan elips dengan

pusat =(2#2# yakni x

2

a2+y

2

b2

7%

*i4at-si4at elips% Nlips mempunyai sumbu mayor (sumbu panjang dan sumbu minor

(sumber pendek. Dalam gambar '.0? (a# yang merupakan sumbu

mayor adalah AA> dan sumbu minor adalah BB>

' Nlipsx

2

a2+y

2

b27% memotong sumbu < di titik (a# 2 dan (-a# 2# dan

memotong sumbu 5 di titik (2# b dan (2# -b. *ehingga panjang

sumbu mayor 7 'a dan panjang sumbu minor 7 'b.0 *umbu simetri elips adalha sumbu mayor dan sumbu minor. *umbu

mayor dan sumbu minor berpotongan di titik pusat elips.

? *umbu mayor dan sumbu minor berpotongan dengan elips di

puncak-puncak elips. Dalam gambar '.0? (a# yang merupakan

puncak elips adalah titik A (a#2# A>(-a# 2# B(2# b# dan B>(2# -b.1 Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik 4ocus dengan

garis direktriks disebut eksentrisitas# disingkat e.Besarnya eksentrisitas (e adalah

e 7c

a dengan 2 J e J %.

Karena c 7 a2b2, maka e 7

a2b2

a

/ontoh 0%

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

18/36

Diketahui persamaan elips adalah ' '1 y'7 ''1

)entukan titik-titik puncak elips# dan titik-titik 4okusnya# kemudian

sketsalah elips tersebutC

+a"ab

' '1y'7 ''1

9x

2

225

25y2

2257%

x

2

25

y2

97%

*ehingga diperoleh

a'7 '1 a 7 O1

b'7 b 7 O 0

+adi puncak-puncak elips adalah A (1# 2#

A> (-1# 2# B(2#0# dan B> (2# -0.

Pada elips berlaku hubungan c'7 a'H b'# sehingga

c'7'1- 7%: c 7 ?

+adi# 4ocus elips adalah 3%(-?# 2 dan 3'(?#2.

*ketsa elipsnya tampak dalam gambar '.01

,ambar '.01

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

19/36

'. Persamaan Nlips yang Pusatnya di (p# Perhatikan gambar '.0 yang memperlihatkan sebuah elips dengan

pusat di (p# . 3%dan 3'merupakan 4ocus dengan koordinat (p c#

dan (p H c# .)itik-titik A# A># B# dan B> merupakan puncak-puncak elips dengan

koordinat A (p a# A> (p H a# # B (p# b# dan B> (p# H b.Persamaan elips pada gambar '.0 adalah

px2

q

y2

7%

/ontoh 01Diketahui elips dengan persamaan ' ?y'-' H %:y %0 7 2)entukanlaha. Pusat elipsb. *umbu mayor dan sumbu minorc. Koordinat titik 4ocusd. Koordinat titik puncake. *ketsa gra&knya+a"ab Ebahlah persamaan ' ? y'H ' H %:y %0 7 2 ke dalam bentuk

p

x2

q

y2

7%# sebagai berikut

' ?y'H ' H %:y %0 7 2 'H ' % ?y'H %:y %: H ? 7 2 ('H ' % (?y'H %:y %: 7?

(x22x+1)

4

4(y24 y+4)4

7%

x12

y22

7%

Dari persamaan terakhir# diperoleh a 7 '# b 7 %# p 7 % dan 7 '.

*ehingga dpaat ditentukana. Pusat elips di (p# adalah (%# 'b. *umbu mayor ' a adalah ? dan sumbu minor ' b adalah 'c. / 7 a2b2, 7 2212 , 7 3

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

20/36

Koordinat 3 %(p c# dan 3'(p H c# adalah 3%(% 3, 0 dan

3'(% - 3, 'd. Koordinat titik puncaknya A (p a# # A>(p-a# A# B(p# b# dan

B>(p# -b adalah A(0#'# A>(-%#'# B(%#0 dan B>(%#%.e. *ketsa gra&knya tampak pada gambar '.?2

,ambar '.?2

Persamaan elips dengan pusat di (p# yang lalin diperlihatkan di

dalam gambar '.?%.

,ambar '.?%Koordinat titik 4okusnya 3%(p# c dan 3'(p# H c. Koordinat titik

puncaknya A (p# a# A>(p# H a# B(p b# dan B>(p-b# .

Persamaan elips ini adalah.

xp2

yp2

7%

Diketahui elips dengan persamaan ?' y'-@ H ?y ? 7 2)entukanlah a. Pusat elipsb. *umbu mayor dan sumbu minorc. Koordinat titik 4okusd. Koordinat titik puncake. *ketsa gra&knya

+a"ab

?' y'-@ H ?y ? 7 2

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

21/36

?'H @ ? y'H ?y ? H ? 7 2

(?'H @ ? (y'H ?y ? 7 2

4(x22x+1)

4

(y24y+4 )

4

7 %

x12

y22

7%

Dari persamaan terakhir # diperoleh b 7 %# a 7 '# p 7 % dan 7 '

*ehingg adapat ditentukan

a. Pusat elips di (p# adalah (%#'.

b. *umbu mayor ' a adalah ? dan sumbu minor 'b adalah '.c. c 7 a2b2 7 2212 7 3 # koordinat titik 4okusnya 3%(%# '

3 dan 3'(%# ' - 3 .d. Koordinat titik puncaknya A (p# a# A> (p# H a# B(p b# # dan

B> (p H b# adalah A (%# ?# A> (%# 2# B ('#' dan B> (2# '.e. *ketsa gra&knya tampak di dalam gambar '.?'

,ambar '.?'

0. Perpotongan antara ,aris dengan NlipsPerhatikan gambar '.?0 yang memperlihatkan kedudukan sebuah garis

lurus terhadap elips.

,ambar '.?0

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

22/36

Bila persamaan garis h adalah y 7 m n dan persamaan elips

adalahx

2

a2+y

2

b2

7%# maka dari kedua persamaan tersebut

diperoleh

x2

a2+(mx+n)2

b2

7 %

b'' a'(m'' 'm n' 7a'b' (b' a'm'' 'mna' (a'n H a'b' 7 2 (b' a'm'' 'a'mn a'(n'H b' 7 2Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam .

Diskriminan persamaan ini adalah

D 7 ('a'

mn'

H ? (b'

a'

m'

a'

(n'

b'

D 7 ?a?m'n'H ?a' (b'n'H b? a'm'n'H a'b'm' D 7 ?a?m'n'H ?a' b'n' ?a'm'n'H ?a'b'm' ?a'b'm'

D 7 H ?a' b'(n'H b' a'm'Kedudukan garis h terhadpa elips ditentukan oleh nilai diskriminan di

atas# sebagai berikut.a. +ika D J 2# maka garis h tidak memotong maupun menyijnggung

elips (lihat gambar '.?0(a.b. +ika D 7 2# maka garis h menyinggung elips (lihat gambar '.?0 (b.c.

+ika D L 2# maka garis h memotong elips di dua titik yang berbeda

(lihat gambar '.?0 (c.?. Persamaan ,aris *inggung dengan gradient m pada Nlips

+ika garis h y 7 m n menyinggung elipsx

2

a2+y

2

b2

7%# maka

besarnya diskriminan D 7 2. Kita sudah mengetahui bah"a

diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua

persamaan di atas adalah D 7 -?a'b'(n'-b'H a'm'# sehingga diperoleh

-?a'b'' (n'-b'Ha'm' 7 2 n'- b'H a'm'7 2 n'7 b' a'm'

n 7 O a2m2+b2

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

23/36

+adi# persamaan garis singgung pada elipsx

2

a2+y

2

b2

7% dengan gradient

m dide&nisikan dengan persamaan y 7 m O a2m2+b2

1. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik pada elipsPerhatikan gambar '.?? yang memperlihatkan sebuah garis h yang

menyinggung elipsx

2

a2+y

2

b2

7% di titik P (%# y%.

Karena garis h melalui titik P (%# y%# maka persamaan garis h adalahy H y%7 m ( H % 9(0'*ecara geometri gradient garis singgung di titik P (%# y% pada elips

dide&nisikan dengan persamaanm 7

dydx ](x 1,y 1)

Dengan mengambil di4erensial pada elipsx

2

a2+y

2

b2

7%

d (x2

a2+y

2

b2 ) 7 d (%

d (x2

a2 ) d +(y

2

b2 ) 72

2x

a2 d

2y

b2 7 2

2y

b2 dy 7 -

2x

a2 d

dydx

7 -2x

a2

b2

2y

dydx

7b2

a2

xy

Diperoleh gradient garis singgung pada elipsx

2

a2+y

2

b2

7% di titik (%# y%

adalah

m 7dydx ](x 1,y 1) 7 b

2

a2

xy

dari persamaan (0' dan (00# diperoleh

y H y%7 -b2

a2

xy

( H %

a'yy%H a'y%'7 -b'% b'%'

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

24/36

a'yy% b'%7 a'y%' b'%'

xx 1

a2

yy 1

b2 7

y12

b2

x1

2

a2

xx 1

a2

yy 1

b2 7

x12

a2

y1

2

b2

9(0?

)itik P (%# y% terletak pada elipsx

2

a2+y

2

b2

7%# maka berlaku

x12

a2+y 1

2

b2

7% 9(01

Dari persamaan (0? dan (01 diperoleh

xx 1

a2

yy 1

b2

+adi# persamaan garis singgung elips x

2

a2+y

2

b2 7% di titik P (%# y%

dide&nisikan dengan persamaan.xx 1

a2

yy 1

b2

D. $IPNB=6A%. Persamaan $iperbola dengan Pusat di =(2#2

Perhatikan gambar '.?1# yakni sebuah hiperbola yang berpusat di = (2#

2.

,ambar '.?1+ika kita menentukan dua titik tertentu# yang dinamakan 4okus# di 3% (-

c# 2 dan 3'(c# 2 dan jika konstanta tersebut sama dengan 'a# maka

sebuah titik P (# y terletak pada hiperbola itu jika dan hanya jika

x+c2+y2

7 'a x+c2+y2

x+c2+y2

7

x+c2+y2

2a+

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

25/36

( c' y' 7 ?a' ?ax+c2+y2

( H c' y'

' 'c c' y'7 ?a' ?ax+c2+y2

'H 'c c' y'

?a x+c2

+y2

7 -?a' ?c

ax+c2+y2

7 -a' c

(ax+c2+y2

()

' 7 (a' c'

a'(( H c' y' 7 a?H 'a'c c''

a'('H 'c c' y'7 a?H 'a'c c''a''H 'a'c a'c' a'y' 7 a?H 'a'c c''

(a'

H c'

'

a'

y'

7 a?

Ha'

c'

(c'H a' 'H a'y' 7 a'(c'Ha'

x

2

a2

-

c(2a2)

y2

7 % 9(0:

Karena c L 2# maka c' L a' # sehingga c' H a'L 2 . Misalkan kita

tentukan c'H a'7 b'# sehingga persamaan (0: menjadix

2

a2+y

2

b2

7% 9(0;

Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola*i4at-si4at hiperbolaa. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut

puncak. Koordinat-koordinat puncak persamaan hiperbola (0;

adalah (-a# 2 dan (a# 2.b. uas garis yang menghubungkan kedua 4okus disebut sumbu

mayor. Pada gambar '.?1 sumbu mayornya adalah AA# yang

panjangnya 'a.c. uas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak

lurus sumbu mayor disebut sumbu minor. Pada gambar '.?1 sumbu

minornya adalah BB> yang panjangnya 'b.

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

26/36

d. *umbu simetri persamaan hiperbola (0; adalah sumbu < dan

sumbu 5. *umbu simetri yang melalui 3% dan 3' disebut sumbu

utama atau sumbu nyata. *umbu simetri yang melalui titik tengah

3%dan 3'serta tegak lurus sumbu mayor disebut sumbu seka"an

atau sumbu imajinere. Persamaan hiperbola (0; mempunyai asimtot

y 7b

a dan y 7 -

b

a

Perhatikan gambar '.?:.,aris g dan h adalah garis asimtot

g y 7 -ba

h y 7 ba

terlihat bah"a garis g dan h membatasi daerah gra&k dari masing-

masing cabang hiperbola.'. Persamaan $iperbola dengan Pusat di (p#

Perhatikan gambar '.1% yakni sebuah hiperbola dengan pusat di (p#Persamaan hiperbola dalam ,ambar '.1% adalahxp2

yq2

$iperbola ini mempunyai si4ata. Koordinat titik puncaknya A(p a# dan A>(p H a#b. Koordinat 4okusnya 3%(p c# dan 3'(p H c#c. Koordinat titik ujung sumbu minor (p# b dan (p# H bd. Persamaan asimtotnya adalah

g y 7 ba

(xp )+qdanh :yba

(xp )+q

/ontoh ??

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

27/36

Diketahui hiperbola dengan persamaan

x32

y2

2

)entukan

a. Koordinat titik pusatb. Koordinat titik puncakc. Koordinat titik 4ocusd. Koordinat ujung sumbu minor

e. Persamaan asimtot4. *ketsalah ,ra&knya0. Perpotongan antara garis dengan hiperbola

Diketahui hiperbola dengan persamaanx

2

a2y

2

b2=1 9(0@

Dan garis h dengan persamaany 7 m n 9(0+ika persamaan (0 disubtitusikan ke dalam persamaan (0@# diperoleh

mx+n

2

x2

a2

b''H a'(m'' 'mn n' H a'b' 7 2 (b'H a'm''H 'a'mn H a'(n' b' 7 2Persamaan yang terkahir merupakan persamaan kuadrat dalam .

Diskriminan dari persamaan ini adalahD 7 (-'a'mn'H ? (b'Ha'm' (-a'(n' b'

D 7 ?a?

m'

n'

?a'

(b'

n'

b?

H a'

m'

n'

H a'

b'

m'

D 7 ?a'b'(n' b'Ha'm'Kedudukan garis h terhadap hiperbola ditentukan oleh nilai D di atas#

sehingga ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan

hiperbola# seperti diperlihatkan dalam ,ambar '.11

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

28/36

,ambar '.11,ambar '.11 (a menunjukkan bah"a garis h tidak memotong

maupun menyinggung hiperbola. $al ini terjadi bila D J 2Q,ambar '.11 (b menunjukkan bah"a garis h menyinggung hiperbola.

$al ini terjadi bila D 7 2.,ambar '.11 (c menunjukkan bah"a garis h memotong hiperbola di

dua titik yang berbeda. $al ini terjadi bila D L 2.?. Persamaan ,aris singgung dengan gradient m pada $iperbola

+ika garis h menyinggung hiperbola# maka diskriminan D 7 2# sehingga?a'b'(n' b'H a'm' 7 2

n'

b'

H a'

m'

7 2 n'7 a'm'H n' n 7 O a2m2b2

+adi persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola

x2

a2y

2

b2=1 dide&nisikan dengan persamaan

5 7 m O a2m2b2 /ontoh ?;

)entukan persamaan garis singgung dengan gradient % pada hiperbolax

2

100y

2

64=1

+a"ab x

2

100y

2

64=1 # maka a'7 %22# b'7 :?

,radien m 7 %Persamaan garis singgungnya adalah 5 7 m O a2m2b2 y 7 O 100.164 y 7 O 36 5 7 < O :

1. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik pada hiperbolaDari gambar '.1: tampak sebuah garis h yang menyinggung hiperbola

x

2

a2y

2

b2=1 di titik P (%# y%

,aris h melalui titik (%# y% sehingga persamaan garis h adalah

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

29/36

y - y%7 m ( H % 9(?2

Kita mengetahui bah"a m 7dy

dx ](x 1,y 1)Di4erensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut

,ambar '.1:

d (x2

a2y

2

b2 )=d (1)

d (x2

a2 ) d (y

2

b2 )=0

2x

a2dx -

2y

b2 dy 7 2

2y

b2 dy 7

2x

a2 dx

dydx

72x

a2 b

2

2y

dydx

7b2x

a2y

*ehingga gradient garis singgung pada hiperbolax

2

a2y

2

b2

7 % di titik

(%# y% adalah

m 7

b2x1

a2y 1 9(?%dari persamaan (? dan (?%# diperoleh

y H y%7b

2x1

a2y 1

( H %

a'yy%H a'y%' 7 b'%H b'%'

a'yy%H b'% 7 a'y%H b'%'

yy 1

b2

xx1

a2

7y1

2

b2x1

2

a2

xx 1

a2

yy 1

b 7

x12

a

2y 1

2

b

2 9(?'

)itik P (%# y% terletak pada hiperbolax

2

a2y

2

b2

7 %# maka berlaku

x12

a2y 1

2

b2

7 % 9(?0

Dari persamaan (?' dan (?0# diperoleh

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

30/36

xx 1

a2

yy 1

b2

7 %

+adi persamaan garis singgung hiperbolax

2

a2y

2

b2

7 % di titik (%# y%

di de&nisikan dengan persamaanxx 1

a2

yy 1

b2

7 %

:. Persamaan ,aris singgung melalui sebuah titik di luar hiperbola/ontoh ?

)unjukkan bah"a titik P(2#2 terletak di luar hiperbola x2

9y

2

4=1

)entukan persamaan garis singgung pada hiperbola tersebut yang

melalui titik P.

+a"ab*ubtitusikan titik P (2#2 pada hiperbola x

2

9y

2

4=1 # di dapat

02

902

4

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

31/36

%': m'7 1;:

m 7 O 5761296= 2436= 23 Persamaan garis singgung untuk m 7 2

3 adalah y 7 2

3

sedangkan untuk m 7 -2

3adalah y 7 -

2

3

6A)I$AF E6AF,AF BAB '

A. Pilihlah satu ja"aban yang benarC%. Persamaan lingkaran yang titik pusatnya P(-1# ? dan melalui titik 8 ('#

-0 adalah9..a. 'y' 1 H ?y 1; 7 2b. ' y'H %2 @y 7 2c. ' y'-%2 @y - 72d. ' y' %2 H @y -1; 7 2e. ' y' %2H @y 1; 7 2

'. 6ingkaran yang titik pusatnya P (-0# ? dan menyinggung garis : H @y

'1 7 2 mempunyai jari-jari r 7 9..satuan.

a. 1

10

b. '1

2

c. 1

d. ; 3

10

e. %20. Diketahui titik A(%# % dan B (1# ;. Persamaan lingkaran yang

diameternya AB adalah 9.a. ' y'H : H @y H '; 7 2b. ' y'

?. Diketahui garis g dengan persamaan ' y 7 '. Persamaan lingkaran

yang menyinggung garis g di titik (%# 2 dan berjari H jari 'R1 adalah 9.

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

32/36

a. ' y' %2 ?y 7 2 d. ' y' %2 ?y H

7 2b. ' y' H %2 -?y 7 2 e. ' y' H ? H %2y

7 2c. ' y' H %2 H ?y H 7 21. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' H ? : H ?1 7 2

melalui titik P (S%# ? adalah 9.a. 0 H ;y H 0% 7 2 d. ; H 0y H 0% 7 2b. 0 H ;y 0% 7 2 e. ; H 0y 0% 7 2c. ; 0y H 0% 7 2:. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' @ :y 7 2

melalui titik (2# 2 adalah 9.

a. ? H 0y 7 2 d. ' H 0y 7 2b. 0 H ?y 7 2 e. 0 ?y 7 2c. ? 0y 7 2

;. Persamaan garis singgung pada lingkaran ' y' 7 '? yang di tarik

dari titik Ppada lingkaran itu dengan ordinat H ? di daerah kuadran III

adalah 9.a. ' 'y %' 7 2 d. y R' H : 7 2b. R' 'y H %' 7 2 e. ' yR' %' 7 2c. y R' : 7 2

@. persamaan parabola dengan titik puncak ( '#-0 melalui titik (?#% dan

sumbu simetrinya sejajar sumbu adalah9a. y2 :y H @ H '1 7 2 d. y2 :y H ' %0

7 2b. y2 :y H @ '1 7 2 e. y2 :y H ' %0

7 2c. y2 - :y H ' %0 7 2

. Koordinat titik 4okus parabola (' H 0'7 %: (y H ' adalah9.

a. (12,1) d. (1 1

2,1)

b. (1

2,3) e. (1

1

2,4)

c. (11

2,3)

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

33/36

%2. Parabola diba"ah ini titik 4okusnya di (2#0. Persamaannya

adalah

,ambar parabolaa. (y 0'7 -@( 'b. (y H 0'7 @( H 'c. (y H 0'7 -@( H 'd. ( H ''7 -@ (y H 0e. ( '7 @ (y 0

%%. Persamaan parabola yang titik puncaknya (:#2 dan titik

4okusnya (2#2 adalah9a. y'7 -'? %?? d. y'7 0: - '%:b. y'7 '? H %?? e. y'7 ? - '?

c. y'

7 -0: '%:%'. )itik 4okus parabola y'-%' H ?y %: 7 2 adalah9

a. (1#%b. (?#'c. (-%#%d. (-'#'e. (%#'

%0. Bentuk umum persamaan irisan kerucut A' By /y' D

Ny 3 7 2 akan berbentuk persamaan parabola yang menghadap ke

kiri apabila9a. A 7 2 dan B 7 2b. A 7 B 7 2# / L 2 dan D L 2# atau / J 2 dan D J 2c. A 7 2# / L 2# D J 2d. B 7 / 7 2# A L 2 dan N L 2 atau A J 2 dan N J 2e. B 7 / 7 2# A L 2 dan N J 2

%?. Persamaan garis singgung pada parabola y'H @ H ?y %' 7 2 di

titik (0# : adalah9a. < H y 0 7 2b. ' H y 7 2

c. < H 'y 7 2d. < y H 7 2e. 0 y H %1 7 2

%1. Persamaan garis singgung pada parabola y' H @ H :y % 7 2

yang tegak lurus pada garis 'y 7 2 adalah9a. ? H 'y %2 7 2b. : H 0y ' 7 2

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

34/36

c. ' H y @ 7 2d. ' H y : 7 2e. @ H ?y 1 7 2

%:. Nlips dengan titik titik puncak (';#'# (-'0#'# ('# dan ('#-1

persamaannya adalah9

a.

2

x2

2

y2

7 %

b.

2

x2

2

y2

7 %

c.

2x2

2y2

7 %

d.

2

x2

2

y2

7 %

e.

2

x+2

2

y+2

7 %

%;. Persamaan garis singgung pada elips ' y'7 di titik ('#

1

35 adalah9

a. ' ' 5y 7 b. '

5y

'y 7 c. ' ? 5y 7 d. ' 0 5y 7 e. 0 5y 'y 7

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

35/36

%@. Persamaan irisan kerucut A'By /y' D Ny 3 7 2#

akan berupa persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu

atau y jika9

a. A 7 /# B 7 2b. A 7 B 7 2c. A L 2# / L 2# A L /# B 7 2d. A L 2# / J 2# B 7 2e. A T / # B T 2.

%. Persamaan hiperbola dengan pusat (2#2 asimtotnya 5 73

4

dan 5 7-3

4 . Panjang sumbu imajiner 7 dan 4okusnya pada

sumbu adalah9a.

8/10/2019 IRISAN_KERUCUT.docx

36/36

1. )entukan persamaan asimtot hiperbola 'H %: y' %@ :? y H %

7 2.