integral lipat 1 2 3

8/3/2019 Integral Lipat 1 2 3

1/8

INTEGRAL LIPAT

INTEGRAL LIPAT DUAPandang suatu fungsi z=f(x,y) yang kontinu pada daerah hingga R dibidang XOY.Misalkan

daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah daerah R,RRn masing-masing luasnya

A,2AnA.

Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah

_(k=1)^nf(X_k,Y_k)_k A=f(x_1,y_1)_1 A+f(x_2,y_2)_2 A+++f(x_n,y_n)_n A

Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jark terbesar antara 2 titiksembarang di dalam atau pada batas sub daerah,dengan n adalah diameter maksimum dari subdaerah.

Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n maka n 0

Maka integral lipat dua dari fungsi f(x,y)atas daerah R didfinisikan sebagai

f(x,y)dA=lim(n) _(k=1)^nf(xk,yk ) k A
http://fathialicious.blogspot.com/2010/01/integral-lipat.htmlhttp://1.bp.blogspot.com/_rffS5zODNHo/S0M2PpYhgAI/AAAAAAAAAGA/3zyhfEaauEg/s1600-h/untitled.JPGhttp://fathialicious.blogspot.com/2010/01/integral-lipat.html


2/8

Bila z = f(x,y) non negative atas daerah R,sebagai dalam gambar 6.2 diatas,integral lipat

dua(2)bisa diartikan sebagai volume .Sembarang suku f(Xk,Yk ) k A dari (1) memberikan volume dari kolom vertical yang alasnya k A dan tingginya adalah zk.yang diukur sepanjangvertical dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z=f{(x,y)}

Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertical yang alasnya Rk dibawahdan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk.Persamaan (2) adalah ukuran dari volume

dari sub-sub daerah.

Misalkan f(x,y)didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xy(gambar 9.1).Bagilah Rdalam n daerah bagian Rk yang masing-masing luasnya Ak,k=1,2,,n.Misalkan(_k,nk)adalah suatu titik pada Rk.Bentuklah jumlah_(k=1)^nf(_k n_k) AkPerhatikanlah

lim(n) _(k=1)^nf(_k n_k) Ak

Dimana limit ini diambil agar banyaknya daerah bagian nmembesar tanpa batas sehingga

dimensi linier terbesar dari setiap Rk mendekati nol.Jika limit ini ada,dinyatakan dengan

_Rf(x,y)dADan dinamakan integral lipat dua (integral ganda/double integral) dari f(x,y) pada daerah R.

Dapat dibuktikan bahwa limit ini ada jika f(x,y) kontinu (atau kontinu bagian demi bagian) padaR.

INTEGRAL BERULANG(ITERASI)Jika R suatu daerah sehingga sembarang garis sejajar sumbu y memotong bata R di paling

banyak dua titik (seperti terlihat pada gambar9.1),maka kita dapat menuliskan persamaan kurva
http://2.bp.blogspot.com/_rffS5zODNHo/S0M2y97Fq8I/AAAAAAAAAGI/W2I2zlnXbAY/s1600-h/untitled.JPG


3/8

ACB dan ADB yang membatasi R masing-masing ebagai y=f1(x) dan y= f2(x) dimana f1(x) danf2(x) fungsi bernilai tunggal dan kontinu pada axb.Dalam kasus ini dapat dihitung integrallipat dua (3)dengan memilih daerah Rk.sebagai persegi panjang yang dibentuk oleh jaring berupagaris-garis sejajar sumbu x da y, dan Ak yang menyatakan luas daerah ini.Maka (3) dapatditulis sebagai

_Rf(x,y)dx dy=_(x=a)^b_(y=f(x))^(f_2 (x))f(x,y)dy dx=_(x=a)^b{_(y=f(x))^(f_2 (x))f(x,y)dy }dxDimana integral dalam kurung dihitung pertama (dengan menganggap x tetap) dan akhirnyaintegral terhadap x dari a ke b.Hasil(4) ini menunjukkan bagaimana suatu integral lipat dua dapat

dihitung dengan meyatakannya sebagai dua integral tunggal,dan dinamakan integral berulang.

Jika R suatu daerah sehingga suatu sejajar sumbu x memotong batas R pada paling banyak duatitik (seperti terlihat pada gambar9.1),maka persamaan kurve CAD dan CBD dapat ditulis

masing-masing sebagai x=g1(y) dan x=g2(y) dan dengan cara serupa ita memperoleh

_Rf(x,y)dx dy= _(y=c)^d_(x=g_1 (y))^(g_(2(y)))f(x,y)dx dy

Jika integral lipat dua ini ada,maka (4) dan (5) secara umum akan memberikan hasil yangsama.Dalam menuliskan suatu integral lipat dua,kita harus memilih salah satu dari bentuk (4)dan (5) dan bilamana mungkin keduanya,dan dinamakan bentuk satu dapat diubah urutan

pengintegralannya terhadap bentuk lainnya.Dalam kasus R tidak terbentuk jenis yang ditunjukkan pada gambar di atas,r secara umum dapat

diagi menjadi daerah-daerah R1,R2, yang berbentuk jenis ini.Kemudian integral lipat dua padadaerah r dapat ditentukan dengan mengambil jumlah integral lipat duanya pada daerah R1,R2

PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA

Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y) dan bidang xyRUMUS

V=_Rf(x,y)dx dyMenghitung luas daerah di bidang xy dimana f(x,y)=1

RUMUS

L=_Rdx dyMenghitung massaF dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas)

RUMUS

M=_Rf(x,y)dx dyMenghitung pusat massa

F=massa jenisM=massa dari pelat tipis dan

(x,y)=pusat massa di R

Maka:


4/8

M x= _Rx f(x,y) dx dyMy=_Ry f(x,y) dx dyMenghitung Momn Inersia

Momen inersia dari plat tipis terhadap sb.x dan sb.y diberikan dengan

Ix=_Ry^2 f(x,y)dx dy ; Iy=_Rx^2 f(x,y)dx dy ;

INTEGRAL LIPAT TIGABentuknya

v f(x,y) f(x,y,z)dx dy dz

F(x,y,k) didefinisikan pada ruang tertutup V dibagi atas paralelepipedium tegak lurus oleh

bidang-bidanng sejajar bidang koordinat.Paralelepipedium dalam V kita beri nomor 1 samai n.Paralelepipedium ke I mempunyai volume i VIntegral lipat tiga didapat dari penjumlahan limit dari jumlah

_vf(x,y,z)dx dy dz=lim(n) _(i=1)^Mf(xi*,yi*,zi*) i V

Jika n ,sedang diagonal maksimum dari i V 0 .Titik(xi*,yi*,zi*) Dipilih sembarang dalamparalelepipedium ke i.Adanya suatu limit yang unik dapat ditunjukkan,jika f(x,y,z) kontinu di V

Teori sederhana berlaku untuk ruang tertutup V yang dilukiskan sebagaiX1 X X2 ,y1(x) < y < y2(x) Z1(x,y) z z2(x,y)

Untuk ruang tertutup ini,Integral lipat tiga dapat disingkat menjadi integral berulang

_v(x,y,z)dx dy dz= _(x_1)^(x_2)_(y_1 (x))^(y_2 (x))_(z_1 (x))^(z_2(x,y))f(x,y,z)dz dy dx

CONTOH SOAL

INTEGRAL LIPAT DUA

Hitung:

_RdA , dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh:

Y=2x


5/8

Y=x2 dan x=1

Titik potong (0,0) dan (2,4)

_RdA =_(x=0)_(Y=x2)^2xdy dx

=_0^1(2x-x2)dx=x2- x3 0|1=2/3

Atau_RdA = _R1dA + _R2dA= _0^1_(1/2 y)^(y)dx dy+ _1^12_(1/2 y)^1dx dy

= 5/12 + 1/4 = 2/3

_(-1)^2_(2x2-2)^(x2+x)x dy dx= _(-1)^2x y ](x^2+x)(2x^2-2) dx= _(-1)^2{x3 + x2 -2x3 +2x } dx= - 1/4 x4 + 1/3 x3 + x2 ](2@-1)

= 9/4

_1^2_y^3y(x-y) dx dy= _1^2[1/2 x2+xy ](3y@y) dy=_1^2[1/2(3y)2 + 3y2 y2y2] dy=_1^26 y2 dy =2y3 ] 21=14

_0^1_(x^2)^x dy dx= _0^1[y](x@x^2 ) dx=_0^1(x-x2) dx=[1/2 x21/3 x3](1@0)=1/21/3 = 1/6

_0^_0^cos sin d d= _0^1/2 ^2 sin I cos 0 d= _0^( cos2 sin ) d= - 1/2 _0^( cos 2 d (cos)= - 1/6 cos3 ] 0= 1/3


6/8

CONTOH SOAL PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabolaY2 = 4-x

Y2 = 4-4xCari titik potong kedua parabola:

JAWAB:4x = 4 - 4x3x =0X = 0

Y =2Titik Potong : (0,2) dan (0,-2)

L = 2_0^2_(1-y^2/4)^(4-y^2)dx dy

=_0^2x_(1

-y/4^2)^(4-y^2)dy

= 2_0^2(4-y^2-1+y^2/4)dy= 2(3y -1/4 y^3 |(2@0)= 2(6-2) = 8

Hitung volume dari ruang yang dibatasi oleh silinder 4x2+y2=4,idang-bidang z=0 dan z=2y!!!

V = _Rz dA= _(y=0)^2_(-(4-y^2 )/2)^((4-y^2 )/2)2y dx dy=

CONTOH SOAL INTEGRAL LIPAT TIGA

HITUNG:

_0^(/2)_0^4_0^((16-Z^2 ))(16-^2 )^(1/2) z d dz d

Jawab:

-1/2 _0^(/2)_0^4_0^((16-z^2 ))2/3 (16-^2 )^(1/2) d(16-^(2 ) )z dz d-1/2 _0^(/2)_0^42/3 (16-^2 )^(3/2) |((16-z^2 )@0) -1/3 _0^(/2)_0^4(z^3- 4^3 )z dz d-1/3 _0^(/2)_0^4(z^4-64z)dz d-1/3 _0^(/2)(1/(5 ) z^5 -32z^2)|(4@0)d-1/3 _0^(/2)(4^5/5-4^5/5)d

4^5/3 _0^(/2)(1/2-

1/5)d

4^5/10 |(/2@0) = 4^5/10 . /2 = 256/5

Jika V digambarkan oleh 0 y x2 dan 0 z x+y dan f=2x-y-z_vf dx dy dz= _0^1_0^(x^2)_0^(x+y)(2x-y-z)dz dy dx

= _0^1_0^(x^2)(2xz-yz-1/2 z^2)|(x+y@0)dy dx


7/8

= 3/2 _0^1_0^(x^2)(x^2-y^2 )dy dx= 3/2 _0^1(x^2 y-1/3 y^3)|(x^2@0)dx

= 3/2 [1/5 x^5-1/21 x^7 ] (1@0)= 8/35

Hitung _vf(x)dV dimana

F(x) = x2 + y2 + z2

V dibatasi oleh x + y + z =5

X=0 , y=0 , z=0

Jawab:

_0^5_0^(5-x)_0^(5-x-y)(x^2+y^2+z^2 ) dz dy dx_0^5_0^5(x^2 z+y^2 z+1/3 z^3)|(5-x-y@0)dy dx

_0^5_0^(5-x){(x^2+y^2 )z+1/3 z^3 } |(5-x-y@0) dy dx_0^5_0^(5-x){(x^2+y^2 )(5-x-y)+((5-x-y)^3)/3}dy dx_0^5[x^2 (5-x)y-(x^2 y^2)/2+((5-x))/3 y^3- y^4/4- ((5-x-y)^4)/12](5-x@0)dx_0^5[x^2 (5-x)^2- (x^2 (5-x)^2)/2+((5-x)^4)/3-((5-x)^4)/4+((5-x)^4)/12]dx_0^5{(x^2 (5-x)^2)/2+((5-x)^4)/6}dx(25x^3)/6-(5x^4)/4+x^5/10-((5- x)^5)/30 |(5@0)5^5/6-5^5/4+5^5/10+0-(0-0+0.5^5/30)

5^5 (1/6-1/4+1/10+1/30)1/20 5^5 =625/4

Hitung integra lipat 3 dari F(,,z)=^2 atas daerah yyang dibatasi oleh parabola ^2=9-z dan

bidang z=0.JAWAB

_V^2 dV= _0^2_0^3_0^(9-p^2)^2 dz d d=_0^2_0^3^3 (9-^2 )d d=_0^2(9/4 ^4 -1/6 ^6 )] (3@0)d=_0^2243/4 d=243/2 Hitung volume dari daerah yang terletak dalam silinder =2cos di atas bidang z=0 dan diatasdibatasi oleh z=^2

JAWAB

V=2_0^(/2)_0^(2 COS)_0^(^2)dz d d

=2_0^(/2)_0^2cos^3 d d=1/2 _0^(/2)^4 |(2 cos@0)d =8 _0^(/2)cos^4 d= 3/2


8/8

KESIMPULAN

INTEGRAL LIPAT DUA biasanya digunakan untuk:Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y )dan bidang xy

Menghitung luas daerah dibidang xy dimana f(x,y)=1

Menghitung massaMenghitung pusat massaMenghitung momen Inersia

INTEGRAL LIPAT TIGA biasanya digunakan untuk:

Menghitung volume daerah dalam silinderMentukan titik koordinat

integral lipat 1 2 3

Documents