integral lipat tiga.pdfx
DESCRIPTION
aplikasi integral lipat tigaTRANSCRIPT
MODUL VINTEGRAL LIPAT TIGA
Definisi Integral Lipat Tiga
Andaikan f adalah fungsi dari x, y, dan z yang terdefinisikan pada balok B, dalam ruang dimensi tiga, dimana sisi-sisinya sejajar dengan bidang-bidang koordinat.
Pada balok B buatlah partisi berhingga banyak P dengan membagi menjadi n bagian, yakni B1, B2, …, Bn dimana volumenya ΔVk = ΔxkΔykΔzk, . fungsi f dikatakan terintegralkan pada B didefinisikan oleh,
n
kkkkk
PB
VzyxfdVzyxf10||
),,(lim ),,(
jika limitnya ada
Penghitungan Integral Lipat : B Balok Persegi PanjangBilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang, yang dibatasi oleh :B={(x,y,z):a≤x≤b,c≤y≤ d,e≤z≤ h}
Maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B dapat digunakan pendekatan,
b
a
d
c
h
eB
dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(
d
c
b
a
h
eB
dzdxdyzyxfdVzyxf ),,(),,(
h
e
b
a
d
cB
dydxdzzyxfdVzyxf ),,(),,(
ContohdVzxy
B 32Hitunglah,
Bilamana bilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh, B={(x,y,z):1≤x≤2,2≤y≤3,0≤z≤2}.
Bilamana diambil, dV = dz dy dx maka dihasilkan,
2
1
3
2
2
03232 dzdydxzxydVzxy
B
Bilamana diambil, dV = dz dx dy maka dihasilkan,
Bilamana diambil, dV = dx dy dz maka dihasilkan,
3
2
2
1
2
03232 dzdxdyzxydVzxy
B
2
0
3
2
2
13232 dxdydzzxydVzxy
B
Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (1)Andaikan f(x,y,z) terdefinisikan pada S, dan f bernilai nol bilamana diluar S. Andaikan pula S adalah himpunan z sederhana, dan Sxy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy,
Bilamana f kontinu dan terintegralkan pada benda pejal S, maka diperoleh :
dzdAzyxfdVzyxf
xyS
z
zS
),,( ),,( 2
1
dimana Sxy adalah percerminan permukaan benda pejal S pada bidang xy.
Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (2)Selanjutnya, jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, yang dibatasi oleh,Sxy={(x,y): y1≤y≤y2, a≤x≤ b}
y1
Maka integral lipat menjadi,
dzdydxzyxf
dzdAzyxfdVzyxf
b
a
y
y
z
z
S
z
zS xy
),,(
),,( ),,(
2
1
2
1
2
1
Pendekatan lain jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk x sederhana, yang dibatasi oleh,Sxy={(x,y): c≤y≤d, x1≤x≤ x2},
dzdxdyzyxf
dzdAzyxfdVzyxf
d
c
x
x
z
z
S
z
zS xy
),,(
),,( ),,(
2
1
2
1
2
1
ContohHitunglah, dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh
silinder paraboloida, x + z2 = 4,bidang, x+y=4, y=x,z=0,dan y = 0.
dVxzS
Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ (4−x)1/2, dV=dzdA, maka
xyS
x
S
dzdAxzdVxz 4
0
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy
Dari gambar dibawah, daerah R berbentuk x sederhana dibatasi oleh, Sxy ={(x,y) : y≤x≤4–y, 0 ≤ y ≤ 2}, dan dA = dx dy.
320
1232
12)4(
3)4(2
21
3
23
)4()4(221
312
21
)4(21
21
2
0
4343
2
0
32
322
0
432
2
0
4 22
0
4
0
4 2
2
0
4 4
0
4
0
yyyy
dyyyyydyxx
dxdyxxdxdyxz
dzdxdyxz
dzdAxzdVxz
y
y
y
y
xy
y
y
y
x
S
x
S xy
ContohHitunglah, dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh
Bidang, y+z=4, silinder paraboloida, y=x2, y=2-x2,bidang,z=0,x= 0.
dVxzS
Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ 4-y, dV=dzdA,maka
dAdzxzdVxz
xyS
y
S
4
0
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy
Dari gambar , daerah R berbentuk y sederhana yang dibatasi oleh, Sxy={(x,y) : x2≤y≤2 – x2,0 ≤ x ≤ 1}, dan dA = dx dy. Dengan demikian diperoleh,
48110)2433(
481
8)2(
8)4(
61 ])2()4([
61
)4(31
21)4(
21
21
4444
1
0
42421
03232
1
0
231
0
2 2
1
0
2 y-4
0
21
0
2 4
0
4
0
2
2
2
2
2
2
2
2
xxdxxxxx
dxyxdydxyx
dydxxzdzdydxxz
dAdzxzdVxz
x
x
x
x
x
x
x
x
y
S
y
S xy
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT TIGA
1). Volume Benda Pejal S
d
c
x
x
z
z
b
a
y
y
z
z
S2
1
2
1
2
1
2
1
dzdxdy
dzdydxdVV
Misalkan, (x,y,z) menyatakan kerapatan benda pejal S, maka
(a). Massa benda :
2). Massa dan Pusat Massa
dV )z,y,x(m S
b). Pusat Massa
mMz,
mMy,
mM
x xzxzyz
dimana Myz , Mxz , Mxy : adalah moment terhadap ketiga bidang yang didefinisikan oleh :
dV )z,y,x(zM
dV z)y,(x,yM
dV )z,y,x(xM
Sxy
Sxz
Syz
Contoh : volumeHitunglah volume benda pejal dibawah permukaan paraboloida, z=4–y2, dan dibatasi paraboloida x = y2, bidang x + y = 2, z = 0, dan x = 0.
Dengan integral lipat tiga,
S
dVV
Dari sketsa pada, permukaan benda pejal S berbentuk z sederhana, yakni : 0 ≤ z ≤ 4 – y2, dan, dV = dz dA. Sehingga,
xyS
y
S
dzdAdVV24
0
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy
y=x
Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk y sederhana, dimana :Sxy = {(x,y) : x≤y≤2– x,0≤x≤1}, dan dA= dy dx. Jadi volume benda pejal V diberikan oleh,
1255
1216
121
6138
)2(121
6138 )2(
31
3138
31-4y )4(
1
0
421
03
1
0
231
0
2 2
1
0
2 40
1
0
2 4
0
4
0
22
2
xxxdxxx
dxydydxy
dydxzdzdydx
dzdAdVV
x
x
x
x
x
xyx
x
y
S
y
S xy
Contoh : MassaSuatu benda pejal S di oktan pertama dibawah permukaan silinder lingkaran tegak, x2 + z2 = 16, dan dibatasi bidang, x+y=4, y = x, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massa S, bilamana kerapatannya (x,y,z) = kz.
Andaikan m menyatakan massa benda pejal S, dan karena kerapatannya δ(x,y,z) = kz,sehingga massa benda pejal S diberikan oleh,
SS
zdVkdVzyxm ),,(
y
Karena permukaan z berbentuk z sederhana, yakni 0 < z < (16–x2)1/2 maka
dzdAzkzdVkm
xyS
x
S
216
0
Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk x sederhana, dimana :Sxy = {(x,y) : y≤x≤4–y,0≤y≤2}, dan dA= dx dy. Jadi massa benda pejal S diberikan oleh,
kyyyyk
dyyyyk
dyxxkdxdyxk
dxdyzkdzdxdyzk
dzdAzkzdVkm
y
y
y
y
y
y
xy
y
x
S
x
S xy
368
121)4(
1211664
2
31)4(
313264
2
3116
2 )16(
2
21
2
0
442
2
033
42
032
0
4 2
2
0
4 16
0
22
0
4 16
0
16
0
22
2
Soal-soal Latihan1. Suatu benda pejal yang dibatasi kurva-kurva, x + zb = a, x + y =
a,x=(a – 1)y, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massanya, jika kerapatannya (x,y,z) =bzb-1
2. Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh bidang-bidang, y + z = 4, x = y, y = z, x = 0, dan z = 0. Bilamana kerapatannya adalah xz.
3. Hitung volume benda pejal S dibatasi silinder parabolik, 2z = y2, dan bidang-bidang, y + z = 4, x + y = 4, x = 0, dan z = 0.
4. Hitung volume benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y = x2, dan bidang-bidang, x = z, x + z = 4, y = 0 dan z = 0.
5. Suatu benda pejal dibatasi oleh permukaan-permukaan, y+z=a+b, z=a, y = x2, y = 1, dan x = 0. Buatlah sketsa benda tersebut, dan hitunglah massanya bilamana kerapatannya adalah xza.
6. Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y= x2, x=z2 dan bidang-bidang, x = 1, y =0 dan z = 0, bilamana kerapatannya adalah kxyz
Transformasi Integral Lipat Tiga Pada kasus-kasus khusus sering dijumpai masalah integral
lipat tiga dimana benda mempunyai bentuk lengkungan teratur Bentuk benda yang mempunyai lengkungan teratur adalah
silinder, bola, kerucut, elipsoida
Silinder Bola Kerucut
Misalkan (u,v,w) adalah titik pada bidang lengkungan u, v, w dan titik (x,y,z) titik pada koordinat kartesius di ruang dimensi tiga. Hubungan antara (x,y,z) dan (u,v,w) diberikan oleh transformasi :
x = x(u,v,w) ; y = y(u,v,w) ; z = z(u.v.w)Akibatnya :(1). Fungsi f(x,y,z) akan ditransformasikan menjadai F(u,v,w) (2). Jika S terdefinisikan pada (x,y,z), maka S’ terdefinisikan pada (u,v,w)(2). Jika f terintegralkan pada S, maka F(u,v,w) terintegralkan di S’Jadi :
dwdvdu )w,v,u(J)w,v,u(Fdzdydx )z,y,x(f'SS
Dimana Jacobian, J(u,v,w) didefinisikan oleh :
wz
vz
uz
wy
vy
uy
wx
vx
ux
)w,v,u()z,y,x()w,v,u(J
Transformasi Koordinat SilinderHubungan antara titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r,θ,z) pada sistem koordinat silinder diberikan transformasi,x = r cos θ, y = r sin θ, z = z,
x2 + y2 = r2 Sebagai hasilnya integral lipat tiga pada sistem koordinat silinder diberikan oleh,
2
1
2
1
2
1 ),,(
),,( ),sin,cos(
),,( ),,(
r
r
z
z
S
SS
dzdrdrrzF
dzdrdrzJzrrf
dzdydxzyxfdVzyxf
xy
tan
Hitunglah volume dan massa sebuah benda pejal dibawah permukaan kerucut, z2 = x2+y2, di dalam silinder lingkaran tegak, x2 +y2 = 2y, dan diatas bidang xy. Bilamana diketahui kerapatannya adalah δ(x,y,z) = (x2 + y2)1/2 JawabAndaikan V dan m masing-masing menyatakan volume dan masa benda pejal, maka
Contoh
dzdydxyxm
dzdydxV
S
S
22
Dalam koordinat silinder,(1). Kerucut, z2 = x2 + y2 ditransformasikan menjadi, z = r(2). Silinder, x2 + y2 = 2y ditransformasikan menjadi, r = 2 sin θ, dengan 0 ≤ θ ≤ π
Dengan demikian batasan integral berulangnya dalam sistem koordinat silinder adalah S* = {(r,θ,z) : 0 ≤ z ≤ r, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ, dan 0 ≤ θ ≤ π}. Jadi,
932cos
32sin
31
38
sin38
3
0
2
03
0
sin2
0
3
0
2sin
02
0
2sin
0 0
0
2sin
0
r
0
ddr
drdr
drdrz
rdzdrd
dzdydxV
r
S
23
83cossin
83sin
414
sin441
0
3
04
0
sin2
0
4
0
2sin
03
0
2sin
0
0
2
0
2sin
0
r
02
22
ddr
drdr
drdzr
dzdrdr
dzdydxyxm
r
S
Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x2+y2+z2 = 8, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy, δ(x,y,z) = kz.
JawabMasa benda pejal m diberikan oleh.
Contoh
x2 + y2 + z2 = 8,
x2 + y2= z2
S
dzdydxkzm
Dari sketsa, batasan integrasi untuk z adalah,
x2+y2+ (x2+y2) = 8 x2+y2 = 4
Sedangkan daerah R adalah perpotongan bola dan kerucut yakni :
)(8 2222 yxzyx
Dalam koordinat silinder :⑴ Bola, x2+y2+ z2 = 8 ditransformasikan
menjadi, r2+ z2 = 8⑵ Kerucut, x2 + y2 = z2,
ditransformasikan menjadi, z=r⑶ Lingkaran, x2 + y2 = 4,
ditransformasikan menjadi r=2 dan 02
Dengan demikian batasan integrasinya adalah :
⑴ r z 8 – r2 ⑵ 0 r 2⑶ 0 2Jadi,
2
0
2
0
8
2dzdrdzrk
dzdydxkzm
r
r
S
R
x2 + y2 = 4,
kkdk
drrk
drdrrk
drdrzkmr
r
8482
214
2
)28(2
21
20
2
0
2
0
2
042
2
0
2
03
2
0
2
0
82
2
Transformasi Koordinat BolaHubungan antara setiap titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r, , ) pada sistem koordinat bola diberikan oleh transformasi, x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos , x2 + y2 + z2 = r2
dan, hasilnya adalah
f(x,y,z) = f(rcossin ,rsinsin,rcos) = F(r,, )dan
x
y
r
2
1
2
1
2
1ddrd sinr ),,r(F
ddrd ),,r(J),,r(Fdzdydx )z,y,x(f
r
r2
'SS
0 2
0
0 2
0 P(x,y,z)P(r,,)
Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x2+y2+z2 = 4, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kadrat jarak terhadap titik pusat, δ(x,y,z) = k(x2+y2+z2 ).
JawabMasa benda pejal m diberikan oleh.
Contoh
S
dzdydxxkm )zy( 222
x2 + y2 + z2 = 4,
x2 + y2= z2
Dalam sistem koordinat bola, batasan benda pejal tersebut adalah,(1) Bola, r=2(2) Kerucut, =/4Dengan demikian,
k
ddrdrrk
dzdydxxkmS
5
2232
)sin)((
)zy(
4/
0
2
0
2
022
222
Hitunglah masa dan moment inersia terhadap titik pusat benda pejal S didalam bola, x2 + y2 + z2 = 2z, dan diatas kerucut, 3z2= x2 + y2, bilamana kerapatan di setiap titiknya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat.
Contoh
x2 + y2 + z2 = 2z,
x2 + y2 = 3z2
Dengan integral lipat tiga massa dan moment inersia terhadap terhadap sumbu z, dengan kerapatan
adalah
dzdydxzyxzyxkI
dzdydxzyxkm
S
S
2222220
222
)(
222),,( zyxkzyx
Dalam koordinat bola batasan benda pejal B diberikan oleh,
⑴ Bola x2 + y2 + z2 = 2z, menjadi r=2cos
⑵ Kerucut, x2 + y2 = 3z2, menjadi, =/3
(3) Kerapatan,
menjadi, F= kr,
sehingga batasan integral berulangnya adalah :
⑶ 0r2cos; ⑷ 02; ⑸ 0/3Dengan demikian,
222),,( zyxkzyx k
ddrdrk
ddrdrrk
dzdydxzyxkmS
2031
sin
)sin(
3/
0
2
0
cos2
03
3/
0
2
0
cos2
02
222
k
ddrdrk
ddrdrrrk
dzdydxzyxzyxkIS
O
42127
sin
)sin)()((
)(
3/
0
2
0
cos2
05
3/
0
2
0
cos2
022
222222
Teknik Menghitung Integral Lipat Tiga Koordinat Silinder atau Koordinat Bola
Rumus integral lipat tiganya (x,y,z) Buat sketsa benda pejal, dan buat sketsa
daerah R yang merupakan pencerminan permukaan S pada bidang xy
Tentukan batasan-batasan benda pejal dalam koordinat silinder atau bola
Hitung rumus integral lipat tiga dalam koordinat silinder (z,r,) atau bola (r,,)
Hitung integral berulangnya
Soal-soal Latihan1) Hitung massa benda pejal, terletak didalam silinder lingkaran tegak,
x2 + y2 = 4x, dan dibawah kerucut, x2 + y2 = z2, dan diatas, z = 0. Bila kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy,
2) Hitung massa benda pejal terletak dalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 4y, dan dibawah bola, x2 + y2 + z2 = 16 dan diatas bidang, z = 0, kerapatan sebanding dng kuadrat jarak terhadap bidang xy
3) Sebuah silinder lingkaran tegak, tingginya (a+2), alasnya berbentuk lingkaran dengan pusat (0,b,0) jari-jarinya b. Silinder lingkaran tegak sisi-sisinya dipotong oleh bidang y=x dan y=-x. Kerapatan sebanding dengan jarak terhadap bidang alas silinder. Hitunglah massa benda tersebut.
4) Benda pejal terletak didalam bola, x2+ y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut lingkaran, 3(x2 + y2) = z2. Hitunglah volume bendanya.
5) Carilah titik pusat massa benda pejal yang terletak didalam bola x2+y2+z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = z2, bilamana kerapatannya berbanding terbalik dengan jarak terhadap titik pusat.
Soal-soal Latihan Lanjutan
6) Hitunglah moment inersia terhadap sumbu z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = 3z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat.
7) Sebuah bola berlubang, jari-jari dalam (a+2) dan jari-jari luar (a+b+1). Kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Hitunglah moment tehadap titik pusat.
8) Hitunglah moment inersia terhadap titik pusat z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, 3(x2 + y2) = z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat.