1

Integral Lipat-Tiga

2

Pertama – tama f didefinisikan pada kotak segiempat

Langkah pertama adalah membagi B menjadi kotak – kotak bagian.

Kita lakukan dengan membagi selang [a,b] menjadi l selang-bagian berlebar sama , membagi [c,d] menjadi m selang-bagian berlebar sama dan membagi [r,s] mejadi n selang-bagian berlebar sama

, , , ,B x y z a x b c y d r z s

1,i ix x x

yz

3

Bidang – bidang yang melalui titik ujung selangbagian – selangbagian ini yang sejajar terhadap bidang – bidang koordinat membagi kotak B menjadi lmn kotak-bagian

yang diperlihatkan dalam Gambar 1.Masing – masing kotak bagian mempunyai

volume

1 1 1, , ,ijk i i j j k kB x x y y z z

V x y z

Gambar 1.

4

Kemudian, kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga

dengan titik sampel terletak pada

1 1 1

* , * , *l m n

ijk ijk ijki j k

f x y z V

* , * , *ijk ijk ijkx y z

.ijkB

2

5

Berdasarkan analogi dengan definisi integral lipat-dua, kita definisikan integral lipat-tiga sebagai limit dari jumlah Riemann rangkap-tiga

Definisi Integral lipat-tiga dari f pada kotak B adalah

jika limit ini ada.

, , 1 1 1

, , lim * , * , *l m n

ijk ijk ijkl m n i j kB

f x y z dV f x y z V

3

6

Integral lipat-tiga selalu ada jika f kontinu.Kita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang

titik di dalam kotak-bagian, tetapi jika kita memilih titik sampel ini sebagai titik kita peroleh ekspresi yang lebih sederhana untuk integral lipat-tiga

, ,i j kx y z

, , 1 1 1

, , lim , ,l m n

i j kl m n i j kB

f x y z dV f x y z V

7

Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integral lipat-tiga adalah menyatakannya sebagai integral berulang

Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga. Jika f kontinuPada kotak B=[a,b]x[c,d]x[r,s], maka

, , , ,s d b

r c aB

f x y z dV f x y z dydxdz

4

8

Contoh 1:Hitunglah integral lipat-tiga dengan B

adalah kotak segiempat yang diberikan oleh

Penyelesaian :Kita dapat menggunakan salah satu dari enam

urutan pengintegralan yang mungkin.

2

Bxyz dV

, , 0 1, 1 2,0 3B x y z x y z

9

Jika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap x, kemudian y, dan kemudian z, kita peroleh

12 23 2 1 3 22 2

0 1 0 0 10

22 2 23 2 3

0 1 01

32 33

00

2

2 4

3 27 4 4 4

x

B x

y

y

x yzxyz dV xyz dxdydz dydz

yz y zdydz dz

z zdz

10

Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas E dalam ruang dimensi tiga (benda pejal) dengan prosedur yang hampir sama seperti yang kita gunakan untuk integral lipat-dua.

Kita lingkupi E dalam sebuah kotak B yang berjenis sama seperti pada Persamaan 1.

Kemudian kita definisikan fungsi F agar fungsi ini sesuai dengan f pada E tetapi bernilai 0 untuk titik – titik pada B yang di luar E.

11

Menurut definisi,

Integral ini ada jika f kontinu dan perbatasan E adalah mulus.

Integral lipat-tiga mempunyai sifat yang pada dasarnya sama seperti integral lipat-dua.

Kita batasi pada fungsi kontinu f dan pada jenis daerah sederhana yang tertentu.

, , , ,E B

f x y z dV F x y z dV

12

Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1, jika daerah ini terletak di antara grafik dua fungsi kontinu x dan y, dengan kata lain

dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xy seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.

1 2, , , , , ,E x y z x y D u x y z u x y 5

13

Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah permukaan dengan persamaan sedangkan perbatasan bawah adalah permukaan

2 , ,z u x y 1 ,z u x y

Gambar 2 Gambar 3

14

Jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh Persamaan 5, maka

Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidang-xy adalah daerah bidang jenis I (seperti dalam Gambar 3), maka

dan Persamaan 6 menjadi

6

2

1

,

,, , , ,

u x y

u x yE D

f x y z dV f x y z dz dA

1 2 1 2, , , , , ,E x y z a x b g x y g x u x y z u x y

2 2

1 1

,

,, , , ,

b g x u x y

a g x u x yE

f x y z dV f x y z dzdydx 7

15

Sebaliknya, jika D adalah daerah bidang jenis II (seperti dalam gambar 4), maka

dan Persamaan 6 menjadi

2 2

1 1

,

,, , , ,

d h x u x y

c h x u x yE

f x y z dV f x y z dzdxdy 8

1 2 1 2, , , , , ,E x y z c y d h y x h y u x y z u x y

Gambar 4

16

Contoh 2:Hitunglah dengan E adalah bidang-

empat (tetrahedron) pejal yang dibatasi oleh empat bidang

Penyelesaian :Proyeksi E adalah daerah segitiga yang

diperlihatkan dalam Gambar 5, dan kita mempunyai

EzdV

0, 0, 0, dan 1x y z x y z

, , 0 1,0 1 ,0 1E x y z x y x z x y

17

Pendeskripsian E sebagai daerah jenis 1, sehingga kita dapat menghitung integral sebagai berikut

121 1 1 1 1

0 0 0 0 00

131 1 121 1

2 20 0 00

141 31

6 00

2

1 1

3

11 1 16 4 24

z x yx x y x

E z

y xx

y

zzdV zdzdydx dydx

x yx y dydx dx

xx dx

1y x

0y 0 1 x

1y

DGambar 5

18

Daerah pejal E adalah jenis 2 jika berbentuk

dengan D adalah proyeksi E pada bidang-yz. Permukaan belakang adalah dan

permukaan depan adalah dan kita mempunyai

1 2, , , , , ,E x y z y z D u y z x u y z

1 ,x u y z 2 ,u y z

2

1

,

,, , , ,

u y z

u y zE D

f x y z dV f x y z dx dA 9

19

Daerah jenis 3 berbentuk

dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xz, adalah permukaan kiri, danadalah permukaan kanan (Lihat Gambar 6).Untuk daerah jenis ini kita mempunyai

1 2, , , , , ,E x y z x z D u x z y u x z

1 ,y u x z 2 ,y u x z

2

1

,

,, , , ,

u x z

u x zE D

f x y z dV f x y z dy dA 10

Gambar 6

20

Dalam masing – masing Persamaan 9 dan 10 boleh jadi terdapat dua ekspresi yang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah D daerah berjenis I atau jenis II (dan berpadanan terhadap Persamaan 7 dan 8)

21

Contoh 3:Hitung dengan E adalah daerah

yang dibatasi oleh paraboloid dan bidang

Penyelesaian :Benda pejal E diperlihatkan dalam Gambar 7.

Jika kita pandang benda sebagai daerah jenis I, maka kita perlu meninjau proyeksinya ke bidang-xy, yang berupa daerah parabola dalam Gambar 8. (Jejak dari di bidang

Adalah parabola

2 2

E

x z dV2 2y x z

4y

1D

2 2y x z 0z 2y x

22

Gambar 7 Gambar 8

23

Dari kita dapatkan sehingga permukaan perbatasan bawah dari E adalah dan permukaan atasnya Karena itu, penjabaran E sebagai daerah jenis I adalah

sehingga kita peroleh

2 2y x z 2 ,z y x

2z y x 2z y x

2 2 2, , 2 2, 4,E x y z x x y y x z y x

2

2 2

2 42 2 2 2

2

y x

x y xE

x z dV x z dzdydx

24

Walaupun ekspresi tersebut benar, namum sangat sukar untuk dihitung.

Sebagai gantinya kita akan meninjau E sebagai daerah jenis 3.

Dengan demikian proyeksinya ke dalam bidang-xz berupa cakram yang diperlihatkan dalam Gambar 9.

3D2 2 4x z

Gambar 9

25

Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid dan perbatasan kanan adalah bidang sehingga dengan mengambil dalam

Persamaan 10, kita mempunyai

2 2y x z

4,y 2 2

1 2, dan , 4u x z x z u x z

2 2

3

3

42 2 2 2

2 2 2 2 4

x zE D

D

x z dV x z dy dA

x z x z dA

26

Atau dapat kita tuliskan dalam koordinat polar di bidang-xz

3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 4

0 0 0 0

23 5

0

4

4 4

4 128 23 5 15

E D

x z dV x z x z dA

r rrdrd d r r dr

r r

27

Ingat bahwa jika f(x)≥0 maka integral tunggal menyatakan luas di bawah kurvamulai dari a ke b, dan jika f(x,y)≥0 maka integral

lipat-dua menyatakan volume di bawah permukaan dan di atas D.

b

af x dx y f x

,D

f x y dA ,z f x y

Penerapan Integral Lipat-Tiga

28

Integral lipat-tiga dapat ditafsirkan dalam cara yang berbeda dalam situasi fisis yang berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari x, y, z, dan f(x,y,z).

Pada kasus khusus dimana untuk semua titik dalam E. Maka integral lipat-tiga menyatakan volume E :

, , 1f x y z

E

V E dV11

, ,E

f x y z dV

29

Contoh 4:Gunakan integral lipat-tiga untuk mencari

volume bidang-empat T yang dibatasi oleh bidang – bidang

Penyelesaian :Bidang-empat T dan proyeksinya D pada bidang-

xy diperlihatkan dalam Gambar 10 dan 11. perbatasan bawah T adalah bidang dan perbatasan atas bidang yaitu

2 2, 2 , 0, dan 0.x y z x y x z

0z 2 2x y z

2 2z x y

30

Karena itu, kita mempunyai

2

2

2

2

1 1 2 2

0 0

1 1

0

1 2 23

x

x

x

x

x y

T

V T dV dzdydx

x y dydx

Gambar 10 Gambar 11

31

Semua penerapan integral lipat-dua dapat langsung diperluas ke integral lipat-tiga.

Misalnya, jika fungsi kerapatan dari benda pejal yang menempati daerah E adalah ρ(x,y,z), dalam satuan massa tiap satuan volume, di sebarang titik (x,y,z) yang diberikan, maka massanya adalah

, ,E

m x y z dV12

32

Dan momennya terhadap tiga bidang koordinat adalah

Pusat massanya terletak di titik dengan

Jika kerapatannya konstan, pusat massa benda pejal disebut sentroid dari E.

, , , ,

, ,

yz xzE E

xyE

M x x y z dV M y x y z dV

M z x y z dV

13

, ,x y z

yz xyxzM MMx y zm m m

14

33

Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah

Muatan listrik total pada suatu benda pejal yang menempati daerah E dan mempunyai kerapatan muatan σ (x,y,z) adalah

2 2

2 2

2 2

, ,

, ,

, ,

xE

yE

zE

I y z x y z dV

I x z x y z dV

I x y x y z dV

15

, ,E

Q x y z dV

34

Jika kita mempunyai tiga variabel acak kontinu X, Y, dan Z fungsi kerapatan bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang bahwa (X, Y, Z) terletak dalam E adalah

Khususnya

Fungsi kerapatan bersamanya memenuhi

, , , ,E

P X Y Z E f x y z dV

, , , ,b d s

a c rP a x b c y d r z s f x y z dzdydx

, , 0 , , 1f x y z f x y z dzdydx

35

Contoh 5:Carilah pusat massa dari sebuah benda pejal

berkerapatan konstan yang dibatasi oleh silinder parabolik dan bidang – bidang

Penyelesaian :Benda pejal E dan proyeksinya pada bidang-xy

diperlihatkan dalam Gambar 12.

2x y, 0, dan 1x z z x

Gambar 12

36

Permukaan bawah dan atas dari E adalah bidang – bidang sehingga kita katakan E sebagai daerah jenis 1 :

Maka jika kerapatan adalah massanya adalah

0 dan ,z z x

2, , 1 1, 1,0E x y z y y x z x

, ,x y z

2

22

1 1

1 0

121 1 1

1 1

151 14 4

1 00

2

4 1 12 5 5

x

yE

x

yx y

m dV dzdxdy

xxdxdy

yy dy y dy y

37

Karena kesimetrian E dan ρ terhadap bidang-xz kita dapat mengatakan bahwa dan karena itu . Momen lainnya adalah

0xzM 0y

2

22

1 1

1 0

131 1 12

1 1

171 6

10

3

2 2 4 13 3 7 7

x

yz yE

x

yx y

M x dV x dzdxdy

xx dxdy

yy dy y

38

Karena itu, pusat massanya adalah

2

2 2

1 1

1 0

21 1 1 1 2

1 10

1 6

1

2 2

2 13 7

x

xy yE

z x

y yz

M z dV z dzdxdy

z dxdy x dxdy

y dy

5 5, , , , ,0,7 14

yz xyxzM MM

x y zm m m

39

Integral Lipat-Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

40

Koordinat silinder dari titik P adalah (r,θ,z), dengan r, θ, dan z diperlihatkan dalam Gambar 1.

Andaikan E adalah daerah jenis I yang proyeksinya D pada bidang-xy digambarkan dengan mudah dalam koordinat polar (Lihat Gambar 2).

Koordinat Silinder

2 ,z u x y

Gambar 1 Gambar 2

41

Khususnya, andaikan bahwa f kontinu dan

dengan D diberikan dalam koordinat polar oleh

Telah kita ketahui bahwa

1 2, , , , , ,E x y z x y D u x y y u x y

1 2, , ( ) ( )D r h r h

2

1

,

,, , , ,

u x y

u x yE D

f x y z dV f x y z dz dA 1

42

Dengan menggabungkan Persamaan 1 dengan persamaan 3 pada sub-bab sebelumnya kita peroleh

Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder.

2 2

1 1

,

,

, ,

, ,

E

h u rCos rSin

h u rCos rSin

f x y z dV

f rCos rSin z rdzdrd

2

43

Contoh 1:Benda pejal E terletak di dalam silinder

dibawah bidang dan di atas paraboloid (Lihat Gambar 3). Kerapatan di

sebarang titik sebanding terhadap jaraknya dari sumbu silinder. Carilah massa E.

2 2 1,x y 4,z

2 21z x y

Gambar 3

44

Penyelesaian :Dalam koordinat silinder, persamaan silinder

adalah dan paraboloid adalah sehingga kita dapat menuliskan

Karena kerapatan di (x,y,z) sebanding dengan jarak dari sumbu z maka fungsi kerapatan adalah

dengan K adalah konstanta kesebandingan.

1r 21z r

2, , 0 2 ,0 1,1 4E r z r r z

2 2, ,f x y z K x y Kr

45

Karena itu, massa E adalah

2

2 1 42 2

0 0 1

2 1 2 12 2 2 4

0 0 0 0

153

0

4 1 3

12 25 5

rE

m K x y dV Kr rdzdrd

Kr r drd K d r r dr

r KK r

46

Kita definisikan koordinat bola (ρ,θ,ø) dari sebuah titik (Lihat Gambar 4), dan kaitan antara koordinat siku – siku dengan koordinat bola adalah sebagai berikut

Dalam sistem koordinat bola ini, mitra dari kotak persegi panjang adalah baji bola (spherical wedge)

dengan

3

Koordinat Bola

Sin Cos Sin Cos Cos x y z

, , , ,E a b c d

0, 2 , dan a d c

47

Walaupun kita definisikan integral lipat-tiga dengan membagi benda pejal menjadi kotak – kotak kecil, dapat diperlihatkan bahwa pembagian benda pejal menjadi baji – baji bola kecil selalu memberikan hasil sama.

Gambar 4

48

Sehingga kita bagi E menjadi baji bola yang lebih kecil dengan menggunakan bola berjarak sama , setengah-bidang dan setengah kerucut

ijkEi ,j

.k

49

hampir berupa kotak persegi panjang dengan ukuran Δρ, (busur lingkaran dengan jari – jari sudut Δø), dan (busur lingkaran dengan jari – jari sudut Δθ).

Sehingga hampiran terhadap volume diberikan oleh

ijkE

i ,i Sin ,i k

Sini k

ijkE

2Sin Sinijk i i k i kV