07 integral lipat tiga

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Lipat Tiga

[MA1124] KALKULUS II

Integral Lipat Tiga pada BalokBk 1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, , Bk, , Bn zk Definisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari Bk xk 2. Ambil ( x k , y k , z k ) Bk 3. Bentuk jumlah Riemann n

(x k , yk , zk )

z

B

yk

f (xk =1

k

, y k , z k )Vk

4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann ny x

lim f ( x k , y k , z k )Vk 0 k =1

f (x, y, z)dV = lim f (x7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS IIB 0 k =1

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis nk

, y k , z k )Vk

2

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)vk = xk yk zk dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dx dy dzB B

7/6/2007

[MA 1124] KALKULUS II

3

ContohHitungx 2yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran B

B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2} Jawab.x 2yz dV = B2 1 2

x 2yz dx dy dz 1 0 1 2 12

=

1 yz x 3 dy dz 3 1 0 1 1 2 7 1 = z y 2 dz 3 2 0 1

=7/6/2007

7 1 2 7 z = 6 2 1 4[MA 1124] KALKULUS II 4

2

Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangHitungx 2 yz dV , Jika S benda padat sembarang S

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) Bz

S

y x

(gb. 1)7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 5

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)z

z=2(x,y)

S

z=1(x,y)

Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

a x by=1(x)

y

Sxy

y=2(x)

f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dy dxS a1 ( x) 1( x,y )

b 2 (x) 2 (x,y)

(gb. 2)

Catatan: Jika f(x,y,z) = 1, maka f (x, y, z) dV S menyatakan volume benda pejal S

7/6/2007


6

ContohHitung

f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S bendaS

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0z y=x y=0 z=2 x2

Jawab. Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0x2, 0yx 0z 2 x2}

0 2

Sxy

y

Sehingga,2 x

x

2xyz dV = 2xyz dz dy dxS0 0 0

1 2 x2 2

Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga)7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II

=

xy0 0

2 x

z

2

1 2 x2 2 0

dy dx7

Contoh (lanjutan)1 xy 2 x 2 dy dx 2 0 0 x 2 1 4 1 2 y dx = x 4 2x 2 + x 4 2 0 0 2 1 = 2x 3 x 5 + x 7 dx 8 0 2 1 4 1 6 1 8 = x x + x 2 6 64 0 ==8 32 4 +4= 3 32 x 2

7/6/2007


8

Latihan1. Hitung

z dV , S benda padat di oktan pertama yangS

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 + z2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0. c. x2 = y, z2 =y, y = 1,x = 0. d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. / 2 z y 4. Hitung sin(x + y + z)dxdydz

0 0 0

7/6/2007


9

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)Koordinat Tabungz P(r,,z) z r

Koordinat Bolaz r

P(,,) z y

y

x Syarat & hubungan dg Kartesius r 0, 0 2 x = r cos y = r sin z=z r2 = x2 + y2

x Syarat & hubungan dg Kartesius 0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin } x = cos sin y = r sin r = sin } y = sin sin z = cos x2 + y2 + z2 = 2

Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 10

Contoh1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4z 4

Jawab. D dalam koordinat: a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 0z4} b. Tabung: D={(x,y,z)| 0r2, 0 /2, 0z4}

02 x

2 r y

x2+y2=4

7/6/2007


11

Contoh2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.z

Jawab.z = 4 x 2 y 2 D dalam koordinat:r

2 02 x

2y

a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 0z 4 x 2 y 2 } b. bola: D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}

7/6/2007


12

Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaDefinisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:

f (x, y, z) dx dy dz = f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dwD D

dimana

x

y y J(u, v, w ) = y u v w z z z u v w

u

x

v

x

w

Jacobian

7/6/2007


13

Koordinat Kartesiusx = r cos y = r sin z=z Matriks Jacobiannya:

Tabung

cos r sin 0 y y = sin r cos 0 = r cos2 + r sin 2 = r J(u, v, w ) = y r z z z z 0 0 1 r z r z

x

x

x

f (x, y, z) dx dy dz = f (r cos , r sin , z) r dr d dzD D

7/6/2007


14

Koordinat Kartesiusx = cos sin y = sin sin z = cos Matriks Jacobiannya:x J(u, v, w ) = y z x y z x y z

Bola

sin cos sin sin cos cos = sin sin sin cos cos sin = 2 sin cos 0 1

f (x, y, z) dx dy dz = f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d D D

7/6/2007


15

Contoh (Tabung)1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z = 4.Z

z=4

x

Sxy

Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: 2 2 y S={(x,y,z)|-2 x 2, 4 x y 4 x , x2 + y2 z 4} Dalam koordinat tabung: S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}

Sehingga, volume benda pejalnya adalahV =7/6/2007

1 dV = r dz d drS

2 2 4

0 0 r2


16

Contoh (Lanjutan)V =

r dz d dr0 0 r2 2 2

2 2 4

=

= r 4 r 2 0 dr0

0 0 2

r z r 2 d dr

4

(

)

2

1 = 2 2r 2 r 4 4

2

= 8

0

Jadi volume benda pejalnya adalah 8

7/6/2007


17

Contoh (bola)2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan Iz 2

Jawab.z = 4 x2 y2

D dalam koordinat:

2 x

a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 2 0 0z 4 x 2 y 2 } y b. Bola: D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2} Sehingga, volume benda pejalnya adalahV =

1 dV =S

/2 /2 2

0 0

2 sin d d d 0

7/6/2007


18

Contoh (Lanjutan) /2 /2 2

V =

0 0

2 sin d d d 0

/2 /2

=

0

/2

0

==

0

1 sin 3 d d 3 0 /2 8 ( cos ) d 3 0

2

8 ( ) / 2 = 4 0 3 3

Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3

7/6/2007


19

Latihan1. Hitungx 2 dV, dengan D benda pejal yang dibatasi D

z =9 x2 y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x2+y2=4.7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 20

Latihan Lanjutan6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, dan berada dalam kerucut z = x 2 + y 29 x 2 9 x 2 y 2

7. Hitung3

3 9 x 2 9 x 2 y 2

3

(x

2

+ y2 + z2

)

3/ 2

dz dy dx

8. Hitung

0 0 0

9 x2 2

x 2 + y 2 dz dy dx4 x 2 y 2

9. Hitung

0 0

2 4 x 2

0

z 4 x 2 y 2 dz dy dx

7/6/2007


21

07 integral lipat tiga

Documents