SISTEM BILANGAN REAL

1

Integral Lipat Dua

1. Bentuk partisi R dengan membagi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval.

3. Bentuk jumlah Riemann atas R

4. Jika norm|P|→ 0 diperoleh limit jumlah Riemann.

5. Ketika |P|→ 0 maka n menuju takhingga

2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II

2

Z = f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xkyk

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R yang merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

)y,x( kk

( , )k kx y

1

( , y )n

n k k k

k

S f x A=

=

| | 01

lim ( , )n

k k kP

k

f x y A→

=

1

lim ( , )n

k k kn

k

f x y A→

=

6. Jika limit tersebut ada, maka 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 terintegralkan atasR, yakni ditulis

2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II

3

Z = f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xkyk

)y,x( kk

1

( , ) lim ( , )n

k k kn

kR

f x y dA f x y A→

=

=

Integral Lipat Dua

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi padasuatu persegi panjang tertutup R.

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 5

=

→

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(limJika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R.

Lebih lanjut =RR

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

=R

dAyxf ),( =

→

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :

=R

dydx)y,x(f =

→

n

1k

kkkk0P

yx)y,x(flim

atau

Arti Geometri Integral Lipat Dua

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 6

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegi panjang R,

maka R

dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

Menghitung Integral Lipat Dua

Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 7

y

x

z Z = f(x,y)

ca

b

d

a b

z

x

A(y)

=

b

a

dxyxfyA ),()(

A(y)

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 9

=

d

cR

dyyAAdyxf )(),(

=

d

c

b

a

dydxyxf ),( =

d

c

b

a

dydxyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),( =

d

c

b

a

dydxyxf ),(

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)

(ii) Sejajar bidang YOZ

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 10

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

d

c d

z

y

A(x)

=

d

c

dyyxfxA ),()(

A(x)

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 11

=

b

aR

dxxAAdyxf )(),(

=

b

a

d

c

dxdyyxf ),( =

b

a

d

c

dxdyyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),( ( , )

b d

a c

f x y dy dx=

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 12

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( ) +R

dAyx 22 2

dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}

Jawab:

( ) +R

dAyx 22 2 ( ) +=

6

0

4

0

22 2 dxdyyx

+=

6

0 0

432

3

2dxyyx

+=

6

0

2

3

1284 dxx

0

63

3

128

3

4xx += 544256288 =+=

R

6

4

y

x

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 13

( ) +R

dAyx 22 2 ( ) +=

4

0

6

0

22 2 dydxyx

+=

4

0 0

623 2

3

1dyxyx

( ) +=

4

0

21272 dyy

43

0

72 4y y= + 544256288 =+=

Atau,

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 14

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )sin

R

x y dA+dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}

R

/2

/2

y

x

Jawab:

( ) +R

dAyxsin ( ) +=

2/

0

2/

0

sin

dxdyyx

+−=

2/

0 0

2/

)cos(

dxyx

( )2

0

cos cos2

x x dx

= − + +

/2

0

sin sin2

x x

= − + +

( )sin sin sin 22 2

= − + + =

Latihan

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 15

+

1

0

1

0

22

. dxdyexya yx

( ) −

2

0

1

1

2. dxdyxyb

+

1

0

2

0

2 1. dxdy

x

yc

1. Hitung

2. ( )R

dydxyxf , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]

Sifat Integral Lipat Dua

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 16

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegi panjang R

1. ( ) ( ) =RR

dAyxfkdAyxfk ,,

2. ( ) ( )( ) ( ) ( ) +=+RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,

3. Jika R = R1 + R2 , maka

( ) ( ) ( ) +=

21

,,,RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

( ) ( ) RR

dAyxgdAyxf ,,

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

Ada dua tipe• Tipe I

D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }

• Tipe II

D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }

2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II

17

Tipe I

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 18

D

a b x

q(x)

p(x)

y

=

b

a

xq

xpD

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

),(),(

D = {(x,y)| a x b, p(x) y q(x)}

x

y

Tipe II

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 19

( )

( )

( , ) ( , )

s yd

D c r y

f x y dA f x y dx dy=

D = {(x,y)|r(y) x s(y), c y d}

x

y

D

c

d

r (y) s (y)

x

Aturan Integrasi

• Urutan pengintegralan dalam integral lipat duatergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlumerubah urutan pengintegralan. Hal ini dapatdisebabkan dengan perubahan urutan pengintegralanakan memudahkan dalam proses integrasinya.

• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapatmenggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kitadapat merubah urutan integrasi dengan mengacupada sketsa daerah integrasi yang sama.

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 20

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 21

1. Hitung ( )2 x

R

y e dA , R dibatasi x = y2, y =1, sumbu y

xR

( )R

x dAey2 ( ) =

1

0 0

2

2y

x dydxey

=

1

00

2

2 dyeyy

x

( ) −=

1

0

122

dyey y

( ) 2111

0

22

−=−−=−= eeyeyx

y

x = y2

1

1

R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 22

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

( )R

x dAey2 ( ) =

1

0

1

2x

x dxdyey

=

1

0

12 dxye

x

x

1

0

x xe xe dx= −( ) 1

0

xxx exee +−=

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y x

y

x = y2

1

1

2)11(2 −=+−−= eee

Contoh

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 23

4

0

2

2

2

.2 dxdyex

y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}

Jawab:

xR

x

y

y = x/2

4

2

y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}

Sehingga

4

0

2

2

2

dxdyex

y

=

2

0

2

0

2

dydxey

y

142

0

2

−== eey

=

2

0

2

0

2

dyxeyy

=

2

0

2

2 dyey y

x=2y

Latihan

2/13/2019[MA 1124]

KALKULUS II 24

−

3

1

y3

y

y dydxex.13

2

0 0

dxdy

xsin

xcosy.2 −

1

0

1

x

y dxdye.52

3

4 2

0

6. x

y

e dx dy +

1

0

2

0

2dxdy

1x

y.3

+2

0

2

0

dydx)yxsin(.4 ( ) −

+

2

0

x4

0

dxdyyx.7

2

2

0 0

dxdy

xcos

xsiny.8

0

sin9.

x

ydy dx

y