38

INTEGRAL LIPAT DUA

Luas daerah yang diarsir (merah) a : y . x

Apabila y 0 ; x 0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang

ditulis sebagai berikut :

sx

rx

my

ky

dxdyA .

Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.

sx

rx

my

kydxdyA .

sx

rx

my

kydxy

sx

rx

sx

rxxkmdxkm

rskmA .

O r s X

Y

m

k

x

y

39

KESIMPULAN

Pernyataan 2

1

2

1

,y

y

x

xdydxyxfA

disebut Integral lipat dua / Double Integral

Langkah penyelesaian :

1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan) dengan

batas x=x1 dan x=x2.

2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan y=y2.

Contoh soal :

Hitunglah 2

1

4

22 dydxyxI

Jawab : 2

1

4

22 dydxyxI

dyxyx

4

2

2

1

2 22

1

dyyy 2

14288

21

22

12646 yydyy

= (12+8) – (6+2)

= 20-8 = 12

40

PENERAPAN

Tentukan luas daerah yang

dibatasi oleh y=5

4x sumbu x,

dan ordinat pada x = 5.

PENYELESAIAN

Luas elemen yang diarsir = y . x

Jika y 0 dan x 0, maka :

5

0 0

1y

dxdyA

5

01

5

00

1 dxydxyy

Tetapi 5

41

xy , maka :

105

2

5

45

0

5

0

2

xdx

xA satuan luas.

O

Y

5 X x

y1 = 5

4x

y

41

Contoh Penerapan 2

Tentukan momen kedua dari

empat persegi panjang 6m x

4m mengelilingi sumbu yang

melalui salah satu titik

sudutnya dan tegak lurus

kepada bidang persegi

panjang tersebut.

Jawab :

a = y . x

Momen kedua p terhadap oz = a (op)2

= y . x (x2 + y2)

Jika x 0 dan y 0 maka :

6

0

4

0

22 dxdyyxA

6

0

26

0

4

0

32

3

644

3dxxdx

yyx

4

6

0

3

4161282883

64

3

4cm

xx

42

BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA

Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit

berbeda, sebagai berikut :

Hitunglah : dyxxdx 1

0

23

0

Kunci pengerjaannya : Diselesaikan mulai integral yang paling

kanan, kemudian berurut-urutan kekiri.

Penyelesaian :

3

0

1

0

2 dyxxdxI

1

0

3

0

2

yxxydx

23

0xxdx

3

0

2 dxxx

=

3

0

32

3

1

2

1

xx

5,492

9

43

INTEGRAL LIPAT TIGA

Urutan penyelesaiannya dari paling dalam

f

e

d

c

b

adzdydxzyxf ..,,

Contoh :

Hitunglah :

3

1

1

1

2

0..2 dzdydxzyxf

Jawab :

3

1

1

1

2

0..2 dzdydxzyxI

3

1

1

1

2

0

2 .22

1dzdyxzxyx

3

1

1

1

1

1

2 222 dzzy

3

1222222 dzzz

3

144 dzz

31224 zz

= (12-18) – (4-2) = -8

44

Penentuan Volume dengan Integral Lipat

Elemen volume x . y . z

1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :

zyxz

z

z

y

y

y

yVc ..

0

1

1

2

2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y

= y2, diperoleh volume irisan.

zyxz

z

z

y

y

y

yVs ..

0

1

1

2

3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1

dan x=x2 memberikan volume total.

zyxz

z

z

y

y

y

y

x

x

x

xV ..

0

2

1

2

1

2

Selanjutnya, seperti biasa, jika x 0, y 0, dan z 0,

2

1

2

1

1

0..

x

x

y

y

zdzdydxV

45

Contoh 1.

Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,

y = 2, y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda

tersebut.

Jawab :

Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?

Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai

posisi sebagai berikut :

Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi

vertikalnya.

Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :

46

Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masing-

masing perpotongnnya (z = x + y), didapatkan

Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu

bagaimana menangani integralnya.

Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.

47

1) Volume elemen x . y . z

2) Volume kolom x . y

)(

0

yx

z

z

3) Volume irisan x

dy

yx

z

zdy

y

y

02

5

4) Volume total benda

dz

yx

z

zdy

y

ydx

x

x

02

5

1

4

Kemudian, sebagaimana biasanya, jika x 0, y 0, z 0,

hubungan ini menjadi :

yx

zdydxV0

5

2

4

1

V yxdydxdzdydxyx

5

2

4

10

5

2

4

1

5

2

24

1

5

2

4

1 2)(

yxydxdyyxdx

48

dxxxxdx

2

21322

2

255

4

1

4

1

4

12

4

1

2

2132

1

2

21

2

3xx

xx

24132

2

12138448

2

1 = 54 satuan3

Contoh :

Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang

z = y dan z = 0.

Penyelesaian :

Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :

z1 = 0 ; z2 = y

y1 = 0 ; y2 = 22 xa

49

x1 = 0 ; x2 = a

Jadi,

22

0 00..4

xa yadxdydzI

22

00..4

xaadxdyyI

dxyI

xaa

22

0

2

0 2

14

dxyIxaa 22

02

02

dxxaIa 22

02

33

0

32

3

12

3

12 aaxxaI

a

3

3

4aI

50

KESIMPULAN

Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :

1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

dydxyxfx

x

y

y.,2

1

2

1

Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.

2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

dxyxfdyx

x

y

y,2

1

2

1

Pengerjaannya dari kanan ke kiri