3.2. Integral Lipat Dua, Atas Daerah Umum R

Pendekatan penghitungan integral berulang atas daerah berbentuk empat persegi panjang yang telah dikembangkan pada bab sebelumnya dapat digunakan untuk menghitung integral lipat dua atas daerah umum, R. Dengan pendekatan integral berulang, penghitungan integral lipat dua atas daerah umum R khususnya daerah R berbentuk cukup sederhana, dapat dilakukan dengan dua cara pendekatan yang berbeda, yaitu pendekatan atas himpunan y sederhana, dan pendekatan atas himpunan x sederhana.

3.2.1.Penghitungan Integral Lipat Dua, Pendekatan y Sederhana

Suatu himpunan R dikatakan berbentuk y sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu g dan h, sedemikian rupa sehingga :

R = {(x,y) : g(x) y h(x), a x b}

yang ditunjukkan oleh Gambar 3.2.1, berikut ini. y z z = f(x,y) d y2 = h(x)

R y1 = g(x) y c a

x b R 0 a b x Gambar 3.2.1 Gambar 3.2.2

Selanjutnya, andaikan f(x,y) fungsi yang terdefinisikan pada daerah R yang berbentuk y sederhana lihat Gambar 3.2.1. Dari gambar terlihat bahwa daerah umum R dibatasi oleh daerah S yang berbentuk empat persegi panjang. Dengan pendekatan volume benda pejal di bawah permukaan, z = f(x,y), dan diatas daerah S yang berbentuk empat persegi panjang,

V =

Dengan mengambil lajur berbentuk empat persegi panjang seperti terlihat pada Gambar 3.2.1, volume kepingan, V secara hampiran diberikan oleh, V = A( )x, yang terlihat pada Gambar 3.2.2. Dengan demikian,

V =

Karena, A(x) adalah luas bidang datar untuk tetap dan perpotongan antara permukaan dengan tetap adalah kurva, maka luas daerah tersebut diberikan oleh,

A(x) =

Dengan mensubsitusikan A(x) pada volume V maka didapatkan hasil,

126

V =

Jadi dengan pendekatan integral berulang untuk menghitung integral lipat dua dengan daerah R berbentuk y sederhana digunakan rumus,

=

Dalam penghitungan integral berulang diatas, untuk menghitung integral sebelah dalam variabel x diasumsikan konstan, dan f(x,y) dianggap hanya merupakan fungsi dari y. Dengan demikian yang diintegralkan terlebih dahulu adalah variabel y.

Contoh 3.2.1

Hitunglah,

Penyelesaian

= =

=

= =

=

= – + =

Contoh 3.2.2

Hitunglah, , bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh

kurva, x2 + y = 2, x = y3 dan sumbu y. Penyelesaian, yPerhatikanlah sketsa daerah R yang dA = dy dx terlihat pada Gambar 3.2.3. Dari R y =sketsa terlihat bahwa daerah R (1,1)berbentuk y sederhana, dimana y = 2 – x2 daerah R diberikan oleh,

R = {(x,y) : y 2 – x2, 0 x 1}. x Gambar 3.2.3

Oleh karena itu dengan pendekatan y sederhana diperoleh,

= =

= =

127

= = –

= – =

Contoh 3.2.3Dengan integral lipat dua, hitunglah volume benda pejal V, dibawah permukaan, z = 4 – y, dan dibatasi oleh bidang-bidang, x + y = 2, x = y2, z = 0, dan x = 0.PenyelesaianPerhatikanlah sketsa benda pejal Gambar 3.2.4, dari sketsa ambil, z = f(x,y) = 4 – y. Andaikan V menyatakan volume benda, dengan integral lipat dua volume V diberikan oleh,

V =

dimana R adalah daerah pada bidang xy. Selanjutnya perhatikanlah sketsa daerah R pada gambar 3.2.5. z y

y = 2 – x z = 4 – y R (1,1) y =

R y x x + y = 2 0

x x = y2

Gambar 3.2.4. Gambar 3.2.5

Dari sketsa daerah R pada Gambar 3.2.5, terlihat bahwa daerah R berbentuk y sederhana dimana, R = {(x,y) : y 2 – x, 0 x 1}. Dengan demikian volume benda pejal V diberikan oleh,

V = =

=

=

=

= –

= 6 – – + =

Jadi volume benda pejal tersebut adalah satuan kubik

Contoh 3.2.4

128

Hitunglah volume benda pejal yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh, dibawah permukaan paraboloida, z = x2 + y2, di dalam silinder, x2 + y2 = 4, dan ketiga bidang koordinatPenyelesaian.Perhatikanlah sketsa benda pejal V pada Gambar 3.2.6 z y

8 2 y = z = x2 + y2 R x2 + y2 = 4 y 0 2 x R 2 x2 + y2 = 4 Gambar 3.2.7 x Gambar 3.2.6

Perhatikanlah sketsa benda pejal Gambar 3.2.6, dari sketsa ambil, z = f(x,y) = x2 + y2. Andaikan V menyatakan volume benda, dengan integral lipat dua volume V adalah,

V =

dimana R adalah lingkaran x2 + y2 = 4 pada kuadran pertama, Gambar 3.2.7. Dalam bentuk fungsi-fungsi kontinu daerah R diberikan oleh, R = {(x,y) : 0 y , 0 x 2}. Dengan demikian,

V =

=

= =

Selanjutnya untuk menghitung integral tentu diatas, subsitusikanlah x = 2 sin t , maka dihasilkan :(1). dx = 2 cos t dt (2). = = 2 cos t

(3). Perubahan batas integral, t = 0, untuk x = 0, dan t = untuk x = 2.

Dengan substitusi diatas maka diperoleh,

V =

=

=

=

129

=

= 16 –

= 16 – = 2

Jadi volume benda pejal tersebut adalah 2 satuan kubik

3.2.2. Penghitungan Integral Lipat Dua, Pendekatan x Sederhana

Selain pendekatan y sederhana, pendekatan lain yang dapat digunakan untuk menghitung integral lipat dua atas daerah umum R adalah pendekatan x sederhana, berikut ini. Suatu himpunan R dikatakan berbentuk x sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu p dan q, sedemikian rupa sehingga : R = {(x,y) : p(y) x g(y), c y d}Daerah berbentuk x sederhana ditunjukkan oleh Gambar 3.2.8, berikut ini. y x1 = p(y) x2 = q(y) d

R

c x

Gambar 3.2.8

Andaikan, f(x,y) fungsi dua variabel yang terdefinisikan pada daerah R yang berbentuk x sederhana. Bilamana f(x,y) terintegralkan pada daerah R tersebut, maka dengan pendekatan yang sama seperti pendekatan y sederhana, integral lipat dua f(x,y) atas daerah R yang dibatasi, R = {(x,y) : p(y) x g(y), c y d}diberikan oleh,

=

Pada rumus diatas, untuk menghitung integral pada bagian dalam, variabel y diasumsikan konstan, sehingga fungsi f(x,y) dapat dianggap hanya merupakan fungsi dari x. Dengan demikian dalam rumus diatas, variabel bebas yang terlebih dahulu diintegralkan adalah variabel x.

Contoh 3.2.5

Hitunglah,

Penyelesaian

=

130

=

=

=

= –

= – + =

Contoh 3.2.6

Hitunglah, , bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh

kurva, x2 + y = 2, x = y3 dan sumbu x. Penyelesaian, yPerhatikanlah sketsa daerah R yang terlihat pada Gambar 3.2.9. Dari (1,1) x = y3

sketsa terlihat bahwa daerah R R berbentuk x sederhana, dimana x = daerah R diberikan oleh, x

R = {(x,y) : y3 x , 0 y 1}. Gambar 3.2.9Oleh karena itu dengan pendekatan x sederhana diperoleh,

=

=

=

=

=

=

= – – =

Contoh 3.2.7Dengan integral lipat dua, hitunglah volume benda pejal V yang terletak dibawah permukaan, z = 16 – x2, dan dibatasi oleh bidang-bidang, y = x, x + y = 4, y = 0 dan z = 0. Penyelesaian,Perhatikanlah sketsa benda pejal V pada Gambar 3.2.10, berikut ini. z y

z = 16 – x2 x = y

(2,2)

131

y x = 4 – y R R 0 x 4 x Gambar 3.2.10 Gambar 3.2.11

Dari gambar 3.2.10, andaikan z = f(x,y) = 16 – x2. Volume benda pejal V dibawah permukaan, z = 16 – x2, dan diatas daerah R diberikan oleh,

V =

dimana R adalah daerah pada kuadran pertama yang diberikan oleh Gambar 3.2.11. Dari gambar terlihat bahwa daerah R berbentuk x sederhana, dan kedua kurva berpotongan di titik (2,2). Dalam bentuk x sederhana daerah R diberikan oleh, R = {(x,y) : y x 4 – y, 0 y 2}.

Dengan demikian volume benda pejal V diberikan oleh,

V = =

=

=

=

= –

=

Jadi volume benda pejal yang ditanyakan adalah satuan kubik

Contoh 3.2.7

Hitunglah, , bilamana R daerah pada kuadran pertama di bidang xy yang dibatasi

oleh, y = x3, dan x = y2.PenyelesaianPerhatikanlah sketsa grafik daerah R berikut ini. y y = x3

Dari sketsa pada Gambar 3.2.12, terlihat x = y2

bahwa daerah R dapat dinyatakan sebagai (1,1)daerah yang berbentuk x sederhana, dan Ry sederhana. Maka itu untuk menghitung,

integral lipat , dapat dihitung x

dengan dua pendekatan, yakni pendekatan 0y sederhana, dan pendekatan x sederhana. Gambar 3.2.12Pendekatan y sederhana. Dengan pendekatan y sederhana, daerah R pada Gambar 3.2.12, diberikan oleh :

132

R = {(x,y) : x3 y x1/2, 0 x 1}.Dengan demikian,

=

= dx

= dx = dx

= =

= =

Pendekatan x sederhana. Dengan pendekatan x sederhana, daerah R pada Gambar 3.2.12, diberikan oleh :

R = {(x,y) : y2 x y1/3, 0 y 1}.Dengan demikian,

= dx dy = dy

= dy = dy

= =

= =

Contoh 3.2.8Hitunglah volume benda pejal di oktan pertama terletak dibawah permukaan, z = x + 3y, dan dibatasi oleh silinder elipsoida, x2 + 9y2 = 36 dan ketiga bidang koordinat.PenyelesaianPerhatikanlah sketsa benda pejal dan daerah R pada Gambar 3.2.13 berikut ini. z

y

2

x2 + 9y2 = 36 2 R y R x 0 6 x2 + 9y2 = 36 x 6 Gambar 3.2.13 Gambar 3.2.14

133

Andaikan V adalah volume benda pejal dibawah permukaan, z = x + 3y, dan diatas daerah R, maka volume bendanya diberikan oleh,

V =

dimana R adalah daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh elips seperti terlihat pada Gambar 3.2.14. Dari gambar terlihat bahwa daerah R dapat dipandang berbentuk y sederhana dan x sederhana.

Pendekatan y sederhanaDengan pendekatan y sederhana, daerah R pada Gambar 3.2.14, diberikan oleh :

R = {(x,y) : 0 y , 0 x 6}.

Dengan demikian volume bendanya diberikan oleh,

V = = dy dx

= dx

= dx

=

= – = 36 + = 48

Pendekatan x sederhanaDengan pendekatan x sederhana, daerah R pada Gambar 3.2.14, diberikan oleh :

R = {(x,y) : 0 x = 3 , 0 y 2}.Dengan demikian volume bendanya diberikan oleh,

V = = dx dy

= dy = dy

= = – (–24) = 48

Jadi volume benda pejal yang ditanyakan adalah 48 satuan kubik

Contoh 3.2.9Hitunglah volume benda pejal, dibawah permukaan paraboloida, z = x2 + y2, di dalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 4, dan ketiga bidang koordinat (oktan pertama).PenyelesaianPerhatikanlah sketsa benda pejal V, dan daerah umum R pada gambar berikut ini. z 8 y z = x2 + y2

y =

134

2 y

2 x2 + y2 = 4 x x 0 2 Gambar 3.2.15 Gambar 3.2.16

Andaikan V adalah volume benda pejal di bawah permukaan, z = x2 + y2, (lihat Gambar 3.2.15) maka,

V =

dimana R adalah seperempat lingkaran, x2 + y2 = 4, Gambar 3.2.16. Dari Gambar 3.2.16, terlihat bahwa daerah R dapat dipandang berbentuk y sederhana, yang diberikan oleh :

R = {(x,y) : 0 y , 0 x 2}.Dengan demikian,

V = = dy dx

= dx

= dx

Selanjutnya untuk menghitung integral tentu suku terakhir, substitusikanlah x = 2 sin t, maka dihasilkan :(1). dx = 2 cos t dt (2). = = 2 cos t(3). = = 8 cos3 t(4). Perubahan batas integrasi, t = 0, bila x = 0, dan t = /2, bila x = 2.

Dengan subsitusi diatas, maka dihasilkan :

V = dx

=

= dt

= 16 dt = 16 dt

= 16 –

= 16 = 16

= 2Jadi volume benda pejal yang ditanyakan adalah 2 satuan kubik

Soal-soal Latihan Bab 3.2

135

Dalam soal-soal latihan nomor 1 sampai 15 selesaikanlah integral lipat dua berikut ini.

1. dy dx 2. dy dx

3. dy dx 4. dy dx

5. dx dy 6. dx dy

7. dx dy 8. dy dx

9. dy dx 10. dy dx

11. dx dy 12. dx dy

13. dy dx 14. dy dx

15. dy dx

Dalam soal-soal latihan nomor 16 sampai 23 berikut ini, hitunglah integral lipat dua yang diberikan, atas daerah umum R yang terletak pada kuadran pertama.

16. , daerah R dibatasi oleh, y = x, x = 2, dan sumbu x.

17. , daerah R dibatasi oleh, y = 2x, x + y = 6, dan sumbu x.

18. , daerah R dibatasi oleh, y = x, dan y = 3x – x2.

19. , daerah R dibatasi oleh, y = x3, dan x = y3.

20. , daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, sumbu x, dan sumbu y

21. , daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, sumbu x, dan sumbu y

22. , daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, sumbu x, dan sumbu y

23. , daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, sumbu x, dan sumbu y

Dalam soal-soal latihan nomor 24 sampai 30 buatlah sketsa daerah R, yang diberikan dan dengan integral lipat dua hitunglah pula luas daerahnya.

24. Daerah R dibatasi oleh parabola, y2 = 4x, dan lingkaran x2 + y2 = 5,25. Daerah R dibatasi oleh parabola, y = x2 – 9, dan y = 9 – x2,26. Daerah R dibatasi oleh parabola, 6y = x2, dan lingkaran x2 + y2 = 16,27. Daerah R dibatasi oleh parabola, y2 = 4x, dan x2 = 4y,28. Daerah R dibatasi oleh parabola, y = x2, dan y = 4x – x2,29. Daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, garis y = x, dan sumbu x30. Daerah R dibatasi oleh lingkaran, x2 + y2 = 4, garis y = x, dan sumbu y

136

Dalam soal-soal latihan nomor 31 sampai 40 berikut ini, buatlah sketsa benda pejal yang diberikan, dan dengan integral lipat dua hitunglah volume benda pejalnya.

31. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x + z2 = 4, bidang-bidang y = x, z = 0, dan y = 0.

32. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh paraboloida, z = 16 – x2 – 4y2, bidang-bidang, z = 0, y = 0, dan x = 0

33. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x2 = 4y, bidang-bidang, 4y + 9z = 36, z = 0, dan x = 0

34. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, y + z2 = 4, bidang-bidang, y = x, z = 0, dan x = 0.

35. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh bidang-bidang, x + 8y = 4z, x + 2y = 4, z = 0, y = 0, dan x = 0.

36. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh bidang-bidang, 2x + 2y + z = 4, y = x, z = 0, dan x = 0.

37. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, y = x2, bidang-bidang, 2x + y + z = 3, z = 0, dan x = 0.

38. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, y = x3, bidang-bidang, x + y + z = 2, z = 0, dan y = 0.

39. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x = y2, bidang-bidang, x + y + z = 6, z = 0, dan y = 0.

40. Benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x = y3, bidang-bidang, x + y + z = 2, z = 0, dan x = 0.

137