mk4 intergral lipat 3 baru
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
1/32
Integral Lipat Tiga
Untuk fungsi tiga variabel. Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga pada
daerah
B = {( x, y, z ) | a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s}
Jika fungsi f kontinu pada daerah , !aka
f ( x, y, z )dv = f ( x, y, z )dzdydx B a c r
2
b d s
""" """
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
2/32
Hitung:
Jawab:
3
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
3/32
#eperti haln$a integral lipat dua, integral lipat tiga dapat %uga berlaku pada daerah umum E .
E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u ( x, y)}Jadi
u ( x, y)
f ( x, y, z )dV = f ( x, y, z )dz dA.u
( x, y)
aerah D dapat berupa (*ngat integral lipat dua)+
'). #egie!pat, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }.). aerah %enis *, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, g '( x) ≤ y ≤ g ( x)}.
,). aerah %enis **, D = {( x,y) | c ≤ y ≤ d , h'( y) ≤ x ≤ h( y)}.
4
1. Jenis I
E
""" "" "u'
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
4/32
E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u( x, y)}
5
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
5/32
dimana E adalah daerah di bawah
bidang pada
kuadran pertama
6
Contoh:
Hitung
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
6/32
7
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
7/32
8
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
8/32
2. Jenis II
E = {( x, y, z ) | ( x, z ) & D,u'( x, z ) ≤ y ≤ u ( x, z )} D dapat berupa ('), () dan () seperti di %enis *.
9
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
9/32
Contoh: Hitung
dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh
dan bidang y =
10
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
10/32
11
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
11/32
12
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
12/32
!. Jenis III
E = {( x, y, z ) | ( y, z ) & D,u'( y, z ) ≤ x ≤ u ( y, z )} D dapat berupa ('), () dan () seperti di Jenis *.
13
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
13/32
Contoh: Hitung "olume daerah yang terleta# di bela#ang
bidang dan di depan bidang y$ yang
dibatasi oleh dan
14
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
14/32
15
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
15/32
1%. Integral Lipat Tiga dalam &oordinat 'ilinder dan
&oordinat (ola.
-oordinat #ilinder ala! koordinat silinder, titik ( x,y,z ) dikonversi ke titik (r ,/, z ).
z
(r, , 0)
y
16
z
x
r
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
16/32
1isal f kontinu pada E dan
E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u ( x, y)}dengan D diberikan dala! koordinat polar oleh D = {(r ,θ ) | α ≤ θ ≤ β ,h'(θ ) ≤ r ≤ h (θ )}
h'(θ )
f ( x, y, z )d 2 = f ( x, y, z )dz dA h (θ )
dikonversi dari koordinat siku 3 siku ke koordinat
silinder sebagai berikut +h (θ ) u (r 4osθ ,r sinθ )
f ( x,y,z )d 2 = f (r 4osθ , r sinθ , z )rdzdrd θ
""" "" "
β
""" " " "
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
17/32
E α h'(θ ) u'(r 4osθ ,r sinθ )
17
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
18/32
Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di
ba)ah bidang dan di atas bidang xy
serta di antara silinder dan
Jawab:
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
19/32
18
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
20/32
19
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
21/32
5ontoh+ -onversi integral berikut ke koordinat silindris
Ja6ab+
20
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
22/32
&oordinat (ola
erhatikan 7 89 + z = ρ cos φ
r = ρ sin φ
x
99
x
y
ρ
r z
( x, y, z ) = (: , /, ;)
9( x, y,
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
23/32
erhatikan 7 8 +
x = r 4osθ > karena r = ρ sinϕ, !aka;
= ρ sinϕ 4osθ y = r sinθ > karena r = ρ sinϕ, !aka
= r sinϕ 4osθ
ρ = r ( ? z ( > 7 8
= x( ? y ( ? z ( > r ( = x( ? y ( (7 8 )ersa!aan ola dengan ρ %ari3 %ari bola
ρ + %arak titik asal ke .
θ + sudut antara su!bu 3 x dengan 8.ϕ + sudut antara su!bu 3 z positif dengan 8.
ρ @
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
24/32
ala! -oordinat olar +
d A = r dθ dr
ala! -oordinat ola
72i"# = 7 ρ ( ρ
i7ϕ )(
ρi sin 7θ )
d 2 = ρ sinϕ d ρ dθ d ϕ
Jadi, konversi dari koordinat siku3siku ke koordinat bola
! β
f ( ρ sinϕ 4osθ , ρ sinϕ sinθ , ρ 4osϕ) ρ sinϕ d ρd θ d ϕ
23
tinggi
ϕ#
b
""" f ( x, y, z )d 2 = """ E α a
uas Ala s
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
25/32
Contoh: Hitung
dimana E adalah setengah bola
bagian atas
Jawab:
24
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
26/32
25
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
27/32
Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola
Jawab:
26
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
28/32
27
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
29/32
28
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
30/32
Bitung E
dengan E = {( x, y, z ) | 3' ≤ x ≤ ,< ≤ y ≤ ,< ≤ z ≤ }
1isalkan E adalah daerah pada oktan perta!a $ang
dibatasi y ( ? z ( = ', y = x dan x =
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
31/32
Tugas *.1isalkan E terletak dala! silinder x( ? y ( ='F dan di antara
bidang 3 bidang z = 3G dan z = H.
x ( ? y (d 2. E
Tugas +.
"""
( x ? xy( )d 2, dengan E adalah benda pe%al di oktan perta!a
E
$ang terletak di ba6ah paraboloid z = '3 x( 3 y.
Tugas %.
Bitung E
silinder x( ? y ( =' dan x( ? y ( = H, di atas bidang 3 xy dan di ba6ah bidang
z = x ? .
30
"""Bitung
Bitung
""" yd 2, dengan E adalah benda pe%al $ang terletak diantara silinder 3
-
8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru
32/32
Tugas ,.
Dunakan koordinat bola untuk !enghitung
E terletak di antara bola3bola x ? y ? z = ' dan x ? y ? z = Hdi oktan perta!a.
sekian
31
""" zd 2C