institut teknologi sepuluh nopember surabaya - share...
TRANSCRIPT
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
MATERI
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
Sub Pokok BahasanAnda akan belajar
1. Prosedur plot Letak Kedudukan Akar
2. Prosedur plot dengan bantuan Matlab
Pengantar
1. Respon system tergantung pada letak / posisi pole
2. Saat menambahkan sebuah pengendali, makabesarnya gain perlu disesuaikan /diatur
3. Peyesuaian gain ini pada dasarnya adalahmemindahkan letak pole untuk menyesuaikandengan respon yang diinginkan
4. Terkadang penyesuaian nilai gain tidak selalumenghasilkan performansi respon seperti yang diharapkan. Apabila seperti ini maka dilakukanperancangan system kendali yang lebih kompleks
ROOT LOCUS
• ROOT = akar-akar
• LOCUS = tempat kedudukan
• ROOT LOCUS
– Tempat kedudukan akar-akar persamaankarakteristik dari sebuah sistem pengendalianproses
– Digunakan untuk menentukan stabilitas sistemtersebut: selalu stabil atau ada bataskestabilannya?
Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS
• Cara 1: Mencari akar-akar persamaankarakteristik pada tiap kenaikan gain kontroler Kc
• Cara 2: Didasarkan pada pengalaman
– Mencari nilai pole dan zero
– Menentukan breakaway point, center of gravity, asimptot
– Mencari nilai u (titik potong dengan sumbuimajiner, dengan substitusi langsung)
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
• Persamaan karakteristik fungsi alih loop tertutup adalah,
0)()(1 shsKGK
zszszs
pspsps
m
n
)())((
)())((
21
21
• Dari persamaan tersebut, untuk suatu titik dalam bidang-s, tempat
kedudukan akar untuk nilai 0<K< bila memenuhi dua kondisi berikut,
berhingga zero dari vektor panjangPerkalian
berhingga pole dari vektor panjangPerkalian K
,5,3,1
)180()()( polesudut )()( zerosudut 0
r
rsHsGsHsG
atau
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar
1. Jumlah kedudukan (loci). Untuk n>m, jumlah cabang kedudukan
tempat kedudukan akar, adalah sama dengan jumlah pole fungsi alih
loop terbuka G(s)H(s). Kedudukan akar adalah simetris terhadap
sumbu real pada bidang-s.
2. Titik awal dan titik akhir. Jika K dinaikkan dari nol menuju ke
takberhingga, kedudukan awal pole loop tertutup bergerak dari pole
loop terbuka (K=0), dan berhenti pada zero loop terbuka (K).
Zero terbentang kearah tempat kedudukan akar- nya, dan pole
terbentang kearah sebaliknya.
3. Segmen tempat kedudukan akar dalam sumbu real.
Untuk K>0, tempat kedudukan akar terjadi pada suatu
segmen tertentu pada sumbu real, jika dan hanya jika ada
selisih jumlah pole dan zero dari fungsi alih loop terbuka
yang terebah disisi kanan segmen.
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
4. Interseksi sumbu imajiner. Dengan menggunakan kriteria Routh-
Hurwitz, tentukan titik kedudukan akar yang terletak di sumbu-j.
Harga K dan dapat diperoleh dari array Routh.
5. Asymptot (Untuk nm). Untuk sebagian besar sistem perhatikan,
n>m. Untuk n>m ada (n-m) zero pada takberhingga, untuk 0<K<,
akhir tempat kedudukan akar (n-m) pada zero takberhingga.
Titik-titik tempat kedudukan akar terhadap garis lurus dengan sudut
sebagi berikut,
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
,5,3,1180
rmn
r o
Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
karena s mendekati takberhingga. Berikut adalah tabel sudut
asimtotik,
Garis lurus menyebar dari suatu titik s pada sumbu real
dinyatakan dengan,
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
n-m (selisih jumlah pole – jumlah zero)
Sudut Asimtotik
01234
Tidak-asimtot180o
90o
180o, 60o
45o, 135o
mn
sHsGzerosHsGpolea
)()()()(
Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
6. Sudut berangkat dan sudut datang. Anggap titik s sebarang
didekat pole (untuk berangkat) atau zero (untuk datang) dan
kemudian gunakan persamaan sudut sebagai berikut,
7. Titik breakaway dan titik re-entry. Titik-titik pada sumbu real
dimana dua atau lebih cabang tempat kedudukan akar berangkat
dari atau datang pada sumbu real. Titik breakaway dapat ditentukan
dengan pernyataan persamaan karakteristik untuk gain K sebagai
fungsi s, K=-1/(G(s)H(s)), dan kemudian menyelesaikan titik
breakaway s dari,
Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar
)180(
)180(
0
0
r
r
i
zi
i
pia
i
pi
i
zid
0)(
Bssds
sdK
akar-akar real persamaan ini, yang sesuai dengan
langkah (3), adalah titik breakaway atau re-entry.
Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar
• Perhatikan diagram blok di bawah ini
• Persamaan Karakteristiknya:
atau 1 + G(s)H(s) = 0
11
Kc
0.5
R(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
0)1)(13(
1
ss
Kc
Penentuan Akar Pers. Karakteristik
3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0
12
c
cK
Kss 31
3
1
3
2
6
)1(12164, 21
Plot Root Locus
Kc AKAR
0 -1; -1/3
1 -2/3 ± j (2)/3
5 -2/3 ± j (14)/3
10 -2/3 ± j (29)/3
20 -2/3 ± j (59)/3
50 -2/3 ± j (149)/3
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3-2/3
-
Sistem SELALU STABIL karenaakar-akarnya selalu beradadi sebelah KIRI
Persamaan karakteristik:
0
15,0)1)(13(1
sss
Kc
14
Kc
R(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
15,0
5,0
s
Persamaan Karakteristik
015.455.1
015.0)1)(13(
015.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(15.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(
1
23
c
c
c
c
c
Ksss
Ksss
sss
Ksss
sss
K
sss
sss
sss
K
Gambar Root Locus
Kc AKAR
0 -1; -1/3; -2
1 -2.271; -0.53±j0.55
5 -2.77; -0.281±j1.168
14 -3.3; ±j1.732
20 -3.586; 0.126±j1.97
30 -3.92; 0.29±2.279j
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
-
X
-2
Sistem ADA BATAS KESTABILANkarena akar-akarnya ada yang beradadi sebelah KANAN
Cara 2
• Persamaan karakteristik:
• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3
• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0
0
15,0)1)(13(1
sss
Kc
Uji Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n – m = 3 – 0 = ganjil
tempatkedudukan akar
Uji Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n – m = 2– 0 = genapBUKAN tempatkedudukan akar
Uji Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n – m = 1– 0 = ganjil
tempatkedudukan
akar
Plot Semua daerah yang terdapat Pole
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
Di Antara Tempat Kedudukan2 Pole Ada BREAKAWAY POINT
0363
01223
0213/1
13/123/121
2
1
1
1
3/1
10
11
322
31
312
32
3122
11
ss
ssssss
sss
ssssss
sss
pszs
n
j j
m
i i
0.6268
1.5954
2
1
s
s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN
YANG DIPAKAI
Letak Breakwaway Point
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6
Penentuan Center of Gravity danSudut Asimtot
1.13
3
03
2131
31
1 1
mn
zp
CG
n
j
m
i
ij
o
o
o
mn
k
30003
2)360(180
18003
1)360(180
6003
0)360(180
)360(180
00
2
00
1
00
0
00
Center of Gravity dan Sudut Asimtot
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6-1.1
60o
180o
300o
Cg
Titik Potong pada Sumbu Imajiner
015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan
uis
01)(5.455.1
01)(5.4)(5)(5.1
23
23
cuuu
cuuu
Kii
Kiii
3dan 0
05.45.1
05.45.1
2
2
3
uu
uu
uu
i
ii
14
01)3(5
0152
c
c
cu
K
K
K
7.1 u TITIK POTONGNYA
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6-1.1
1.7
-1.7
Hasil Plot ROOT LOCUS
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6-1.1
Program Matlab
2
( 8)( )
( 2)( 8 32)
K sG s
s s s s
Root Locus
>> rlocus(tf([1 8], conv(conv([1 0],[1 2]),[1 8 32])))
Tugas Latihan 1
1. Plot Root Locus sebuah sistem dengan G(s) = 1/s(s+0,8)
2. Hasil plot di scan, dan diupload di Minggu 11, dengan nama file= nama mahasiswa
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
10167)13)(13)(1()()(
23
sss
K
jsjss
KsHsG
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
Latihan SOAL 2
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
34
)5(
)3)(1(
)5()()(
2
ss
sK
ss
sKsHsG
Latihan SOAL 3
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
182710
)5(
)6)(3)(1(
)5()()(
23
sss
sK
sss
sKsHsG
Latihan SOAL 4
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar
RINGKASAN
1. Letak kedudukan akar diperoleh dari persamaan
persamaan close loop, dengan gain kendali bernilai K
2. Letak kedudukan akar diuji dengan cara, menentukan
selisih jumlah pole dengan zero di suatu letak titik uji
3. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai
ganjil, maka titik uji terdapat akar
4. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai
genap, maka tidak ada akar
5. Plot letak kedudukan akar dapat digunakan untuk
menguji kestabilan sebuah system