(guru besar pada fakultas ekonomi dan manajemen (fem), ipb ... · sehingga arima juga disebut...

(Guru Besar pada Fakultas Ekonomi dan Manajemen (FEM), IPB)

(Lektor pada Fakultas Ekonomi Universitas Jambi)

© Bambang Juanda & Junaidi: EkonometrikaDeret Waktu

Setelah mengikuti pembahasan bab ini, pembaca diharapkan

dapat :

Memahami model ARIMA.

Memahami prosedur Box-Jenkins dalam model ARIMA.

Mengimplementasikan model ARIMA.

Memahami prosedur Eviews untuk pemodelan ARIMA

Menginterpretasikan output program Eviews model ARIMA

© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

dikembangkan George E.P. Box dan Gwilym M. Jenkins (1976),

sehingga ARIMA juga disebut metode deret waktu Box-Jenkins.

Model Box-Jenkins terdiri dari model : Autoregressive (AR),

Moving Average (MA), Autoregressive-Moving Average (ARMA),

dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).


Proses regresi diri (autoregressive), AR: regresi deret Yt terhadap

amatan waktu lampau dirinya sendiri.

Yt-k, untuk k = 1, 2,..., p.

|βj| < 1, dan et kumpulan semua peubah yg mempengaruhi Yt

selain nilai p amatan waktu lampau terdekat.

Dapat diperhatikan bahwa model ini sudah dikurangi dengan

konstanta nilaitengah atau garis kecenderungan (trend) deret,

sehingga E(Yt ) = 0. Dengan demikian, deret yang digunakan di

dalam model ini adalah simpangan terhadap rataannya atau

terhadap garis kecenderungannya. Jika garis kecenderungannya

membentuk kecenderungan musiman, maka model ini dikatakan

“deseasonalized” atau secara umum dikatakan “detrended”,

yaitu model yang garis trend-nya sudah dihilangkan

tptpttt eYYYY ...2211


(Data Stasioner)

Proses Regresi Diri Ordo Pertama

Model regresi diri ordo pertama, AR(1), diberikan oleh:

Sifat-sifat AR(1) yang stasioner adalah :

Syarat kestasioneran proses AR(1) ini ialah bahwa | β1 |< 1.

ttt eYY 11

0

22

1

22

0

/

)1/(

)1/()(

0)(

kk

k

kk

t

t

YVar

YE


Proses Regresi Diri Ordo Kedua

Model regresi diri ordo kedua, AR(2), diberikan oleh:

Sifat-sifat AR(2) yang stasioner adalah :

Persamaan di atas dinamakan persamaan Yule-Walker.

Syarat kestasioneran AR(2):

β1 + β2 < 1, β2 - β1 < 1, dan |β2| < 1

tttt eYYY 2211

,...2,1

,...2,1

2211

2211

kuntuk

kuntuk

kkk

kkk


Proses Regresi Diri Ordo p AR(p)

Model regresi diri ordo p, AR(p), diberikan oleh:

Sifat-sifat AR(p) yang stasioner:

Persamaan Yule-Walker untuk AR(p) adalah:

ρ1 = β1 + β2ρ1 + … + βp ρp-1

ρ2 = β1ρ1 + β2 + … + βp ρp-2

.

.

ρp = β1ρp-1 + β2ρp-2 + … + βp

,...2,1...2211 untukeYYYY tptpttt

tpkpkkk e ...2211


Suatu deret waktu dinamakan deret waktu rataan bergerak ordo ke

q, MA(q), bila:

dengan e didefinisikan sebagai ingar putih (white noise or innovation)

Rataan Bergerak Ordo Pertama

Model yang paling sederhana adalah MA(1), yaitu :

Sifat-sifat model ini adalah :

qtqtttt eeeeY ...2211

11 ttt eeY

20

)1/(

)1/()(

0)(

2

1

2

1

22

0

kuntuk

YVar

YE

kk

t

t


Pakai Eviews dg tanda “-”

Pakai EViews: 11 ttt eeY

Rataan Bergerak Ordo Kedua

Model MA(2):

Sifat-sifat model:

Rataan Bergerak Ordo q

Model umum MA(q) :

berlaku :

2211 tttt eeeY

30

)1/(

)1/()(

)(

)1/()(

0)(

2

2

2

122

2

2

2

12111

2

12

2

2111

22

2

2

1

2

0

kuntuk

YVar

YE

kk

t

t

qtqtttt eeeeY ...2211

1,0

,...2,1...1

...22

2

2

1

2211

qkuntuk

qkuntukkq

qkqkkk


Jika model terdiri atas gabungan proses regresi diri ordo p dan rataan

bergerak ordo q, dinamakan ARMA(p,q).

Bentuk umum persamaan ARMA(p,q):

ARMA(1,1)

Persamaan Yule Walker untuk ARMA(1,1) diberikan oleh:

ARMA(p,q)

Persamaan Yule-Walker untuk ARMA(p,q) diberikan oleh:

qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211

qkuntukpkpkkk ...2211


Persyaratan utama model AR, MA, ARMA adalah

kestasioneran data deret waktu yang digunakan

Jika data deret waktu tidak stasioner dalam level, perlu dibuat

stasioner melalui proses diferensi (difference).

Jika diferensi pertama belum menghasilkan deret yang

stasioner, dilakukan diferensi tingkat berikutnya.

Model AR, MA atau ARMA dengan data yang stasioner

melalui proses diferensi ini disebut dengan model

autoregressive-integrated-moving average (ARIMA).


Prosedur Box-Jenkins

Untuk menentukan perilaku data mengikuti pola AR, MA,

ARMA atau ARIMA, dan untuk menentukan ordo AR, MA.

Empat tahapan prosedur Box-Jenkins :

1. Identifikasi Model

2. Estimasi Parameter Model

3. Evaluasi Model

4. Prediksi atau Peramalan


Identifikasi Model

Deteksi masalah stasioner data. Jika tidak stasioner, lakukan

proses diferensi untuk mendapatkan data stasioner

Identifikasi model ARIMA melalui autocorrelation function (ACF)

dan partial autocorrelation function PACF



PACF

PACF

PACF

PACF

Estimasi Parameter Model

Pengujian kelayakan model dengan mencari model terbaik.

Model terbaik didasarkan goodness of fit melalui uji t, F, R2 serta kriteria

AIC (Akaike information criterion) dan SC (Schwarz criterion)

Evaluasi Model

Lakukan pengujian terhadap residual model yang diperoleh. Model yg

baik memiliki residual bersifat random (white noise).

Analisis residual dgn korelogram melalui ACF dan PACF.

Jika koefisien ACF dan PACF secara individual tidak signifikan, residual

bersifat random. Jika residual tidak random, pilih model yang lain.

Pengujian signifikansi ACF dan PACF dapat dilakukan melalui uji dari

Barlett, Box dan Pierce maupun Ljung-Box.

Prediksi atau Peramalan

Melakukan prediksi atau peramalan berdasarkan model terpilih

Evaluasi kesalahan peramalan: Root Mean Squares Error (RMSE), Mean

Absolute Error (MAE), Mean Absolute Percentage Error (MAPE).


Identifikasi Model

Deteksi masalah stasioneritas

Identifikasi model ARIMA (p,0,q) melalui ACF dan PACF

Bentuk model, dengan cara: Quick > Estimate Equation.

Pilih model dg beberapa pertimbangan sebagai berikut:

Koefisien determinasinya (R-squared) yang terbesar

Kriteria AIC dan SC yang terkecil

• Pada kotak Equation specification, tuliskan

persamaannya sesuai hasil dua langkah

identifikasi sebelumnya

• Lakukan hal ini secara berulang, sesuai

banyaknya model alternatif


Contoh output model AR


Evaluasi Model

Evaluasi model dgn menganalisis residualnya melalui korelogram

ACF maupun PACF

Dari workfile, klik View >Residual Tests > Correlogram–Q–statistics.

Contoh hasilnya sbb:


Prediksi atau Peramalan

Dari menu utama Eviews klik Proc, akan muncul tampilan berikut:

Klik Structure/Rezise Current Page, akan muncul tampilan berikut:

Buka hasil estimasi model. Dari workfile, Klik Proc > Forecast. Muncul

tampilan:

Perpanjang range sampel sesuai keinginan

periode peramalan. Jika periode peramalan

10 periode, data asli sebanyak 246

observasi, maka pada data range diisi 256.

Isikan/Pilih:

• Series to forecast: pilih peubah asli, bukan diferensi

• Series names: tulis peubah penyimpan hasil peramalan

• Method: pilih Dynamic forecast

• Output: centang Forecast graph dan Forecast evaluation

• Klik OK


Klik Structure/Rezise Current Page

Perpanjang range sampel sesuai keinginan

periode peramalan. Jika periode peramalan

10 periode, data asli sebanyak 246

observasi, maka pada data range diisi 256.

Contoh output forecast dinamic


B Xt = Xt-1

B (B Xt) = B2 Xt = Xt-2

ARIMA(0,1,0) (1 – B) Xt = et-1

ARIMA(0,d,0) (1 – B)d Xt = et-1

ARIMA(2,1,1) (1 – φ1 B – φ2 B2)(1 - B)Xt = (1 – θ1 B)et

Tabel 9-1 (Makridakis et. al.)

ARIMA(2,1,0) (1 – φ1 B – φ2 B2)(1 - B)Xt = et

Output Minitab: AR1 =φ1 = 1.29756 AR2 = φ2 = -0.70308


Penulisan Backward Shift Operator

Table 9-2

Data trend & musiman

Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference: ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12

Nonseasonal first-difference: Zt = Xt – Xt-1

Seasonal first-difference: Yt = Xt – Xt-12

Nonseasonal first-difference, kemudian Seasonal-difference:

Zt - Zt-12 = (Xt – Xt-1) - (Xt-12 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13

Seasonal first-difference, kemudian Nonseasonal-difference:

Yt - Yt-1 = (Xt – Xt-12) - (Xt-1 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13

Xt ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12

(1 – B)(1 - B12)Xt = (1 – θ1 B)(1 – Θ1 B12)et

Output Minitab: MA1 =θ1 =0.868497 SMA12 =Θ1 = 0.776126



Table 9-3

Data trend & variasi makin besar (Nonstasioner dlm nilai tengah & ragam)

Harus stasioner dulu dlm Ragam transformasi Log (Ln) atau akar kuadrat

Jika tidak stasioner dlm Ragam, hasilnya dapat menyesatkan.

a. Dari data Asli Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference:

Xt ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12

Nonseasonal first-difference, kemudian Seasonal-difference:

Zt - Zt-12 = (Xt – Xt-1) - (Xt-12 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13

Masih tidak stasioner dlm Ragam

b. Dari data Ln Xt Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference:

Ln Xt ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12

Stasioner dlm Nilai tengah dan Ragam

Ln Xt ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12

(1 – Φ1 B12) (1 – B)(1 - B12)Xt = (1 – θ1 B)(1 – Θ1 B12)et

Output MTB: SAR12=Φ1=0.031698 MA1=θ1 =0.576482 SMA12=Θ1= 0.909646



Model –Model Deret Waktu Stasioner

• Proses Rataan Bergerak, MA(q).

Zt = at - q1at-1 - q2at-2 - …. - qqat-q

• Proses Regresi Diri. AR (p)

Zt = f1Zt-1 + f2Zt-2 + …. + fpZt-p + at

• Proses Campuran, ARMA(p,q)

Zt = f1Zt-1 + f2Zt-2 + …. + fpZt-p

+ at - q1at-1 - q2at-2 - …. - qqat-q

• at adalah white noise

Fungsi Korelasi Diri (ACF)

Untuk menentukan Ordo q dari Proses MA.

‘jumlah yg signifikan’

,....2,1,0,)(

))((r

1

1

2

kn

t

kn

t

ZZ

ZZZZ

t

ktt

k

Fungsi Korelasi Diri Parsial (PACF)

• Korelasi diri parsial antara Zt dan Zt-k

deret waktu stasioner, dilambangkan

sebagai fkk, ialah korelasi antara setelah

pengaruh dari peubah lainnya Zt-1, Zt-2,

….., Zt-k+1 disisihkan.

• Untuk menentukan Ordo p dari Proses

AR (p) -> ‘jumlah yg signifikan’

Proses MA(q)

• ACF menjadi nol setelah lag q

• PACF tidak menjadi nol setelah lag

tertentu.

Proses AR(p)

• PACF menjadi nol setelah lag p.

• ACF tidak menjadi nol setelah lag

tertentu.

Penentuan Ordo p dan qdari Data Stasioner

• Ordo p dari PACF, fungsi korelasi diri

parsial (jumlah yg ‘signifikan’)

• Ordo q dari ACF, fungsi korelasi diri

(jumlah yg ‘signifikan’)

Model Deret Waktu Non-stasioner

• Tidak memiliki nilai tengah yang

konstan.

• ‘Dapat’ distasionerkan dengan Opersi

Beda.

DZt = Zt - Zt-1 adalah beda pertama Zt

D2Zt = DZt - DZt-1 beda kedua Zt.

Model ARIMA(p,d,q)

• Deret waktu {Zt} mengikuti model

ARIMA jika deret beda ke-d, Wt = DdZt

adalah proses ARMA yang stasioner.

• Jika Wt adalah ARMA(p,q), maka Zt

disebut ARIMA(p,d,q).

• ‘Biasanya’ ordo (p,d,q) paling besar 2.

(guru besar pada fakultas ekonomi dan manajemen (fem), ipb ... · sehingga arima juga disebut...

Documents