box jenkins

METODE BOX JENKINS

Metode Deret Berkala Box Jenkins

Suatu metode peramalan yang sistematis, yang tidak mengasumsikan suatu model tertentu, tetapi menganalisa deret berkala sehingga diperoleh suatu model yang cocok dengan data tersebut.

Model Autoregressive Integrated Moving Average ( ARIMA )

Model Autoregressive : nilai data sekarang tergantung nilai data masa lalu. Persamaan :

Yt = a + b1Yt 1 + b2Yt 2 + + bkYt k + et Model Moving Average : nilai data

sekarang tergantung dari forecast error periode sebelumnya. Persamaan : Yt = a + b1et 1 + b2et 2 + + bkYt k + et

Metodologi membentuk model

ARIMA Analisa data deret berkala

Identifikasi model peramalan sementara Estimasi parameter Diagnosa model

Rumuskan kelompok model-model yang

umum

Gunakan model untuk peramalan

Penetapan model yang sementara

Pemeriksaan diagnosis (apakah model

memadai)

Penaksiran parameter pada model sementara

5/25/2006

Subtitle

Skema Pendekatan Box Jenkins

Ya

Tidak

Analisa data deret berkala qPlot data qKoefisien autokorelasi : suatu ukuran statistik

untuk mengukur hubungan linier antara nilai-nilai suatu deret berkala yang sama pada periode waktu yang berlainan. Rumus : (utk data stasioner)

qDistribusi sampling autokolelasi : untuk menilai

tingkat kebetulan koefisien autokorelasi dari suatu data random dan menentukan bagaimana hubungannya dengan signifikansi.

=

=+

= n

tt

kn

tktt

k

YY

YYYYr

1

2

1

)(

))((

Analisa data deret berkala (contd) q Periodogram dan analisa spektral : suatu cara untuk

menganalisa data deret berkala dengan cara menguraikan data kedalam himpunan gelombang sinus pada frekuensi yang berbeda-beda. Data random hampir semua frekuensi mempunyai amplitudo sama. (white noise) Persamaan gelombang sinus : Yt = A sin [(ft/n) 2 + ] A = amplitudo n = jumlah periode data F = frekuensi = sdt. Fase ( radian) T = index waktu

Analisa data deret berkala (contd)

q Koefisien autokorelasi parsial : untuk mengukur tingkat keeratan antara Xt dan Xt k, apabila pengaruh dari time lag 1,2,...,k 1 dianggap terpisah.

Identifikasi Model Peramalan Sementara

1. ARIMA (0,0,0) Nilai Yt terbentuk dari nilai tengah () dan kesalahan random (et) yang bersifat bebas (independent) dari waktu ke waktu. Yt = + et

Identifikasi Model Peramalan Sementara (contd)

2. ARIMA (0,d,0) Data asli mengalami pembedaan orde

ke-d ( 1 B) d Xt = et BXt 1 = Xt 1 BdXt = Xt d d = orde perbedaan


3. ARIMA (p,0,0) Model autoregresif orde ke- p, nilai peramalan sekarang merupakan fungsi dari data sebelumnya. Xt = ' + jXt 1 + + qet q ' = nilai konstan j = parameter autoregresif ke- j Et = nilai kesalahan pada saat t


4. ARIMA (0,0,q) Model moving average orde ke- q, nilai deret berkala pada waktu t dipengaruhi unsur kesalahan saat ini dan unsur kesalahan terbobot pada masa lalu sampai p[eriode ke- q Xt = ' + et 1et -1 - - qet-q dimana : q = parameter moving average ke- q Et k = nilai kesalahan pada saat t k ' = konstanta


5. ARIMA (p,d,q) model umum ARIMA Model autoregresif orde ke- p, mengalami pembedaan orde ke- d, dan proses moving average orde ke- q ARIMA (I,I,I,) : ( 1 B) (1 1B) Xt = ' + (1 1B) et


6. ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s model umum ARIMA dengan aspek musiman

(p,d,q) = bagian model yang tidak musiman (P,D,Q) = bagian model yang musiman S = jumlah periode per musim

Dalam tahap identifikasi dilakukan analisa te rhadap data untuk mengetahu i stasioneritas, proses yang membangkitkan data (AR, MA, ARIMA), dan ada atau tidaknya faktor musiman.

Analisa Stasioneritas

Data yang stasioner : autokorelasinya akan berbeda dari nol atau akan menurun mendekati nol secara eksponensial sesudah time lag kedua atau ketiga.

D a t a y a n g t i d a k s t a s i o n e r : autokorelasinya akan mengikuti pola tren yang menurun.

qProses Autoregresif (AR) ARIMA (1,0,0) : Xt = ' + 1Xt 1 + e2 Ciri-ciri : - terdapat satu autokorelasi parsial yang

berbeda dari nol secara signifikan - autokorelasi menurun secara

eksponensial qGAMBAR :

00.51

1.5

2

2.53

3.5

0 1 2 3 4 5

waktu

nilai

00.05

0.10.150.2

0.250.3

0.350.4

0 2 4 6 8 10

waktu

nilai

ARIMA (2,0,0)

Xt = ' + 1Xt 1 + 2Xt 2 + e2 Ciri-ciri : - terdapat dua buah autokorelasi parsial

yang berbeda dari nol secara signifikan. - autokorelasi mengecil mengikuti bentuk

gelombang sinus. GAMBAR :

nilai

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

waktu

nilai

-4-3-2-101234

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

waktu

nilai

Proses Moving Average (MA) ARIMA (0,0,1) : Xt = + et - 1 et 1

Ciri-ciri : - terdapat satu autokorelasi yang

berbeda dari nol. - autokorelasi parsial menurun secara

eksponensial. GAMBAR :

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

00 2 4 6 8 10

waktunilai

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 2 4 6 8 10

waktu

nilai

ARIMA (0,0,2)

Xt = + et - 1 et 1 - 2 et 2 Ciri-ciri : - terdapat dua autokorelasi yang

berbeda dari nol. - autokorelasi parsial mendekati nol

mengikuti bentuk gelombang sinus yang teredam.

GAMBAR :

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Estimasi Parameter

Metode Trial dan Eror yang menimumkan jumlah kuadrat nilai sisa.

Penafsiran secara Iteratif alogaritma marquadt

Parameter Autoregresif

Persamaan Yule Walker untuk proses autoregresif orde ke- p P1 = 1 + 2P1 + + pPp 1 P2 = 1P1 + 2 + + pPp 2 . . . Pp = 1Pp 1 + 2Pp 2 + + p

Pada proses AR (1) persamaan di atas disederhanakan menjadi : P1 = 1, di mana P1 diduga oleh r1 Pada proses AR (2) : P1 = 1 + 2P1, di mana P1 diduga oleh r1 P1 = 1 + 2P1, di mana P1 diduga oleh r1

Parameter Moving Average : Rumus

Nilai diduga dengan autokorelasi empiris rk, sehingga awal dari koefisien-koefisien q dapat dihitung.

{ } qk

qk

k

q

qkqkk

k

>=

=

+++

+++=

+

,0

,...,2,1,1 212

1 1

k

Pada proses MA(1)

{ } 1,0

1,1

1

21

11

>=

=

+

=

k

k

Pada proses MA(2)

3,01

1)1(

3

22

21

22

22

21

211

>==

++

=

++

=

k

Diagnosa Model Uji signifikasi parameter

: untuk memastikan bahwa nilai-nilai parameter model signifikan terhadap nol.

Uji pola residual hasil peramalan

nilai sisa yang tertinggal sesudah dilakukan pencocokan model diharapkan hanya merupakan gangguan random tidak memiliki autokorelasi dan autokorelasi parsial yang signifikan.

Untuk menguji signifikasi autokorelasi dan autokorelasi parsial digunakan rumus kesalahan standar ( pada tiap nilai rk) dan a tau u j i BOX PIERCE ( pada sekumpulan nilai rk)

Rumus kesalahan standar autokorelasi Barlett :

Rumus kesalahan standar autokorelasi

Quenoville : S (kk) = N-

Limit batas nilai non signifikasi pada tiap nilai 2 S (k) dan 2 S (kk)

1/21-k

1j

2j

-k ] r2 [1N )( S

=

+=

Uji Box Pierce Portmanteau : dilakukan pada kumpulan nilai rk untuk menetapkan signifikasi nilai-nilai rk terhadap nol.

Di mana : N = jumlah pengamatan asli S = jumlah pengamatan per musim d = derajat pembedaan non musiman D = derajat pembedaan musiman m = lag maksimum

Jika nilai Q < X2mpq, maka nilai-nilai rk tidak signifikan

terhadap. nol

=

=m

1kk

2r) sd d N ( Q

box jenkins

Documents