repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/35670/2/153114019_full.pdf · i peramalan banyaknya...

i

PERAMALAN BANYAKNYA PENABUNG DI CREDIT UNION SUMBER

KASIH TERAJU DENGAN METODE BOX-JENKINS

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Vinsensia Laura K.

NIM: 153114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

FORECASTING THE NUMBER OF SAVERS IN CREDIT UNION

SUMBER KASIH TERAJU WITH THE BOX-JENKINS METHOD

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By:

Vinsensia Laura K.

NIM: 153114019

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF

MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


iii


iv


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan

atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 19 Juli 2019

Penulis,

Vinsensia Laura K.


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Vinsensia Laura K.

Nomor Mahasiswa : 153114019

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PERAMALAN BANYAKNYA PENABUNG DI CREDIT UNION SUMBER

KASIH TERAJU DENGAN METODE BOX-JENKINS

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal: 19 Juli 2019

Yang menyatakan

Vinsensia Laura K.


vii

MOTTO

Tak perlu takut apabila tak ada satu orangpun yang mau melindungi

bahkan berteman pun tidak, karena ada Tuhan Yesus yang selalu ada

dimanapun kamu berada.


viii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Kemuliaan Tuhan, kedua orangtua dan keluargaku, serta almamaterku.


ix

ABSTRAK

Pada saat ini kesadaran masyarakat tentang pentingnya menabung semakin

membaik, sehingga banyak sekali masyarakat yang telah menabung. Semakin

banyak minat masyarakat menabung, semakin banyak juga perusahaan yang

berorientasi keuangan didirikan, contohnya ialah Credit Union (CU) dan Bank.

Semakin banyaknya CU dan Bank, semakin ketat juga persaingannya. Oleh karena

itu diperlukan metode peramalan untuk menduga perkembangan perusahaan

tersebut.

Salah satu metode yang digunakan untuk peramalan adalah metode Box-

Jenkins dengan menggunakan model Autoregressive Integrated Moving Average

(ARIMA). Metode ini diterapkan untuk peramalan data penabung Pengari di CU

Sumber Kasih Teraju berdasarkan data yang diambil dari bulan Januari 2012

sampai dengan bulan Agustus 2018.

Berdasarkan hasil peramalan dengan metode Box-Jenkins, diperoleh

kesimpulan bahwa jumlah penabung pada buku tabungan Pengari untuk 8 bulan ke

depan cenderung tetap atau tidak mengalami kenaikan dan penurunan. Sehingga

dapat dikatakan bahwa jumlah penabung dari tabungan Pengari tidak ada

pertumbuhan baru.

Kata Kunci: peramalan, CU Sumber Kasih, ARIMA.


x

ABSTRACT

At present, public awareness about the importance of saving is getting better,

therefore many people have saved money. The more public interest in saving, the

more finance companies are set up, for example are Credit Union (CU) and Banks.

The increasing number of Cus and Banks, the tighter the competition. Therefore a

forecasting method is needed to predict the development of the company.

One method used for forecasting is the Box-Jenkins method using the

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) model. This method is

applied to Pengari savers in taken from January 2012 to August 2018.

Based on the result of the Box-Jenkins forecasting method, the conclusion is

that the number of savers in the passbook for te next 8 months remain unchange.

So that it can be concluded that the number of Pengari savers has no new growth.

Keywords: forecasting, CU Sumber Kasih, ARIMA.


xi

KATA PENGANTAR

Ucapan puji syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria tercinta yang

dengan murah hati mencurahkan segala kebaikan-Nya melalui orang-orang sekitar

dan dari setiap peristiwa yang penulis alami sehingga skripsi ini dapat selesai tepat

waktu. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Univesitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia

membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan.

Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah sabar membimbing saya selama saya mengerjakan skripsi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.

3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,

M.Si., Bapak Ricky Aditya M.Sc., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,

selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, Louis dan keluarga yang telah membantu serta mendukung

penulis selama proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015 dan teman-teman baik yang

mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Yion, Sasmi, Edi, Watik, Devi,

Brigit, Sarah, Acan, Nando, Nerry dan teman-teman statistika lovers.

8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan

skripsi ini.

Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan

mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih


xii

banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis

mengharapkan kritik yang membangun dan saran demi penyempurnaan skripsi ini.

Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi

referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 19 Juli 2019

Penulis,

Vinsensia Laura K.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. vi

MOTTO ................................................................................................................ vii

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... viii

ABSTRAK ............................................................................................................. ix

ABSTRACT ............................................................................................................. x

KATA PENGANTAR ........................................................................................... xi

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang ........................................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................................... 4

C. Batasan Masalah ..................................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ..................................................................................................... 4

E. Manfaat Penulisan ................................................................................................... 5

F. Metode Penulisan .................................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ............................................................................................. 5

BAB II ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN METODE BOX-JENKINS ........... 7

A. Peramalan Data Runtun Waktu ............................................................................... 7

B. Analisis Runtun Waktu ........................................................................................... 8

C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovarian Variabel Random ..................................... 11

D. Kestasioneran ........................................................................................................ 12

E. Transformasi Box-Cox dan Pembedaan (Differencing) ........................................ 15

F. Fungsi Autokovarian, Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial

(PACF) ................................................................................................................. 21

G. Proses White Noise ............................................................................................... 37

H. Model ARMA ....................................................................................................... 42

I. Model ARIMA ...................................................................................................... 51


xiv

J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF ...................................... 54

K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA .................................................................. 58

BAB III METODE BOX-JENKINS ...................................................................... 68

A. Pendahuluan .......................................................................................................... 68

B. Identifikasi Model ................................................................................................. 69

C. Estimasi Model ..................................................................................................... 70

D. Pemeriksaan Diagnostik ........................................................................................ 71

E. Memilih Model yang Terbaik ............................................................................... 74

F. Peramalan .............................................................................................................. 74

BAB IV PERAMALAN DATA PENABUNG DATA PENABUNG CU

SUMBER KASIH TERAJU .................................................................................. 82

A. CU Sumber Kasih Teraju ...................................................................................... 82

B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari .................. 83

BAB V PENUTUP ................................................................................................. 95

A. Kesimpulan ........................................................................................................... 95

B. Saran ..................................................................................................................... 95

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 96

LAMPIRAN ........................................................................................................... 98


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada saat ini kesadaran masyarakat tentang pentingnya menabung

semakin membaik, sehingga banyak sekali masyarakat yang telah menabung.

Semakin banyak minat masyarakat untuk menabung, semakin banyak juga

perusahaan yang didirikan untuk menabung, contohnya ialah Credit Union

(CU) dan Bank. Credit Union atau biasa disingkat CU adalah sebuah lembaga

keuangan yang bergerak di bidang simpan pinjam yang dimiliki dan dikelola

oleh anggotanya dan yang bertujuan untuk mensejahterakan anggotanya

sendiri. Bank adalah sebuah lembaga intermediasi keuangan yang bertugas

menghimpun dan menyalurkan dana di masyarakat untuk meningkatkan taraf

hidup rakyat. CU dan Bank merupakan perusahaan yang didirikan untuk

menabung, namun antara CU dan Bank ada perbedaan, yaitu CU membangun

komunitas, aset utama CU adalah manusia, anggota adalah pemilik,

keuntungan kembali ke anggota, peduli akan masa depan keuangan anggota,

dan tabungan yang dimobilisasi dari anggota kemudian diinvestasikan kembali

kepada anggota, sedangkan Bank membangun sektor keuangan, aset utama

Bank adalah uang, nasabah hanya pengguna, keuntungan kembali kepada

investor, mengutamakan keuntungan yang sebesar-besarnya bagi investor, dan

tabungan yang dimobilisasikan dari masyarakat kemudian diinvestasikan ke

perusahaan besar serta pasar keuangan. Semakin banyaknya CU dan Bank,

semakin ketat juga persaingannya. Oleh karena itu diperlukan metode

peramalan untuk menduga perkembangan perusahaan tersebut. Dengan

demikian dalam tugas akhir ini, akan diramalkan banyaknya penabung di CU

Sumber Kasih Teraju dengan metode Box-Jenkins.

CU Sumber Kasih Teraju memiliki 8 macam tabungan, yaitu Tabungan

Saham, Tabungan Tembawang, Tabungan Sempurai, Tabungan Pengari,

Tabungan Tronong, Tabungan Tanggor, Tabungan Hari Raya, dan Tabungan


2

Kendaraan. Tabungan Saham adalah tabungan yang membuktikan anggota

sebagai pemilik yang sah, yang terdiri dari tabungan pokok dan tabungan

wajib. Tabungan Tembawang adalah tabungan unggulan CU Sumber Kasih

yang memberikan bunga 15 % per tahun, sehingga dalam jangka waktu 5 tahun

tabungan tembawang tersebut akan menjadi 2 kali lipat dari saldo awalnya.

Tabungan Sempurai adalah produk tabungan masa depan. Tabungan Pengari

adalah tabungan yang digunakan untuk kebutuhan makan dan minum sehari-

hari anggota. Tabungan Tronong adalah tabungan untuk biaya pendidikan.

Tabungan Tanggor adalah tabungan untuk biaya pendidikan dalam jangka

panjang. Tabungan Hari Raya adalah tabungan yang digunakan untuk

kebutuhan anggota pada saat merayakan hari raya. Tabungan Kendaraan

adalah produk tabungan perencanaan anggota untuk memiliki kendaraan.

Peramalan (forecasting) adalah suatu teknik untuk menduga kejadian di

masa depan dengan menggunakan referensi data di masa lalu. Data diambil dari

data penabung Pengari. Jadi dalam peramalan ini akan diperoleh model

matematika. Jika hasil peramalan menunjukkan peminat yang menabung di

Tabungan Pengari tersebut hanya sedikit, maka akan dicari solusi dengan cara

memperbaiki kebijakan tabungan tersebut atau dengan cara menciptakan

terobosan baru untuk buku tabungan CU Sumber Kasih Teraju. Dengan

demikian masyarakat akan lebih tertarik untuk menabung di CU Sumber Kasih

Teraju dan sekaligus memberi masukan kepada CU Sumber Kasih Teraju

untuk evaluasi kinerja. Metode yang digunakan dalam peramalan ini ialah

metode Box-Jenkins. Adapun tahapannya adalah identifikasi model, estimasi

model, pemeriksaan diagnosa, dan penerapan model untuk peramalan.

Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu (Wei

2005). Salah satu model yang dapat digunakan untuk peramalan (forecasting)

data runtun waktu adalah model Autoregressive Integrated Moving Average

(ARIMA). Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

merupakan model Autoregressive Moving Average (ARMA) nonstasioner

yang telah diubah (differencing) menjadi model stasioner, sehingga tidak

terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data (data harus horizontal


3

sepanjang sumbu waktu). Dengan kata lain fluktuasi data berada di sekitar

suatu nilai rata-rata yang konstan. Model Autoregressive atau AR adalah suatu

model yang menjelaskan pergerakan suatu variabel melalui variabel itu sendiri

di masa lalu dan dapat ditulis sebagai berikut:

tptpttt eYYYY ...2211

Model Moving Average atau MA adalah suatu model yang menyatakan

pergerakan variabelnya melalui residualnya di masa lalu dan dapat ditulis

sebagai berikut:

qtqtttt eeeeY ...2211

dengan

tY : variabel dependen pada waktu t,

: konstanta,

te : nilai residual pada saat t,

j : parameter autoregressive ke- ,,...,2,1, pjj

j : parameter moving average ke- ,,...,2,1, qjj

kte : nilai residual pada saat .,...,2,1, qkkt

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah gabungan antara

model Autoregressive atau AR dan model Moving Average atau MA, dan dapat

ditulis sebagai berikut:

qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211.

Model ARIMA akan diterapkan untuk meramalkan jumlah penabung Pengari

di CU Sumber Kasih Teraju dengan menggunakan data dari bulan Januari 2012

sampai dengan bulan Agustus 2018.


4

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, secara garis besar uraian rumusan

masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana dasar-dasar teori model ARIMA?

2. Bagaimana model matematika data penabung Pengari di CU Sumber

Kasih Teraju?

3. Bagaimana hasil peramalan 8 bulan ke depan untuk data penabung pengari

di CU Sumber Kasih Teraju?

C. Batasan Masalah

Metode Box-Jenkins yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

1. Meramalkan data penabung Pengari di CU Sumber Kasih Teraju dengan

model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).

2. Dasar teori yang digunakan adalah yang berkaitan langsung dengan topik

utama analisis runtun waktu, yaitu konsep, nilai harapan, dan kovarians

sedangkan teori probabilitas tidak dibahas.

3. Domain waktu yang digunakan adalah diskrit.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Untuk mengetahui dasar-dasar teori model ARIMA.

2. Untuk mengetahui model matematika data penabung Pengari di CU

Sumber Kasih Teraju.

3. Untuk mengetahui hasil peramalan 8 bulan ke depan untuk data penabung

Pengari di CU Sumber Kasih Teraju.


5

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Memperluas wawasan penulis mengenai peramalan dengan menggunakan

metode Box-Jenkins.

2. Menambah pengetahuan pembaca tentang peramalan dengan

menggunakan metode Box-Jenkins.

3. Hasil peramalan data penabung CU Sumber Kasih Teraju dalam 8 bulan ke

depan dapat digunakan sebagai masukan kepada CU Sumber Kasih Teraju

untuk evaluasi kinerja.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi

pustaka dengan membaca buku, jurnal-jurnal, makalah ilmiah yang

berhubungan dengan metode Box-Jenkins dan menggunakan program R.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II METODE BOX-JENKINS

A. Peramalan

B. Analisi Runtun Waktu

C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovariansi Variabel Random

D. Kestasioneran


6

E. Pembedaan dan Transformasi Box-Cox

F. Fungsi Autokovarian, ACF dan PACF

G. Model White Noise

H. Model ARMA

I. Model ARIMA Nonmusiman dan Musiman

J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF

K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA

BAB III METODE BOX-JENKINS

A. Pendahuluan

B. Identifikasi Model

C. Estimasi Model

D. Pemeriksaan Diagnostik

E. Peramalan dengan Model ARIMA

BAB IV PERAMALAN DATA PENABUNG CU SUMBER KASIH

TERAJU

A. CU Sumber Kasih Teraju

B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

LAMPIRAN

DAFTAR PUSTAKA


BAB II

ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN

METODE BOX JENKINS

A. Peramalan Data Runtun Waktu

Peramalan (forecasting) adalah suatu teknik untuk menduga data di masa

depan dengan menggunakan referensi data di masa lalu. peramalan merupakan

alat bantu yang penting dalam perencanaan yang efektif dan efisien

(Makridakis, dkk. 1999).

Berdasakan sifat penyusunannya, peramalan dapat dibedakan menjadi

dua macam yaitu:

1. Peramalan subjektif

Peramalan subjektif adalah peramalan yang didasarkan atas perasaan atau

intuisi dari orang yang menyusunnya.

2. Peramalan objektif

Peramalan objektif adalah peramalan yang didasarkan atas data yang

relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknik-teknik dan metode-

metode dalam penganalisaan data tersebut.

Berdasarkan jangka waktunya, peramalan juga dapat dibagi menjadi dua

macam yaitu:

1. Peramalan jangka panjang

Peramalan jangka panjang adalah peramalan yang dilakukan untuk

menyusun hasil ramalan yang jangka waktunya lebih dari satu setengah

tahun.

2. Peramalan jangka pendek


8

Peramalan jangka pendek adalah peramalan yang digunakan untuk

penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya kurang dari satu setengah

tahun.

Langkah dalam metode peramalan secara umum adalah pengumpulan

data, menyeleksi dan memilih data, memilih model peramalan, menerapkan

model untuk peramalan, dan evaluasi hasil akhir.

B. Analisis Runtun Waktu

Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu (Wei

2005). Analisis runtun waktu merupakan salah satu prosedur statistika yang

diterapkan untuk menduga struktur probabilitas keadaan yang akan datang

dalam rangka pengambilan keputusan. Dasar pemikiran runtun waktu adalah

pengamatan sekarang )( tZ dipengaruhi oleh satu atau beberapa pengamatan

sebelumnya )( ktZ . Dengan kata lain, model runtun waktu dibuat karena secara

statistik ada korelasi antar deret pengamatan. Tujuan analisis runtun waktu

antara lain memahami dan menjelaskan mekanisme tertentu, meramalkan suatu

nilai di masa depan, dan mengoptimalkan sistem kendali.

Langkah penting dalam memilih suatu metode runtun waktu (time series)

yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode

yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data dapat dibedakan

menjadi empat jenis siklis dan trend (Makridakis, dkk, 1999).

1. Pola horizontal (H) terjadi apabila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai

rata-rata yang konstan. (Deret seperti itu adalah “stasioner” terhadap

nilai rata-ratanya). Suatu produk yang penjualannya tidak meningkat

atau menurun selama waktu tertentu termasuk jenis ini. Demikian pula,

suatu keadaan pengendalian kualitas yang menyangkut pengambilan

contoh dari suatu proses produksi kontinyu yang secara teoritis tidak

mengalami perubahan juga termasuk jenis ini.


9

Penjualan perumahan (Makridakis, et.al 1999)

Gambar 2.2.1

Pola Data Horizontal

2. Pola musiman (S) terjadi apabila suatu deret dipengaruhi oleh faktor

musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada

minggu tertentu). Penjualan dari produk seperti minuman ringan, es

krim, dan bahan bakar pemanas ruang, semuanya menunjukkan jenis

pola ini.

Produksi susu per ekor setiap bulan (Makridakis, et.al 1999)

Gambar 2.2.2

Pola Data Musiman

3. Pola siklis (C) terjadi apabila datanya dipengaruhi oleh fluktuasi

ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis.


10

Penjualan produk seperti mobil, baja, dan peralatan utama lainnya

menunjukkan jenis pola ini.

Produksi batu bata tanah liat Australia (Makridakis, et.al 1999)

Gambar 2.2.3

Pola Data Siklis

4. Pola trend (T) terjadi apabila terdapat kenaikkan atau penurunan sekuler

jangka panjang dalam data. Penjualan banyak perusahaan, produk bruto

nasional (GNP) dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya

mengikuti suatu pola trend selama perubahannya sepanjang waktu.

Produksi listrik bulanan di Australia (Makridakis, et.al 1999)

Gambar 2.2.4

Pola Data Trend


11

C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovarian Variabel Random

Berikut akan didefinisikan beberapa konsep yang digunakan dalam

analisis runtun waktu.

Definisi 2.3.1 Nilai Harapan

Misalkan Y variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ).(yp Maka nilai

harapan dari ,Y )(YE didefinisikan sebagai

y

yypYE ).()(

Sedangkan nilai harapan dari variabel acak kontinu Y adalah

.)()( dyyyfYE

Fungsi ini menyatakan nilai rata-rata dari proses Y pada keseluruhan data

runtun waktu.

Definisi 2.32 Variansi Sampel

Variansi dari pengukuran sampel nyyy ,...,, 21 adalah jumlah kuadrat dari

perbedaan antara pengukuran dan rata-ratanya, dibagi dengan .1n Secara

simbolis, sampel varians adalah

n

i

t yyn

s1

22 )(1

1, i=1,2,...,n

dengan

2s = variansi sampel

n = ukuran sampel

ty = nilai y ke-i

y = rata-rata.

Populasi varians yang sesuai dilambangkan dengan simbol .2


12

Definisi 2.33 Fungsi Kovariansi

Jika tY dan sY variabel random dengan rata-rata t dan ,s masing-masing

kovarian dari tY dan sY adalah

)],)([(),cov(),( ssttst YYEYYst t, s = 1,2,...,n

dengan

),( st = fungsi kovariansi antara data pengamatan tY dan sY

tY = data runtun waktu ke-t

sY = data runtun waktu ke-s

t = rata-rata dari data runtun waktu tY

s = rata-rata dari data runtun waktu .sY

Fungsi kovariansi menyatakan ukuran hubungan antar beberapa data runtun

waktu.

D. Kestasioneran

Sifat stasioner adalah tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada

data (data horizontal sepanjang sumbu waktu). Dengan kata lain fluktuasi data

berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan. Sedangkan data yang tidak

stasioner adalah sebaliknya. Data runtun waktu stasioner memiliki rata-rata

dan variansi yang konstan terhadap waktu. Ada 3 kemungkinan suatu data

dikatakan tidak stasioner, yaitu tidak stasioner dalam variansi, tidak stasioner

dalam rata-rata, dan tidak stasioner dalam variansi dan rata-rata (Makridakis,

et.al, 1999). Untuk melihat data apakah stasioner atau tidak dapat dilihat dari

grafik asli dari data atau lebih jelasnya lagi dengan melihat grafik fungsi

autokorelasi (ACF) dan grafik fungsi autokorelasi parsial (PACF) yang

konsepnya akan dibahas kemudian. Selain itu, stasioner dapat ditentukan

berdasarkan pola data runtun waktu yang dapat dilihat dari plot grafiknya.

Secara visual, stasioneritas dan tidak stasioner dari data runtun waktu dapat

dibagi menjadi 3, yaitu:


13

1. Kestasioneran dalam Variansi

Stasioner dalam variansi adalah kondisi di mana data deret waktu

tidak memperlihatkan adanya perubahan variansi dari waktu ke waktu.

Jika data tidak stasioner dalam variansi, maka data dapat diubah menjadi

data yang stasioner dengan cara transformasi Box-Cox. Berikut ini adalah

ilustrasi dari runtun waktu tidak stasioner dalam variansi (Makridakis, et.al

1999).

Gambar 2.4.1

Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Variansi

Dari gambar 2.4.1 terlihat bahwa data tidak stasioner dalam variansi

yang artinya data perlu dilakukan transformasi Box-Cox pada data.

2. Kestasioneran dalam Rata-rata

Stasioner dalam rata-rata adalah kondisi di mana tidak ada

perubahan rata-rata yang jelas dari waktu ke waktu. Jika data tidak

stasioner dalam rata-rata, maka data diubah menjadi data yang stasioner

dengan cara differencing data (mengurangi data di masa lalu). Berikut ini

adalah ilustrasi dari grafik runtun waktu stasioner dalam rata-rata dan tidak

stasioner dalam rata-rata (Shumway, et.al 2005).


14

Gambar 2.4.2

Runtun Waktu Stasioner dalam Rata-rata

Gambar 2.4.3

Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Rata-rata

Dari gambar 2.4.2 terlihat bahwa data stasioner dalam rata-rata yang

artinya data tidak perlu dilakukan differencing data (mengurangi data di

masa lalu). Sedangkan gambar 2.4.3 terlihat bahwa data tidak stasioner

dalam rata-rata sehingga diperlukan tindakan differencing data

(mengurangi data waktu kini dengan data di masa lalu).

3. Kestasioneran dalam variansi dan Rata-rata

Runtun waktu dikatakan stasioner dalam variansi dan rata-rata

adalah kondisi di mana deret waktu tidak memperlihatkan adanya


15

perubahan variansi dari waktu ke waktu dan tidak ada perubahan rata-rata.

Untuk membuat data stastioner pada data yang tidak stasioner dalam

variansi dan rata-rata, dapat dilakukan dengan transformasi data dan

differencing (pembedaan) data. Berikut ini adalah ilustrasi dari runtun

waktu tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi (Makridakis, et.al 1999).

Gambar 2.3.4

Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Variansi dan Rata-rata

Penentuan stasioner ini sangatlah penting. Hal ini berkaitan dengan

metode identifikasi model yang digunakan. Seperti yang akan dijelaskan pada

bab 3 bahwa jenis data harus stasioner.

E. Transformasi Box-Cox dan Pembedaan (Differencing)

Proses transformasi Box-Cox dan proses pembedaan adalah proses

untuk mentransformasikan data yang tidak stasioner menjadi data yang

stasioner. Berikut ini adalah penjelasan mengenai transformasi Box-Cox dan

pembedaan.

1. Transformasi Box-Cox

Transformasi Box-Cox adalah transformasi pangkat pada variabel

respon. Box-Cox mempertimbangkan kelas transformasi berparameter

tunggal, yaitu yang dipangkatkan pada variabel respon Y, sehingga

transformasinya menjadi Y , adalah parameter yang perlu diduga


16

untuk menstasionerkan data. Tabel dibawah adalah beberapa nilai

dengan transformasinya . Transformasi Box-Cox berdasarkan nilai λ

ditunjukkan pada Tabel 2.4.1. (Wei 2005).

Tabel 2.4.1

Transformasi Box-Cox

Bentuk Transformasi

-1

Y

1

-0,5

Y

1

0 )log(/)ln( YY

0,5 Y

1 Y

Berikut ini adalah persamaan transformasi Box-Cox.

0,)log(/ln

0,1

tt

t

t

YY

YY

Contoh 2.4.1

Selidiki apakah data pengiriman bulanan peralatan anti polusi

(Makridakis, et.al 1999) stasioner atau tidak. Apabila data tidak stasioner

transformasilah data agar model menjadi stasioner. Data pengiriman

bulanan peralatan anti polusi terdapat pada lampiran 1.

Penyelesaian:


17

Untuk mengetahui data stasioner atau tidak, penulis melihat grafik data

curah hujan dengan menggunakan program R.

> plot.ts(data,lag.max=130)

Gambar 2.4.1.1

Plot Grafik Data Pengiriman Bulanan

Peralatan Anti Polusi

Terlihat dari grafik di atas, bahwa data tidak stasioner dalam variansi dan

rata-rata, sehingga perlu dilakukan transformasi Box-Cox data dan

differencing data. Di sini penulis melakukan transformasi data

menggunakan program R.

Dipilih nilai .0

> Yt<-log(data)

> plot.ts(Yt,lag.max=130)


18

Gambar 2.4.1.2


Peralatan Anti Polusi Setelah Transformasi

Terlihat dari grafik di atas, bahwa data sudah stasioner dalam variansi

namun tidak stasioner dalam rata-rata. Agar data menjadi stasioner,

langkah selanjutnya adalah menstasionerkan rata-rata dengan cara

differencing data yang akan dibahas pada subbab selanjutnya.

2. Pembedaan (Differencing)

Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur

(backward shift) atau ditulis dengan B, yang penggunaannya adalah

sebagai berikut:

1)( tt YYB .

Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada tY , mempunyai pengaruh

menggeser data 1 periode ke belakang. Dua penerapan B untuk shift tY

akan menggeser data tersebut 2 periode ke belakang, sebagai berikut:

2

2)( ttt YYBBYB .

Untuk data bulanan, jika ingin mengalihkan perhatian ke keadaan pada

bulan yang sama pada tahun sebelumnya, maka digunakan 12B dan

notasinya adalah 12

12

tt YYB .


19

Operator shift mundur tersebut sangat tepat untuk menggambarkan

proses pembedaan (differencing). Sebagai contoh, apabila suatu runtun

waktu tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati

stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data.

Pembedaan (differencing) pertama

1

'

ttt YYY .

Menggunakan operator shift mundur, persamaan di atas dapat ditulis

menjadi sebagai berikut:

tttt YBBYYY )1(' .

Perhatikan bahwa pembedaan (differencing) pertama dinyatakan oleh

)1( B . Sama halnya jika perbedaan orde kedua (yaitu perbedaan pertama

dari perbedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka:

Pembedaan (difference) orde kedua

'

1

'"

ttt YYY

)()( 211 tttt YYYY

212 ttt YYY

tYBB )21( 2

tYB 2)1( .

Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua diberi notasi 2)1( B . Ini

merupakan hal yang penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan

orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua, yang diberi notasi

.1 2B Demikian pula, pembedaan duabelas adalah 121 B , akan tetapi

pembedaan orde ke-12 adalah .)1( 12B

Tujuan menghitung pembedaan adalah untuk mecapai stasioneritas,

dan secara umum, pembedaan orde ke-d dapat ditulis sebagai berikut:

.)1( t

d YB

Pembedaan musiman diikuti dari pembedaan pertama dapat ditulis sebagai

berikut:


20

.)1)(1( t

s YBB

Seluruh faktor dapat dikalikan menjadi sebagai berikut:

t

ss

t

s YBBBYBB )1()1)(1( 1

t

s

tt

s

t YBBYYBY 1

11 sttstt YYYY

untuk data bulanan, s = 12.

Contoh 2.4.2.

Berdasarkan contoh 2.4.1 data tidak stasioner dalam variansi dan rata-rata.

Berikut adalah cara menstasionerkan rata-rata dengan cara differencing

data dengan menggunakan program R.

Penyelesaian:

Data yang digunakan untuk differencing data adalah data yang sudah

ditransformasi.

> yt_diff<-diff(Y,n=1)

Gambar 2.4.2.1


Peralatan Anti Polusi Setelah Differencing

data


21

Grafik di atas sudah menunjukkan bahwa data stasioner dalam variansi dan

rata-rata.

F. Fungsi Autokovarian, Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi

Autokorelasi Parsial (PACF)

Pada subbab ini, akan dibahas beberapa fungsi yang berkaitan langsung

dengan analisis data runtun waktu model ARIMA yang akan akan dibahas

kemudian. Fungsi-fungsi tersebut adalah fungsi autokovarian, fungsi

autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Salah satu

kegunaan ACF dan PACF adalah untuk mendeteksi apakah suatu data runtun

waktu stasioner atau tidak. ACF dan PACF menyediakan informasi yang lebih

eksak melalui pengujian signifikansi dari pada penggunaan grafik yang

interpretasinya sangat tergantung pada pengamatan visual.

1. Fungsi Autokovariansi

Autokovariansi menunjukkan bagaimana elemen-elemen dari

suatu runtun waktu saling bergantung satu dengan yang lainnya.

Definisi 2.5.11

Fungsi autokovariansi st , didefinisikan sebagai

),,cov( kttk YY untuk t,k = 0, ,1 ,...2

dengan

2),()])([(),cov( kttkttktt YYEYYEYY

dengan

k = autokovariansi pada lag-k

tY = nilai variable Y pada waktu t

ktY = nilai variabel Y pada waktu t+k

= rata-rata.

Estimator untuk koefisien autokovariansi k dapat didefinisikan sebagai


22

))((1

ˆ1

n

kt

kttk YYYYn

nk 0

dengan

k = koefisien autokovarian lag-k

n = ukuran sampel

tY = pengamatan pada waktu ke-t

Y = rata-rata pengamatan tY

ktY = pengamatan pada waktu ke-t+k, dengan k = 0, 1, 2...

Contoh 2.5.1

Hitunglah nilai autokovarian dengan menggunakan sampel sebagai

berikut:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9

Penyelesaian:

Dik: n=10 dan Y 8,3

Ilustrasi perhitungan autokovarian sebagai berikut:

t tY 1tY

1 10 8

2 8 6

3 6 7

4 7 5

5 5 11

6 11 12

7 12 8

8 8 7

9 7 9

10 9

10

)3,89(...)3,88()3,810(ˆ

222

0 4,41


23

10

)3,89)(8,87(...)3,86)(3,88()3,88)(3,810(1 -4,841

2. Fungsi Autokorelasi (ACF)

Fungsi autokorelasi (ACF) menyatakan hubungan antara nilai-nilai

dari variabel yang sama tetapi pada periode waktu berbeda. Autokerelasi

(ACF) adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi

(hubungan linear) antara pengamatan pada waktu ke-t (dinotasikan dengan

tX ) dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya (dinotasikan

dengan 1tX , 2tX , ..., ktX ).

Definisi 2.5.21

Autokorelasi merupakan ukuran keeratan hubungan antar pengamatan

dalam suatu data runtun waktu. Koefisien autokorelasi untuk lag-k dari

data runtun waktu dinyatakan sebagai berikut:

,)(

),(

)()(

),(

0

k

t

ktt

ktt

kttk

YVar

YYCov

YVarYVar

YYCov

Koefisien fungsi autokorelasi k di atas dapat diduga dengan koefisien

autokorelasi sampel, yaitu:

n

t

t

n

kt

ktt

kk

YY

YYYY

r

1

2

1

0 )(

))((

dengan

kr = koefisien autokorelasi sampel dari lag ke-k, dimana k =1, 2,...,k

k = koefisien autokorelasi populasi

n = ukuran sampel

tY = nilai Y waktu ke-t

Y nilai rata-rata


24

ktY nilai Y waktu ke-t+k, k = 1, 2,..., n.

Contoh 2.5.2

Hitunglah nilai ACF dengan menggunakan sampel sebagai berikut:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9

Penyelesaian:

Dik: n =10 dan Y 8,3

Ilustrasi perhitungan sampel ACF sebagai berikut:

1)3,89(...)3,88()3,810(

)3,89)(3,89(...)3,88)(3,88()3,810)(3,810(2220

r

0,15668934)3,89(...)3,88(8,3)-(10

8,3)-8,3)(9-(7...8,3)-8,3)(6-(88,3)-8,3)(8-(102221

r

-0,396371,44

)3,89)(3,88(...)3,87)(3,88()3,86)(3,810(2

r

t tY 1tY 2tY 3tY ... 9tY

1 10 8 6 7 9

2 8 6 7 5

3 6 7 5 11

4 7 5 11 12

5 5 11 12 8

6 11 12 8 7

7 12 8 7 9

8 8 7 9

9 7 9

10 9


25

-0,275961,44

)3,89)(3,812(...)3,85)(3,88()3,87)(3,810(3

r

0,0269841,44

)3,89)(3,810(9

r

Berikut adalah grafik ACF dengan menggunakan program R.

> acf(data)

Gambar 2.5.2.1

Plot Grafik ACF

Autokorelasi dapat digunakan untuk mengidentifikasi apakah data

bersifat acak, stasioner ataupun musiman. Fungsi autokorelasi (ACF)

dibentuk dengan himpunan ,...}2,1,0;{ kk dengan .10 Untuk itu

akan didefinisikan stasioner yang telah dideskripsikan sebelumnya dengan

definisi eksak berikut.

1. Wide-Sense stationary (Stasioner Lemah)

Proses TtYt , dengan },2,1,0{ T disebut proses

stasioner W-S jika


26

(i) )|(| 2

tYE t

(ii) )( tYE konstanta, tidak bergantung pada t, t

(iii) hsthshtst ,,),,(),( .

Jika TtYt , stasioner, maka ),0,(),( stst dengan fungsi

kovariansi hanya bergantung pada jarak waktu (t – s) (tetapi tidak

bergantung pada t atau s secara sendiri-sendiri). Fungsi kovariansi

untuk proses stasioner dapat didefinisikan ulang sebagai

),,cov()0,()( tht YYhh ht,

dibaca sebagai kovariansi pada lag-h. Secara ekuivalen, fungsi

korelasi dari proses TtYt , stasioner pada lag-h didefinisikan

sebagai

),cov()0(

)()( tht YY

hh

2. Strictly Stationary (Stasioner Kuat)

Proses TtYt , disebut bersifat stasioner kuat jika fungsi

distribusi kumulatif dari )',,( 1 tkt YY dan )',,( 1 htkht YY sama untuk

semua nilai k dan untuk semua .,,,1 htt k Dengan kata lain,

seluruh sifat statistik dari proses stokastik yang bersifat stasioner kuat

tidak berubah karena pergeseran waktu.

Grafik ACF yang mencirikan data tidak stasioner adalah penurunan

yang lambat dalam ukuran autokorelasi, sedangkan ciri grafik ACF data

yang stasioner adalah sebaliknya. Berikut adalah contoh grafik ACF data

stasioner dan tidak stasioner.


27

Contoh 2.5.21

Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2, dapat

diperoleh plot grafik ACF, penulis menggunakan program R. Dengan

perintah sebagai berikut:

> acf(data,lag.max=25)

Gambar 2.5.2.2

Plot Grafik ACF Data Kuartalan

Grafik ACF di atas menurun secara lambat sehingga data runtun waktu

yang diwakilinya dikatakan tidak stasioner. Karena data tidak stasioner,

perlu dilakukan differencing data. Berikut adalah grafik data kuartalan

yang sudah di-differencing.

> acf(Yt_diff,lag.max=25)


28

Gambar 2.5.2.3

Plot Grafik ACF Data Kuartalan Setelah

Differencing

Dari grafik ACF yang telah di-differencing di atas, terlihat bahwa data

sudah stasioner dan grafik menunjukkan pola musiman yakni dengan

periode 4 bulan, yang dapat dilihat dari ACF yang menonjol tiap 4 bulan.

Sifat 2.6 Distribusi Sampel yang Besar dari ACF

Dalam kondisi umum, jika tx adalah white noise, maka untuk n yang besar,

sampel ACF, ),(ˆ hx untuk h = 1, 2,..., H, biasanya berdistribusi dengan

rata-rata nol dan standar deviasi

.1

)(ˆn

hx

Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi signifikan atau

tidak, perlu dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis

sebagai berikut:

a) 0:0 kH (koefisien autokorelasi tidak signifikan)

b) 0:1 kH (koefisien autokorelasi signifikan)

c) Tetapkan

d) Statistik uji:


29

)( k

k

rSE

rt

dengan ,1

)(n

rSE k untuk k = 0,1,2,...,n.

e) 0H ditolak jika hitungt > df

t,

2

dengan derajat bebas df = n-1, n adalah

banyaknya data. Apabila 0H ditolak, koefisien autokorelasi signifikan.

f) Perhitungan t

g) Kesimpulan

Contoh 2.5.22

Diberikan nilai ACF dengan ,10 r ,15668934.01 r dan 39637.012 r

serta n = 10. Ujilah apakah ACF signifikan atau tidak.

Penyelesaian:

a) 0:0 kH (koefisien autokorelasi tidak signifikan)

b) 0:1 kH (koefisien autokorelasi signifikan)

c) 0,5

d) Statistik uji:

)( k

k

rSE

rt

dengan .1

)(n

rSE k


t,

2

.

262.29,25.0110,

2

5.01,

2

tttn

f) Perhitungan t

10

1)( krSE , untuk k = 0,1,2,...,n.


30

1622.310101

1

)( 0

01

rSE

rt

4954.01015668934.0101

15668934.0

)( 1

12

rSE

rt

2534.1103937.0101

39637.0

)( 3

23

rSE

rt

g) Kesimpulan

0H ditolak karena 3.1622 > 2.262 yang artinya 0r signifikan.

0H diterima karena 0.4954 < 2.262 yang artinya 1r tidak signifikan.

0H diterima karena 1.2534- < 2.262 yang artinya 2r tidak signifikan.

Hasil uji hipotesis ini konsisten dengan grafik 2.5.1.1. Koefisien

otokorelasi yang tidak signifikan akan berada di dalam “pita”, sedangkan

yang signifikan (misal 0r ) melewati batas “pita”. Batas pita tersebut

sesungguhnya adalah selang kepercayaan bagi koefisien otokorelasi yaitu

).()()1(

2)1(

2

kn

kkkn

k rSEtrrSEtr

3. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Definisi 2.5.31

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) pada lag-k adalah hubungan diantara

tZ dan ktZ setelah dependensi linear antara tZ dan ktZ , variabel antara

,1tZ ,2tZ ..., 1ktZ diabaikan.

Fungsi PACF akan dijabarkan dalam proses berikut. Pertimbangkan

model regresi, dengan variabel terikat ktZ dari proses stasioner dengan

rata-rata nol pada variabel lag-k, ,1ktZ ,2ktZ ..., dan tZ yaitu:

kttkkktkktkkt eZZZZ ...2211


31

dengan ki adalah parameter ke-i dari persamaan regresi, dan kte adalah

komponen error yang tidak berkorelasi dengan ,jktZ untuk j = 1, 2,...,

k. Selanjutnya mengalikan jktZ pada kedua sisi persamaan regresi di atas

dan ambil nilai harapannya, diperoleh:

jktktjkttkkjktktkjktktkjktkt ZeZZZZZZZZ ...2211

...)()()( 2211 jktktkjktktkjktkt ZZEZZEZZE

)()( jktktjkttkk ZeEZZE

...)()( 2211 jktktkjktktk ZZEZZE

)()( jktktjkttkk ZeEZZE

Dimisalkan ,)( jjktkt ZZE kj ,...,2,1,0 dan karena ,0)( jktkt ZeE

sehingga diperoleh:

kjkkjkjkj ...2211

oleh karena itu,

....2211 kjkkjkjkj

Untuk ,,...,2,1,0 kj diperoleh:

112011 ... jkkkk

202111 ... jkkkk

.... 02211 kkkkkkk

Persamaan di atas dapat dibentuk dalam matriks, dengan 10 diperoleh:

kkk

k

k

kk

k

k

2

1

2

1

21

11

11

1

1

1

Dengan menggunakan aturan Cramer, ,...,2,1k diperoleh:

111


32

1

1det

1det

1

1

21

1

22

1

1

1

det

1

1

det

12

11

21

312

21

11

33

1

1

1

det

1

1

det

1321

2311

1221

1321

2311

1221

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk

Sampel PACF kk diperoleh dengan mengganti j dengan j dalam

persamaan kk . Untuk sampel PACF dapat diduga dengan menggunakan

metode rekursif, yang dimulai dengan .ˆˆ111 Berikut ini adalah rumus

PACF atau kk .

k

j

jkj

k

j

jkkjk

kk

1

1

11

1,1

ˆˆ1

ˆˆˆ

ˆ

dan

,ˆˆˆˆ1,1,1,1 jkkkkkjjk .,...,1 kj


33

Contoh 2.5.3

Hitunglah nilai PACF dengan menggunakan sampel sebagai berikut:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9

Penyelesaian:

Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan kj r ,

sehingga untuk nilai .ˆ11 r

15668934,0ˆˆ111

43152,0)15668934,0(1

)15668934,0(39637,0

ˆ1

ˆˆˆ2

2

2

1

2

1222

224304,0)15668934,0)(43152,0(15668934,0ˆˆˆˆ11221121

222121

122221333

ˆˆˆˆ1

ˆˆˆˆˆˆ

)39637,0)(43152,0()15668934,0(22434,01

15668934,0)43152,0()39637,0(22434,027596,0

= -0,15044

Berikut adalah grafik PACF dengan menggunakan program R.

> pacf(data)


34

Gambar 2.5.3.1

Plot Grafik PACF

Ciri grafik PACF dari data yang tidak stasioner adalah penurunan yang

lambat dalam ukuran korelasi parsial, sedangkan ciri grafik PACF data

stasioner adalah sebaliknya. Berikut ini adalah contoh grafik PACF data

stasioner dan tidak stasioner.

Contoh 2.5.31

Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2 dapat diperoleh

plot grafik PACF, penulis menggunakan program R. Dengan perintah sebagai

berikut:

> pacf(data,lag.max=25)

Gambar 2.5.3.2

Plot Grafik PACF Data Kuartalan


35

Grafik PACF di atas ada yang melewati pita pada lag-5 sehingga data rntun

waktu yang diwakilinya dikatakan tidak stasioner. Karena data tidak stasioner,

perlu dilakukan differencing data. Berikut adalah grafik data kuartalan yang

sudah di-differencing.

> pacf(Yt_diff,lag.max=25)

Gambar 2.5.3.3

Plot Grafik PACF Data Kuartalan Setelah

Differencing

Dari grafik PACF yang telah di-differencing di atas, terlihat bahwa data sudah

stasioner dan grafik menunjukkan pola musiman yakni dengan periode 4 bulan.

Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi parsial signifikan atau

tidak, perlu dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis.

a) 0:0 kkH (koefisien autokorelasi parsial tidak signifikan)

b) 0:1 kkH (koefisien autokorelasi parsial signifikan)

c) Tetapkan

d) Statistik uji:

)ˆ(

ˆ

kk

kk

SEt

dengan ,1

)ˆ(n

SE kk untuk k = 0,1,2,...,n.


36

0H ditolak jika hitungt > df

t,

2

, dengan derajat bebas df = n-1, n adalah

banyaknya data. Apabila 0H ditolak, koefisien autokorelasi parsial

signifikan.

e) Perhitungan t

f) Kesimpulan

Contoh 2.5.32

Diberikan nilai PACF dengan ,1566.0ˆ11 ,4315.0ˆ

22 dan

1504.0ˆ33 serta n = 10. Ujilah apakah PACF signifikan atau tidak.

Penyelesaian:

a) 0:0 kkH (koefisien autokorelasi parsial tidak signifikan)

b) 0:1 kkH (koefisien autokorelasi parsial signifikan)

c) 0,5

d) Statistik uji:

)ˆ(

ˆ

kk

kk

SEt

dengan .1

)ˆ(n

SE kk


t,

2

, dengan df = n-1.

262.29,25.0110,

2

5.0,

2

tttdf

f) Perhitungan t

10

11)ˆ(

nSE kk .

4952.0101566.0101

1566.0

)ˆ(

ˆ

11

111

SEt

3645.1104315.0101

4315.0

)ˆ(

ˆ

22

222

SEt


37

4756.0101504.0101

1504.0

)ˆ(

ˆ

33

333

SEt

g) Kesimpulan

0H ditolak karena 0.4952 < 2.262 yang artinya 11 tidak signifikan.

0H diterima karena 1.3645- <2.262 yang artinya 22 tidak signifikan.

0H diterima karena 0.4756 < 2.262 yang artinya 33 tidak

signifikan.

Hasil uji hipotesis ini konsisten dengan grafik 2.5.2.1. Koefisien otokorelasi

yang tidak signifikan akan berada di dalam “pita”, sedangkan yang signifikan

melewati batas “pita”. Batas pita tersebut sesungguhnya adalah selang

kepercayaan bagi koefisien otokorelasi yaitu

).ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)1(

2)1(

2

kkn

kkkkkkn

kk SEtSEt

G. Proses White Noise

Definisi 2.6.11

Proses ta disebut proses white noise jika ta adalah barisan variabel acak yang

independen dan berdistribusi identik dengan rata-rata konstan ataE )(

biasanya diasumsikan 0, variansi konstan 2)var( ata dan 0),cov( ktt aa

untuk semua .0k Sehingga suatu proses disebut white noise dengan

autokovarian

,0,0

,0,2

k

ka

k

fungsi autokorelasi


38

,0,0

,0,1

k

kk

dan fungsi autokorelasi parsial

.0,0

,0,1

k

kkk

Dengan demikian proses white noise bersifat stasioner. Bila ta berdistribusi

normal dengan mean 0 dan variansi 2

a , maka runtun waktu disebut white noise

Gaussian.

Contoh 2.6.1

Diberikan contoh sebanyak 300 data, dapat diperoleh plot grafik pada gambar

di bawah ini, grafik dibuat dengan menggunakan program R. Dengan perintah

sebagai berikut:

> white_noise<-arima.sim(list(order=c(0,0,0)),300)

> plot.ts(white_noise,main="white noise")

Gambar 2.6.1.1

White Noise


39

Grafik white noise di atas memiliki rata-rata 0 dan variansi konstan yang

ditunjukkan dengan grafik yang cenderung mendatar dan fluktuasi yang relatif

konstan.

Untuk mengetahui apakah model white noise atau tidak, perlu

dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis Ljung-Box sebagai

berikut:

1. 0...210 kH (residual white noise)

2. 1H = minimal ada satu ,0k untuk Kk ,...,2,1 (residual tidak white

noise)

3. Tetapkan

4. Statistik uji:

h

k

khitung rknnn1

212 )()2(

dengan:

n banyaknya data

h lag-n

2

kr ACF sampel.

5. Dengan daerah penolakannya yaitu 0H ditolak jika 2

hitung > 2

;df atau p-

value < . 2

;df .

6. Perhitungan 2

hitung

7. Kesimpulan

Contoh 2.6.2

Diketahui n = 36, 103,01 r , 099,02 r , 043,03 r , 031,04 r ,

183,05 r , 025,06 r , 275,07 r , 004,08 r , 011,09 r , 152,010 r .

Ujilah apakah data white noise atau tidak.

Jawab:

1. 0...210 kH (residual white noise)


40

2. 1H = minimal ada satu ,0k untuk Kk ,...,2,1 (residual tidak white

noise)

3. 05,0

4. Statistik uji:

h

k

khitung rknnn1

212 )()2(

dengan:

n banyaknya data

h lag-n

2

kr ACF sampel.

5. Dengan daerah penolakannya yaitu 0H ditolak jika 2

hitung > 2

;df , atau p-

value < . 2

;df , dengan df banyaknya k. Diperoleh 2

10;05,0 = 18,3070

6. Perhitungan 2

hitung

h

k

khitung rknnn1

212 )()2(

10

1

2

36

1)38(36 kr

k

2

10

2

3

2

2

2

126

1...

33

1

34

1

35

1)38(36 rrrr

22,7

7. Kesimpulan

Diperoleh 2

hitung =7,22 dan 2

10;05,0 = 18,3070. 0H diterima karena 7,22 <

18,3070. Sehingga dapat disimpulkan bahwa residual white noise.

Model dikatakan white noise apabila grafik ACF dan PACF tidak ada yang

melewati pita .0lag Berikut adalah contoh white noise dengan

menggunakan uji Ljung-Box, grafik ACF, dan grafik PACF dengan program

R. Contoh model ARIMA sebagai berikut:


41

Data yang digunakan adalah data penjualan kuartalan yang dapat dilihat pada

lampiran 2.

Model ARIMA (1, 0, 0)(0, 0, 3)

> Box.test(residual8,lag=20,type="Ljung-Box")

Box-Ljung test

data: residual8

X-squared = 15.736, df = 20, p-value = 0.7329

> acf(residual8)

Gambar 3.1

Grafik ACF Residual

> pacf(residual8)

Gambar 3.2

Grafik PACF Residual


42

p-value > α, 0H diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa model ARIMA

(1, 0, 0)(0, 0, 3) memiliki residual white noise. Dapat dilihat juga dari grafik

ACF residual dan PACF residual, bahwa grafik tersebut tidak ada yang

melewati pita pada lag > 0.

H. Model ARMA

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah gabungan antara

model Autoregressive atau AR dan model Moving Average atau MA. Berikut

adalah model AR, model MA dan model ARMA.

1. Model AR

Model Autoregressive atau AR adalah suatu model yang

menjelaskan pergerakan suatu variabel dikaitkan degan nilai variabel itu

sendiri di masa lalu.

Definisi 2.7.1.1

Suatu model autoregressive dengan orde p, yang dinotasikan AR(p),

mempunyai bentuk sebagai berikut:


dengan tY stasioner, dan p ,,, 21 adalah konstanta. Diasumsikan te

white noise dengan rata-rata 0 dan variansi .2

e Lebih lanjut, jika rata-rata

tY adalah , substitusikan tY akan diperoleh

,)(...)()( 2211 tptpttt eYYYY

atau dapat ditulis


dengan


43

: ),1( 21 p

tY : nilai pengamatan variabel dependen pada waktu t,

j : parameter autoregressive ke- ,,...,2,1, pjj

ktY : pengamatan variabel Y pada waktu ,,...2,1, pkkt

te : nilai residual pada saat t.

Lebih jauh, dapat juga ditulis dalam bentuk

P

P BBBB 2

211)(

Contoh 2.7.1.2

1. AR (1)

ttt eYY 11

atau

tt eYB )1( 1 .

2. AR (2)

tttt eYYY 2211

atau

tt eYBB )1( 2

21 .

Contoh 2.7.1.3


44

Diberikan contoh model AR orde 2 dengan 11 dan 9.02 beserta

ACF dan PACFnya

tttt eYYY 21 9.0

untuk t=1,2,...,300.

Dari persamaan tersebut dibuat simulasi plot grafik dibawah ini yang

dibuat dengan menggunakan program R dengan perintah sebagai berikut:

> ar<-arima.sim(model=list(ar=c(1,-0.9)),n=300)

> plot.ts(ar,main="Autoregressive")

Gambar 2.7.1.1

Plot Grafik AR (2)

> ar.acf<-acf(ar,type="correlation",plot=T)

Gambar 2.7.1.2

Plot Grafik ACF Model AR (2)


45

Grafik ACF di atas meluruh menuju nol seperti gelombang sinus teredam.

> ar.pacf<-acf(ar,type="partial",plot=T)

Gambar 2.7.1.3

Plot Grafik PACF Model AR (2)

Grafik PACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2), artinya orde

dari AR ditentukan oleh lag dimana PACF tersebut signifikan.

2. Model MA

Model Moving Average atau MA adalah suatu model yang

menyatakan pergerakan variabelnya melalui residualnya di masa lalu.

Definisi 2.7.21

Model Moving Average dengan orde q, atau model MA(q), didefinisikan

sebagai


dengan

tY : nilai pengamatan variabel dependen pada waktu t,


46

: konstanta,

te : nilai residual pada saat t,

j : parameter moving average ke- ,,...,2,1, qjj

kte : nilai residual pada saat .,...,2,1, qkkt

Diasumsikan te white noise dengan rata-rata 0 dan variansi 2

er .

Jika B adalah operator shift mundur yang dirumuskan sebagai qtt

q eeB )(

maka model MA di atas dapat disederhanakan menjadi


t

q

qtttt eBeBeBeY )(...)()( 2

21

t

q

qt eBBBY )...1( 2

21 .

Contoh 2.7.2.1

1. MA (1)

11 ttt eeY

atau

tt eBY )1( 1 .

2. MA (2)

2211 tttt eeeY

atau

tt eBBY )1( 2

21 .

Contoh 2.7.2.2

Diberikan contoh MA orde 2 dengan 2.01 dan 4.02 beserta

dengan ACF dan PACFnya

21 4,02,0 tttt eeeY

untuk t=1,2,...,300.


47



> ma<-arima.sim(model=list(ma=c(-0.2,0.4)),n=300)

> plot.ts(ma,main="Moving Average")

Gambar 2.7.2.1

Plot Grafik MA (2)

> ma.acf<-acf(ma,type="correlation",plot=T)

Gambar 2.7.2.2

Plot Grafik ACF Model MA (2)

Grafik ACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2), artinya orde

dari MA ditentukan oleh lag dimana ACF tersebut signifikan.

> ma.pacf<-acf(ma,type="partial",plot=T)


48

Gambar 2.7.2.3

Plot Grafik PACF Model MA (2)

Grafik PACF di atas meluruh menuju nol seperti gelombang sinus

teredam.

3. Model ARMA

Model ARMA adalah gabungan antara model AR dan model MA,

sehingga model ARMA dapat ditulis sebagai berikut:

qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211

atau

t

q

qt

p

p eBBBYBBB )...1()...1( 2

21

2

21

tqtp eBYB )()(

dengan

)(Bp : operator AR

)(Bq : operator MA

Contoh 2.7.3

1. ARMA (1, 1)

1111 tttt eeYY


49

atau

tt eBYB )1()1( 11

AR (1) MA (1)

2. ARMA (2, 2)

22112211 tttttt eeeYYY

atau

tt eBBYBB )1()1( 2

21

2

21

AR (2) MA (2)

Contoh 2.7.3.2

Diberikan contoh ARMA (2,2) dengan ,8.01 ,2.02 ,6.01 dan

2.02 beserta ACF dan PACFnya menggunakan persamaan

2121 2,06,02,08,0 tttttt eeeYYY

untuk t=1,2,...,300.



>arma<-arima.sim(model=list(ar=c(0.8,-0.2),ma=c(-0.6,0.2)),n=300)

> plot.ts(arma,main="ARMA")

Gambar 2.7.3.1

Plot Grafik ARMA (2,2)


50

> arma.acf<-acf(arma,type="correlation",plot=T)

Gambar 2.7.3.2

Plot Grafik ACF Model ARMA (2,2)

Grafik ACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2).

> arma.pacf<-acf(arma,type="partial",plot=T)

Gambar 2.7.3.3

Plot Grafik PACF Model ARMA (2,2)

Grafik PACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2).


51

I. Model ARIMA

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan

model Autoregressive Moving Average (ARMA) nonstasioner yang telah

differencing menjadi model stasioner, sehingga tidak terdapat pertumbuhan

atau penurunan pada data (data harus horizontal sepanjang sumbu waktu).

Dengan kata lain fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang

konstan.

1. Model ARIMA Nonmusiman

Jika nonstasioneritas ditambahkan pada proses ARMA , maka model

umum ARIMA (p, d, q) terpenuhi. Di sini d adalah orde beda (difference).

Tujuan menghitung beda adalah untuk mencapai stasioneritas dan secara

umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d, untuk mencapai

stasioneritas akan ditulis:

Pembedaan orde ke-d = t

d YB)1(

Contoh data yang telah stasioner setelah melakukan proses differencing

sebagai berikut:

1. ARIMA (0, 1, 0)

tt eYB )1(

2. ARIMA (0, d, 0)

tt

d eYB )1(

(pembedaanorde ke − 𝑑

) (nilai

𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙)

Rumus umum untuk model ARIMA (p, d, q) sebagai berikut:

tqt

d

p eBYBB )()1)((

dengan

p : koefisien komponen AR dengan orde ke-p, ,1p 2,..., p,

B : operator backward,

d : pembedaan (differencing) orde ke-d, d =1, 2,..., d,


52

tY : nilai variabel Y pada waktu t,

: konstanta,

q : koefisien komponen MA dengan orde ke-q, q =1, 2,..., q,

te : residual white noise.

Contoh ARIMA (1, 1, 1), adalah sebagai berikut:

tt eBYBB )1()1)(1( 11

(𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑛𝑔

pertama) (AR (1)) (MA (1))

Semua faktor dapat dikalikan dan model umum dapat ditulis sebagai

berikut:

1121111

1

2

11

1

2

11

1

2

11 )1(

tttttt

tttttt

tttttt

ttt

eeYYYY

BeeYBBYBYY

BeeYBBYBYY

BeeYBBB

2. Model ARIMA Musiman

Dengan cara yang persis sama, titik-titik data yang berurutan

mungkin memperlihatkan sifat-sifat AR, MA, campuran ARMA, atau

campuran ARIMA, sehingga data yang dipisahkan oleh satu musim penuh

(yaitu satu tahun) dapat memperlihatkan sifat-sifat yang sama. Sebagai

contoh, perhatikan suatu deret data yang dikumpulkan per kuartal. Maka

pembedaan (difference) musiman dapat dihitung sebagai berikut:

tttt YBYYY )1( 4

4

' .

Deret data yang baru dinyatakan oleh '

tY , sekarang untuk data yang

dikumpulkan bulanan, pembedaan (difference) musiman dalam satu tahun

dapat dihitung sebgai berikut:


53

tttt YBYYY )1( 12

12

' .

Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani aspek musiman, notasi

umum yang singkat adalah:

ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s

(bagian dari

model nonmusiman

) (bagian dari

model musiman

) (𝑠 =

periode musiman

)

Rumus model umum untuk model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s

t

s

Qqt

Dsds

Pp eBBYBBBB )()()1()1)(()(

dengan

p : koefisien komponen AR dengan orde ke-p,

B : operator backward non musiman,

P : koefisien komponen AR musiman dengan orde ke-P,

sB : operator backward musiman,

d : pembedaan (differencing) orde ke-d non musiman,

D : pembedaan (differencing) orde ke-D non musiman,

tY : nilai variabel Y pada waktu t,

q : koefisien komponen MA dengan orde ke-q,

Q : koefisien komponen MA musiman dengan orde ke-Q,

te : residual white noise.

Contoh model ARIMA (1, 1, 1)(1, 1, 1)4 sebagai berikut:

tt eBBYBBBB )1)(1()1)(1)(1)(1( 4

11

44

11

(nonmusiman

AR(1)) (

nonmusiman𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒

) (nonmusiman

MA(1))

(musiman

AR(1)) (

musiman𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒

) (musiman

MA(1))


54

Semua faktor dapat dikalikan dan model umum dapat ditulis sebagai

berikut:

tt eBBBYBBBBBB )1()1)(1( 5

111

4

1

545

111

4

1

tt eBBBYBBBB

BBBBBBBBBBB

)1()

1(

5

111

4

1

10

11

6

11

9

11

5

11

6

1

2

1

5

11

9

1

5

1

8

1

4

1

54

ttttttt

ttttttttt

YBYBYBYBYBYBYB

YBYBYBYBBYBYYBYBY

10

11

6

11

6

1

2

1

9

11

9

1

8

1

5

11

5

1

5

1

5

1

4

1

4

)()(

)()()(

tttt eBBeeBe 5

111

4

1

51141111011911181

611151111412111

)(

)()1()1()1(

ttttttt

tttttt

eeeeYYY

YYYYYY

Jika koefisien dari 1 , 1 , 1 , dan 1 telah diperoleh, maka persamaan

di atas dapat digunakan untuk peramalan (Makridakis, dkk. 1999).

J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF

Untuk menentukan model ARIMA, grafik ACF dan grafik PACF dapat

dijadikan petunjuk. Perlu diingat bahwa untuk menentukan orde AR dapat

dilihat dari grafik PACF dan untuk menentukan orde MA dapat dilihat dari

grafik ACF. Berikut ini adalah rangkuman sifat-sifat sampel ACF, PACF, dan

ordenya.


55

Tabel 2.9.11

Rangkuman Plot Sampel ACF dan PACF Berdasarkan Proses

Proses Pola ACF Pola PACF Model

ARIMA

AR (p) Meluruh menuju nol secara

eksponensial/ gelombang

sinus teredam.

Di atas batas interval

maksimum sampai lag ke p

dan di bawah batas pada

.plag

.

ARIMA

(p, 0, 0)

MA (q) Di atas batas interval

maksimum sampai lag ke q

dan di bawah batas pada

lag > q.

Meluruh menuju nol secara


sinus teredam.

ARIMA

(0, 0, q)

ARMA

(p,q)



sinus teredam.



sinus teredam.

ARIMA

(p, 0, q)

Tabel 2.9.12

Gambar Ilustrasi Sampel ACF dan PACF Berdasarkan Proses

Proses Pola ACF Pola PACF Model

ARIMA

AR (p)

AR (p) untuk p=2

AR (p) untuk p=2

ARIMA

(2, 0, 0)


56

MA (q)

MA (q) untuk q=2

MA (q) untuk q=2

ARIMA

(0, 0, 2)

ARMA

(p,q)

ARMA (p, q) untuk p=2 dan

q=2

ARMA (p, q) untuk p=2 dan

q=2

ARIMA

(2, 0, 2)

Berdasarkan rangkuman tersebut, kita dapat memperkirakan model yang

kemungkinan sesuai untuk data runtun waktu yang diberikan.

Contoh 2.9.1

Diberikan data kuartalan yang dapat dilihat pada lampiran 2. Pada gambar

2.5.1.2 dan gambar 2.5.2.2 pada subbab sebelumnya jelas bahwa data tidak

stasioner dalam rata-rata, sehingga perlu dilakukan differencing data. Setelah

melalui proses differencing data, diperoleh plot grafik ACF dan PACF sebagai

berikut:


57

Gambar 2.9.1.1


Differencing

Gambar 2.9.1.2


Differencing

Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF di atas terdapat musiman. Grafik

PACF menunjukkan nilai yang signifikan pada lag 3 yang mengindikasikan

bahwa model AR(3) nonmusiman dan nilai PACF tunggal yang signifikan pada

lag 4 menunjukkan model AR(1) musiman. grafik ACF menunjukkan nilai

yang signifikan pada lag 0 yang mengindikasikan bahwa model MA(0)

nonmusiman dan nilai ACF yang signifikan pada lag 4, 8, dan 12 menunjukkan

model MA(3) musiman. Oleh karena itu, dapat diperkirakan model yang

kemungkinan sesuai untuk data runtun waktu yang diberikan adalah


58

ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.

Namun perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik pada model terlebih dahulu

dan model harus residual white noise, berdistribusi Normal, serta memiliki

nilai AIC terkecil yang akan dibahas pada bab III.

K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA

Salah satu langkah yang paling penting dalam peramalan yaitu estimasi

atau pendugaan. Estimasi adalah proses yang menggunakan sampel statistik

untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak

diketahui. Berikut ini akan dibahas estimasi model AR, MA, dan ARMA.

1. Estimasi Model AR

Pada persamaan ,...2211 tptpttt eYYYY model

umum AR(p) dinyatakan sebagai:

....332211 tptptttt eYYYYY (11-1)

Apabila kedua sisi persamaan (11-1) dikalikan ,ktY dengan k 1, 2, 3,...,

p, hasilnya adalah

....332211 tktptktptkttkttkttkt eYYYYYYYYYYY (11-2)

Bila memasukkan nilai harapan pada kedua sisi persamaan di atas dan

diasumsikan terdapat stasioneritas, persamaan tersebut akan menjadi

,...332211 pkpkkkk (11-3)

dengan k adalah kovarians antara tY dan .ktY Hal ini dapat berlaku

karena ),,( tkt YYE yaitu nilai harapan ruas kiri persamaan (11-2)

didefinisikan sebagai kovarian antara variabel ktY dan ,tY dengan

variabel-variabel tersebut terpisah sejauh k periode waktu. Demikian pula

),( 1 tkt YYE adalah ,1k karena ktY dan 1tY terpisah sejauh 1k

periode dan demikian seterusnya. Akhirnya )( tkt eYE adalah nol, karena


59

nilai-nilai kesalahan bersifat acak dan tidak berkorelasi dengan nilai-nilai

ktY sebelumnya. Kemudian, sistem persamaan Yule-Walker dari model

AR(p) dapat diberikan sebagai berikut:

,...332211 pkpkkkk (11-4)

Berdasarkan definisi 2.5.21

.0

k

k

Apabila pada (11-4) k 1, 2, 3,..., p, maka sistem persamaan berikut yang

dikenal sebagai persamaan Yule-Walker akan didapat:

ppppp

pp

pp

pp

...

...

...

...

332211

3312213

2132112

1231211

(11-5)

atau

ppppp

p

p

p

3

2

1

3

2

1

321

312

211

121

1

1

1

1

(11-6)

Jika elemen-elemen vektor dan matriks parameter disubstitusi dengan

penduganya, maka diperoleh penduga Yule-Walker yaitu

ppppp

p

p

p

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1ˆˆˆ

ˆ1ˆˆ

ˆˆ1ˆ

ˆˆˆ1

3

2

1

3

2

1

321

312

211

121

(11-7)


60

atau dapat ditulis sebagai berikut:

pppp

p

p

p

p

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1ˆˆˆ

ˆ1ˆˆ

ˆˆ1ˆ

ˆˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

3

2

1

1

321

312

211

121

3

2

1

(11-8)

Solusi dari sistem persamaan di atas merupakan penduga dari model

AR(p). Berdasarkan sistem persamaan (11-8) dapat diperoleh penduga

untuk model AR(p). Karena model AR(1) memiliki nilai 1p maka

diperoleh

11

11ˆˆ1

,ˆˆ.1ˆ1ˆ111

1

1

dan karena model AR(2) memiliki nilai 2p maka diperoleh

1211

2112

2

1

2

1

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1ˆ

ˆ1

2

1

1

1

1

2

1

ˆ

ˆ

1ˆ

ˆ1

ˆ

ˆ

2

1

1

1

2 ˆ

ˆ

1ˆ

ˆ1

ˆ1

1

1


61

2

1

22

1

2

1

1

2

ˆ

ˆ

ˆ1

1

ˆ1

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

1

11

11

2

2

2

11

2

21

2

1

11

11

ˆ1

ˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ

2

21

2

21

2

11

111ˆ1

)ˆ1(ˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

2 2

2

12

2

2

2

11

111ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

ˆˆ

dengan .ˆ

ˆˆ

0

kk

h r

Contoh 11.1.1

Diketahui persamaan untuk model ARIMA (2,0,0) atau AR(2):

.2211 tttt eYYY Akan diduga parameter 1 dan 2 dengan

diketahui data seperti contoh 2.5.3.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9

Penyelesaian:


62

Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan .ˆkh r

22,01568934,01

)3967,01(1568934,0

1

)1(

ˆ1

)ˆ1(ˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ22

1

21

2

21

2

21

2

11

111

r

rr

43,01568934,01

1568934,039637,0

1ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

ˆˆˆ2

2

2

1

2

12

2

2

12

2

2

2

112

111

r

rr

2. Estimasi Model MA

Model MA(q) ditulis sebagai berikut:

....332211 qtqttttt eeeeeY (11-9)

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan (11-9) oleh ktY akan

menghasilkan

)...(

)...(

332211

332211

qktqktktktkt

qtqtttttkt

eeeee

eeeeeYY

(11-10)

Dengan memasukkan nilai harapan yang diharapkan pada dua sisi

persamaan (11-10), akan menghasilkan

].)...(

)...[()(

332211

332211

qktqktktktkt

qtqtttttkt

eeeee

eeeeeEYYE

)]....(

)...[(

332211

332211

qktqktktktkt

qtqttttk

eeeee

eeeeeE

(11-11)

)....

...

...

...[(

2

1

22122122

1111

2

111

2211

qktqtktqtqktqtq

qkttqkttktt

qkttqkttktt

qkttqkttkttkttk

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeeeeeE

q

(11-12)

dengan ).( tktk YYE Nilai harapan persamaan (11-12) akan tergantung

pada nilai k. Bila k = 0, persamaan (11-12) menjadi

).(...)()()( 0

2

202

2

211

2

100 qtqtqttotttt eeEeeEeeEeeE (11-13)


63

Seluruh suku yang lain pada persamaan (11-12) hilang karena adanya

definisi )( itteeE 0 untuk i 0 dan 2)( eitteeE untuk i 0. Jadi,

persamaan (11-13) menjadi

.... 2222

2

22

1

2

0 eqeee (11-14)

Bila faktor 2

e dipisahkan, maka persamaan (11-14) dapat ditulis ulang

sebagai

.)...1( 222

2

2

10 eq (11-15)

Persamaan (11-15) adalah varian dari proses MA(q). Bila k = 1,

persamaan (11-12) menjadi

),(...)()( 101122211111 qtqtqqtttt eeEeeEeeE

.... 2

1

2

21

2

11 eqqee

Nilai semua suku lainnya 0 karena )( itteeE 0 untuk i 0, secara umum

untuk k = k, persamaan (11-12) menjadi

,... 22

22

2

11

2

eqkqekekekk

atau

.)...( 2

2211 eqkqkkkk (11-16)

Bila persamaan (11-16) dibagi (11-15), akan menghasilkan

222

2

2

1

2

2211

0 )...1(

)...(

eq

eqkqkkkkk

(11-17)

apabila q = 1, persamaan (11-17) menjadi

2

11

k

k (11-18)

karena seluruh suku termasuk indeks lebih besar dari 1, yang tidak

terdapat pada model MA(1). Jadi

.1 2

1

11

(11-19)

Persamaan (11-19) dapat dipecahkan untuk ,1 untuk memperoleh

.01

2

111


64

Bila 1 diganti oleh nilai taksirannya, ,1r akan diperoleh

.0ˆˆ11

2

11 rr (11-20)

Memecahkan persamaan (11-20) memperoleh dua nilai untuk .ˆ1 Yang

satu adalah nilai absolut yang lebih kecil dari 1, kemudian ini dipilih

sebagai nilai awal .1

Contoh 11.2.1

Diketahui persamaan untuk model ARIMA (0,0,1) atau MA(1):

.11 ttt eeY Akan diduga parameter 1 dengan diketahui data seperti

contoh 2.5.3.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9

Penyelesaian:

Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan .kk r

0ˆˆ11

2

11 rr ,

Dik: 1r 0,15668934

a

acbb

2

4ˆ2

1

dengan a = 0,15668934, –b = 1, dan c = 0,15668934. Jadi

22,6)0,15668934(2

)0,15668934()0,15668934(411ˆ2

1

16,0)0,15668934(2

)0,15668934()0,15668934(411ˆ2

1

Nilai 1 = 0,16, dipilih karena nilai absolut dari -6,22 lebih besar dari 1.

Untuk proses MA(2), persamaan (11-17) menjadi


65

,1

)1(

1 2

2

2

1

21

2

2

2

1

2111

(11-21)

.1 2

2

2

1

22

(11-22)

Seluruh suku lain pada persamaan (11-17) adalah 0 karena melibatkan

parameter k untuk k > 2, yang tidak terdapat pada model MA(2). Pada

proses MA(3), persamaan yang relevan adalah

2

3

2

2

2

1

33

2

3

2

2

2

1

2112

2

3

2

2

2

1

322111

1

1

1

(11-23)

Persamaan (11-21) dan persamaan (11-22) membentuk suatu sistem

persamaan non linear yang simultan yang pemecahannya tidak mudah.

Demikian pula dengan (11-23) dimana untuk mendapatkan ,1 ,2 dan

3 adalah sukar dan harus dilakukan dengan menggunakan suatu

prosedur iteratif dengan bantuan perangkat lunak. Penaksiran yang

diperoleh dari persamaan-persamaan ini dalam beberapa hal tidak

seakurat model-model AR. Namun demikian, mereka tetap dapat dipakai

sebagai penaksiran awal untuk model-model MA.

3. Estimasi Model ARMA

Untuk memperoleh estimasi model ARMA, persamaan (11-4) dan

(11-11) harus dikombinasikan dan diambil nilai harapannya:

).(...)(

)()(...)(

11

1

ktqtqktt

kttktptpkttk

YeEYeE

YeEYYEYYE

(11-24)

Apabila k > q, maka ,0)( kttYeE sehingga


66

pkpkkk ...2211

ini tidak lain persamaan (11-4). Apabila k < q, residual sebelumnya dan

ktY akan berkorelasi dan autokovarians akan dipengaruhi oleh bagian

dari proses MA, yang perlu diikutsertakan. Model dari proses ARMA

(1,1) diperoleh sebagai berikut:

.1111 tttt eeYY (11-25)

Dengan mengalikan ktY pada kedua sisi (11-25) menghasilkan

.1111 tkttkttkttkt eYeYYYYY (11-26)

Bila dimasukkan nilai harapan pada persamaan (11-26) akan

menghasilkan

)()()()( 1111 tkttkttkttkt eYEeYEYYEYYE

Apabila k = 0, maka

)()()()( 1111 tttttttt eYEeYEYYEYYE

],)[(])[( 111111111110 tttttttkt eeeYEeeeYE

dengan ,)( 0

2 tYE karena

1111 tttt eeYY (11-27)

.)( 2

111

2

110 ee

Sama halnya, apabila k = 1,

.2

1011 e (11-28)

Pemecahan persamaan (11-27) dan (11-28) untuk 0 dan 1

menghasilkan

,1

212

1

11

2

10

(11-29)

.1

))(1(2

1

11111

(11-30)

Hasil pembagian (11-30) dan (11-29) adalah

.21

))(1(

11

2

1

11111

(11-31)


67

Akhirnya, apabila k = 2, fungsi autokorelasi (11-4) menjadi

,112

atau

1

21

(11-32)

Dari persamaan (11-31) dan (11-32) nilai- nilai estimasi dapat

diperoleh. Akan tetapi, pemecahan (11-31) adalah bukan pekerjaan yang

mudah dan memerlukan prosedur iteratif yang banyak memakan waktu.

Sebagai gambaran, andaikan untuk suatu ARMA (1,1) kita

mempunyai 4,01 r dan .2,02 r maka 1 dan 1 dapat diperoleh

sebagai berikut:

.5,04,0

2,0

1

21

r

r

11

2

1

11111

21

))(1(

1

2

1

11

)5,0(21

)5,0)(5,01(4,0

1

2

1

2

111

1

5,025,05,04,0

2

111

2

1 5,025,15,04,04,04,0

01,085,01,0 1

2

1

)1,0(2

)1,0)(1,0(4)85,0(85,0 2

1

13,428,41

Diperoleh nilai 41,81 dan ,15,01 dipilih 15,01 karena model

AR dan MA orde pertama 1 dan 1 harus terletak diantara -1 dan +1.


68

BAB III

METODE BOX-JENKINS

A. Pendahuluan

Model-model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins

(1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang

diterapkan untuk analisis runtun waktu, peramalan dan pengendalian. Model

autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan

kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model moving

average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan tetapi Wold

(1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA.

Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah-

identifikasi efisien dan prosedur penaksiran (untuk proses AR, MA, dan

ARMA campuran), perluasan dari hasil tesebut untuk mencakup runtun waktu

musiman (seasonal time series) dan pengembangan sederhana yang mencakup

proses-proses tidak stasioner (ARIMA).

Box dan Jenkins (1976) secara efektif telah berhasil mencapai

kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami

dan memakai model-model ARIMA untuk runtun waktu univariat. Dasar dari

pendekatan dirangkum di dalam Gambar 3.2 yang terdiri dari tiga tahap yaitu

identifikasi, penaksiran dan pengujian, serta penerapan. Selanjutnya pada bab

ini, masing-masing dari tiga tahap pada Gambar 3.2 akan diuji dan akan

diberikan contoh-contoh praktis untuk memperlihatkan penerapannya

(metodologi Box-Jenkins) untuk analisis runtun waktu univariat.


69

B. Identifikasi Model

Berikut ini adalah langkah-langkah atau tahapan analisis runtun waktu.

Tahap 1

Identifikasi

Tahap II

Penaksiran dan Pengujian

Tidak

Ya

Tahap III

Penarapan

Gambar 3.2 Skema Pendekatan Box-Jenkins

Membuat Plot

Data

Identifikasi

Model

Stasioner/ tidak

stasioner

Penaksiran

parameter pada

model

sementara

Pemeriksaan

diagnosa

(Apakah model

memadai?)

Gunakan

model untuk

peramalan


70

Langkah-langkah untuk mengidentifikasi model ada 3 tahap sebagai

berikut:

1. Pada tahap ini, akan dilihat apakah data yang gunakan sudah stasioner

atau belum. Untuk melihat data tersebut stasioner atau tidak stasioner

bisa dilakukan dengan cara melihat grafik asli dari data tersebut atau

untuk lebih jelas, dapat dilihat dari grafik ACF dan grafik PACF.

Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, data perlu distasionerkan

dengan cara differencing 1 kali. Jika data yang telah differencing 1 kali

masih belum stasioner, maka perlu dilakukan differencing lagi, dengan

maksimal differencing 2 kali. Namun apabila data tidak stasioner dalam

variansi, data perlu distasionerkan dengan cara transformasi Box-Cox.

2. Setelah data stasioner, perlu dilihat apakah data ini mengandung unsur

musiman atau tidak. Untuk mengetahui apakah data mengandung unsur

musiman atau tidak bisa dilakukan dengan cara melihat grafik ACF dan

PACF.

3. Menentukan ordo AR yaitu p dan MA yaitu q dari grafik ACF dan PACF

yang stasioner. Untuk menetukan p, dilihat dari grafik PACF, sedangkan

q dilihat dari grafik ACF. Untuk menentukan nilai d, tergantung dari

data, apakah data sudah pernah melalui proses differencing atau belum.

Jika data yang tidak stasioner diubah menjadi stasioner melalui proses

differencing 1 kali, maka nilai d adalah 1. Setelah menemukan nilai AR

(p), MA (q), dan d, diperoleh model-model ARIMA sementara yang

akan digunakan untuk peramalan.

C. Estimasi Model

Setelah menentukan nilai p dan q yang sesuai, langkah berikutnya

adalah mengestimasi paramater AR dan MA dengan prosedur pada bab II.


71

D. Pemeriksaan Diagnostik

Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari beberapa

kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada tahap

identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu:

1. Residual White Noise

Model ARIMA dikatakan white noise, apabila grafik ACF residual

dan PACF residual tidak ada yang signifikan (melewati batas interval)

pada lag > 0 atau bisa dengan menggunakan uji Ljung-Box dengan

. valuep

2. Residual Berdistribusi Normal

Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk mengetahui uji

normalitas pada data. Berikut adalah tahapan uji Kolmogorov-Smirnov:

a. Pengujian hipotesis.

0H : )()( 0 XFXF (residual berdistribusi Normal)

1H : )()( 0 XFXF (residual tidak berdistribusi Normal)

b. Menentukan nilai taraf signifikan (α) yang digunakan.

c. Menentukan statistik uji

)()( 0 XFXFmaksimumD nhitung

dengan,

)(XFn fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel

)(0 XF fungsi distributif kumulatif di bawah )(0 XF = )( iZZP ,

nilai Z diperoleh dari .S

xxZ i

d. Menentukan daerah kritik (daerah penolakan) 0H , yaitu:

0H ditolak jika nilai ),( nhitung DD , n= banyaknya pengamatan, atau

0H ditolak jika nilai p-value<α. ),( nD didapatkan dari tabel

Kolmogorov-Smirnov.


72

e. Menarik keputusan dan kesimpulan.

Contoh 3.3.2.1

Contoh uji normalitas di bawah ini menggunakan uji Kolmogorov-

Smirnov yang diambil dari pembelajaran metode statistika sebagai

berikut:

Diberikan data sebagai berikut:

73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76.0 76.0 76.0 76.5 76.6 76.9

77.3 77.4 77.7

Uji apakah data tersebut normal dengan menggunakan uji Kolmogorov-

Smornov.

Penyelesaian:

a. Pengujian hipotesis

0H : )()( 0 XFXF (residual berdistribusi Normal)

1H : )()( 0 XFXF (residual tidak berdistribusi Normal)

b. Menentukan nilai taraf signifikan (α) yang digunakan.

c. Menentukan statistik uji

)()( 0 XFXFmaksimumD nhitung

d. Menentukan daerah kritis

0H ditolak jika nilai ),( nhitung DD , n= banyaknya pengamatan.

Diambil nilai 05.0 dan n = 14

)05.0,14(D 0.2257

e. Menghitung statistik uji

Dari perhitungan diperoleh x = 75.943 dan S = 1.227. perhitungan

statistik uji Kolmogorov-Smirnov diberikan pada tabel di bawah

ini:

ix kumF )(XFn s

xxZ i

)()(0 iZZPXF )()( 0 XFXFn

73,9 1 0,0714 -1,66 0,0485 0,023


73

74,2 2 0,1429 -1,42 0,0778 0,065

74,6 3 0,2143 -1,09 0,1379 0,076

74,7 4 0,2857 -1,01 0,1562 0,130

75,4 5 0,3571 -0,44 0,3300 0,027

76 8 0,5714 0,05 0,4801 0,091

76,5 9 0,6429 0,45 0,3264 0,316

76,6 10 0,7143 0,54 0,2946 0,420

76,9 11 0,7857 0,78 0,2177 0,568

77,3 12 0,8571 1,11 0,1335 0,724

77,4 13 0,9286 1,19 0,1170 0,812

77,7 14 1 1,43 0,0764 0,924

Dari perhitungan D, diperoleh nilai paling maksimum adalah 0.924.

f. Menentukan kesimpulan

Karena nilai D=0.924 > 0.2257, 0H ditolak. Dapat dikatakan bahwa

data tersebut tidak berdistribusi Normal.

Dengan menggunakan program R, residual berdistribusi Normal

apabila valuep dengan menggunakan uji One-sample Kolmogorov-

Smirnov test.

Contoh 3.3.2.2

Dengan menggunakan data pada contoh 3.3.2.2, diberikan contoh uji

normalitas dengan menggunakan program R. Dengan perintah sebagai

berikut:

> help(ks.test)

> ks.test(data,"pnorm")

Hasil:

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: data


74

D = 1, p-value = 1.383e-12

alternative hypothesis: two-sided

kesimpulannya diperoleh valuep , sehingga dapat dikatakan bahwa

residual tersebut tidak berdistribusi Normal.

3. AIC (Akaike’s Information Criterion) Terkecil

AIC (Akaike’s Information Criterion) adalah suatu kriteria

pemilihan model terbaik dengan mempertimbangkan banyaknya

parameter dalam model referensi. Semakin kecil nilai AIC, model semakin

baik dan layak untuk digunakan.

mLAIC 2log2

2log))2log(1(log2 nnL

mnnAIC 2log))2log(1( 2

dengan,

m = ,QPqp

2 = variansi,

n = jumlah pengamatan (data).

E. Memilih Model yang Terbaik

Untuk memilih model yang terbaik adalah dengan cara memilih model

yang memiliki nilai AIC terkecil, residual white noise, dan berdistribusi

Normal.

F. Peramalan

Peramalan merupakan suatu cara yang digunakan untuk mengetahui

nilai atau keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka

pengambilan keputusan. Jika seluruh asumsi residual terpenuhi, peramalan

akan dilakukan.


75

Dengan menggunakan metode Box-Jenkins, berikut adalah contoh

meramalkan data dengan menggunakan program R.

Contoh 3.11

Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2.

1. Identifikasi Model

Identifikasi data yang akan kita proses apakah mengandung trend atau

musiman. Pertama–tama kita harus melihat grafik dari data asli, supaya kita

dapat mengetahui apakah data stasioner atau tidak.

Gambar 3.11.1

Plot Grafik Data Kuartalan

Terlihat dari grafik di atas bahwa data belum stasioner terhadap rata-rata,

sehingga data perlu distasionerkan, dengan cara differencing data asli 1 kali.

Gambar 3.11.2

Plot Grafik Data Kuartalan Setelah

Differencing

Untuk memastikan bahwa data tersebut stasioner kita membuat grafik ACF dan

PACF data yang telah differencing.


76

Gambar 3.11.3


Diferencing

Gambar 3.11.4


Diferencing

Dari grafik ACF dan grafik PACF di atas, data telah stasioner dan grafik

menunjukkan pola musiman yaitu periode 4. Berdasarkan grafik ACF

diketahui bahwa model MA(q)=0 dan grafik PACF diketahui bahwa model

AR(p)=3. Untuk d non musiman bernilai 1 dan D musiman bernilai 0. Grafik

ACF dan grafik PACF juga menunjukan adanya musiman yakni dengan

periode 4 bulanan (sesuai dengan data) dan orde P=0 serta Q=3. Dengan

kombinasi p=3, d=1, q=0, P=0, D=0, Q=3, diperoleh model ARIMA sebagai

berikut:


77

Tabel 3.111

Model (p,d,q)

Model

(p,d,q)

Q

0

p

0 (0,1,0)

1 (1,1,0)

2 (2,1,0)

3 (3,1,0)

Tabel 3.112

Model (P,D,Q)

Model

(P,D,Q)

Q

0 1 2 3

P 0 (0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,0,3)

Tabel 3.113

Model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)

Model

),,(),,( QDPqdp

(P,D,Q)

(0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,0,3)

(p,d,q)

(0,1,0) (0,1,0)(0,0,0) (0,1,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,0,2)

(0,1,0) (0,0,3)

(1,1,0) (1,1,0)(0,0,0) (1,1,0)

(0,0,1)

(1,1,0)

(0,0,2)

(1,1,0) (0,0,3)

(2,1,0) (2,1,0)(0,0,0) (2,1,0)

(0,0,1)

(2,1,0)

(0,0,2)

(2,1,0) (0,0,3)

(3,1,0) (3,1,0)(0,0,0) (3,1,0)

(0,0,1)

(3,1,0)

(0,0,2)

(3,1,0) (0,0,3)

Kemungkinan-kemungkinan model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s yang dapat

diusulkan adalah sebagai berikut :


78

1. ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4

2. ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4

3. ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4

4. ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4

5. ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4

6. ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4

7. ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4

8. ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4

9. ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4

10. ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4

11. ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4

12. ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4

13. ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4

14. ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4

15. ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4

16. ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4

2. Estimasi Model

Setelah menentukan nilai p, d, q dan P, D, Q, langkah berikutnya adalah

mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model dengan

menggunakan program R. Hasil dugaan parameter dari setiap model tersebut

dapat dilihat pada lampiran 4.

3. Pemeriksaan Diagnostik

Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari beberapa

kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada tahap

identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual white noise,

berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah tabel hasil uji

diagnostik data kuartalan dari kemungkinan-kemungkinan model ARIMA

yang diperoleh pada tahap identifikasi. Dipilih 05.0


79

Tabel 3.3.11

Hasil Uji Diagnostik Data Kuartalan

Model

p-value uji

White Noise

p-value uji

Berdistribusi

Normal

AIC

ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4 1,162e-07

(Tidak W.N)

0,001627

(Tidak B.N)

276,32

ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4 5,441e-05

(Tidak W.N)

0,2329

(B.N)

261,53

ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4 0,0006535

(Tidak W.N)

0,5078

(B.N)

251,41

ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4 0,03812

(Tidak W.N)

0,997

(B.N)

248,74

ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4 2,648e-07

(Tidak W.N)

0,1952

(B.N)

275,63

ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4 0,000456

(Tidak W.N)

0,4253

(B.N)

261,9

ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4 0,001774

(Tidak W.N)

0,9082

(B.N)

252,3

ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4 0,05162 (W.N) 0,9895

(B.N)

250,12

ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4 3.934e-07

(Tidak W.N)

0,754

(B.N)

275,32

ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4 0,0006481

(Tidak W.N)

0,7986

(B.N)

262,15

ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4 0,001609

(Tidak W.N)

0,9979

(B.N)

252,16

ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4 0,03727

(Tidak W.N)

0,9975

(B.N)

250,09


80

ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4 0,0194

(Tidak W.N)

0,2371

(B.N)

265,08

ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4 0,4579 (W.N) 0,9348 (B.N) 255,02

ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4 0,5193 (W.N) 0,7706 (B.N) 246,78

ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4 0,6964 (W.N) 0,8092 (B.N) 246,12

Keterangan:

W.N: White Noise

B.N: Berdistribusi Normal

4. Memilih Model yang Terbaik

Untuk memilih model yang terbaik adalah dengan cara memilih nilai

AIC terkecil, residual white noise dan berdistribusi Normal. Dari tabel di atas,

model yang terbaik adalah model ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.

12382414332321211 )()()1(ˆ ttttttttt eeeeYYYYY

4321 5308,0)4616,05308,0()3772,04616,0()13772,0(ˆ ttttt YYYYY

1284 5049,02061,19132,0 tttt eeee

844321 2061,19132,05308,09924,08388,06228,0ˆ tttttttt eeeYYYYY

125049,0 te

Dapat dilihat bahwa identifikasi awal model ini terkonfirmasi dengan

simulasi beberapa model di atas.

5. Peramalan dengan Model ARIMA

Setelah memperoleh model yang terbaik, penulis dapat memprediksi

data kuartalan dalam waktu 12 bulan ke depan dengan menggunakan model

ARIMA terbaik yaitu ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.


81

Tabel 3.5.11

Hasil Peramalan

t 1 2 3 4 5 6

tY 638,9223 719,5191 857,5270 706,0912 658,1084 692,7139

t 7 8 9 10 11 12

tY 823,0381 753,4810 698,1081 680,9790 765,5963 768,6675

Keterangan:

t = minggu ke-

tY = hasil peramalan.

Grafik di bawah ini adalah hasil peramalan tersebut.

Hasil Peramalan

Gambar 3.5.1

Grafik tY

Gambar 3.5.1 menunjukkan bahwa tidak ada kenaikan dan penurunan yang

signifikan, sehingga disimpulkan bahwa hasil prediksi konstan.


82

BAB IV

PERAMALAN DATA PENABUNG

CU SUMBER KASIH TERAJU

A. CU Sumber Kasih Teraju

Credit Union atau biasa disingkat CU adalah sebuah lembaga keuangan

yang bergerak di bidang simpan pinjam yang dimiliki dan dikelola oleh

anggotanya dan yang bertujuan untuk mensejahterakan anggotanya sendiri.

CU Sumber Kasih Teraju berdiri pada tanggal 1 Mei 1994 yang

berlokasi di desa Teraju, Kab. Sanggau, Kec. Toba, Prov. Kalimantan Barat.

CU Sumber Kasih memiliki 8 macam tabungan, yaitu Tabungan Saham dan

Tembawang, Tabungan Sempurai, Tabungan Pengari, Tabungan Tronong,

Tabungan Tanggor, Tabungan Hari Raya, dan Tabungan Kendaraan. Tabungan

Saham adalah tabungan yang membuktikan anggota sebagai pemilik yang sah,

yang terdiri dari tabungan pokok dan tabungan wajib. Apabila sudah masuk

menjadi anggota, otomatis sudah masuk bagian Tabungan Tembawang.

Tabungan Sempurai adalah produk tabungan masa depan. Tabungan Pengari

adalah tabungan yang digunakan untuk kebutuhan makan dan minum sehari-

hari anggota. Tabungan Tronong adalah tabungan untuk biaya pendidikan.

Tabungan Tanggor adalah tabungan untuk biaya pendidikan dalam jangka

panjang. Tabungan Hari Raya adalah tabungan yang digunakan untuk

kebutuhan anggota pada saat merayakan hari raya. Tabungan Kendaraan

adalah produk tabungan perencanaan anggota untuk memiliki kendaraan.

Pada tugas akhir ini, akan dianalisis tabungan pengari dengan alasan

Tabungan Pengari adalah tabungan yang paling banyak diminati oleh

masyarakat. Data yang digunakan untuk penelitian ini diambil dari bulan

Januari 2012 sampai dengan bulan Agustus 2018 yang berupa jumlah

penabung Pengari setiap bulan.


83

B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari

Peramalan ini dilakukan dengan cara menjalankan program melalui

program R. Data penabung Pengari dapat dilihat pada lampiran 3. Berikut

adalah penerapan metode Box-Jenkins untuk peramalan penabung Pengari.

1. Identifikasi Model

Data penabung Pengari dapat dilihat pada lampiran. Tahap pertama

dilakukan dengan memanggil data penabung Pengari (data asli), untuk

selanjutnya membuat plot grafik dari data tersebut. Plot grafik data asli

dapat dilihat pada gambar 4.1

Gambar 4.1

Grafik Data Asli Penabung Pengari

Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat stasioner dalam

rata-rata maupun variansi. Lebih lanjut, untuk memastikan data sudah

stasioner, dapat dilihat dari plot grafik ACF dan grafik PACF dari data asli

pada gambar 4.2 dan gambar 4.3.

Gambar 4.2

Grafik ACF Data Asli Penabung Pengari


84

Gambar 4.3

Grafik PACF Data Asli Penabung Pengari

Berdasarkan plot grafik ACF dan grafik PACF di atas, data terlihat

stasioner. Setelah melihat grafik ACF dan grafik PACF yang stasioner dari

data penabung pengari, terlihat bahwa data tidak mengandung musiman,

sehingga peramalan ini menggunakan model ARIMA nonmusiman.

Dengan melihat grafik ACF dan PACF, penulis dapat menentukan

nilai p dan q. Lebih lanjut, grafik ACF signifikan pada lag-3 (MA(q)=3),

d bernilai 0 karena tidak melalui proses differencing, dan grafik PACF

signifikan pada lag-1 (AR(p)=1). Pemilihan model dilakukan menurut

prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan bahwa semakin

sederhana sebuah model statistik dengan jumlah variabel dependen yang

cukup informatif, semakin baik pula model statistik tersebut. Sehingga

penulis memperoleh kemungkinan-kemungkinan model ARIMA yang

dapat diusulkan sebagai berikut:

1) ARIMA (0, 0, 1)

2) ARIMA (0, 0, 2)

3) ARIMA (0, 0, 3)

4) ARIMA (1, 0, 0)

5) ARIMA (1, 0, 1)

6) ARIMA (1, 0, 2)

7) ARIMA (1, 0, 3)


85

2. Estimasi Model

Setelah menentukan nilai p dan q, langkah berikutnya adalah

mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model

dengan menggunakan program R. Berikut ini adalah tabel parameter AR

dan MA.

Tabel 4.2.1

Hasil Estimasi Model

ARIMA

(0, 0, 1)

ARIMA

(0, 0, 2)

ARIMA

(0, 0, 3)

ARIMA

(1, 0, 0)

ARIMA

(1, 0, 1)

ARIMA

(1, 0, 2)

ARIMA

(1, 0, 3)

33,6949 33,3203 33,2351 33,6951 33,3117 33,4172 36,2473

1 0,6378 0,4187 0,5165 0,9695

1 0,6491 0,8263 0,7981 0,3931 0,2807 -0,2122

2 0,2569 0,3359 -0,0769 -0,4783

3 0,1252 -0,1144

AIC 695,22 691,5 692,94 691,62 690,64 692,6 692,87

3. Pemeriksaan Diagnostik

Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari

beberapa kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada

tahap identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual white

noise, berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah tabel hasil

uji diagnostik data penabung pengari dari kemungkinan-kemungkinan

model ARIMA yang diperoleh pada tahap identifikasi. Dipilih 005,0


86

Tabel 4.2.2

Hasil Uji Diagnostik Penabung Pengari

Model

p-value

dengan Uji

White Noise

p-value

dengan Uji

Distribusi

Normal

Nilai

AIC

ARIMA (0, 0, 1) 0,1368 (W.N) 5,019e-10

(Tidak B.N)

695,22

ARIMA (0, 0, 2) 0,6749 (W.N) 3,444e-10

(Tidak B.N)

691,5

ARIMA (1, 0, 0) 0,8389 (W.N) 5,277e-11

(Tidak B.N)

692,94

ARIMA (1, 0, 1) 0,9196 (W.N) 6,037e-12

(Tidak B.N)

691,62

ARIMA (1, 0, 2) 0,8987 (W.N) 4,99e-11

(Tidak B.N)

690,64

Keterangan:

W.N: White Noise


Karena tidak ada model ARIMA yang berdistriusi Normal, mungkin

residual asli yang digunakan untuk peramalan tidak berdistribusi normal.

Lebih lanjut, lakukan uji distribusi normal pada data asli dengan

menggunakan uji Shapiro-Wilk.

> shapiro.test(data$jumlah)

Shapiro-Wilk normality test

data: data$jumlah

W = 0.67112, p-value = 4.269e-12


87

005,0 valuep , data tidak berdistribusi Normal. Karena data asli

tidak berdistribusi Normal, perlu dilakukan transformasi data asli dengan

menggunakan program R.

> library(car)

> powerTransform(data$jumlah)

Estimated transformation parameter

data$jumlah

-0.08214592

Diperoleh nilai lambda sehingga dapat menggunakan rumus transformasi

Box-Cox Y dengan perintah pada program R sebagai berikut:

> yt<-data^-0.08214592

Setalah data ditransformasi, selanjutnya dilihat apakah data sudah

berdistribusi Normal atau belum dengan menggunakan uji Shapiro-Wilk

pada program R.

> shapiro.test(yt)


data: yt

W = 0.95548, p-value = 0.007195

Dari hasil uji Shapiro di atas, dapat dilihat bahwa data sudah berdistribusi

Normal. Karena data sudah berdistribusi Normal, lakukan proses

peramalan dengan metode Box-Jenkins dari awal.

a. Identifikasi Model

Data penabung Pengari yang telah ditransformasi dapat dilihat

pada lampiran. Tahap pertama dilakukan dengan memanggil data

penabung Pengari (data yang telah ditransformasi), untuk selanjutnya

membuat plot grafik dari data tersebut. Plot grafik data asli dapat

dilihat pada gambar 4.1.1


88

Gambar 4.1.1

Plot Grafik Data Penabung Pengari

Setelah Transformasi

Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat tidak stasioner

dalam rata-rata. Lebih lanjut, untuk memastikan apakah data stasioner

atau tidak, dapat dilihat dari plot grafik ACF dan grafik PACF dari

data yang telah ditransformasi pada gambar 4.1.2 dan gambar 4.1.3.

Gambar 4.1.2

Plot Grafik ACF Data Penabung Pengari



89

Gambar 4.1.3

Plot Grafik PACF Data Penabung Pengari


Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF, data terlihat tidak

stasioner, sehingga perlu dilakukan differencing pada data. Setelah

dilakukan proses differencing, kemudian dibuat plot grafik

berdasarkan data tersebut. Plot data setelah mengalami proses

differencing dapat dilihat pada gambar 4.1.4.

Gambar 4.1.4

Plot Grafik Data Penabung Pengari

Setelah Differencing

Berdasarkan plot grafik di atas, data terihat stasioner, baik stasioner

dalam rata-rata maupun stasioner dalam variansi. Lebih lanjut, untuk

memastikan apakah data stasioner atau tidak, dapat dilihat dari plot

ACF dan PACF dari data asli pada gambar 4.1.5 dan gambar 4.1.6.


90

Gambar 4.1.5

Plot Grafik ACF Data Penabung Pengari


Gambar 4.1.6

Plot Grafik PACF Data Penabung Pengari


Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF di atas, data terlihat

stasioner. Setelah melihat grafik ACF dan grafik PACF yang stasioner

dari data penabung Pengari, terlihat bahwa data tidak mengandung

musiman, sehingga peramalan ini menggunakan model ARIMA

nonmusiman.

Dengan melihat grafik ACF dan grafik PACF, penulis dapat

menentukan nilai p dan q. Lebih lanjut, grafik ACF signifikan pada

lag-1 (MA(q)=1), d bernilai 1 karena melalui proses differencing, dan

grafik PACF signifikan pada lag-1 (AR(p)=1). Pemilihan model


91

dilakukan menurut prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan

bahwa semakin sederhana sebuah model statistik dengan jumlah

variabel dependen yang cukup informatif, semakin baik pula model

statistik tersebut. Sehingga penulis memperoleh kemungkinan-

kemungkinan model ARIMA yang dapat diusulkan sebagai berikut:

1) ARIMA (0,1,1)

2) ARIMA (1,1,0)

3) ARIMA (1,1,1)

b. Estimasi Model

Setelah menentukan nilai p dan q, langkah berikutnya adalah

mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model

dengan menggunakan program R. Berikut ini adalah tabel parameter

AR dan MA.

Tabel 4.2.11

Hasil Estimasi Model

ARIMA

(0, 1, 1)

ARIMA

(1, 1, 0)

ARIMA

(1, 1, 1)

1 - -0,1105 0,2464

1 -0,7293 - -0,8555

AIC -349,81 -340,54 -350,06

c. Pemeriksaan Diagnostik

Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari

beberapa kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada

tahap identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual

white noise, berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah

tabel hasil uji diagnostik data penabung pengari dari kemungkinan-


92

kemungkinan model ARIMA yang diperoleh pada tahap identifikasi.

Dipilih 005,0

Tabel 4.2.12

Hasil Uji Diagnostik Penabung Pengari

Model

p-value

dengan Uji

White Noise

p-value

dengan Uji

Distribusi

Normal

Nilai

AIC

ARIMA (0, 1, 1) 0,4001 (W.N) 0,1413 (B.N) -349,81

ARIMA (1, 1, 0) 0,3305 (W.N) 0,2216 (B.N) -340,54

ARIMA (1, 1, 1) 0,7702 (W.N) 0,04565 (B.N) -350,06

Keterangan:

W.N: White Noise


d. Memilih Model yang Terbaik

Model ARIMA (0,1,1), ARIMA(1,1,0), dan ARIMA (1,1,1)

memenuhi uji white noise dan uji distribusi Normal. Namun, pada

model ARIMA (1,1,1) memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan

model ARIMA (0,1,1) dan ARIMA (1,1,0). Sehingga dapat

disimpulkan bahwa model ARIMA (1,1,1) merupakan model terbaik.

Karena *

tY merupakan data yang sudah mengalami transformasi,

sehingga .2-0,0821459*

tt YY Jadi, diperoleh model terbaik sebagai

berikut:

112111

* )1(( ttttt eeYYY

atau

08214592,0

1

112111 ))1(( ttttt eeYYY


93

08214592,0

1

121 )8555,02464,0)12464,0(( ttttt eeYYY

e. Peramalan dengan Model ARIMA

Langkah terakhir adalah proses peramalan dengan

menggunakan model ARIMA yang terbaik. Data yang digunakan

dalam peramalan adalah data asli tY , bukan menggunakan data yang

sudah mengalami transformasi pangkat .*

tY Oleh karena itu, hasil

peramalan perlu di pangkat 8214592,0

1

agar sesuai dengan data asli.

Jadi, hasil peramalan penabung pengari untuk 8 bulan ke depan dengan

menggunakan ARIMA (1,1,1) disajikan dalam tabel berikut:

Tabel 4.2.13

Hasil Peramalan

t 1 2 3 4 5

tY 22,076 22,350 22,418 22,435 22,439

Se 1,352 1,344 1,342 1,340 1,338

Batas Atas 17,345 17,647 17,722 17,746 17,757

Batas Bawah 26,806 27,052 27,113 27,123 27,120

t 6 7 8

tY 22,440 22,440 22,440

Se 1,337 1,335 1,334

Batas Atas 17,761 17.768 17,839

Batas Bawah 27,118 27,111 27,040


94

Untuk menentukan batas atas dan batas atas, menggunakan rumus

sebagai berikut:

setYsetYn

tn

t)1(

2)1(

2

ˆˆ

Plot grafik data tY dan peramalannya dapat dilihat pada gambar 4.5.1

Hasil Peramalan

Gambar 4.5.1

Grafik Yt


95

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil peramalan dengan metode Box-Jenkins pada bab IV,

jumlah penabung pada buku Tabungan Pengari untuk 8 bulan ke depan tidak

mengalami kenaikan dan penurunan. Sehingga dapat dikatakan bahwa jumlah

penabung dari buku Tabungan Pengari masih tergolong normal dan tidak ada

pertumbuhan baru. Di tengah persaingan sengit produk perbankan hal ini perlu

diantisipasi. CU perlu melakukan terobosan untuk menaikkan jumlah nasabah

baru. Tidak adanya pertumbuhan jumlah nasabah dapat mengancam eksistensi

CU dalam jangka panjang.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian dengan menggunakan metode Box-Jenkins,

saran-saran yang dapat diberikan peneliti sebagai berikut:

1. Untuk CU Sumber Kasih Teraju diharapkan dapat menerapkan sistem

peramalan, sehingga CU Sumber Kasih dapat mengetahui perkembangan

kantor kedepannya.

2. Dari hasil analisis perlu strategi pemasaran supaya ada pertumbuhan dari

jumlah penabung.

3. Sebelum melakukan tahap peramalan dengan menggunakan metode Box-

Jenkins, perlu dilakukan tes normalitas terlebih dahulu. Hal tersebut

dikarenakan data yang akan digunakan untuk peramalan bisa saja tidak

normal.


DAFTAR PUSTAKA

Brockwell, P.J. and Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series Forecasting

(2th ed.). New York: Springer. [online],

(http://economics-pr.weebly.com/uploads/4/8/6/0/48608947/brockwell-

davis-introduction_to_time_series_and_forecasting.pdf, diakses pada

tanggal 2 Maret 2018).

Chan, Ngai Hang. (2002). Time Series Applications to Finance. New York: Wiley-

Interscience

Ispriyanti, Dwi. (2004). Pemodelan Statistik dengan Transformasi Box Cox. Jurnal

Matematika dan Komputer. 7(3): 8-17. [online],

(https://ejournal.undip.ac.id/index.php/matematika/article/view/154/1115,

diakses tanggal 11 Maret 2019).

Makridakis, S, et.al. (1998). Forecasting Methods and Applications (3nd ed). USA:

John Wiley and Sons, Inc.

Makridakis, S. dkk. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga.

Perdana, Antonius Andika Rian. (2017). Penerapan Metode ARIMA untuk

Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor. Matematika.

Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Pramujo, B. dkk. (2014). Pemodelan Debit Menggunakan Metode ARIMA Guna

Menentukan Pola Operasi Waduk Selorejo. Jurnal Teknik Pengairan. 5(2):

141-148. [online],

(http://jurnalpengairan.ub.ac.id/index.php/jtp/article/view/213/207,

diakses tanggal 27 Juli 2018).

Shumway, R.H. and Stoffer, D.S. (2005). Time Series Analysis and Its Applications

with R Examples (2rd ed.). New York: Springer. [online],

(https://web.njit.edu/~wguo/Math447/Time%20Series%20Analysis%20and

%20Its%20Application%20with%20R%20examples.pdf, diakses pada

tanggal 2 Maret 2018).


http://economics-pr.weebly.com/uploads/4/8/6/0/48608947/brockwell-davis-introduction_to_time_series_and_forecasting.pdf

http://economics-pr.weebly.com/uploads/4/8/6/0/48608947/brockwell-davis-introduction_to_time_series_and_forecasting.pdf

https://ejournal.undip.ac.id/index.php/matematika/article/view/154/1115

http://jurnalpengairan.ub.ac.id/index.php/jtp/article/view/213/207

https://web.njit.edu/~wguo/Math447/Time%20Series%20Analysis%20and%20Its%20Application%20with%20R%20examples.pdf

https://web.njit.edu/~wguo/Math447/Time%20Series%20Analysis%20and%20Its%20Application%20with%20R%20examples.pdf

Sitorus, V.B. dkk. (2017). Peramalan dengan Metode Seasonal Autoregressive

Integrated Moving Average (SARIMA) di Bidang Ekonomi. Jurnal

Eksponensial. 8(1). [online],

(http://jurnal.fmipa.unmul.ac.id/index.php/exponensial/article/view/71/41,

diakses tanggal 27 Juli 2018).

Wackerly. D. D. et.al. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7nd ed.).

USA:Thomson Brooks/ Cole.

Wahyuningsih, N. dkk. (2017). Model Penjualan Plywoo PT. Linggarjati

Mahardika Mulia. Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami.

1(1): 52-57.

Wahyuningtyas. (2011). Forecasting Hasil Produksi Rokok Sukun di Kabupaten

Kudus Tahun 2011 dengan Metode Analisis Runtun Waktu. Matematika.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri

Semarang.

Wei, W.W.S. (2005). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods

(2nd ed.). New York: Pearson.


http://jurnal.fmipa.unmul.ac.id/index.php/exponensial/article/view/71/41

LAMPIRAN

Berikut adalah lampiran program dan data yang digunakan pada Tugas Akhir ini.

Lampiran 1: Data pengiriman bulanan peralatan polusi

Periode Observasi

1 122.64

2 120.888

3 164.688

4 147.168

5 171.696

6 228.636

7 124.392

8 155.928

9 217.248

10 176.076

11 142.788

12 196.224

13 228.636

14 234.768

15 319.74

16 241.776

17 151.548

18 352.152

19 239.148

20 233.892

21 471.288

22 290.832

23 284.7

24 291.708


Periode Observasi

25 287.328

26 315.36

27 417.852

28 288.204

29 225.132

30 430.992

31 229.512

32 296.964

33 355.656

34 367.92

35 317.112

36 359.16

37 249.66

38 455.52

39 607.068

40 425.736

41 494.064

42 486.18

43 494.064

44 459.024

45 543.12

46 567.648

47 613.2

48 791.904

49 305.724

50 713.064

51 1156.32

52 829.572

53 865.488


Periode Observasi

54 1318.38

55 971.484

56 817.308

57 1079.232

58 1013.532

59 986.376

60 1264.068

61 997.764

62 1415.616

63 1709.952

64 1443.648

65 1619.724

66 2120.796

67 923.304

68 860.232

69 1639.872

70 1106.388

71 1161.576

72 1034.556

73 960.972

74 1214.136

75 1492.704

76 991.632

77 1025.796

78 1399.848

79 818.184

80 865.488

81 1547.892

82 1003.02


Periode Observasi

83 960.972

84 1568.04

85 1065.216

86 1107.264

87 2411.628

88 1510.224

89 1876.392

90 1792.296

91 1307.868

92 1705.572

93 1945.596

94 2219.784

95 2528.136

96 3534.66

97 1546.14

98 2246.064

99 2930.22

100 2462.436

101 2551.788

102 3140.46

103 2437.032

104 2109.408

105 3853.523

106 2840.868

107 3164.112

108 3946.38

109 3044.976

110 3957.768

111 4552.571


Periode Observasi

112 3651.167

113 3861.408

114 5048.388

115 2990.664

116 2677.056

117 5566.103

118 3661.68

119 2435.28

120 3550.428

121 2215.404

122 3312.156

123 4289.771

124 3218.424

125 3193.02

126 3542.544

127 2169.852

128 1536.504

129 3454.944

130 2351.184

Lampiran 2: Data kuartalan

Tahun Kuartal Periode Penjualan

1970

1

2

3

4

1

2

3

4

362

385

432

341


1971

1972

1973

1974

1975

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

382

409

498

387

473

513

582

474

544

582

681

557

628

707

773

592

627

725

854

661

Lampiran 3: Data banyaknya penabung pengari

t ( bulan) banyaknya penabung

1 28

2 147

3 150

4 89

5 66

6 43



7 32

8 46

9 41

10 51

11 31

12 23

13 37

14 48

15 35

16 68

17 54

18 36

19 59

20 46

21 33

22 22

23 39

24 22

25 33

26 31

27 37

28 23

29 25

30 30

31 43

32 36

33 39

34 42

35 16



36 23

37 25

38 29

39 25

40 30

41 27

42 24

43 44

44 36

45 33

46 56

47 20

48 17

49 32

50 27

51 26

52 29

53 28

54 28

55 21

56 35

57 30

58 26

59 16

60 15

61 29

62 22

63 18

64 11



65 16

66 11

67 20

68 18

69 30

70 17

71 17

72 5

73 24

74 16

75 22

76 25

77 27

78 43

79 33

80 21

Lampiran 4: Analisis data dengan program R pada contoh 3.11 bab III

1. Identifikasi model

- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya

> data<-read.csv(file.choose(),header=T)

> attach(data)

> par(mfrow=c(2,1))




2. Estimasi model

- Hasil estimasi model

1) ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4


> l1=arima(data,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,0),period=4))

> l1

Call:

arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 0), period

= 4))

sigma^2 estimated as 8858: log likelihood = -137.16, aic = 276.32

2) ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4


> l2

Call:

arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 1),period

= 4))

Coefficients:

sma1

1.0000

s.e. 0.4261


3) ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4


> l3

Call:


= 4))


Coefficients:

sma1 sma2

1.2064 0.9999

s.e. 0.2861 0.3452


4) ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4


> l4

Call:


= 4))

Coefficients:

sma1 sma2 sma3

1.2504 1.3900 0.6021

s.e. 0.2408 0.4559 0.3393


5) ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4


> l5

Call:


= 4))


Coefficients:

ar1

-0.3578

s.e. 0.2102


6) ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4


> l6

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 sma1

-0.2692 0.9998

s.e. 0.2042 0.5467


7) ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4


> l7

Call:


= 4))

Coefficients:


ar1 sma1 sma2

-0.2192 1.1824 1.0000

s.e. 0.2035 0.2897 0.3573


8) ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4


> l8

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 sma1 sma2 sma3

-0.1633 1.2275 1.3758 0.5850

s.e. 0.2051 0.2459 0.4700 0.3448


9) ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4


> l9

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2


-0.4431 -0.333

s.e. 0.2090 0.211


10) ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4


> l10

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 sma1

-0.3275 -0.282 0.9972

s.e. 0.2100 0.208 1.0716


11) ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4


> l11

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 sma1 sma2

-0.2940 -0.2988 1.1383 1.0000


s.e. 0.2102 0.1974 0.2905 0.3568


12) ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4


> l12

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 sma1 sma2 sma3

-0.2272 -0.2931 1.1628 1.3379 0.5716

s.e. 0.2123 0.1995 0.2505 0.4542 0.3342


13) ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4


> l13

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 ar3

-0.5949 -0.5963 -0.6938

s.e. 0.1541 0.1572 0.1495



14) ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4


> l14

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 ar3 sma1

-0.4698 -0.4957 -0.6273 0.7518

s.e. 0.1704 0.1729 0.1646 0.3124


15) ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4


> l15

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 ar3 sma1 sma2

-0.4466 -0.4918 -0.5595 0.9501 1.000

s.e. 0.1765 0.1715 0.1696 0.3029 0.401


sigma^2 estimated as 817.2: log likelihood = -117.39, aic = 246.78

16) ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4


> l16

Call:


= 4))

Coefficients:

ar1 ar2 ar3 sma1 sma2 sma3

-0.3772 -0.4616 -0.5308 0.9132 1.2061 0.5049

s.e. 0.1910 0.1732 0.1809 0.2826 0.4808 0.3535


3. Pemeriksaan diagnostik

- Uji white noise, dan uji distribusi normal

1) ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4

> residual1<-resid(l1)


Box-Ljung test

data: residual1

X-squared = 71.193, df = 20, p-value = 1.162e-07

RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE

> shapiro.test(residual1)



data: residual1

W = 0.84302, p-value = 0.001627

RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL

2) ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4



Box-Ljung test

data: residual2





data: residual2

W = 0.94699, p-value = 0.2329

RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL

3) ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4



Box-Ljung test

data: residual3






data: residual3

W = 0.96328, p-value = 0.5078


4) ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4



Box-Ljung test

data: residual4





data: residual4

W = 0.99036, p-value = 0.997


5) ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4



Box-Ljung test


data: residual5





data: residual5

W = 0.94351, p-value = 0.1952


6) ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4



Box-Ljung test

data: residual6





data: residual6

W = 0.95934, p-value = 0.4253


7) ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4




Box-Ljung test

data: residual7





data: residual7

W = 0.98069, p-value = 0.9082


8) ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4



Box-Ljung test

data: residual8


RESIDUAL WHITE NOISE



data: residual8

W = 0.98805, p-value = 0.9895



9) ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4



Box-Ljung test

data: residual9





data: residual9

W = 0.97353, p-value = 0.754


10) ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4



Box-Ljung test

data: residual10






data: residual10

W = 0.9754, p-value = 0.7986


11) ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4



Box-Ljung test

data: residual11





data: residual11

W = 0.9909, p-value = 0.9979


12) ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4



Box-Ljung test

data: residual12






data: residual12

W = 0.99065, p-value = 0.9975


13) ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4



Box-Ljung test

data: residual13





data: residual13

W = 0.94734, p-value = 0.2371


14) ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4



Box-Ljung test

data: residual14






data: residual14

W = 0.98234, p-value = 0.9348


15) ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4



Box-Ljung test

data: residual1





data: residual15

W = 0.97422, p-value = 0.7706


16) ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4




Box-Ljung test

data: residual16





data: residual16

W = 0.97586, p-value = 0.8092


4. Peramalan dengan model ARIMA

- Peramalan dengan model ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4 untuk waktu 12 bulan ke

depan:

> pred.data=predict(l16,n.ahead=12)

> pred.data.low=pred.data$pred-1.96*pred.data$se

> pred.data.up=pred.data$pred+1.96*pred.data$se

> pred.data

$pred

Time Series:

Start = 25

End = 36

Frequency = 1

[1] 638.9223 719.5191 857.5270 706.0912 658.1084 692.7139 823.0381

753.4810

[9] 698.1081 680.9790 765.5963 768.6675

$se

Time Series:


Start = 25

End = 36

Frequency = 1

[1] 30.60581 35.98521 37.16417 37.09419 56.33797 66.46408

70.40760

[8] 70.84176 88.62197 101.43023 108.28204 110.19177

- Plot gambar 3.5.1


> plot.ts(data)

Lampiran 5: Analisis data dengan program R pada bab IV


- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya


> attach(data)

> par(mfrow=c(2,1))




2. Estimasi model


1) ARIMA(0,0,1)

> L1<-arima(data,order=c(0,0,1))

> L1

Call:

arima(x = data, order = c(0, 0, 1))


Coefficients:

ma1 intercept

0.6491 33.6949

s.e. 0.0720 3.2862


2) ARIMA(0,0,2)


> L2

Call:


Coefficients:

ma1 ma2 intercept

0.8263 0.2569 33.3203

s.e. 0.1202 0.1053 3.9941


3) ARIMA(0,0,3)


> L3

Call:


Coefficients:

ma1 ma2 ma3 intercept

0.7981 0.3359 0.1252 33.2351

s.e. 0.1367 0.1542 0.1731 4.3140



4) ARIMA(1,0,0)


> L4

Call:


Coefficients:

ar1 intercept

0.6378 33.6951

s.e. 0.0845 5.2932


5) ARIMA(1,0,1)


> L5

Call:


Coefficients:

ar1 ma1 intercept

0.4187 0.3931 33.3117

s.e. 0.1529 0.1700 4.5515



6) ARIMA(1,0,2)


> L6

Call:


Coefficients:

ar1 ma1 ma2 intercept

0.5165 0.2807 -0.0796 33.4172

s.e. 0.5358 0.6249 0.4299 4.7605


7) ARIMA(1,0,3)


> L7

Call:


Coefficients:

ar1 ma1 ma2 ma3 intercept

0.9695 -0.2122 -0.4783 -0.1144 36.2473

s.e. 0.0465 0.1455 0.1082 0.1341 10.0363


3. Pemeriksaan diagnostik



1) ARIMA(0,0,1)

> residual1<-resid(L1)


Box-Ljung test

data: residual1





data: residual1

W = 0.76328, p-value = 5.019e-10

RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI TIDAK NORMAL

2) ARIMA(0,0,2)



Box-Ljung test

data: residual2






data: residual2

W = 0.75672, p-value = 3.444e-10


3) ARIMA(0,0,3)



Box-Ljung test

data: residual3





data: residual3

W = 0.72227, p-value = 5.277e-11


4) ARIMA(1,0,0)



Box-Ljung test

data: residual4






data: residual4

W = 0.67853, p-value = 6.037e-12


5) ARIMA(1,0,1)



Box-Ljung test

data: residual5





data: residual5

W = 0.72123, p-value = 4.996e-11


6) ARIMA(1,0,2)




Box-Ljung test

data: residual6





data: residual6

W = 0.71632, p-value = 3.877e-11


7) ARIMA(1,0,3)



Box-Ljung test

data: residual7





data: residual7

W = 0.71832, p-value = 4.298e-11




- Memanggil data yang telah ditransformasikan dan membuat plot grafiknya

> plot.ts(yt,lag.max=80)

> acf(yt,lag.max=80)

> pacf(yt,lag.max=80)

- Differencing data

> yt_diff<-diff(yt,n=1)

- Membuat plot grafik setelah di-differencing

> plot.ts(yt_diff,lag.max=80)

> acf(yt_diff,lag.max=80)

> pacf(yt_diff,lag.max=80)

5. Estimasi model


1) ARIMA(0,1,1)

> L2<-arima(yt,order=c(0,1,1))

> L2

Call:

arima(x = yt, order = c(0, 1, 1))

Coefficients:

ma1

-0.7293

s.e. 0.1005

sigma^2 estimated as 0.0006582: log likelihood = 176.9, aic = -349.81


2) ARIMA(1,1,0)


> L1

Call:


Coefficients:

ar1

-0.4238

s.e. 0.1105

sigma^2 estimated as 0.0007454: log likelihood = 172.27, aic = -

340.54

3) ARIMA(1,1,1)


> L3

Call:


Coefficients:

ar1 ma1

0.2464 -0.8555

s.e. 0.1507 0.0795

sigma^2 estimated as 0.0006385: log likelihood = 178.03, aic = -

350.06


6. Pemetiksaan diagnostik


1) ARIMA(0,1,1)



Box-Ljung test

data: residual2





data: residual2

W = 0.97621, p-value = 0.1413


2) ARIMA(1,1,0)



Box-Ljung test

data: residual1






data: residual1

W = 0.97933, p-value = 0.2216


3) ARIMA(1,1,1)



Box-Ljung test

data: residual3





data: residual3

W = 0.96851, p-value = 0.0456


7. Peramalan dengan model ARIMA

- Peramalan dengan model ARIMA (1,1,1) untuk waktu 8 bulan ke depan:

> pred.data=predict(L3,n.ahead=8)

> pred.data.low=pred.data$pred-1.96*pred.data$se

> pred.data.up=pred.data$pred+1.96*pred.data$se

> pred.data

$pred


Time Series:

Start = 81

End = 88

Frequency = 1

[1] 0.7755361 0.7747500 0.7745563 0.7745086 0.7744968 0.7744939

0.7744932

[8] 0.7744930

$se

Time Series:

Start = 81

End = 88

Frequency = 1

[1] 0.02526797 0.02712980 0.02780385 0.02827694 0.02870188

0.02911110 0.02951234

[8] 0.02990764

- Plot gambar 4.5.1


> plot.ts(data)


repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/35670/2/153114019_full.pdf · i peramalan banyaknya...

Documents