yunimatematika09.files.wordpress.com€¦ · web viewbatasan masalah. dalam makalah ini, masalah...

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Sebagai seorang manusia kita tidak tahu apa yang akan terjadi di masa yang akan

datang, oleh karena itu terkadang kita membuat suatu peramalan untuk menentukan apa yang

akan terjadi di kemudian hari.

Peramalan yang baik adalah peramalan yang di dasarkan pada beberapa metode,

salahsatunya adalah peramalan dengan menggunakan metode runtun waktu.

Biasanya metode peramalan runtun waktu menggunakan metode Box Jenkins. Metode

ini digunakan untuk data univariat (tunggal) yang di dalamnya diperlukan konsep

kestasioneran dan ketakstasioneran data, autokovarians, operator backshift dan operator

differensi, autokorelasi, serta autokorelasi parsial. Dalam metode ini dikenal proses

autoregressive (AR), proses moving average (MA), proses campuran atau autoregressive

moving average (ARMA). Sedangkan untuk data runtun waktu nonstasioner dikenal proses

integrated autoregressive moving average (ARIMA).

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah

ini adalah sebagai berikut :

1. Bagaimana cara untuk mengidentifikasi suatu model?

2. Bagaimana mengestimasi parameter dalam suatu model?

3. Bagaimana cara untuk memverifikasi suatu model?

4. Bagaimana meramalkan data dari model?

C. Batasan MasalahDalam makalah ini, masalah yang dibahas akan dibatasi untuk metode peramalan

univariat Box Jenkins, baik itu model AR, MA, ARMA, ataupun ARIMA.

D. Tujuan Penelitian

Secara umum, penelitian ini bertujuan untuk mempelajari tahap-tahap peramalan dari

data runtun waktu yang telah diperoleh, yaitu :

1. Mampu mengidentifikasi model dari data runtun waktu.

1

2. Mampu mengestimasi parameter yang ada dalam model.

3. Mampu memverifikasi suatu model.

4. Mampu meramalkan data runtun waktu untuk beberapa periode waktu yang akan datang.

Secara khusus, penelitian ini bertujuan untuk meramalkan angka kematian balita di

Indonesia untuk 5 bulan kedepan.

E. Manfaat yang Diharapkan

Makalah penelitian ini tentunya akan memberikan banyak manfaat, baik bagi

mahasiswa maupun bagi kalangan lainnya. Bagi mahasiswa, makalah penelitian ini merupakan

media untuk menambah pengetahuan baru serta pengalaman dalam hal penelitian. Sedangkan

untuk kalangan lainnya, bisa menjadi sumber rujukan maupun bacaan untuk meningkatkan

kemampuan diri dalam menggali dan menumbuhkembangkan ilmu, serta memberikan motivasi

untuk melakukan penelitian, khususnya di bidang statistika.

F. Metode Penelitian

Metode yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah mencari data runtun waktu

dan mengolahnya dengan menggunakan software Minitab versi 16.

2

BAB II

STUDI PUSTAKA

A. Metode Runtun Waktu

Runtun waktu adalah susunan observasi berurut menurut waktu. Suatu runtun waktu

dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari proses stokastik (statistik). Jika fkp gabungan

dari runtun waktu tidak dipengaruhi oleh perubahan waktu maka runtun

waktu tersebut disebut stasioner. Jika tidak demikian maka disebut runtun waktu

nonstasioner. Untuk runtun waktu stasioner berlaku:

1) (mean proses)

2) (Autokovarian pada lag ke-k)

B. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

Dalam metode runtun waktu, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data yang ingin

kita ramalkan adalah menggunakan fungsi autokorelasi (fak) dan fungsi autokorelasi parsial

(fakp).

1. Fungsi Autokorelasi (fak)

Fungsi autokorelasi adalah himpunan semua autokorelasi untuk berbagai lag, ditulis

ρk (k=1 , 2 ,…) dengan ρ0=1.

Autokorelasi lag ke-k didefinisikan oleh:

ρk=Cov (z t , zt−k)

√Var (zt)√Var ( zt −k)

Pada umumnya, μ dan γk ditaksir oleh :

μ= z= 1N ∑

t=1

N

zt dan γk=C k=∑t=1

N

(zt−z)(z t−k−z),

sedangkan autokorelasi lag ke-k ditaksir oleh ρk=rk=yk

y0=

Ck

C0.

Untuk runtun waktu stasioner yang normal, Bartlett menyatakan bahwa variansi dari rk

dirumuskan sebagai:

Var (rk ) ≈ 1N (1+2∑

i=1

k

ri2) , N ≥50

3

2. Fungsi Autokorelasi Parsial (fakp)

Matriks autokorelasi berukuran N didefinisikan oleh :

PN=[1ρ1

ρ1

1ρ2

ρ1

ρ3

ρ2

……

ρN −1

ρN −2

ρ2

ρ3

ρ1

ρ2

1ρ1

ρ1

1……

ρN −3

ρN−4

⋮ρN −1

⋮ρN−2

⋮ρN−3

⋮ρN −4

⋱…

⋮1

].Autokorelasi parsial lag ke-k dinotasikan oleh ϕkk yang didefinisikan oleh :

ϕkk=|Pk

¿||Pk|

, di mana Pk¿ adalah Pk dengan kolom terakhir diganti oleh [ ρ1

ρ2

⋮ρk

]. Fungsi

autokorelasi parsial (fakp) adalah himpunan autokorelasi parsial untuk berbagai lag, ditulis

{ϕkk , k=1 , 2, …}.

Untuk lag yang cukup besar, Quinouille menyatakan bahwa var (ϕkk)≈ 1N . Jika

|r k|<2 SE(rk) untuk k > K, maka fakp tidak berbeda secara signifikan dengan nol (terputus

setelah lag ke-K).

C. Model-model Runtun Waktu Box-Jenkins

1. Model untuk Data Stasioner

a. Proses Auto Regresive (AR)

Bentuk umum dari proses AR tingkat p, ditulis AR (p) adalah:

z t=ϕ1 z t−1+ϕ2 zt−2+…+ϕp z t− p+at atau π (B ) z t=at

dimana a t N (0 , σa2).

1) AR (1)

Bentuk umum dari proses AR (1) adalah z t=ϕ zt−1+at. Variansi dari z t adalah

σ z2=

σa2

1−ϕ2, sehingga daerah stasioneritas untuk proses AR (1) harus memenuhi

−1<ϕ<1. Adapun ciri dari proses AR (1) terdiri dari :

4

Fak untuk AR (1) adalah ρk=ϕk. Pada selang 0<ϕ<1, fak turun secara

eksponensial menuju nol sedangkan pada selang −1<ϕ<0, fak turun secara

eksponensial menuju nol sambil bergantian tanda.

Fakp terputus setelah lag ke-1 ( ϕ11=ρ1=ϕ,ϕkk=0 , k ≥2 ).

2) AR (2)

Bentuk umum dari proses AR (2) adalah z t=ϕ1 zt−1+ϕ2 zt−2+at . Variansi dari

adalah σ z2=

(1−ϕ2 ) σ a2

( 1+ϕ2 ) (1−ϕ1−ϕ2 ) (1+ϕ1−ϕ2) sehingga daerah stasioneritas untuk proses

AR (2) harus memenuhi −1<ϕ2, ϕ1+ϕ2<1, dan −ϕ1+ϕ2<1. Adapun ciri dari proses

AR (2) terdiri dari :

Fak untuk proses AR (2) adalah ρk=ϕ1 ρ k−1+ϕ2 ρk−2, turun secara eksponensial

menuju nol.

Fakp terputus setelah lag ke-2 (ϕ11=ϕ1

1−ϕ2, ϕ22=ϕ2 , ϕkk=0 , k≥ 3)

Secara umum, ciri teoretik proses AR (p) terdiri dari :

Fak turun secara eksponensial menuju nol.

Fakp terputus setelah lag ke-p.

b. Proses Moving Average (MA)

Bentuk umum dari proses MA tingkat q, ditulis MA (q) adalah

z t=at+θ1 at−1+θ2 at−2+…+θq a t−q atau z t=θ (B )a t, di mana a t N (0 , σa2).

Jika q berhingga, maka runtun waktu tersebut selalu stasioner.

Bentuk z t=θ (B )a t dapat ditulis sebagai θ ( B )−1 z t=a t atau

(1−π 1 B−π2 B2−…) z t=at. Jika π1 , π2 , … merupakan deret yang konvergen, maka proses

MA (q) tersebut dikatakan invertibel (dapat dibalik).

Dengan kata lain, proses MA ekivalen dengan proses AR, yaitu :

MA (q) dengan model z t=θ (B )a t ekivalen dengan proses AR

π (B ) z t=at dengan orde .

AR (p) dengan model ekivalen dengan proses MA dengan

orde .

5

1) MA (1)

Bentuk umum dari proses MA (1) adalah .

Ciri dari proses MA (1) terdiri dari :

a) Fak terputus setelah lag ke-1 .

b) Fakp untuk proses MA (1) adalah , turun secara geometris

menuju nol.

c) Daerah invertibel memenuhi .

2) MA (2)

Bentuk umum dari proses MA (2) adalah .

Ciri dari proses MA (2) terdiri dari :

a) Fak terputus setelah lag ke-2

.

b) Fakp turun secara geometris menuju nol.

c) Daerah invertibel memenuhi , , dan .

Secara umum, ciri teoretik proses MA (q) terdiri dari :

Fakp turun secara eksponensial menuju nol.

Fak teputus setelah lag ke-q.

c. Proses Auto Regresive Moving Average (ARMA)

Bentuk umum dari proses ARMA (p,q) adalah

atau

.

Model ARMA dapat ditulis sebagai model MA, yaitu atau model AR, yaitu

, di mana dan . Adapun ciri teoretik

dari proses ARMA (p, q) adalah grafik dari fak dan fakpnya turun secara eksponensial

menuju nol.

2. Model untuk Data NonStasioner

Model ARIMA merupakan bentuk model untuk runtun waktu nonstasioner. Biasanya,

runtun waktu nonstasioner disebabkan karena runtun waktu mempunyai rata-rata yang tidak

6

tetap. Adapun runtun waktu nonstasioner homogen adalah runtun waktu yang walaupun

bergerak bebas pada suatu lokasi tetapi gerakannya pada lokasi lain pada dasarnya sama.

Runtun waktu ini ditandai oleh suatu runtun waktu di mana selisih data yang berurutannya

adalah stasioner.

Misalkan runtun waktu stasioner wt ARMA (p, q)

w t=ϕ1 wt−1+…+ϕ p wt−p+at +θ1 at−1+…+θq at−q dan misalkan data para wt diperoleh dari

selisih data para zt yang tidak stasioner (data mentah). Karena w t= zt−zt −1, maka persamaan

w t=ϕ1 wt−1+…+ϕ p wt−p+at +θ1 at−1+…+θq at−q dapat ditulis sebagai

z t=(1+ϕ1 ) zt−1+ (ϕ2−ϕ1 ) z t−2+…−ϕ p zt− p−1+at +θ1 at−1+…+θq a t−q. Persamaan terakhir

inilah yang disebut dengan persamaan differensi.

Dari bentuk w t= zt−z t−1, diperoleh z t=wt +zt−1, z t−1=wt −1+zt−2, z t−2=wt−2+z t−3, ...

sehingga z t=wt +w t−1+wt−2+….

Ini berarti bahwa zt dapat dinyatakan sebagai jumlah (integrasi) para wt. Akibatnya,

persamaan differensi disebut auto regresive integrated moving average (ARIMA (p, 1, q)).

Jika d menyatakan banyaknya penyelisihan yang dilakukan sampai runtun waktu menjadi

stasioner, maka runtun waktu nonstasioner dinyatakan dengan ARIMA (p, d, q). Artinya,

runtun waktu tersebut akan stasioner menjadi ARMA (p, q) setelah diselisihkan d kali.

Runtun waktu nonstasioner dapat dinyatakan dalam bentuk,

z t=at+ψ1 at−1+ψ2a t−2+… yang diperoleh dari persamaan differensi dengan mensubstitusi

z t−1 , zt−2 , … atau dalam bentuk terbalik

z t=π 1 z t−1+π2 z t−2+…+at yang diperoleh dari persamaan differensi dengan mensubstitusi

a t−1 , at−2 , …. Adapun ciri untuk runtun waktu nonstasiner terdiri dari :

Plot data tidak berpluktuasi (memiliki trend untuk selang yang cukup lebar).

Fak turun secara lambat dan linear.

Pada grafik fakp, hanya ϕ11 yang nilainya mendekati satu, sedangkan yang lainnya tidak

berbeda secara signifikan dengan nol.

D. Pembentukan Model

Langkah-langkah dalam pembentukan model secara iteratif adalah sebagai berikut :

1. Identifikasi Model

Identifikasi model bertujuan untuk mengidentifikasi model yang merupakan representasi

data runtun waktu z1 , z2 ,…, zn. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai

berikut :

7

a. Menentukan mean dan variansi data runtun waktu.

b. Menentukan fak beserta 2SE ( ρk ) dari data runtun waktu.

c. Menentukan fakp beserta 2 SE ( ϕkk ) dari data runtun waktu.

d. Membandingkan fak dan fakp data runtun waktu dengan fak dan fakp teoretik.

Berikut ini adalah tabel pendekatan {r k } dan {ϕkk} untuk berbagai model.

pendekatan model

ϕkk N (0 , 1N ) , k> p AR (p)

rk N (0 , 1N (1+2∑

i=1

q

r i2)), k>q

MA (q)

Sebelum pemodelan dilakukan, hal berikut adalah mutlak diperlukan :

a. Plot data untuk melihat kestasioneran data.

b. Grafik dari distribusi frekuensi untuk melihat asumsi normalitas.

c. Informasi lain (kemiringan, keruncingan, dll).

Jika E ( zt )=z≠ 0, maka model dituliskan sebagai z t=zt−z sehingga perlu diuji apakah z=0.

Hipotesis yang harus diuji adalah

H 0 : z=0

H 0 : z=0

Jika |z|<2 SE ( z ), maka H0 diterima. Nilai pendekatan var ( z ) untuk proses ARMA (p, q),

dengan adalah sebagai berikut :

model pendekatan

AR (1) C0 (1+r1 )N (1−r1)

MA (1) C0 (1+2 r1 )N

AR (2) C0 (1+r1 ) (1−2r12+r2 )

N ( 1−r1 ) (1−r 2)

MA (2) C0 (1+2 r1+2r2 )N

8

ARMA (1, 1) C0

N (1+2r1

2

r1−r2)

2. Estimasi Parameter

Setelah beberapa model diidentifikasi, langkah selanjutnya adalah mengestimasi

parameter yang ada pada model. Estimasi yang efisien yaitu estimasi yang meminimumkan

kuadrat selisih antara nilai estimasi dengan nilai parameter sebenarnya. Untuk data yang

cukup banyak, estimasi yang efisien adalah estimasi yang memaksimumkan fungsi

Likelihood.

Diperlukan taksiran interval untuk estimasi parameter. Di sini perlu diuji apakah θ

atau ϕ berbeda secara signifikan dengan nol atau tidak.

Jika θ<2 SE ( θ ), maka θ tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Begitu pula jika

ϕ<2SE ( ϕ ), maka ϕ tidak berbeda secara signifikan dengan nol.

Variansi pendekatan untuk estimasi parameter berbagai model sederhana dapat pula

diperoleh dari rumus berikut :

model pendekatan

AR (1)var ( ϕ ) ≈ 1−ϕ2

N

MA (1)var (θ ) ≈ 1−θ2

N

AR (2)var ( ϕ1 ) , var ( ϕ2 )≈ 1−ϕ2

2

N

MA (2)var ( θ1 ) , var (θ2 )≈ 1−θ2

2

N

ARMA (1, 1)var ( ϕ )≈

(1−ϕ2 ) (1+θϕ )2

N ( ϕ+θ )2

var (θ )≈(1−θ2) (1+θϕ )2

N (ϕ+θ )2

3. Verifikasi Model

Verifikasi adalah pemeriksaan apakah model yang diestimasi cukup cocok dengan

data yang ada. Jika terjadi penyimpangan yang cukup serius, maka model yang baru harus

9

dirumuskan kembali. Langkah-langkah yang harus dilakukan pada tahap verifikasi ini

adalah sebagai berikut.

a. Uji Keberartian Koefisien (θ atau ϕ)

Hipotesis yang harus diuji adalah,

H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.

H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.

Adapun kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut :

Tolak H0 jika |koef|>2SE (koef )

Tolak H0 jika P .Value<∝=0,05

b. Nilai Variansi Sesatan

Pilih model yang mempunyai variansi sesatan terkecil. Nilai variansi sesatan bisa

langsung dilihat dari output Minitab 14 atau dihitung dengan menggunakan rumus

σ a2=SS−MS

DF , di mana

SS : Kuadrat jumlah (Sum Square)

MS : Kuadrat Rata-rata (Mean Square)

DF : Derajat Kebebasan (Degree Free)

c. Uji Kecocokan (lack of fit)

Hipotesis yang harus diuji adalah

H0 : model sesuai

H1 : model tidak sesuai

Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut :

Tolak H0 jika χhit2 > χ tabel

2

Tolak H0 jika P .Value<0,05

Hal yang harus diperhatikan dalam tahap verifikasi adalah penggunaan prinsip

parsimony terhadap model yang sedang diuji.

4. Peramalan

Langkah terakhir dalam pembentukan model adalah melakukan peramalan beberapa

periode ke depan. Artinya, berdasarkan model yang paling sesuai, ingin ditentukan

distribusi bersyarat observasi yang akan datang berdasarkan pola data di masa lalu. Model

yang diturunkan dari data runtun waktu bukan merupakan model yang sebenarnya tetapi

hanya merupakan pendekatan saja. Ide dari permasalahan tersebut adalah bahwa harapan

10

bersyarat merupakan sebuah bilangan dengan sifat ”baik”, artinya merupakan ramalan

dengan sesatan kuadrat rata-rata minimum.

BAB III

STUDI KASUS

Berdasarkan data sekunder yang diperoleh dari www. bps.go . id , maka diperoleh data

sebagai berikut :

Angka Kematian Balita

dari tahun 1990 - 1995

di Indonesia

Tahun

Bulan 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Januari 47 51 57 47 109 218

Februari 31 53 52 122 161 217

Maret 28 52 49 84 170 219

April 27 51 55 140 127 220

Mei 27 57 57 132 152 217

Juni 29 61 55 128 130 221

Juli 27 59 49 127 213 225

Agustus 31 59 56 119 179

September 30 31 147 124 228

Oktober 29 46 50 125 225

November 37 53 98 130 212

11

http://www.bps.go.id/

Desember 48 58 115 134 218

Agar kita dapat meramalkan angka kematian balita untuk 5 bulan ke depan, maka data

di atas perlu dimodelkan terlebih dahulu. Adapun untuk memudahkan proses pemodelan

tersebut, digunakanlah software Minitab 16. Berikut adalah output dari software Minitab 16

untuk data di atas.

A. Identifikasi Model

12

Berdasarkan ketiga sketsa grafik di atas, dapat dilihat bahwa runtun waktu di atas

merupakan non-stasioner, sebab memenuhi 3 ciri runtun waktu non-stasioner, yaitu:

a) grafik data runtun waktu menunjukkan tingkat dan lerengan serta mempunyai trend

b) grafik fak turun lambat (linear)

c) grafik fakp ditandai dengan .

Karena berupa runtun waktu non-stasioner, maka kita lakukan proses deferensing

(penyelisihan).

13

SELISIH 1

14

Berdasarkan sketsa grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa runtun waktu untuk angka

kematian balita merupakan runtun waktu yang stasioner karena memenuhi ciri berikut :

Plot data berpluktuasi (tidak ada trend untuk selang yang cukup lebar).

15

Fak turun secara eksponensial atau terputus setelah lag ke-1.

Fakp turun secara eksponensial atau terputus setelah lag ke-1.

Karena runtun waktu untuk angka kematian balita sudah stasioner, maka identifikasi model

yang mungkin adalah AR (1), MA (1), atau ARMA (1, 1).

B. Estimasi Parameter dan Verifikasi untuk model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1).

a) Model AR (1)

Berikut adalah output dari runtun waktu diatas dengan menggunakan Minitab versi 16.

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 61004,8 0,100 2,517 1 50469,3 -0,050 2,883 2 42335,6 -0,200 3,274 3 36603,2 -0,350 3,689 4 33271,9 -0,500 4,129 5 32330,5 -0,624 4,525 6 32326,3 -0,632 4,569 7 32326,3 -0,633 4,573

Relative change in each estimate less than 0,0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T PAR 1 -0,6331 0,0967 -6,55 0,000Constant 4,573 2,763 1,66 0,103Mean 2,800 1,692

Number of observations: 66Residuals: SS = 32241,4 (backforecasts excluded) MS = 503,8 DF = 64

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48Chi-Square 14,0 30,7 35,2 36,5DF 10 22 34 46P-Value 0,173 0,103 0,411 0,841

Berikut adalah analisis dari output di atas:

Model AR (1) mempunyai bentuk. atau

16

Karena mean atau Wt=2,800 < 2SE(mean) = 2(1,692) =3,384 maka tak berbeda secara

signifikan dengan nol. Sehingga model yang digunakan adalah model bentuk pertama, yaitu:

w t=−0,6331 wt−1+at

Konstanta tidak berarti karena = 4,573 < 2SE = 2(2,763) = 5,526

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model di atas, sebagai berikut:

(i) keberartian koefisien

H0 : koefisien tidak berarti

H1 : koefisien berarti (berpengaruh terhadap model)

ϕ=|0,6331|>2|0,0967|=0,1934maka H0 ditolak. Jadi, koefisien berarti secara

signifikan terhadap model.

(ii) variansi sesatan

Berdasarkan output Minitab versi 16, nilai variansi sesatan adalah

σ a2=( 495,9 )2.Ini berarti bahwa a t N (0 ; (495,9 )2 ).

Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai

w t=−0,6331 wt−1+at, dengan a t N (0 ; (495,9 )2 ).

(iii) kecocokan model (lack of fit)

Hipotesis yang harus diuji adalah:

H0 : model sesuai


Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut:

TolakH 0 jika χhitung2 > χ tabel

2

TolakH 0 jika P .Value<α=0,05

TerimaH 0 jika P .Value>α=0,05

Berdasarkan output Minitab versi 16, diperoleh :

17

Lag P-Value Kesimpulan

12 0,173 Tolak H 0

24 0,103 Tolak H 0

36 0,411 Tolak H 0

48 0,841 Terima H 0

Artinya untuk sementara runtun waktu tidak cocok untuk dijadikan model AR(1).

b) Model MA (1)



Iteration SSE Parameters 0 47653,6 0,100 2,797 1 40740,9 0,250 2,765 2 35848,9 0,400 2,766 3 32635,0 0,550 2,806 4 31247,0 0,700 2,919 5 31235,0 0,709 3,016 6 31234,9 0,709 3,024 7 31234,9 0,709 3,025



Type Coef SE Coef T PMA 1 0,7089 0,0874 8,11 0,000Constant 3,0246 0,8001 3,78 0,000Mean 3,0246 0,8001




Berdasarkan output di atas, maka model MA (1) yang mungkin adalah:

w t=at+θ at−1 atau ( wt−w )=a t+θ at−1. Karena rata-rata

|w|=|3,0246|>2SE ( w )=1,6002, maka w berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya,

model yang dipilih adalah model dengan bentuk w t=ϕ wt−1+at.

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model MA (1) di atas. Adapun langkah yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

18





kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah TolakH 0 jika |ϕ|>2 SE (ϕ ) .

Karena ϕ=|0,7089|>2|0,0874|=0,1748, maka H 0 ditolak. Ini berarti bahwa

koefisien ϕ berbeda secara signifikan dengan nol. Model AR (1) yang telah

diperoleh dapat dituliskan sebagai berikut:

w t=at+θ at−1

⟺w t=at+0,7089 a t−1

(ii) variansi sesatan

Berdasarkan output Minitab versi 16, nilai variansi sesatan adalah

σ a2=( 474,490 )2 .Ini berarti bahwa a t N (0 ; (474,490 )2 ).

Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai

w t=at+0,7089 at−1, dengan a t N (0 ; (474,490 )2 ).

(iii) kecocokan model (lack of fit)


H0 : model sesuai


Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut:

TolakH 0 jika χhitung2 > χ tabel

2

TolakH 0 jika P .Value<α=0,05 TerimaH 0 jika P .Value>α=0,05

Berdasarkan output Minitab versi 16, diperoleh :

Lag P-Value Kesimpulan

12 0,104 Tolak H 0

24 0,045 Tolak H 0

36 0,183 Tolak H 0

48 0,608 Terima H 0

Artinya untuk sementara runtun waktu tidak cocok untuk dijadikan model MA (1).

19

c) Model ARMA (1,1)



Iteration SSE Parameters 0 53714,6 0,100 0,100 2,517 1 38759,5 -0,050 0,250 2,849 2 34209,1 -0,058 0,400 2,905 3 30489,6 -0,208 0,444 3,398 4 29213,3 -0,358 0,464 3,916 5 29179,3 -0,382 0,470 4,017 6 29178,9 -0,383 0,472 4,028 7 29178,9 -0,383 0,472 4,029 8 29178,9 -0,383 0,473 4,029



Type Coef SE Coef T PAR 1 -0,3826 0,1602 -2,39 0,020MA 1 0,4725 0,1529 3,09 0,003Constant 4,029 1,392 2,89 0,005Mean 2,914 1,007




Berdasarkan output di atas, maka model ARMA (1,1) yang mungkin adalah:

w t=ϕ wt−1+at+θ a t−1 atau ( wt−w )=ϕ (w t−1−w )+at+θ a t−1..

Karena rata-rata |w|=|2,914|>2 SE (w )=2,014, maka w tidak berbeda secara signifikan

dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah model dengan bentuk

w t=ϕ wt−1+at+θ a t−1.

20

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model ARMA (1,1) di atas. Adapun langkah

yang dilakukan adalah sebagai berikut:





|ϕ|=|0,3826|<2|0,1602|=0,3204 , maka H 0 ditolak. Jadi, koefisien berbeda

secara signifikan terhadap model.

Karena |θ|=|0,4725|<2|0,1529|=0,3204, maka H 0 diterima. Jadi, koefisien θ tidak

berbeda secara signifikan terhadap model.

Karena koefisien θ tidak berbeda secara signifikan terhadap model, maka model ARMA

(1, 1) ini tidak sesuai dan mengarah pada bentuk AR (1), sehingga pengujian untuk model

ini tidak perlu dilanjutkan.

C. Peramalan

Setelah melakukan identifikasi, estimasi, dan verifikasi terhadap berbagai model,

diperoleh model AR (1) sebagai model yang paling sesuai untuk data runtun waktu angka

kematian balita, yaitu

w t=−0,6331 wt−1+at, dengan a t N (0 ; (495,9 )2 ).Berikut adalah ramalan untuk data ‘Angka Kematian Balita’ selama 5 bulan yang

akan datang dengan menggunakan software Minitab versi 16.

Forecasts from period 67

95% LimitsPeriod Forecast Lower Upper Actual 68 2,0407 -41,9601 46,0415 69 3,2811 -48,7959 55,3580 70 2,4958 -52,4859 57,4775 71 2,9929 -53,1107 59,0966 72 2,6782 -53,8688 59,2253

Berdasarkan output di atas, ramalan angka kematian balita di Indonesia untuk 5 bulan

yang akan datang adalah sebagai berikut,

21

Bulan Angka Kematian Balita

Agustus 2,0407

September 3,2811

Oktober 2,4958

November 2,9929

Desember 2,6782

BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

1. Metode peramalan runtun waktu dengan menggunakan metode Box Jenkins memiliki model

dasar, yaitu AR,MA,ARMA dan ARIMA.

2. Ciri teoritik model AR (p) yaitu grafik fak turun secara eksponensial menuju nol dan fakp

terputus setelah lag ke-p.

3. Ciri teoritik model MA (q) yaitu grafik fakp turun secara eksponensial menuju nol dan

grafik fak terputus setelah lag ke-q.

4. Ciri teoritik model ARMA (p,q) yaitu grafik fak dan fakpnya turun secara eksponensial

menuju nol.

Berdasarkan data runtun waktu untuk angka kematian balita di Indonesia, model yang paling

sesuai dengan data tersebut adalah model AR (1) yaitu w t=−0,6331 wt−1+at, dengan

a t N (0 ; (495,9 )2 ).

22

5. Hasil ramalan angka kematian balita di Indonesia untuk 5 bulan yang akan datang adalah

sebagai berikut,

Bulan Angka Kematian Balita

Agustus 2,0407

September 3,2811

Oktober 2,4958

November 2,9929

Desember 2,6782

B. Saran

1. Dalam memilih data sebaiknya kita lebih teliti, sehingga dapat memudahkan kita dalam

mengolah data tersebut.

2. Sebelum menganalisis data, sebaiknya perhatikan terlebih dahulu apakah data yang kita

punya berupa data musiman atau tidak.

3. Jangan mencari data yang dari sumber-sunber yang memiliki data musiman.

4. Jumlah data yang digunakan untuk peramalan sebaiknya lebih dari 60 buah, agar pada saat

menganalisis data lebih terlihat model mana yang sesuai dengan data yang dimiliki.

5. Perbanyak sumber pustaka agar diperoleh informasi yang lebih banyak dan lengkap

mengenai materi yang sedang dibahas.

Daftar Pustaka

Soejoeti, Ph.D, Zanzawi. Analisis Runtun Waktu. Karunia Jakarta Universitas

Terbuka. Jakarta : 1987.

http:// www.bps.go.id

23

http://www.bps.go.id/

yunimatematika09.files.wordpress.com€¦ · web viewbatasan masalah. dalam makalah ini, masalah...

Documents