1. GRUP PERMUTASI PendahuluanPada pertemuan-pertemuan sebelumnya telah dibahas mengenai grup mulai daridefinisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan, menentukanfinite dan infinite grup, definisi subgrup, syarat-syarat subgrup pada suatu grup, menetukanorder dari grup dan order dari angguta grup, hingga penjelasan tentang grup siklik. Maka padapertemuan ini akan dijelaskanDengan demikian, setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan mampu:a. dapat membentuk grup permutasib. menjelaskan sifat-sifat grup permutasic. menentukan order elemen dalan grup permutasid. menentukan dan membuktikan sifat-sifat order suatu elemenA. Definisi Permutasi A dan Grup Permutasi A Permutasi dari sebuah himpunanan adalah fungsi dari A ke A yang berkorespondensi satu-satu dan onto Contoh 1 : Kita daftarkan sebuah permutasi dari himpunan 1,2,3,4 dengan menetapkan (1) =2, (2) = 3 , (3) = 1 dan (4) = 4. Atau untuk menunjukan korespondensi ini, dapat menuliskan permutasi dengan membentuk barisan sebagai berikut : 123 4 = (1)(2) (3)(4) 1 2 3 4 = 2 3 1 4 Permutasi komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari kanan ke kiri dengan membawa dari atas kebawah lagi 2

2. Contoh 2 :1 2 3 4 5 12 3 4 5 = dan =maka, permutasi komposisi dari 2 4 3 5 1 54 1 2 3 adalah :1 2 3 4 51 2 3 4 5 =5 4 1 2 32 4 3 5 11 2 3 4 5 =4 2 1 3 5 Atau dapat dijelaskan dengan ()(1) = ((1)) = (2) = 4, jadi mengirimkan 1 ke 4. Begitupun selanjutnya. Permutasi grup dari himpunan A adalah himpunan permutasi-permutasi dari A yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsiB. Sifat-Sifat Grup Permutasi Dua unsur a, b S berelasi a bfi jika dan hanya jika b = a.f i untuk suatu bilangan bulat i, maka akan ditunjukkan bahwa relasi ini merupakan relasi ekivalensi dalam S sebagai berikut: 1. Sifat refleksi : a a fe karena a = afo = ae.Contoh 3 : Simetri Dari Persegi (4)Pada contoh ke-3, kita menghubungkan setiap pergerakan dalam D4 denganpermutasi dari penempatan-penempatan tiap empat sudut persegi. Sebagai contoh,jika kita tandai empat posisi sudut seperti dalam gambar di bawah dan terap menandaiini yang ditetapkan sebagai acuan. Kita dapat menggambarkan sebuah rotasi 90 hasilprmutasi. 1 2 3 4 = 2 3 4 1Sedangkan refleksi dengan garis mendatar sumbu horizontal menghasilkan 1 2 3 4 = 21 4 3 3 3. Dua elemen ini secara umum menghasilkan group (bahwa, setiap elemen adalah kombinasi beberapa dan). Jika D4 ditampilkan dengan cara ini, kita katakan bahwa D4 adalah sebuah subgroup dari S4.2. Sifat simetris: jika a bfi maka b = a. f i, karena i bilangan bulat terdapat i sehingga a = b f i. Ini berarti b afi. Contoh 4: Grup Simetri Segitiga sama sisi( 3 ) Misalkan3 menyatakan semua himpunan fungsi satu-satu dari 1, 2, 3 untuk himpunan itu sendiri. Kemudian 3 dalam komposisi fungsi adalah grup dengan elemen ke-6 elemennya adalah. 1 2 31 2 31 2 3 == 2 = 1 2 32 3 13 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3= = 2 = 1 3 2 2 1 3 3 2 11 2 3 Catatan bahwa = sehingga 3 adalah tidak Abelian.3 2 13. Sifat transitif: jika a bfi dan b cfi berarti b = a. f i dan c = bf i = (af i)f j = af (i+j), yang berarti a cfi. Contoh 5 : Tulislah = (13 4 2) dan = (1 3), serta = (12) o (34) sebagai permutasi dalam S 4. Hitunglah o o Jawab :12 34 = (1 3 4 2 ) =31 421 2 3 4 =(13)=3 2 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 23 4 = (1 2 ) o (3 4) == 2 1 3 4 1 2 4 3 2 14 3 sehingga1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 oo=3 1 4 2 3 2 1 4 2 1 4 3 4 4. 1 2 34=1 4 23= (2 4 3)C. Notasi Cycle (Notasi Putaran) Notasi cycle memiliki teori yang bermanfaat pada sifat-sifat yang penting dari sebuah permutasi yang digambarkan ketika notasi cycle digunakan. Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari kita lihat permutasi dibawah ini :1 2 3 4 5 6 =2 1 4 6 5 3 Nilai permutasi diatas dapat dibuat secara skematis seperti dibawah ini : Dari skema diatas, dengan mudah dapat dituliskan (1,2) (3,4,6) (5) Contoh 6 :1 2 3 4 5 6 =2 1 4 6 5 3 Dalam notasi cycle, dapat dituliskan (2,3,1,5) (6,4) atau (4,6) (3,1,5,2), karena keduanya menggambarkan fungsi dari .5 5. Sebuah gambaran dari barisan (1 , 2 , , ) disebut panjang cycle m atauperputaran m cycleCycle (4,6) dapat merupakan perwakilan dari permutasi 1 2 3 4 5 6 1 2 3 6 5 4Dengan cara ini, kita dapat mengalikan cycle dengan mengubah perkalian ini sebagaipermutasi-permutasi yang diberikan dalam pola barisan.Contoh 7 :Dari S8. Misalkan = 13 (27) (456) (8) dan = (1237) (648) (5)Maka = (13) (27) (456) (8) (1237) (648) (5)Dengan mengalikan permutasi ini, dapat menyatakan permutasi dalam bentuk disjointcycle ( yaitu, berbagai cycle-cycle yang tidak memiliki anggota yang sama).Perlu diingat bahwa komposisi fungsi dilakukan dari kanan ke kiri, sehingga diperoleh : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 78 = 3 7 1 5 6 4 2 8 2 3 7 8 5 4 16 1 2 34 56 7 8 = 7 1 28 65 3 4Sehingga diperoleh cycle = (1732) (48) (56)Untuk notasi cycle, matematikawan memilih untuk tidak menulis cycle-cycle yanghanya memiliki satu anggota. Jadi, dapat dipahami bahwa setiap elemen yang hilangdipetakan kedirinya sendiri.Contoh 8 : 1 2 3 45= 3 2 4 15dapat ditulis = (134).6 6. Tentunya identitas permutasi hanya terdiri dari cycle-cycle dengan satu entry, jadi kitatidak bisa menghilangkan semua. Dalam hal ini seseorang biasanya menulis hanya satucycle.Contoh 9 :1 2 34 5=1 2 34 5dapat ditulis = (1) (2) (3) (4) (5)D. Teorema yang berhubungan dengan Grup PermutasiTeorema 5.1. Produk Disjoint Cycle Setiap permutasi dari himpunan terbatas dapat ditulis sebagai cycle atau sebagaiproduk disjoint cycle Bukti : merupakan permutasi = 1,2,3, , . Untuk menulis disjoint cycle, kita memulaidengan memilih anggota A, katakan 1 , kemudian 2 = () , 3 =((1 )) = 2 (1 ),dan seterusnya, sampai kita dapatkan 1 = (1 ) untuk beberapa m. Diketahui adabeberapa m karena deretan 1 , (1 ), 2 1 , harus tidak berhingga, jadi padaakhirnya terjadi pengulangan, katakanlah 1 = 1 , untuk i dan j dengan i < j.Kemudian 1 = (1 ), dimana m = j i. Dan kita sebut hubungan diantara 1 , 2 , 3 , . . seperti = (1 , 2 , 3 , . . ) Tiga titik akhir barisan menunjukan kemungkinan tidak sampai habis, dalam kasusseperti ini, hanya memilih element dari 1 = (1 ) untuk beberapa k pada. cycle barutidak akan memiliki unsur yang sama dengan cycle sebelumnya yang dibangun. Kalaubegitu, lalu 1 = 1 untuk di i dan j. Tapi kemudian 1 = 1 dan sampai 1 = untuk t. Yang bertentangan dengan cara 1 dipilih. Sampai kita mendapatkansemua elemen A, permutasi akan terlihat sepertiDengan cara ini, kita melihat untuk setiap permutasi dapat ditulis sebagai produkdisjoint cycle.7 7. Contoh 10 :Tentukan produk disjoint cycle dari (1235) (413)Jawab :Dari notasi cycle (1235) (413) dapat dibentuk barisan permutasi 12 3 4 512 3 4 5 23 5 4 132 4 1 5Dari komposisi permutasi diatas maka diperoleh : 12 3 4 5 53 4 2 1Maka disjoint cycle nya adalah (15) (234)Teorema 5.2. Menguraikan Disjoint Cycle Jika dua buah cycle = ( 1 , 2 , 3 , , ) dan = ( 1 , 2 , 3 , , ) tidakmemiliki anggota yang sama, kemudian = Bukti : dan dari permutasiS = 1 , 2 , 3 , . . , 1 , 2 , 3 , . . , 1 , 2 , 3 , . . Dimana cs anggota S yang tersisa dari . Untuk membuktikan = , makaditunjukan = untuk semua x di S. Jika x adalah elemen a maka: = = = + 1Sehingga ditafsirkan + 1 = = = +1 = +1Karenanya, fungsi dari di dalam eleman. Argumen yang mirip menunjukanbahwa sedang itu b elemen sama baiknya. Akhirnya, katakan x adalahelemen dari c, atau 1 . Kemudian di dapatkan = = = = = = Contoh 11: 8 8. Kita akan menunjukan produk (1 3) (2 7) (4 5 6) (8) (1 2 3 4) (6 4 8) (5)Jawab : = (13) (27) (456) (8) = (1237) (648) (5)cycle dari dan tidak memiliki anggota yang sama, maka 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 = 3 7 1 5 6 4 2 82 3 7 8 5 4 1 6 1 2 3 4 5 6 7 8== (1732) (48) (56) 7 1 2 8 6 5 3 4 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 = 2 3 7 8 5 4 1 63 7 1 5 6 4 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 = = (1732) (45) (68) 7 1 2 5 4 8 3 6Maka = Teorema 5.3. Order Suatu Permutasi (Ruffini 1799) The order of a permutation of a finite set written in disjoint cycle form is the leastcommon multiple of the lengths of the cyclesBukti :Pertama, mengamati suatu siklus panjangnya n yang mempunyai order n.Memisalkan dan dengan memisahkan cycle panjangnya m dan n, dan membiarkank, kemudian mengalikan m dan n. Itu mengikuti dari Teorema 4.1 yang kedua-duanya dan adalah permutasi identitas dan, karena m dan n berubah, () = adalah juga identitas. kemudian, kita mengetahui dengan kesimpulan ke Teorema 4.1( =e menyiratkan bahwa suatu membagi k) bahwa order -membiarkan kitamenyebutkannya t-harus membagi k. Akan tetapi () = =, sedemikian sehingga = . Bagaimanapun, itu harus jelas bahwa jika dan tidak punya simbol, umumyang sama adalah benar untuk dan , karena peningkatan suatu cycle bagi suatukuasa tidak memperkenalkan lambang baru. Tetapi, jika dan adalah sama dantidak punya simbol, maka kedua-duanya akan menjadi identitas, sebab tiap-tiap9 9. lambang didalam ditetapkan. perbaiki oleh dan sebaliknya. Mengikuti itu,kemudian, kedua-duanya m dan n harus membagi t. Ini berarti k, merupakan perkalianm dan n yang dibagi dngan t juga. Ini menunjukkan bahwa k= t.Contoh 12 :Tentukan order dari permutasi (14762)Jawab : karena order pada permutasi dari cycle tunggal, maka order dari permutasi ituadalah 5Contoh 13 :Tentukan order dari permutasi (124) (357)Jawab : karena peermutasi diatas telah berbentuk disjoint cycle maka order daripermutasi tersebut adalah 3.Contoh 14 :Tentukan order dari permutasi (1235) (24567)Jawab : tentukan dulu disjoint cycle dari permutasi tersebut 1 2 3 4 5 671 23 4 56 7 1 23 4 5 6 7 = 2 3 5 4 1 671 43 5 67 2 2 45 1 6 7 3Sehingga diperoleh disjoint cycle nya adalah (124) (3567)Maka order dari permutasi diatas adalah 12Teorema 5.4. Produk 2 cycle Tiap-tiap permutasi di (dalam) n > 1 adalah suatu produk 2 cycleBuktiPertama, catat bahwa identitas itu dapat dinyatakan ketika (1 2)(1 2), daninimerupakan suatu produk 2-cycle. Dengan Teorema 5.1, kita mengetahui bahwa tiap-tiappermutasi dapat ditulis dalam format (a1a2...ak)(b1b2...bt)...(c1c2...cs).suatu perhitungan langsung menunjukkan bahwa ini adalah sama dengan(a1ak)(a1ak-1)...(a1a2)(b1bt)(b1bt-1)...(b1b2)(c1cs)(c1cs-1)...(c1c2)10 10. Contoh 15 :(1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2)= (4 5) (5 3) (2 5) (1 5)= (2 1) (2 5) (2 4) (2 3)Contoh diatas menunjukkan bahwa 2 cycle boleh bertkar-tukar dari satu yangdihilangkan kepada yang berikutnya.LemmaJika =1 2 ...r , dimana s adalah 2-siklik, kemudian r adalah genapBUKTI.Dengan jelas, r1, karena suatu 2-cycle bukanlah identitas. Jika r = 2, kita adalah yangdilaksanakan.jadi,kita mengira bahwa r > 2 dan kita berproses dengan induksi. Karena (ij) = (j i),hasil 1 2 dapat dinyatakan salah satu dari format yang berikut menunjukkanpada sisi kiri:(a b)(a b) = (a b)(a c) = (b c)(a b)(a b)(c d) = (c d)(a b)(a b)(b c) = (b c)(a c).Jika kasus yang pertama terjadi, kita boleh menghapus 1 2 dari produksiuntukmemperoleh = 3 ... dan oleh karena itu, dengan prinsip Induksi Matematika, r-2yang kedua menjadi genap. Di kasus lain, kita menggantikan format 1 2 pada sisi kirioleh counterpantnya pada sisi kanan untuk memperoleh suatu produksi baru r 2-cycleitu masih identitas, hanyalah dimana kejadian pertama bilangan bulat adalah di dalamyang kedua 2-cycle produk sebagai ganti yang dulu. Kita sekarang mengulangi proseduritu hanya uraikan dengan 2 3 , dan, sama seperti sebelumnya, kita memperoleh suatuproduk (r-2) 2-cycle sepadan dengan identitas itu atau suatu produksi baru r 2-cycle dimana kejadian yang pertama suatu adalah di (dalam) yang ketiga 2-cycle. Melanjutkanproses, kita ini harus memperoleh suatu produk (r-2) 2-beredar sama kepada identitas,sebab jika tidak kita mempunyai suatu produk sepadan dengan identitasdimanakejadian yang pertama bilangan bulat adalah didalam 2-cycle yang terakhir, dan produk11 11. seperti itu tidak menentukan suatu sedangkan mengerjakan identitas. Karenanya,dengan induksi, r-2 bahkan dan r bahkan juga.Teorema 5.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil if a permutation a can be expressed as aproduct of an even (odd) number of 2-cycles,then every decomposition of into a product of 2-cycles must have an even (odd)numbe of 2-cycles. In symbols, if. = 1 2 r dan = 1 2 sdimana dan adalah 2 cycle, maka r dan s keduanya genap atau ganjil.Definisi :Permutasi Genap dan GanjilSebuah permutasi yang merupakan produk perkalian genap dari 2-cycle disebut denganpermutasi genap. Sebuah permutasi yang merupakan produk perkalian ganjil dari 2-cycle disebut dengan pemutasi ganjil.Contoh 16 :1. (135) = (15) (13) = genap2. (13567) = (17) (16) (15) (13) = genap3. (12) (134) (152) = (12) (14) (13) (12) (15) = ganjil 12 12. GLOSARIUMPermutasi: Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsur ke himpunan itu sendiriGrup Permutasi : Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan Grup PermutasiTransposisi: Putaran dengan panjang dua 13 13. DAFTAR PUSTAKAFadli.2010.Grup Permutasi (online). Tersedia Pada (http://www.fadlibae.files.wordpress.com/ ..../). diakses 29 November 2012Gallian J.A.2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont : BrooksMuchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta : LPP UNS dan UNS Press.14 14. Latihan Soal1. Tentukan order permutasi berikut: a. (14) b. (147) c. (14762)2. Tuliskan permutasi ini sebagai disjoint cycle a. (1235)( 413) b. (13256)(23)(46512) c. (12)(13)(23)(142)3. Tentukan order permutasi berikut: a. (124)(357) b. (124)(3567) c. (124)(35) d. (124)(357869) e. (1235)(24567) f. (345)(245)4. Tentukan order dari permutasi berikut: 123456 a. 215463 1234567 b. 7612345 5. Tentukan permutasi berikut, apakah genap atau ganjil. a. (135) b. (1356) c. (13567) d. (1243)(3521) 123456 123456 6. Diketahui = 213546 dan = 612435 . Hitunglah : a. b. 15 15. 12345678 12345678 7. Diketahui = 23451786 dan = 13876524 . Tuliskan , , dan sebagai a. products disjoint cycles b. products of 2-cycles16 16. Kunci Jawaban1. Order permutasi a. (14) = karena panjang cycle nya ada 2, maka order nya adalah 2 b. (147) = order nya ada 3 c. (14762) = ordernya ada 512345 12345 12345 2. a. (1235)(413) = 23541 32415 = 53421 15234 123456 123456 123456 123456 b. (13256)(23)(46512) 352461132456 243615 245136 =(124)(35)(6) 1234 1234 1234 1234 c. (12)(13)(23)(142) 2134 3214 1324 4132 1234 4312 (1423) 3. a. (124)(357) = KPK dari 3 dan 3 adalah 3 , jadi Ordernya adalah 3b. (124)(3567) = KPK dari 3 dan 4 adalah 12, jadi ordernya adalah 12c. (124)(35) = KPK dari 3 dan 2 adalah 6, jadi ordernya adalah 6d. (124)(357869)= KPK dari 3 dan 6 adalah 6, jadi ordernya adalah 6e. (1235)(24567) menentukan disjoint cycle : 1 2 3 4 56 7 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 = 2 3 5 4 16 7 1 43 5 6 7 2 2 4 5 1 6 7 3 Sehingga diperoleh disjoint cycle nya adalah (124) (3567) KPK dari 3 dan 4 adalah 12, Maka order dari permutasi diatas adalah 12 17 17. f. (345)(245)Menentukan disjoint cycle : 1 2 3 4 5 1 23451 2 3 4 5= 1 2 4 5 3 1 43521 5 4 3 2Sehingga diperoleh disjoint cycle (1) (25) (34)Ordernya adalah 2 123456 4.a. 215463 (12)(356)(4)ordernya adalah 6 1234567 b. 7612345 (1753)(264) ordernya adalah 12 5. a. (135) = (15) (13) , permutasi genap b. (1356) = (16) (15) (13) , permutasi ganjil c. (13567)= (17) (16) (15) (13) , permutasi genap d. (1243)(3521) = (13) (14) (12) (31) (32) (35) permutasi genap 123456 123456 6. Diketahui = 213546 dan = 612435 . 123456 123456 123456 a. = 612435 213546 162345 123456 123456 123456 b. = 213546 612435 621534 12345678 12345678 7. Diketahui = 23451786 dan = 13876524 . a. products of disjoint cycles = (12345)(678) = (1)(23847)(56) 18 18. 12345678 12345678 12345678 = 23451786 13876524 = 24687135 (12485736) b. products of 2 cycle = (15)(14)(13)(12)(68)(67) = (11)(27)(24)(28)(23)(56) = (16)(13)(17)(15)(18)(14)(12)19