grup abelian 2

Upload: hanif-ardiansyah

Post on 07-Apr-2018

224 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/3/2019 grup abelian 2

    1/3

    Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 1

    JENIS-JENIS GRUP

    Grup Aditif Bilangan Bulat Modulo mG={0,1,2,....,m-1} dari m bilangan bulat non-negatif, denganoperasi penjumlahan modulo m, adalah grup abelianberhingga.

    Contoh:G={0,1,2} dengan operasi penjumlahan modulo 3 adalah grupbilangan bulat non-negatif abelian berhingga. Periksalah.

    Grup Multiplikatif Bilangan Bulat Modulo p (p=prima)G={1,2,3,....,p-1}, p=bilangan prima, dengan operasi perkalianmodulo p adalah grup abelian berhingga.

    Contoh:G={1,2,3,4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grupabelian berhingga. Periksalah.

    PERMUTASIDefinisi:Misalkan S himpunan berhingga yang mempunyai n buahelemen berbeda. Suatu pemetaan 1-1 dan onto dari S ke Sdisebut suatu permutasi derajat n. Jumlah elemen dalamhimpunan berhingga S disebut derajat permutasi.

    Misalkan S={a1,a2,a3,...,an} adalah himpunan berhingga yangmempunyai n elemen berbeda. Jika f:SS adalah pemetaan 1-1 dan onto, maka f adalah permutasi derajat n.

    Contoh:

    S = {1, 2, 3}. Sebutkan semua pemetaan bijektif pada Syakni suatu permutasi derajat 3.

    S={1,2,3,4} adalah himpunan berhingga derajat 4.

    Pertemuan 16

  • 8/3/2019 grup abelian 2

    2/3

    Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 2

    f g h= = =

    1 2 3 4

    2 4 1 3

    1 2 3 4

    1 3 2 4

    1 2 3 4

    1 2 4 3; ; .

    Perhatikan:f(1)=2, f(2), f(3)=1, f(4)=3, g(1)=1, g(2)=3, g(3)=2, g(4)=4,h(1)=1, h(2)=2, h(3)=4, h(4)=3. Permutasi f,g,h adalahpermutasi berorder 4.

    Kesamaan Dua PermutasiDua permutasi f dan g berderajat n sama jika f(a)=g(a) untuk

    setiap a S.

    Contoh:

    f g = =

    1 2 3 4

    2 3 4 1

    2 4 1 3

    3 1 2 4; f dan g adalah sama.

    Jika S himpunan berhingga dengan n buah elemen berbeda,maka ada n! permutasi berbeda derajat n. Jika Pn adalah

    himpunan yang memuat semua permutasi derajat n, maka Pndisebut himpunan permutasi simetris derajat n. Pn kadang-kadang dinotasikan dengan Sn.

    Contoh:P3 adalah himpunan semua permutasi derajat 3 yangmempunyai 3!=6 elemen.

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    3 1 2

    1 2 3

    2 3 1

    1 2 3

    3 2 1

    1 2 3

    1 3 2

    1 2 3

    2 1 3

    ; ; ; ; ;

    Permutasi Identitas

    i=1 2 3

    1 2 3

    ...

    ...

    n

    n

    Perhatikan bahwa fi=if=f.Produk PermutasiProduk atau komposisi dua permutasi f dan g ditulis fg,

    diperoleh dengan mengoperasikan f dahulu, lalu g.

    Pertemuan 16

  • 8/3/2019 grup abelian 2

    3/3

    Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 3

    Contoh:

    f g fg gf = = = =

    1 2 3

    1 3 2

    1 2 3

    2 3 1

    1 2 3

    2 1 3

    1 2 3

    3 2 1; ; ;

    Jadi fg gf.

    Invers Suatu PermutasiKarena permutasi f bersifat 1-1 dan onto, maka f-1 (inversnya)

    juga berupa permutasi. Perhatikan pula bahwa ff-1=f-1f=i.

    fa a a an

    b b b bn

    maka f b b b bn

    a a a an

    = =

    1 2 3

    1 2 3

    1 1 2 3

    1 2 3

    ...

    ...

    ...

    ...

    Pertemuan 16