grup abelian 2
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 grup abelian 2
1/3
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 1
JENIS-JENIS GRUP
Grup Aditif Bilangan Bulat Modulo mG={0,1,2,....,m-1} dari m bilangan bulat non-negatif, denganoperasi penjumlahan modulo m, adalah grup abelianberhingga.
Contoh:G={0,1,2} dengan operasi penjumlahan modulo 3 adalah grupbilangan bulat non-negatif abelian berhingga. Periksalah.
Grup Multiplikatif Bilangan Bulat Modulo p (p=prima)G={1,2,3,....,p-1}, p=bilangan prima, dengan operasi perkalianmodulo p adalah grup abelian berhingga.
Contoh:G={1,2,3,4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grupabelian berhingga. Periksalah.
PERMUTASIDefinisi:Misalkan S himpunan berhingga yang mempunyai n buahelemen berbeda. Suatu pemetaan 1-1 dan onto dari S ke Sdisebut suatu permutasi derajat n. Jumlah elemen dalamhimpunan berhingga S disebut derajat permutasi.
Misalkan S={a1,a2,a3,...,an} adalah himpunan berhingga yangmempunyai n elemen berbeda. Jika f:SS adalah pemetaan 1-1 dan onto, maka f adalah permutasi derajat n.
Contoh:
S = {1, 2, 3}. Sebutkan semua pemetaan bijektif pada Syakni suatu permutasi derajat 3.
S={1,2,3,4} adalah himpunan berhingga derajat 4.
Pertemuan 16
-
8/3/2019 grup abelian 2
2/3
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 2
f g h= = =
1 2 3 4
2 4 1 3
1 2 3 4
1 3 2 4
1 2 3 4
1 2 4 3; ; .
Perhatikan:f(1)=2, f(2), f(3)=1, f(4)=3, g(1)=1, g(2)=3, g(3)=2, g(4)=4,h(1)=1, h(2)=2, h(3)=4, h(4)=3. Permutasi f,g,h adalahpermutasi berorder 4.
Kesamaan Dua PermutasiDua permutasi f dan g berderajat n sama jika f(a)=g(a) untuk
setiap a S.
Contoh:
f g = =
1 2 3 4
2 3 4 1
2 4 1 3
3 1 2 4; f dan g adalah sama.
Jika S himpunan berhingga dengan n buah elemen berbeda,maka ada n! permutasi berbeda derajat n. Jika Pn adalah
himpunan yang memuat semua permutasi derajat n, maka Pndisebut himpunan permutasi simetris derajat n. Pn kadang-kadang dinotasikan dengan Sn.
Contoh:P3 adalah himpunan semua permutasi derajat 3 yangmempunyai 3!=6 elemen.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 1 2
1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 2 1
1 2 3
1 3 2
1 2 3
2 1 3
; ; ; ; ;
Permutasi Identitas
i=1 2 3
1 2 3
...
...
n
n
Perhatikan bahwa fi=if=f.Produk PermutasiProduk atau komposisi dua permutasi f dan g ditulis fg,
diperoleh dengan mengoperasikan f dahulu, lalu g.
Pertemuan 16
-
8/3/2019 grup abelian 2
3/3
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 3
Contoh:
f g fg gf = = = =
1 2 3
1 3 2
1 2 3
2 3 1
1 2 3
2 1 3
1 2 3
3 2 1; ; ;
Jadi fg gf.
Invers Suatu PermutasiKarena permutasi f bersifat 1-1 dan onto, maka f-1 (inversnya)
juga berupa permutasi. Perhatikan pula bahwa ff-1=f-1f=i.
fa a a an
b b b bn
maka f b b b bn
a a a an
= =
1 2 3
1 2 3
1 1 2 3
1 2 3
...
...
...
...
Pertemuan 16