ANALISIS KESTABILAN MODEL SIR, SIR VAKSINASI, SEIR

DAN MSEIR SEBAGAI MODEL-MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT CAMPAK (MEASLES)

ACE SUHENDAR

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2011

ABSTRACT

ACE SUHENDAR. Stability analysis of mathematical models: SIR , SIR with vaccination, SEIR

and MSEIR of the outbreak of measles diseases. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN

SIANTURI.

Measles disease is an extremely dangerous disease. It caused by virus that spreads through direct to the contact with victims or air. Measles disease can cause complication, mustle

disfunction and organ, physical defect, paralysis and death.

A vaccination program is a powerful method to control the measles disease outbreak. The

measles disease outbreak can be studied using mathematical model. The model is known as SIR, SIR of vaccination, SEIR and MSEIR epidemic model. In this research, the SIR of epidemic

model, SIR of vaccination, SEIR and MSEIR is derived by including the factors of birth, death, vaccination, body profection and immunity. The vaccination is held to prevent the measles disease

outbreak.

Based on stability analysis conducted, the SIR model, SIR of vaccination, SEIR and

MSEIR produced two equilibrium points, i.e, disease free and endemic equilibrium. The analysis conducted were also considering the basic reproduction rate and the minimum level of

vaccination. If the vaccination level less than the minimum level, than the measles disease becomes endemic and for the vaccination level more than the minimum level, than the disease

dies out. If , then the disease free equilibrium point is a stable node and the endemic

equilibrium point is an unstable spiral, meaning that virus can be removed from the population. If

, then the disease free equilibrium point is a saddle and the endemic equilibrium point is a stable spiral, meaning that virus remained. Also, the in the MSEIR model was found to be smaller than in the other models. This indicates that the MSEIR model was faster to reach the

stabile level.

ABSTRAK

ACE SUHENDAR. Analisis Kestabilan Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Sebagai

Model-model Penyebaran Penyakit Campak (Measles). Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan

PAIAN SIANTURI. Penyakit campak (measles) merupakan penyakit yang sangat berbahaya, penyakit ini

disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung dengan penderita dan udara.

Penyakit campak (measles) dapat menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan organ tubuh yang lainnya, cacat seumur hidup, kelumpuhan dan bahkan kematian.

Program vaksinasi merupakan metode yang baik untuk mencegah penyebarannya.

Penyebaran penyakit ini dapat dipelajari dengan mengunakan model matematika. Model tersebut

dikenal sebagai model endemik SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR. Pada penelitian ini, model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR diturunkan ulang dengan memperhatikan faktor kelahiran,

kematian, vaksinasi dan kekebalan tubuh.

Analisis kestabilan terhadap model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR ini

menghasilkan dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Analisis

yang dilakukan menghasilkan bilangan reproduksi dasar dan tingkat vaksinasi minimum yang

dibutuhkan agar berhasil dalam mencegah penyebaran penyakit campak (measles). Untuk nilai tingkat vaksinasi di bawah tingkat vaksinasi minimum, penyakit akan bersifat endemik dan untuk

nilai vaksinasi di atas nilai tingkat vaksinasi minimum, penyakit akan menghilang dari populasi

individu. Ketika titik tetap tanpa penyakit bersifat simpul stabil, dan titik tetap endemik bersifat spiral takstabil sehingga virus akan hilang dari populasi. Ketika titik tetap tanpa penyakit bersifat sadel, dan titik tetap endemik akan bersifat spiral stabil sehingga virus akan

bertahan dalam populasi. Dari ke empat model tersebut diperoleh bahwa bilangan reproduksi dasar

pada model MSEIR lebih kecil daripada model SIR, SIR vaksinasi dan SEIR, hal ini menunjukkan

bahwa model MSEIR akan lebih cepat mencapai kondisi stabil.

ANALISIS KESTABILAN MODEL SIR, SIR VAKSINASI, SEIR

DAN MSEIR SEBAGAI MODEL-MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT CAMPAK (MEASLES)

ACE SUHENDAR

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul : Analisis Kestabilan Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Sebagai

Model-model Penyebaran Penyakit Campak (Measles)

Nama : Ace Suhendar

NRP : G54061901

Menyetujui

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Dr. Paian Sianturi

NIP 19650820 198903 1 001 NIP 19620212 199011 1 001

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat

dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga

tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada:

1. Keluargaku tersayang: Ayah dan Ibu (Alm) tercinta, yang telah memberikan kasih sayang,

doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat dan motivasi yang sangat

berharga bagi penulis. Semangat dan kesabaranmu adalah motivasi bagiku. Untuk kakak

terima kasih selalu memberikan semangat dan nasihat bagi penulis;

2. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing I, Dr. Paian Sianturi selaku pembingbing II.

Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis.

Semua ilmu yang Pak Ali dan Pak Paian berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA

KASIH;

3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang

sangat bermanfaat bagi penulis;

4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan;

5. Ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Heri, mas Deni dan seluruh staf pegawai

Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi

akademik bagi penulis di departemen Matematika;

6. Teman-teman satu bimbingan: Arum dan Sopyan. Terima kasih atas doa, bantuan, dukungan

semangat, dan nasehatnya;

7. Kakak kelas angkatan 42 dan 41 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu;

8. Teman-teman angkatan 43: Desi, Bunda, Suci, Fitria, Peli, Supri, Destya, Resti, Margi, Ratna

Agung, Fardan, Wira, Adhi, Nia, Arum, Ecka, Lina, Rias, Erni, Irsyad, Arif, Peli, Elly, Maria

Herlina, Cupid, Vera, Rizki NS, Rizki SN, Nanu, Dandi, Zul, Andrew, Ucok, Sopyan, Kabil,

Sabar, Gandi, Hendra, Mubarok, Faisol, Slamet, Razon, Nobo, Syahrul. Terima kasih atas

doa, dukungan dan semangatnya, terima kasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di

Math 9. Adik kelas angkatan 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu;

10. Teman-temanku satu kosan: Aip, Edy, Riva, Ruly, Taufik, Yana, Abdul dan zikry yang selalu

memberi semangat.

11. Teman-teman d KPM: Teh Ica, Teh Ary, Teh Zizah, Teh Weni, Teh Mira, Bu Af dan Bude

Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan

khususnya Matematika.

Bogor, Maret 2011

Ace Suhendar

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Kertajati (Majalengka-Jawa Barat) pada tanggal 17 Desember 1987 sebagai

anak bungsu dari dua bersaudara, anak dari bapak Arsama dan ibu Wartini (Alm).

Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Mekarjaya III. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 2

Kertajati. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Cimalaka dan pada tahun yang sama penulis

lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Pada tahun 2007,

penulis memilih dan masuk jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam.

Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa

Matematika (GUMATIKA) staf Departemen Keilmuan periode 2008/2009 dan Gentra Kaheman

periode 2007/2009. Penulis pernah menjadi tim pengajar persiapan UAN pada SMA YPHB Bogor,

Pengajar mahasiswa prauniv, staf pengajar Gumatika, staf pengajar Agrismart, staf pengajar MSC

Education, staf pengajar MSCollege dan menjadi staf pengajar pada Bimbingan Belajar Klinik

Pendidikan MIPA (KPM).

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ................................................................................................................. vii

DAFTAR TABEL......................................................................................................... viii

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................... ix

I PENDAHULUAN

2.1 Latar Belakang ................................................................................................ 1

2.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Sistem Persamaan Diferensial ....................................................................... 2

2.2 Bilangan Reproduksi Dasar ........................................................................................ 4

III PEMODELAN

3.1 Model SIR .................................................................................................................. 4

3.2 Model SIR vaksinasi ................................................................................................... 5

3.3 Model SEIR ................................................................................................................ 6

3.4 Model MSEIR ............................................................................................................ 8

IV PEMBAHASAN

4.1 Model SIR .................................................................................................................. 9

4.1.1 Titik Tetap ......................................................................................................... 9

4.1.2 Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR........................................................ 9

4.1.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR ........................................................ 9

4.1.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SIR .................................................... 9

4.1.5 Orbit dan Kestabilan Sistem SIR ..................................................................... 10

4.2 Model SIR vaksinasi ................................................................................................. 10

4.2.1 Titik Tetap ....................................................................................................... 10

4.2.2 Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR vaksinasi ...................................... 10

4.2.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi ....................................... 11

4.2.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SIR vaksinasi ................................... 11

4.2.5 Orbit dan Kestabilan Sistem SIR vaksinasi ...................................................... 11

4.3 Model SEIR ............................................................................................................. 13

4.3.1 Titik Tetap ....................................................................................................... 13

4.3.2 Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SEIR ................................................... 14

4.3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR .................................................... 14

4.3.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SEIR ................................................ 14

4.3.5 Orbit dan Kestabilan Sistem SEIR.................................................................... 14

4.4 Model MSEIR ......................................................................................................... 16

4.4.1 Titik Tetap ....................................................................................................... 16

4.4.2 Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model MSEIR ................................................ 17

4.4.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model MSEIR ................................................. 17

4.4.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model MSEIR ............................................. 17

4.4.5 Orbit dan Kestabilan Sistem MSEIR ................................................................ 17