fungsi zeta riemann & hipotesis riemannย ยท fungsi zeta riemann adalah fungsi kompleks...
TRANSCRIPT
Fungsi Zeta Riemann & Hipotesis Riemann
Hendra GunawanBandung, 25 September 2018
Bernhard Riemann (1826-1866)
Hendra Gunawan, 25-09-2018 2
Hot News
Kemarin, Senin 24-09-2018, Michael Atiyah (89 thn)memberikan seminar pada Heidelberg Laureate Forum dan menyampaikan bukti Hipotesis Riemann.
Hipotesis Riemann diajukan oleh Bernhard Riemannpada tahun 1859 dan dinyatakan oleh David Hilbertsebagai masalah ke-8 dari 23 masalah yang dikemukakannya pada ICM 1900 di Paris.
Hipotesis Riemann dicantumkan oleh The Clay Institute sebagai salah satu di antara Millenium Prize Problems.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 3
Hipotesis Riemann
Hipotesis Riemann menyatakan bahwaFungsi zeta Riemann ฮถ(s) hanya memiliki akarbilangan genap negatifdan bilangan kompleksdengan bagian real ยฝ.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 4
Fungsi Zeta Riemann
Fungsi zeta Riemann adalah fungsi kompleks
๐ ๐ โ
๐=1
โ1
๐๐
yang pada awalnya terdefinisi untuk ๐ โ โ denganRe ๐ > 1, diperluas ke seluruh bidang kompleksmelalui kontinuasi analitik.
Rujukan: S. Lang, Complex Analysis, 3rd ed., Springer-Verlag, NY 1993.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 5
Sifat Simetri
Fungsi zeta Riemann memenuhi persamaan
๐ ๐ = 2๐ ๐ ฮ 1 โ ๐ sin12๐๐
๐๐ 1 โ ๐ โ
Pada awalnya, [*] berlaku untuk Re ๐ < 0, tetapikemudian dengan kontinuasi analitik [*] berlakuuntuk seluruh s.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 6
Akar-Akar Trivial Fungsi Zeta Riemann
๐ ๐ = 2๐ ๐ ฮ 1 โ ๐ sin12๐๐
๐๐ 1 โ ๐ โ
Melalui persamaan [*], kita dapat menghitung bahwa๐ โ1 = โ
1
12.
Fakta ini sering dipelesetkan sebagai
1 + 2 + 3 +โฏ = โ1
12.
Catat bahwa melalui [*] kita dapatkan ๐ ๐ = 0 untuk๐ = โ2๐, ๐ โ โ.
Dalam hal ini, ๐ = โ2๐, ๐ โ โ, merupakan akar-akartrivial dari ๐ ๐ .
Hendra Gunawan, 25-09-2018 7
Hipotesis Riemann
Riemann membuat konjektur bahwa akar-akar
lainnya hanya mungkin ada pada garis Re ๐ =1
2.
Catat bahwa garis Re ๐ =1
2merupakan garis
simetri persamaan [*].
Hendra Gunawan, 25-09-2018 8
Kaitan Hipotesis Riemann dengan Teori Bilangan
Untuk Re ๐ > 1, kita mempunyai
๐ ๐ =
๐ prima
1 โ1
๐๐
โ1
.
Hasil kali di ruas kanan dikenal sebagai hasil kali Euler.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 9
Banyaknya Bilangan Prima (1)
โ๐โฒ
๐๐ =
๐
log ๐
๐๐ โ 1= ฮฆ ๐ +
๐
โ๐ ๐
dengan
ฮฆ ๐ =
๐
log ๐
๐๐ , Re ๐ > 1,
dan
โ๐ ๐ โค ๐ถlog ๐
๐2๐ .
Jadiฮฆ ๐ meromorfik untuk Re ๐ >1
2dan mempunyai
kutub di ๐ = 1 dan akar-akar ๐ ๐ saja.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 10
Banyaknya Bilangan Prima (2)
Jika
๐ ๐ฅ โ
๐โค๐ฅ
log ๐,
maka
ฮฆ ๐ = ๐ 1
โ๐ ๐ฅ
๐ฅ๐ +1๐๐ฅ.
Jika๐ ๐ฅ โ banyaknya bilangan prima โค ๐ฅ,
maka
๐ ๐ฅ ~๐ฅ
log ๐ฅ.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 11
Epilog
Banyak teorema tentang bilangan prima yang bertumpu pada Hipotesis Riemann (bahwa fungsizeta Riemann tidak memiliki akar selain bilangangenap negatif dan bilangan kompleks dengan bagian
real 1
2).
Kebenaran Hipotesis Riemann sangat krusial. BilaHipotesis Riemann ternyata salah, banyak teorematentang bilangan prima gugur.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 12