SEKOLAH TINGGI

MANAJEMEN INFORMATIKA & TEKNIK KOMPUTER

SURABAYA

Kalkulus Teori, Soal-Soal & Penerapannya

Ira Puspasari

Kalkulus 1

BAB 1

FUNGSI{ XE "FUNGSI" } UMUM

Materi : Fungsi

Sub Materi : Pengertian Fungsi

Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Fungsi Trigonometri

Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan

konsep fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan fungsi pangkat, menggambar

grafik fungsi, menentukan invers{ XE "invers" } dan komposisi{ XE

"komposisi" } dari fungsi, membuktikan identitas{ XE "identitas" }

trigonometri serta menghitung fungsi pangkat dan eksponensial{ XE

"eksponensial" }.

1.1. Pengertian Fungsi

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai hubungan antara dua

hal. Misalnya hubungan antara seseorang dengan hobi yang dimiliki. Seperti

ditunjukkan pada Gambar 1.1

Gambar 1.1 Hubungan antara mahasiswa dengan hobi

Ari

Benny

Cello

Dean

Menyanyi

Berenang

Membaca

Menari

Kalkulus 2

Pada Gambar 1.1, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan

antara mahasiswa dengan hobi. Setiap orang dapat memiliki satu atau lebih

hobi. Sebaliknya satu jenis hobi dapat diambil oleh beberapa mahasiswa.

Hubungan demikian disebut relasi{ XE "relasi" }, yang menghubungkan

antara himpunan nama orang dengan himpunan hobi. Contoh lain misalnya

hubungan antara negara dan ibukota negara. Seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 1.2

Gambar 1.2 Hubungan antara negara dan Ibukota

Pada Gambar 1.2, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan antara

negara dan ibukotanya. Setiap negara hanya memiliki sebuah ibukota negara,

sebaliknya nama sebuah ibukota negara hanya dimilki oleh sebuah negara

saja. Hubungan (relasi{ XE "relasi" }) dalam kondisi khusus seperti ini disebut

korespondensi satu-satu seperti pada Gambar 1.2

Beberapa contoh di atas telah memberikan kita gambaran seperti

apakah fungsi itu. Menurut definisinya suatu fungsi f adalah pengawanan

setiap elemen sebuah himpunan (daerah asal) kepada tepat satu elemen

himpunan yang lain (daerah nilai). Daerah asal dan daerah nilai tidak dibatasi

oleh angka, tetapi bisa manusia, hewan, tumbuhan, benda mati dan lain-lain,

sedangkan dalam kalkulus himpunan itu adalah himpunan bilangan-bilangan

real.

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi{ XE "notasi" } berikut.

f : A B

India

Italia

Inggris

Spanyol

New Delhi

Roma

London

Madrid

Kalkulus 3

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap

elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada

sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Sedangkan

untuk memberi nama suatu fungsi selain menggunakan huruf f bisa

menggunakan g atau F. Jadi, jika f(x) = 2x2 + 3 x, maka

f(1) = 2.12 + 3.1 = 5

f(2) = 2.22 + 3.2 = 14

f(3) = 2.32 + 3.3 = 24

f(a) = 2.a2 + 3.a

f(a + h) = 2.(a + h)2 + 3.(a + h)

= 2a2

+ 2ah + h2

+ 3a + 3h

Dalam fungsi terdapat daerah asal dan daerah nilai. Daerah asal adalah daerah

dimana suatu elemen dipetakan.

Daerah asal f : A B adalah semua unsur anggota bilangan real dalam A

yang menyebabkan daerah hasil dalam B selalu Real.

Daerah hasil f : A B adalah semua unsur anggota bilanganreal dalam B

yang merupakan hasil yang dikenai fungsi unsur anggota A.

Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan

diatur, sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan

respon dari variabel bebas. Berbagai cara menentukan daerah asal dan daerah

nilai fungsi diberikan dalam contoh berikut.

Contoh:

1. Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari

f(x) = x

x 1

Jawab:

Supaya f(x) , syaratnya adalah x 0, sehingga daerah asal fungsi f adalah

D f = {f (x) : x 0}= - {0}

Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, ubahlah bentuknya menjadi

y = x

x 1,

kemudian nyatakan x dalam y, perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y.

Kalkulus 4

y x = x – 1

x( y – 1 ) = -1

x = 1

1

y, y 1

Jadi daerah nilai fungsi f adalah

R f = {f(x) : y 1}= - {1}

Sketsa grafik dari persamaan

f(x) = x

x 1

dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu

x -3 -2 -1 1 2 3

y = f(x) 1,33 1,5 2 0 0,5 0,67

Gambar 1.3 Grafik fungsi f dengan daerah asal - {0}dan daerah nilai -

{1}

Gambar 1.3 menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal - {0}dan

daerah nilai - {1}.

2. Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari

f(x) = x4

Jawab:

f(x) = x4

Kalkulus 5

Dalam y = x4 , besaran 4 – x tidak dapat negatif. Yaitu, 4 – x

harus lebih besar daripada atau sama dengan 0. Penulisannya dalam lambang

adalah

0 x 4

Atau

xxx 40

Atau

4x

Bentuk y = 4x memberikan harga y yang riel untuk sebarang x yang lebih

kecil daripada atau sama dengan 4.Sehingga daerah asal fungsi f adalah

D f = { : 4x }= { 4 , - }

Untuk menentukan daerah nilai fungsi f,

D f ={ 4 , - }

4 x

Karena bentuk Bentuk y = 4x memberikan harga y yang riel, maka daerah nilai

fungsi f adalah

0 )(xf

Jadi daerah nilai fungsi f adalah

R f = ,0

Sketsa grafik dari persamaan

f(x) = x4

dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = f(x) 3 2,83 2,65 2,45 2,24 2 1,73 1,41 1 0

Kalkulus 6

Gambar 1.4 Grafik fungsi f dengan daerah asal 4 x dan daerah nilai

0 )(xf

Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal 4 x dan

daerah nilai 0 )(xf .

Jenis-jenis fungsi :

1. Surjektif (Fungsi pada)

f : A B surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B terdapat x A

sehingga y = f (x)

2. Injektif (Fungsi satu-satu)

f : A B injektif jika terdapat x1, x2 A dengan x1 ≠ x2 sehingga f (x1) ≠ f

(x2)

3. Bijektif (Fungsi satu-satu dan pada)

Fungsi y = f (x) bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi satu-satu dan

fungsi pada

Jumlah, Selisih, Hasil-Kali Dan Hasil-Bagi Fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan Df dan Dg , maka

)(xgxfxgf

)()())(( xgxfxgf

)().())(.( xgxfxgf

)(/)())(/( xgxfxgf

Kalkulus 7

Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi

Seandainya keluaran-keluaran dari sebuah fungsi f dapat digunakan sebagai

masukan-masukan dari sebuah fungsi g, maka kedua fungsi tersebut dapat dikaitkan

untuk membentuk sebuah fungsi baru. Fungsi baru tersebut, masukan-masukannya

adalah masukan dari f dan keluaran-keluarannya adalah bilangan-bilangan g(f(x)).

Dapat dilihat pada gambar di bawah, dikatakan bahwa fungsi g(f(x)) (diucapkan “g

dari f dari x”) adalah sebuah fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g, fungsi

tersebut terbentuk dari menggabungkan f dan g dalam urutan f pertama, kemudian g.

X f(x) g(f(x))

Gambar 1.5 Fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g

Keterangan dari gambar di atas bisa juga dinyatakan jika f bekerja pada x dan

menghasilkan f(x), selanjutnya g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)),

dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut

komposisi{ XE "komposisi" } g dengan f, yang dinyatakan dengan fg . Jadi

xfgxfg )(

Contoh:

Bila diketahui f(x) = 2x dan g (x) = 5x maka

522 xxgxfgxfg

)5()( xfxgfxgf = 25x

Fungsi Invers

Fungsi f : Df Rf dikatakan fungsi satu-satu (injektif) jika f (u) = f(v); u =

v untuk setiap u dan v fD

Invers fungsi satu-satu f : Df Rf didefinisikan sebagai fungsi

1f : Rf Df

f g

Kalkulus 8

yang memenuhi yyff 1 untuk setiap fRy . Jika aturan fungsi f

adalah xfy , maka xfyff 1 . Karena fungsi f satu-satu, maka

xyf 1 , sehingga xxff 1 untuk setiap fDx . Hal ini mengakibatkan

yfxxfy 1

Ini berarti bahwa aturan fungsi 1f diperoleh dengan cara membuat x dan y

saling bertukar peran.

Contoh:

Bila diketahui xxf 105 berapakah ?1f

Tulislah yxxy ,,105

Nyatakan x dalam y, diperoleh 510 yx ; 10

5

yx

Jadi

10

51 x

xf

1.2. Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar

biasa yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan

sebagainya. Berikut, sebagian fungsi aljabar:

a. Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola)

cbxaxxf 2

dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol

Contoh:

123 2 xxxf ]

b. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik)

dcxbxaxxf 23

dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol

Contoh:

23 4xxxf

Kalkulus 9

c. Fungsi Polinom (Suku Banyak)

01

2

2

1

1 ... axaxaxaxaxf n

n

n

n

n

n

Contoh:

75 xxf

d. Fungsi Linier{ XE "Linier" }

baxxf

Contoh:

59 xxf

Operasi Aljabar{ XE "Aljabar" } pada Dua Fungsi

Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefinisikan operasi

aljabar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan pembagian atas dua fungsi tersebut.

Misalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D. Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil

bagi dari f dan g ditulis gfgfgf .,, dan f / g didfefinisikan sebagai fungsi yang

aturannya disetiap Dx ditentukan oleh:

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf ..

0;

xg

xgxf

xg

f

Contoh:

Jika x

xxf

1

1 dan

xxg

1 , maka 0,1 gf DDD , dan operasi

aljabarnya adalah

Jumlah dari fungsi f dan g :

xgfx

x

1

1

x

1

xx

xxx

1

1112

2 1

xx

xxx

xx

x

2

2 1,

Kalkulus 10

dengan }0,1{gfD

Selisih dari fungsi f dan g :

xgfx

x

1

1

x

1

xx

xxx

1

1112

2 1

xx

xxx

xx

xx

2

2 12

dengan }0,1{gfD

Hasil kali dari fungsi f dan g :

xgf .x

x

1

1

x

1.

xx

x

1

112

1

xx

x

dengan }0,1{. gfD

Hasil bagi dari fungsi f dan g :

x

gf

xx

x 1

1

1

= 11

1

x

xx

x

xx

1

2

dengan }1{/ gfD

Kalkulus 11

1.3. Fungsi Trigonometri

Apabila sebuah sudut sebesar derajat ditempatkan dalam kedudukan

standar pada pusat sebuah lingkaran berjari-jari r seperti pada gambar di

bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan

oleh rumus-rumus berikut:

r

ysin

r

xcos

x

ytan

y

x

Gambar 1.6 Sudut trigonometri

Dari definisi fungsi sinus dan cosinus, dapat diturunkan fungsi-fungsi

trigonometri yang lain, yaitu:

cos

sintan

sin

coscot

cos

1sec

sin

1csc

Grafik siny dan cosy terlihat seperti Gambar 1.7 dan Gambar 1.8:

Kalkulus 12

-π π 2π xy sin

- π/2 0 π /2 3π/2

Gambar 1.7 Grafik fungsi Sinus

-π π 2π

xy cos

- π/2 0 π /2 3π/2

Gambar 1.8 Grafik fungsi Cosinus

Dengan keterangan sebagai berikut:

0180 rad; 180

10 rad; 1 rad

0180 dengan = 3,14159

Ada empat hal yang berkaitan tentang grafik sinus dan cosinus:

1. sin x dan cos x keduanya berkisar -1 sampai 1

2. Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2

Kalkulus 13

3. Grafik xy sin simetri terhadap titik asal dan xy cos simetri

terhadap sumbu y

4. Grafik xy cos sama seperti xy sin tetapi digeser /2 satuan ke

kanan.

Kesamaan Trigonometri

Fungsi-fungsi Trigonomeri mempunyai rumus-rumus kesamaan sebagai berikut:

a. Kesamaan ganjil{ XE "ganjil" }-genap{ XE "genap" }:

b. Kesamaan fungsi Trigonometri

c. Kesamaan jumlah

BA

BABA

BA

BABA

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

tantan1

tantantan

tantan1

tantantan

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

sincoscossinsin

d. Kesamaan Sudut rangkap dua

AAAAA

AAA

2222 sin211cos2sincos2cos

cossin22sin

xx

xx

xx

tantan

coscos

sinsin

A

AA

AA

AA

A

AA

cos

sintan

csccot1

seccos

1tan1

1cossin

22

2

2

2

22

Kalkulus 14

e. Kesamaan Sudut rangkap tiga

AAA

AAA

cos3cos43cos

sin4sin33sin

3

3

f. Kesamaan Setengah Sudut

A

A

A

A

A

AA

AA

AA

sin

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

2tan

2

cos1

2cos

2

cos1

2sin

g. Kesamaan Hasil Kali

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

sinsin2

1cossin

coscos2

1coscos

coscos2

1sinsin

Fungsi-fungsi Siklometri adalah invers{ XE "invers" } dari fungsi-fungsi

trigonometri dalam domain{ XE "domain" } yang tertentu. Invers f dengan

persamaan 22

,sin

xxxfy adalah .arcsin1 yyfx Demikian juga

invers fungsi g dengan persamaan xxgy cos , x0 adalah

.arccos1 yygx

Persamaan fungsi-fungsi siklometri{ XE "siklometri" }:

,arcsin xy invers{ XE "invers" } dari 22

,sin

yyx

,arccos xy invers{ XE "invers" } dari yyx 0,cos

,arctan xy invers{ XE "invers" } dari 22

,tan

yyx

,cot xarcy invers{ XE "invers" } dari yyx 0,cot

xarcy sec invers{ XE "invers" } dari yyx 0,sec

Kalkulus 15

,csc xarcy invers{ XE "invers" } dari 22

,sec

yyx

Grafik ,arcsin xy dan xy arctan terlihat dalam Gambar 1.9 dan Gambar 1.10:

π/2

-1 0 1

-π/2

Gambar 1.9 Grafik xy arcsin

y

π/2 xy arctan

x

0

-π/2

Gambar 1.10 Grafik xy arctan

xy arcsin

Kalkulus 16

Latihan penerapan fungsi trigonometri :

Buktikan kebenaran persamaan trigonometri berikut ini :

(1 + sin z) (1 - sin z) = z2sec

1

Penyelesaian :

1 – sin z + sin z – sin2 z =

z2sec

1

1 – sin2

z = z2sec

1

cos2 z =

z2sec

1

persamaan ini dapat dilihat pada persamaan trigonometri bagian (b)

1.4. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }

Bentuk umum fungsi pangkat adalah:

nxy

Dengan y: peubah{ XE "peubah" } tak bebas

x: peubah{ XE "peubah" } bebas

n: konstanta{ XE "konstanta" }

Contoh:

3xy

Identitas fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }:

a. baba xxx .

b. baba xxx :

c. baba xx .

d. 0,/1 xxx aa

e. a

aa

z

x

z

x

Kalkulus 17

f. ab

b xxa

g. 10 x

Contoh penggunaan Identitas

Sederhanakanlah fungsi pangkat berikut ini:

a. 32 .xx

b. 4/341

10:5 xx

c.

3

21

22

d. 222 xx ee

Jawab:

a. 32 .xx = 32x = 5x

b. 4/341

10:5 xx 43

41

21

x = x2

1

c.

3

21

22

=

3

21

21

22

4

3

2.2 47

2

d. 222 xx ee 22224 .2 xxxx eeee xx eee 404 .2 xx ee 44 2

Kalkulus 18

RINGKASAN

1. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan atau lebih. Hubungan (relasi{ XE

"relasi" }) dalam kondisi khusus disebut korespondensi satu-satu.

2. Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan diatur,

sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan respon dari

variabel bebas.

3. Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar biasa yaitu

penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan sebagainya. Sebagian

fungsi aljabar diantaranya: Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola), Fungsi

Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik), Fungsi Polinom (Suku Banyak) dan

Fungsi Linier{ XE "Linier" }

4. Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi{ XE "notasi" }/aturan, juga daerah

asal fungsi (domain{ XE "domain" }), yang merupakan sumber nilai dari suatu

fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain{ XE "kodomain" }), yang merupakan

nilai hasil dari aturan yang ada. Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu

dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.

5. Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada

f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi{

XE "komposisi" } g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g

dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f atau (g ○ f)(x) = g(f(x)), sedangkan

komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g dituliskan (f o g)(x) = f(g(x)).

6. Jika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers{ XE

"invers" } dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1

(x).

Kalkulus 19

Soal-soal Latihan

1. Tentukan fungsi fg dan gf beserta daerah asal dan daerah nilai fungsi

komposisinya

a. 22 xxf dan xxg 2

b. xxxf 52 dan xxg

c. xxf cos dan xxg 1

2. Fungsi f dengan persamaan 105 xxf . Tentukan

a. 2f

b. 75 af

3. Tentukan Invers fungsi-fungsi berikut

a. xf 24 xx

b. xxf 1

c. xxf 10

4. Buktikan bahwa kesamaan trigonometri berikut ini adalah benar

a. xxx

2tantancot

2

b. xxxx csccottancos

c. tt

t 2

2

2

sinsec

1sec

Kalkulus 20

BAB II

FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRANSENDEN

Materi : Fungsi Transenden

Sub Materi : - Fungsi Eksponen

- Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }

- Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

dan menghitung tiga macam fungsi transenden{ XE "transenden" }, bentuk

umum dan operasi pada masing-masing fungsi transenden tersebut.

Materi

Kita ingat kembali bahwa fungsi transenden{ XE "transenden" } adalah fungsi

yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas

fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. Sampai saat ini fungsi

trasenden yang telah kita kenal adalah fungsi trigonometri, yang terdiri dari

fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, sekan dan kosekan. Sekarang kita

akan mempelajari fungsi trasenden lainnya, yaitu fungsi eksponen, fungsi

logaritma dan fungsi hiperbolik.

2.1. Fungsi Eksponen

Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : xay

Dimana : y = peubah{ XE "peubah" } tak bebas

a = konstanta{ XE "konstanta" }, 0a

x = peubah{ XE "peubah" } bebas

Contoh :

1. xy 2

2. xy 10

Sifat-sifat Fungsi Eksponen

Apabila xba ,0,0 dan y , maka

a. yxyx aaa

Kalkulus 21

b. yx

y

x

aa

a

c. xyyx aa

d. xxxbaab

e. x

xx

b

a

b

a

Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-

macam persamaan eksponen berikut contoh soal dan penyelesaiannya:

1. Bentuk pxf aa

Contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

8

12 2 x

Penyelesaian:

8

12 2 x

3222

x

32 x

23x

1x

2. Bentuk )(xgxf aa

Contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

2263 22

55 xxxx

2263 22 xxxx

042 x

0)2)(2( xx

22 xx

Kalkulus 22

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

252

12

2

2

216

16

xx

xx

Penyelesaian:

2523122

2

66

xxxx

)252(312 22 xxxx

615612 22 xxxx

07175 2 xx

07175 2 xx

a

acbbx

2

42

2,1

5.2

)7.(5.4)17()17( 2

2,1

x

10

140289172,1

x

10

140289172,1

x

10

7123,20172,1

x

10

7123,20171

x atau

10

7123,20172

x

78,31 x atau 37,02 x

3. Bentuk Caa xgxf )()(

Contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

1255 22 x

x

Penyelesaian:

155 22 xx

022 555 xx

022 xx

Kalkulus 23

032 x

3

2x

2.2. Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }

Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling

invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :

y=b log x x = b y ; x, b > 0

Sifat-sifat logaritma :

1. b log 1 = 0

2. b log b = 1

3. b log ac = b log a + b log c

4. b log a/c = b log a - b log c

5. b log a r = r b log a

6.b

aa

c

cb

log

loglog

7. ba ba

log

Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

Berbagai sifat logaritma di atas dapat dibentuk menjadi berbagai mcam persamaan

logaritma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya terkandung

dalam pokok logaritma. Bentuk yang paling sederhana dari persamaan logaritma

adalah sebagai berikut:

bxf aa loglog

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari qrp

pqr 1log.

1log.

1log

35

Penyelesaian:

qrp

pqr 1log.

1log.

1log

35

Kalkulus 24

= 135 log.log.log qrp pqr

= qrp pqr log.log.log)1.3.5(

= rqp qpr log.log.log15

15

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari xx log132loglog 2122

Penyelesaian:

xxx log2loglog132loglog 222122

xx log2loglog1 222

xx 2log32loglog 2122

xx 2)32log( 12

xx 21 )2()32(

032.2)2( 2 xx ; Misal Ax 2

0322 AA

xx

AA

AA

xx

3log2

1232

13

)1()3(

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 52log)5log(2log 222 xxx

Penyelesaian:

52log)5log(2log 222 xxx

32log2log)5log(2log 2222 xxx

322

310 2

x

xx

02974 2 xx

074292 x

322)5.(2 xxx

Kalkulus 25

a

acbbx

2

42

2,1

)1.(2

)74.(1.4)29()29( 2

2,1

x

2

296841322,1

x

2

72,33322,1

x

86,086,32 21 xx

Karena logaritma selalu positif, maka x= -32,86 bukan merupakan himpunan

penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian ={0,86}

2.3. Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }

Gambar 2.1. Lingkaran satuan

Pada gambar 2.1. jika titik P(s,t) terletak pada hiperbol 122 vu , akan

didefinisikan ux cosh dan tx sinh , di mana cosh dan sinh menyatakan sinus dan

kosinus hiperbolik. Ternyata bahwa salah satu pilihan untuk ux cosh dan

tx sinh adalah kombinasi dari fungsi eksponen natural, yaitu xx eex 2

1cosh

dan xx eex 2

1sinh .

s

s 0 s

1

s

1

s -1

P(s,t) t

s -1 u

v

t

s

Kalkulus 26

Definisi fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

Fungsi Kosinus hiperbolik : xeexxf xx ,2

1cosh

Fungsi Sinus hiperbolik : xeexxf xx ),(2

1sinh

Fungsi Tangen hiperbolik : xx

xxxf ,

cosh

sinhtanh

Fungsi Kotangen hiperbolik : 0,sinh

coshcoth x

x

xxxf

Fungsi Sekan hiperbolik : xx

hxxf ,cosh

1sec

Fungsi Kosekan hiperbolik : 0,sinh

1cosh x

xxxf

Dalam bentuk eksponen, fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dapat

ditulis sebagai berikut:

xe

e

ee

eex

x

x

xx

xx

,1

1tanh

2

2

0,1

1coth

2

2

xe

e

ee

eex

x

x

xx

xx

xe

e

eehx

x

x

xx,

1

22sec

2

0,1

22csc

2

x

e

e

eehx

x

x

xx

Sifat- sifat fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

xx cosh)cosh(

xx sinh)sinh(

xx tanh)tanh(

xx coth)coth(

hxxh sec)(sec

hxxh csc)(csc

hxxh sec)(sec

Kalkulus 27

xexx sinhcosh

xexx sinhcosh

1sinhcosh 22 xx

xhx 22 sectanh1

xhx 22 csc1coth

yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh(

yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh(

yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh(

yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh(

yx

yxyx

tanhtanh1

tanhtanh)tan(

yx

yxyx

tanhtanh1

tanhtanh)tan(

xxx coshsinh22sinh

xxxxx 2222 sinh211cosh2sinhcosh2cosh

x

xx

2tanh1

tanh22tanh

Invers fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

1lnsinh/arcsin 21 xxxhxy

1,1lncosh/arccos 21 xxxxhxy

x

xxhxy

1

1ln

2

1tanh/arctan 1

1,1

1ln

2

1tanh/arctan 1 x

x

xxhxy

1,1

1ln

2

1coth/coth 1 x

x

xxxarcy

1,1

coshsec/sec 11 xx

xhhxarcy

Kalkulus 28

RINGKASAN

1. Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : xay ; dimana y =

peubah{ XE "peubah" } tak bebas, a = konstanta{ XE "konstanta" }, 0a , x =

peubah bebas.

2. Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-macam

persamaan eksponen:

- pxf aa

- )(xgxf aa

- Caa xgxf )()(

3. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling

invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :

y=b log x x = b y ; x, b > 0

4. Beberapa fungsi hiperbolik yang sering digunakan:

- Kosinus: xeexxf xx ,2

1cosh

- Sinus: xeexxf xx ),(2

1sinh

- Tangen: xx

xxxf ,

cosh

sinhtanh

Kalkulus 29

Soal-Soal Latihan:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut:

a. xxx 5155 212

b. 19 352 2

xx

2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

a. 53 log)910log( xxx xx

b. 496log6log5 xx

c. 5log22

41log70log

35

41log

3. Buktikan kebenaran persamaan berikut:

a. 1cosh2

1

2

1cosh xx

b. x

xx

sinh

1cosh

2

1tan

Kalkulus 30

BAB III

LIMIT

Materi : Limit{ XE "Limit" }

Sub Materi : - Pengertian Limit{ XE "Limit" }

- Limit{ XE "Limit" } Fungsi

- Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga

- Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami

sifat dan berbagai bentuk limit serta menghitung pada masing-masing bentuk

limit tersebut.

Materi

3.1. Pengertian Limit{ XE "Limit" }

Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan

berkembang apabila variabel{ XE "variabel" } di dalam fungsi yang

bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

Sebagai gambaran: dari )(xfY

Akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan )(xf ini, apabila nilai

x terus menerus berkembang hingga mendekti suatu nilai tertentu. Jika fungsi

)(xf mendekati L disebut limit fungsi )(xf untuk x mendekati a .

Hubungan ini dilambangkan dengan notasi{ XE "notasi" }

)(lim xfax

= L

Dibaca limit fungsi )(xf untuk mendekati a adalah L . Artinya jika variabel{

XE "variabel" } x berkembang secara terus menerus hingga mendekati

bilangan tertentu a , maka nilai fungsi x )(xf akan berkembang pula hingga

mendekati L . Atau sebaliknya fungsi )(xf dapat dibuat mendekati nilai

tertentu yang mendekati L dengan mengembangkan variabel x sedemikian

rupa hingga mendekati a .

Kalkulus 31

Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi{ XE "notasi" } atau pernyataan limit

di atas. Pertama ax harus dibaca dan ditafsirkan dengan mendekati a , dan

bukan berarti ax !. Kedua, )(lim xf = L harus dibaca serta ditafsirkan

bahwa L adalah limit fungsi )(xf dan bukan berarti L adalah nilai fungsi

)(xf .

Ringkasnya:

)(lim xfax

= L bukan berarti )(af = L

3.2. Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Limit{ XE "Limit" } fungsi biasanya digunakan dalam konsep dasar

pada kalkulus differensial dan integral{ XE "integral" }. Sebuah fungsi yang

peubah{ XE "peubah" } bebasnya menuju suatu titik tertentu (jarak dari

peubah bebasnya ke titik tersebut semakin lama semakin kecil). Jika peubah

tak bebasnya / , maka hal ini berkaitan dengan limit fungsi disuatu titik.

a. Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a

)()(lim afxfax

Jika 0

0)( af maka )(xf harus disederhanakan terlebih dahulu.

Contoh:

Berapakah nilai x dari xx

x

x 4lim

22 ?

Penyelesaian:

xx

x

x 4lim

22 , jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:

xx

x

x 4lim

22 =

0.40

0lim

2 x 0

0 ( TIDAK DIPERBOLEHKAN )

Cara yang benar adalah

xx

x

x 4lim

22 2

1

)42(

1

)4(

1lim

)4(lim

22

xxx

x

xx

Kalkulus 32

Jadi xx

x

x 4lim

22 =

2

1

b. Limit{ XE "Limit" } )(xf untuk x mendekati

)()(lim

fxfx

Jika )(;)(

ff diubah dahulu dengan dibagi x pangkat terbesar.

Jika )(; xff dikali sekawan{ XE "sekawan" } dahulu, baru

dibagi x pangkat yang terbesar.

Contoh:

Berapakah nilai x dari 2

2

36

12lim

xx

x

x

?

Penyelesaian:

2

2

36

12lim

xx

x

x

, jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:

2

2

36

12lim

xx

x

x

=

2

2

36

12lim

x=

( TIDAK DIPERBOLEHKAN )

Cara yang benar adalah

2

2

36

12lim

xx

x

x

=

3

2

3

2lim

2

2

x

x

x

Jadi 2

2

36

12lim

xx

x

x

3

2

c. Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri

1sin

lim0

x

x

x

x

x

x

coslim

0 1

tanlim

0

x

x

x

1sin

lim0

x

x

x 1

coslim

0

x

x

x 1

tanlim

0

x

x

x

Kalkulus 33

Jika ada bentuk cosinus hasilnya 0

0maka bentuk tersebut diubah

dengan menggunakan rumus xx 2sin212cos

Bentuk sin dan tan di atas dapat diperluas lagi menjadi:

bx

axsin

bx

ax

sin

bx

axtan

bx

ax

sin

sin

bx

ax

tan

tan

bx

ax

tan

sin

bx

ax

sin

tan

Contoh:

Tentukan besarnya limit dari masing-masing fungs berikut ini:

1. xx

sinlim0

2. x

x

x

tanlim

0

3. xx

xx

x 2tan5

4sin3lim

0

Penyelesaian:

limit dari masing-masing fungsi berikut ini:

1. xx

sinlim0

00.1limsin

lim.sin

lim000

xxxx

x

xx

x

x

bx

ax

tan

b

a

Kalkulus 34

2. 11

1

coslim

sinlim

cos

sinlim

tanlim

0

0

00

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

3. xx

xx

x 2tan5

4sin3lim

0

3

12

3

7

2

2tanlim25

4

4sinlim43

2.2

2tan5

4.4

4sin3

lim

0

0

0

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

d. Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan

Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dibagi menjadi

dua bagian, tergantung pda sisi mana kita melihat gerakan perkembangan

variabelnya. Apabila dianalisis limit )(xf dari nilai – nilai x yang lebih kecil

dari a ( ax ),

ax

berarti kita melihatnya dari sisi kiri, sebaliknya jika dianalisis limit )(xf dari

nilai –nilai x yang lebih besar dari a ( ax ),

ax

berarti kita melihatnya dari sisi kanan.

Limit{ XE "Limit" } sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati

oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya

melalui nilai-nilai yang membesar ( ax ) dari sisi kiri, melalui nilai-nilai

ax . Jadi jika, ')(lim Lxfax

berarti 'L merupakan limit sisi kiri dari )(xf

untuk ax

Limit{ XE "Limit" } sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati

oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya

melalui nilai-nilai yang mengecil ( ax ) dari sisi kanan, melalui nilai-nilai

ax Jadi jika, ')(lim Lxfax

berarti 'L merupakan limit sisi kanan dari )(xf

untuk ax

Limit{ XE "Limit" } sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi

kiri dan limit sisi kanannya ada serta sama.

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax

Kalkulus 35

Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit

dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah

fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit

kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.

Contoh :

1. 7)21(lim 2

2

x

x (terdefinisi)

Sebab

2. maka

xxf

nn

3lim)(lim

00=+

xxf

nn

3lim)(lim

00=-

Karena maka tidak terdefinisi

3.3. Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga

Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang

dan , yaitu bila nilai fungsi )(xf membesar atau mengecil tanpa batas

atau bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas.

Misalnya:

Diberikan fungsi f (x)1

1

x. Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga ( )

untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( - )

untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan

limit sebagai berikut :

)(lim1

xfx

dan

)(lim1

xfx

Kalkulus 36

Bila 2)1(

1)(

xxf maka didapatkan limit

)(lim

1xf

x dan

)(lim

1xf

x

atau dituliskan

)(lim1

xfx

. Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak

hingga. Yaitu nilai fungsi )(xf untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga

( ). Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga digambarkan

sebagai berikut: Misal diberikan fungsi x

xf1

)( . Maka nilai fungsi akan

mendekati nol bila x menuju tak hingga atau minus tak hingga dinotasikan

0)(lim

xfx

dan 0)(lim

xfx

Secara umum limit fungsi nx

xf1

)( , n B untuk x mendekai tak hingga

atau minus tak hingga sama dengan nol dapat dituliskan

01

lim nx x

atau 01

lim nx x

Bila )(xf merupakan fungsi rasional{ XE "rasional" } , misal

)(

)()(

xq

xpxf dengan )(xp dan )(xq merupakan polinom maka untuk

menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang

)(xp dan penyebut )(xq dengan x pangkat tertinggi.

Contoh:

Hitung x

x

x

3

3lim

3

Penyelesaian:

Nilai pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati

6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat

kecil. Bila 6 dibagi bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan

yang sangat kecil.

Jadi x

x

x

3

3lim

3=-

3.4. Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Kalkulus 37

Pada limit fungsi trigonometri, kita telah mempelajari bahwa :

1sin

lim0

x

x

x

Perhatikan bentuk limit ini untuk 0x , limit pembilang dan limit

penyebutnya 0. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0, Kita

mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

00 ,0,,.0,,0

0

dan 1

Pada pertemuan ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama

saja, yaitu:

a. Bentuk tak tentu 0

0

Kita akan menghitung ,)(

)(lim

xg

xf

cxdengan )(lim0)(lim xgxf

cxcx

( cx dapat diganti oleh ,,, xcxcx atau x )

Cara penyelesaian :

Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.

Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan

rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya dan

sebagainya.

Perhitungan limit berbentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut.

Contoh:

Hitunglah 53

4lim

2

2

2

x

x

x

Penyelesaian:

53

4lim

2

2

2

x

x

x=

2

22

222

22

2 4

534lim

5353

534lim

x

xx

xx

xx

xx

653lim 2

2

x

x

b. Bentuk tak tentu

Kalkulus 38

Kita akan menghitung ,)(

)(lim

xg

xf

x dengan )(lim)(lim xgxf

xx

( x dapat diganti oleh ,cx cxcx , atau x )

Cara penyelesaian :

Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.

Cara yang dapat dicoba adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan

bentuk nxn ,1 bilangan asli, membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat

tertinggi dari x yang ada kemudian menggunakan 01lim xx

dan sebagainya.

Perhitungan limit benbentuk tak tentu

diberikan dalam contoh berikut:

Contoh:

Hitunglah 79

23lim

x

x

x

Penyelesaian:

79

23lim

x

x

x 3

1

09

03

79

23lim

x

x

x

c. Bentuk tak tentu .0

Kita akan menghitung ),()(lim xgxfcx

dengan 0)(lim

xfcx

dan

)(lim xgcx

.

( cx dapat diganti oleh cxcx , , x atau x )

Cara penyelesaian :

Tulislah f(x)/g(x) sebagai )(1

)(

xg

xf untuk memperoleh bentuk 0/0 atau sebagai

)(1

)(

xf

xguntuk memperoleh bentuk

, kembeli ke masalah sebelumnya. Perhitungan

limit benbentuk tak tentu .0 diberikan dalam contoh berikut:

Contoh:

Hitunglah x

xx

1sinlim

Kalkulus 39

Penyelesaian:

Bentuk limit fungsi ini adalah .0 , karena

xxlim dan 00sin

1sinlimsin

1sinlim

xx xx

Ubahlah bentuk limitnya menjadi 0/0 denagn menuliskan x dalam bentuk

x1

1

kemudian gunakan penggantian xt 1 , diperoleh

1sin

lim1

1sin

lim1

sinlim0

t

t

x

x

xx

txx

d. Bentuk tak tentu

Kita akan menghitung )),()((lim xgxfx

dengan

)(lim xfx

dan

)(lim xgx

( x dapat diganti oleh cx cxcx , , atau x )

Cara penyelesaian :

Ubahlah bentuk limitnya menjadi

Perhitungan limit benbentuk tak tentu

diberikan dalam contoh berikut:

Contoh: Hitunglah xx

xxxxxx

xx

1

1.1lim1lim

=xxxx

xx

xx

1

1lim

1

1lim =0

xt 1

0tx

Kalkulus 40

RINGKASAN

1. Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan

berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Dilambangkan dengan notasi{ XE

"notasi" }:

)(lim xfax

= L

2. Berbagai bentuk Limit{ XE "Limit" } Fungsi:

- Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a : )()(lim afxfax

- Limit{ XE "Limit" } )(xf untuk x mendekati : )()(lim

fxfx

- Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri

- Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan

3. Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang

dan , yaitu bila nilai fungsi )(xf membesar atau mengecil tanpa batas atau

bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas. Dapat

dinotasikan dengan limit sebagai berikut :

)(lim1

xfx

dan

)(lim1

xfx

4. Beberapa Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi

- Bentuk tak tentu 0

0

- Bentuk tak tentu

- Bentuk tak tentu .0

- Bentuk tak tentu

Kalkulus 41

Soal-soal Latihan

Hitunglah setiap limit yang diberikan

1. 12

4lim

24

xx

x

x

2. 2

2

1

32lim

x

xx

x

3. 1

1lim

3

1

x

x

x

4. 1

1lim

2

2

x

x

x

5. 4

3lim

22 xx

6. x

x

x tan

cos1lim

7.

2

232sinlim

2

x

x

x

Kalkulus 42

BAB IV

TURUNAN ALJABAR

Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }

Sub Materi : - Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Aljabar{ XE "Aljabar" }

- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Aljabar{ XE "Aljabar" }

- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi

Aljabar{ XE "Aljabar" }

- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi

Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi aljabar serta menghitung

turunan fungsi aljabar secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi

4.1. Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }

Suatu fungsi dikatakan dapat diferensiasi di 0xx bila fungsi itu

mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat

dideferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat dideferensiasi di setiap

titik pada selang tersebut. Sebelum membicarakan tentang turunan fungsi,

terlebih dahulu kita mngingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan

lewat limit suatu fungsi.Misalkan f(x) didefinisikan pada sembarang titik 0x

pada (a,b). Turunan{ XE "Turunan" } f(x) di 0xx didefinisikan sebagai:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 0

00

'

Jika limit ini ada. Turunan{ XE "Turunan" } juga dapat didefinisikan

dengan beberapa cara, diantaranya:

x

xfxxf

xx

xfxfxf

xxx

)()(lim

)()(lim)( 00

00

0

0

'

0

Kalkulus 43

Sebuah fungsi dikatakan dapat dturunkan di titik 0xx jika mempunyai di

titik tersebut, yaitu jika f’(x) ada. Jika f(x) dapat diturunkan di 0xx maka

fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Secara grafis, pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:

Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik

lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda

antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah

mPQ

h

afhaf )()(

Perhatikan gambar berikut:

Q(a+h,f(a+h)) P(a,f(a))

y y

p(a,f(a))

a a+h x a x

Gambar 4.1. Kemiringan Tali Busur dan Garis Singgung

i. Kemiringan Tali Busur ii. Kemiringan garis

singgung

h

afhafmPQ

)()(

h

afhafm

h

)()(lim

0

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat

a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a))

adalah:

h

afhafm

h

)()(lim

0

Dengan catatan limitnya ada.

Contoh:

Kalkulus 44

Diketahui fungsi 2)( xxf dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x)

pada titik P(a,a2)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan penjelasan di atas maka

h

aha

h

afhaf 22)()()(

h

ahaha 222 2

h

hah 22

ha 2

Kemiringan garis singgungnya :

ahamh

2)2(lim0

Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut

pada titik tertentu. Cara mendapatkan turunan suatu fungsi akan dijelaskan

pada bagian selanjutnya.

4.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{ XE "konstanta" } untuk

sembarang x, f’(x)= 0. Bukti:

00limlim)()(

lim)(000

'

hhh h

kk

h

xfhxfxf

Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

Bukti:

Kalkulus 45

1limlim)()(

lim)(000

'

h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hhh

Teorema III (Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" })

Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx

n-1

Bukti:

h

xhx

h

xfhxfxf

nn

hh

)(lim

)()(lim)(

00

'

h

xhnxhhxnn

hnxx nnnnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim

h

hnxhhxnn

nxh nnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h

sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h

mendekati nol. Jadi

1)(' nnxxf

Contoh:

F(x)=x2

maka f’(x) = 2x

Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f suatu fungsi yang

terdeferensialkan, maka (kf)’ = (x). Bukti:

Misalkan F(x) = k. f(x). Maka

h

xfkhxfk

h

xFhxFxF

hh

)(.)(.lim

)()(lim)(

00

)('.)()(

lim)()(

lim00

xfkh

xfhxfk

h

xfhxfk

hh

Contoh:

F(x) =5x2

maka f’(x) =5(2x) =10x

Teorema V (Aturan Jumlah)

Kalkulus 46

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f+g)’(x) =

f’ (x) + g’ (x). Bukti:

Andaikan F(x) = f(x)+g(x), maka

h

xgxfhxghxfxF

h

)]()([)]()([lim)(

0

h

xghxg

h

xfhxfxF

h

)()()()(lim)(

0

)(')(')()(

lim)()(

lim)(00

xgxfh

xghxg

h

xfhxfxF

hh

Contoh:

F(x) =x2+3x

maka f’(x) = 2x+3

Teorema VI (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f-g)’(x) =

f’ (x) - g’ (x). Bukti:

(f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)

Contoh:

F(x) =3x2-x

maka f’(x) = 6x – 1

Teorema VII (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) =

f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

Andaikan F(x) = f(x).g(x)

h

xgxfhxghxf

h

xFhxFxF

hh

)()()()(lim

)()(lim)('

00

h

xgxfxghxfxghxfhxghxf

h

)()()()()()()()(lim

0

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

)()()(

)()()(lim

0

Kalkulus 47

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

hhh

)()(lim).(

)()(lim).(lim

000

)(')()(')( xfxgxgxf

Contoh:

F(x) = 2)5)(2( xx maka

f’(x) = )2()5()5().2( 22 xdx

dxx

dx

dx

= )2()5()5().5.(2).2( 2 xdx

dxx

dx

dxx

= 1.)5(1).5.(2).2( 2 xxx

= 2)5()102)(2( xxx

= 22 )5()2062( xxx

= )2510()2062( 22 xxxx

= 5163 2 xx

Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dengan g(x) 0.

Maka

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f

Bukti:

Misalkan F(x) = )(

)(xg

xf. Maka

h

xg

xf

hxg

hxf

h

xFhxFxF

hh

)(

)(

)(

)(

lim)()(

lim)(00

)()(

1)()()()(lim

0 hxgxgh

hxgxfhxfxg

h

)()(

1)()()()()()()()(lim

0 hxgxgh

hxgxfxgxfxfxghxfxg

h

)()(

10()()(

)()()(lim

0 hxgxgh

xghxgxf

h

xfhxfxg

h

Kalkulus 48

)()(

1)(')()(')(

xgxgxgxfxfxg

Contoh:

)5(

)2()(

2

x

xxf , berapakah f’(x) ?

Penyelesaian:

22

2

22

2

)5(

54

)5(

)2)(2()1)(5()('

x

xx

x

xxxxf

4.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Jika y = (u) dan u = g (x) maka

dx

du

du

dyy .'

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka

dw

dx

dx

du

du

dyy ..'

Contoh:

1. 10)13( xy

Penyelesaian:

Misal: y = f(u) dengan u = 3x+1 atau y = u10

Sehingga y’= 10u9.3 =30u

9 = 30(3x+1)

9

2. Carilah dx

dy, bila diketahui

1

12

2

u

uy dan 3 2 2 xu

Penyelesaian:

22 )1(

2

u

u

du

dy dan

23

22 3

2

)2(3

2

u

x

x

x

dx

du

dx

du

du

dy

dx

dy. .

)1(

422 u

u23

2

u

x22 )1(3

8

uu

x

4.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Kalkulus 49

Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang

tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan

sampai turunan ke n. Jika 'f adalah turunan suatu fungsi f , maka 'f juga

merupakan suatu fungsi, 'f adalah turunan pertama dari f . Jika turunan dari

'f ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis ''f . Dengan cara yang

sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari ''f , jika

turunan ini ada. Turunan ketiga ditulis '''f . Turunan ke-n dari fungsi f , di

mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari

turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n dinyatakan dengan nf . Berikut ini

adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz

Pertama )(' xf )(' xy yDx

dx

dy

Kedua )('' xf )('' xy yD x2

2

2

dx

yd

Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3

3

3

dx

yd

Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4

4

4

dx

yd

Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5

5

5

dx

yd

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn

n

n

dx

yd

Contoh:

Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:

283)( 23 xxxxf

Penyelesaian:

Kalkulus 50

863)(' 2 xxxf

66)('' xxf

6)(''' xf

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" } suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi

tersebut pada titik tertentu. Turunan f(x) di 0xx didefinisikan sebagai:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 0

00

'

2. Konsep aturan pada turunan fungsi aljabar:

- Aturan Fungsi Konstanta. Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{

XE "konstanta" } untuk sembarang x, f’(x)= 0.

- Aturan Fungsi Identitas. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

- Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" }. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan

bulat positif, maka f’(x) = nxn-1

- Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f

suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’= (x).

- Aturan Jumlah. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,

maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x).

- Aturan Selisih. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,

maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).

- Aturan Hasil Kali. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang

terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x).

- Aturan Hasil Bagi. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang

terdeferensialkan, dengan g(x) 0.

3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Jika y = (u) dan u = g (x) maka dx

du

du

dyy .'

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka dw

dx

dx

du

du

dyy ..'

Kalkulus 51

4. Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya

sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke

n. Turunan ke-n dari fungsi f , di mana n bilangan positif yang lebih besar dari

1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n

dinyatakan dengan nf .

Kalkulus 52

Soal-soal Latihan

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

1. 53

73

2

x

x

2. 3)8)(7( xx

3. 53 4xx

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

1. 35 uy , xxu 24

2. uy , 2),24( xvvvu

3. Jika xxy 22 dan 93 2 tx , berapakah dt

dyketika 2t

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

1. 243)( 24 xxxxf

2. 25)( zzg

3. 2/3)2()( ttf

4. xx

xf4

2

1)(

2

5. Diketahui x

xf

1

2)( , cari )()( xf n

Kalkulus 53

BAB V

TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri

Sub Materi : - Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Trigonometri

- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Trigonometri

- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi

Trigonometri

- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi

Fungsi Trigonometri

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi trigonometri serta

menghitung turunan fungsi trigonometri secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi

5.1. Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Trigonometri

Dalam menghtung turunan fungsi trigonometri, digunakan cara yang

sama seperti mencari turunan aljabar. Selain itu digunakan kesamaan

trigonometri. Misalnya untuk menghitung turunan xxf sin)( , adalah

sebagai berikut:

h

xxx

h

xhxxf

hh

sinsinhcoscoshsinlim

)sin()sin(lim)('

00

hx

hx

h

sinhcos

cosh1sinlim

0

hx

hx

hh

sinhlim)(cos

cosh1lim)sin(

00

Dari pengertian tentang limit, dapat dihitung nilai akhir turunan fungsi f(x) =

sin (x), yaitu

hx

hx

hh

sinhlim)(cos

cosh1lim)sin(

00

Kalkulus 54

xxx cos1).(cos0).sin(

Jadi turunan f(x) = sin (x) adalah cos (x) )cos()(' xxf

Contoh lain adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, tetapi dengan cara

mendapatkan hasil turunan fungsi cosinus tanpa harus menggunakan proses limit,

dimana xxxdx

d,cossin dan xxx

dx

d,sincos

Pembuktian dari turunan fungsi cosinus adalah sebagai berikut:

x

xt

xt

xt

xt

xtxt

xt

xtx

dx

d

xtxt

xtxt

cos

)(2

1

)(2

1sin

lim)(2

1coslim

)(2

1.2

)(2

1sin)(

2

1cos2

limsinsin

lim)(sin

x

xt

xt

xt

xt

xtxt

xt

xtx

dx

d

xtxt

xtxt

sin

)(2

1

)(2

1sin

lim)(2

1sinlim

)(2

1.2

)(2

1sin)(

2

1sin2

limcoscos

lim)(cos

5.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri

Untuk mendapatkan turunan-turunan fungsi trigonometri yang lain,

dapat digunakan cara yang sama dengan di atas dan hasilnya adalah sebagai

berikut:

1. xxdx

dcos)(sin

2. xxdx

dsin)(cos

3. xxdx

d 2sec)(tan

4. xxdx

d 2csc)(cot

Kalkulus 55

5. xxxdx

dtansec)(sec

6. xxxdx

dcotcsc)(csc

Secara umum rumus turunan trigonometri adalah sama seperti rumus

yang digunakan pada fungsi aljabar. Berikut ini beberapa teorema dan contoh

turunan pada fungsi trigonometri.

Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)

)(')(')(' xgxfxgf

Contoh:

xxy 2cos3sin

Penyelesaian:

xxy 2cos3sin

)2(2cos)3(3sin' xdx

dxx

dx

dxy

xxy 2sin23cos3

Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)

)(')(')(' xgxfxgf

Contoh:

xxy 5cossin

Penyelesaian:

xxy 5cossin

)5(5cos)(sin' xdx

dxx

dx

dxy

xxy 5sin5cos

Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)

)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf

Contoh:

xxy sin2

Kalkulus 56

Penyelesaian:

xxy sin2

22 sinsin' xdx

dxx

dx

dxy

xxxxy sin2cos' 2

Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)

2

)(')()(')()(

xg

xgxfxfxgx

g

f

Contoh:

x

xy

cos

Penyelesaian:

x

xy

cos

2

)(cos)(cos

'x

xdx

dxx

dx

dx

y

2

cossin'

x

xxxy

5.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Trigonometri

Pada fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunan

berantai adalah sama dengan cara menghitung turunan berantai pada fungsi

aljabar. Jika y = (u) dan u = g (x) maka

dx

du

du

dyy .'

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka

dw

dx

dx

du

du

dyy ..'

Contoh:

Dapatkan turunan dari fungsi berikut ini xy 3sin3

Penyelesaian:

Kalkulus 57

Misal: xvvguufy 3),(),(

Dengan 3uy dan xvvu 3,sin

Maka:

dw

dx

dx

du

du

dyy ..'

3.cos.3 2 vu

3).3cos(.)(sin3 2 xv

3).3cos().3(sin3 2 xx

xx 3cos).3(sin9 2

5.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Trigonometri

Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam

menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat

tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi

fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah

ini:

Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz

Pertama )(' xf )(' xy yDx

dx

dy

Kedua )('' xf )('' xy yD x2

2

2

dx

yd

Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3

3

3

dx

yd

Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4

4

4

dx

yd

Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5

5

5

dx

yd

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn

n

n

dx

yd

Kalkulus 58

Contoh:

1. Hitunglah turunan kedua dari fungsi berikut ini:

1cossin xy

Penyelesaian:

1cossin xy

0sin'.cos xyy

y

xy

cos

sin'

y

yyxxyy

2cos

').sin(sincoscos''

y

yyxyxy

2cos

'.sin.sincoscos''

y

y

xyxyx

y2cos

cos

sin.sin.sincoscos

''

y

yxyxy

2

22

cos

.sin.sincoscos''

2. Hitunglah turunan ketiga dari fungsi berikut ini:

xxy sin

Penyelesaian:

xxy sin

)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf

xdx

dxx

dx

dxy sinsin'

xxxy sincos'

)(sincoscos'' xdx

dx

dx

dxx

dx

dxy

xxxxy cos1.cos)sin(''

xxxy cos2sin.''

)cos2(sinsin''' xdx

dx

dx

dxx

dx

dxy

Kalkulus 59

)sin2(1.sin)(cos''' xxxxy

)sin2(1.sincos''' xxxxy

xxxy sin3cos'''

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" }-turunan fungsi trigonometri:

7. xxdx

dcos)(sin

8. xxdx

dsin)(cos

9. xxdx

d 2sec)(tan

10. xxdx

d 2csc)(cot

11. xxxdx

dtansec)(sec

12. xxxdx

dcotcsc)(csc

2. Beberapa teorema turunan pada fungsi trigonometri:

- Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)

)(')(')(' xgxfxgf

- Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)

)(')(')(' xgxfxgf

- Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)

)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf

- Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)

2

)(')()(')()(

xg

xgxfxfxgx

g

f

3. Turunan{ XE "Turunan" } berantai fungsi trigonometri :

Jika y = (u) dan u = g (x), maka

dx

du

du

dyy .'

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka

Kalkulus 60

dw

dx

dx

du

du

dyy ..'

Kalkulus 61

Soal-soal Latihan

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

1. )sin( yxy

2. 1cos

1cos

x

xy

3. xxxxxy sin2cos2sin2

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

1. )32(sin3 xy

2. )21(tan 22 xy

3. )25(cot 2 xy

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

1. xy 8cot4

1

2. xxy 22 tansec

3. 2

2cos1 xy

4. xxy 2cossin

Kalkulus 62

BAB VI

TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial

dan Logaritmik

Sub Materi : - Pendahuluan

- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Eksponensial dan

Logaritmik

- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi

Eksponensial dan

Logaritmik

- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi

Fungsi Eksponensial

dan Logaritmik

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi eksponensial{ XE

"eksponensial" } dan logaritmik serta menghitung turunan fungsi eksponensial

dan logaritmik secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi

6.1. Pengertian Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } adalah salah satu fungsi

yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan

notasi{ XE "notasi" } exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural

yang kira-kira sama dengan 2.71828183, nilai ini diperoleh dari perhitungan

limit sebagai berikut:

k

k

h

hk

he /1

0)1(lim

11lim

71828183,2...!

1...

!3

1

!2

111

n

Sedangkan fungsi logaritma yang biasa digunakan adalah logaritma berbasis

10 dari bilangan b sebagai pangkat kita menaikkan 10 untuk mendapatkan b:

Kalkulus 63

bb log10

Selain logaritma dengan basis 10 kita mengenal fungsi logaritma natural (ln).

Dalam turunan kita mengenal bahwa x

xdx

d 1ln , sifat-sifat dasar dari ln

antara lain:

xnx

axx

a

xaax

n lnln

lnlnln

lnlnln

Jika 0a dan 1a , dan jika xa y maka xy alog

xxy e lnlog xxy loglog10

6.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,

a. Bentuk persamaan : )1,0(,log1

)(log aadx

due

uu

dx

daa

Contoh:

Turunkan persamaan berikut ini :

)53(log 2 xy a

Penyelesaian:

)53(log 2 xy a

)53(.log53

1 2

2

x

dx

de

xdx

dya

ex

x

dx

dyalog

53

62

b. Bentuk persamaan : dx

du

uu

dx

d 1)(ln

Contoh:

Turunkan persamaan berikut ini:

2)2ln( xy

Penyelesaian:

Kalkulus 64

2)2ln( xy

)3ln(2 xy

)3(.3

12

x

dx

d

xdx

dy

3

2

xdx

dy

c. Bentuk persamaan : dx

duee

dx

d uu )(

Contoh:

Turunkan persamaan berikut ini:

xey 2/1

Penyelesaian:

xey 2/1

)2

1(' 2/1 x

dx

dey x

xey 2/1

2

1'

6.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

Pada prinsipnya dalam menghitung turunan berantai fungsi

eksponensial{ XE "eksponensial" } dan logaritmik, adalah sama dengan

menghitung turunan berantai pada fungsi aljabar. Kaidah berantai berlaku:

dx

du

du

dy

dx

dy

akan memberikan sebuah rumus untuk turunan dari uay bila u adalah

sebarang fungsi yang diturunkan dari x:

dx

dua

du

da

dx

d uu .

Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:

)0(,ln adx

duaaa

dx

d uu

Kalkulus 65

Contoh:

Turunkan persamaan berikut ini:

1. 22xay

Penyelesaian:

22xay

)2(ln' 22 2

xdx

daay x

axay x ln4'22

2. xy sin3

Penyelesaian:

xy sin3

xdx

dy x sin3ln3' sin

xy x cos3ln3' sin

6.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Eksponesial dan

Logaritmik

Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam

menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat

tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi

fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah

ini:

Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz

Pertama )(' xf )(' xy yDx

dx

dy

Kedua )('' xf )('' xy yD x2

2

2

dx

yd

Kalkulus 66

Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3

3

3

dx

yd

Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4

4

4

dx

yd

Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5

5

5

dx

yd

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn

n

n

dx

yd

Pada persamaan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" }, turunan kedua

( )('' xy ) merupakan turunan dari hasil turunan pertama ( )(' xy ), begitu pula turunan

ketiga ( )(''' xy ) merupakan hasil penurunan dari turunan kedua ( )(' xy ), dan begitu

seterusnya.

Contoh:

Tentukan turunan kedua dari persamaan-persamaan berikut ini:

1) xey x ln

2) xey x 2sin2

3) 2

3

23ln

x

xy

Penyelesaian:

1) xey x ln

)(ln)(ln' xx edx

dxx

dX

dey

= xex

e xx

ln

yx

e x

Kalkulus 67

2) xey x 2sin2

)()2sin()2(sin' 22 xx edx

dxx

dx

dey

xexe xx 2sin23cos2 22

yxe x 23cos2 2

'

)()(

''2

yx

xdx

dee

dx

dx

y

xx

xex

e

x

exe xxxx

ln2

x

xxe x ln

122

3) 2

3

23ln

x

xy

23 )23ln(ln xx

)23ln(2ln3 xx

)23()23(

12)(

13'

x

dx

d

xx

dx

d

xy

23

63'

xxy

xx

xy

23

63'

2

2

''''

v

uvvuy

3'63 uxu 26'23 2 xvxxv

22

2

)23(

)63)(26()23(3''

xx

xxxxy

22

22

)23(

)1263618(69''

xx

xxxxxy

22

22

)23(

126361869''

xx

xxxxxy

22

2

)23(

12369''

xx

xxy

Kalkulus 68

RINGKASAN

1. Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis dengan notasi{ XE "notasi" }

exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama

dengan 2.71828183.

2. Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,

a. Bentuk persamaan :

)1,0(,log1

)(log aadx

due

uu

dx

daa

b. Bentuk persamaan :

dx

du

uu

dx

d 1)(ln

c. Bentuk persamaan :

dx

duee

dx

d uu )(

3. Pada turunan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } berlaku:

dx

du

du

dy

dx

dy

Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:

)0(,ln adx

duaaa

dx

d uu

Kalkulus 69

Kalkulus 70

Soal-soal Latihan

Carilah turunan pertama dan kedua fungsi di bawah ini:

1. )52(ln 2 xy

2. )4)(2ln( xxy

3. )252ln( 2 xxy

4. xy sinlnln

5. xy 2cosln

Carilah turunan pertama dan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

1. xey 4

2. 5xey

3. xexey

4. xey sec

5. xey 2sin

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

1. xe

xy

ln

2. xxey 32ln

3. xexy x 4sin32

Kalkulus 71

BAB VII

TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } IMPLISIT{ XE "IMPLISIT" } DAN

PARSIAL{ XE "PARSIAL" }

Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Implisit Dan

Parsial

Sub Materi : - Turunan{ XE "Turunan" } Implisit

- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial

- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi

Parsial

- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi

Aljabar{ XE "Aljabar" }

- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi

Trigonometri

- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi

Eksponensial

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi implisit dan parsial serta

menghitung turunan fungsi implisit dan parsial secara konsep dan pada

aplikasinya.

Materi

7.1. Turunan{ XE "Turunan" } Implisit

Dalam materi turunan kita akan mengenal bentuk turunan implisit,

dimana turunan pertama (y’) dari f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara

berikut:

a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian

dideferensialkan terhadap x.

b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.

Contoh:

Cari dx

dyjika 232 32 xyyx

Kalkulus 72

Penyelesaian:

Berdasarkan uraian di atas, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan

dengan dua cara:

Cara 1: Fungsi implisit di atas dinyatakan ke dalam bentuk eksplisit

232 32 xyyx

23)12( 32 xxy

12

232

3

x

xy

2

' ''

v

uvvuy

23 3 xu 29' xu

12 2 xv xv 4'

22

322

)12(

)23(4)12(9'

x

xxxxy

22

424

)12(

812918'

x

xxxxy

Cara 2 : Menurunkan masing-masing suku:

23)12( 32 xxy

dx

dyxy

dx

dyx .14.2 2 = 29x

xyxxdx

dy4912 22

)12(

492

2

x

xyx

dx

dy (Keterangan : y diganti dengan masin

12

232

3

x

xy )

)12(

12

2349

2

2

32

x

x

xxx

dx

dy

)12(

12

234

12

)12(9

2

2

3

2

22

x

x

xx

x

xx

dx

dy

22

24

)12(

896'

x

xxxy

Kalkulus 73

12

8129182

424

x

xxxx

dx

dy

12

8962

24

x

xxx

dx

dy

Kalkulus 74

Contoh beserta penyelesaiannya:

Cari dx

dy jika :

a. 02222 yxxyyx

b. 0ln 3 xeyxy

c. 0cos2 xyy

Penyelesaian:

a. 0)2()2()()( 22 ydx

dx

dx

dxy

dx

dyx

dx

d

0)(2)(2)()()()( 2222 ydx

dx

dx

dx

dx

dyy

dx

dxx

dx

dyy

dx

dx

0'21.2'22' 22 yyxyyyxyx

)22(' 2 xyxy +2xy+y 022

'y22

222

2

xyx

yxy

b. 0ln 3 xeyxy

0)()()(ln 3 xedx

dy

dx

dxx

dx

dyy

dx

d

0)3()(1.)(1 3 x

dx

dey

dx

dxyy

dx

d

y

x

03)()(1 3 xey

dx

dxyy

dx

d

y

031 3 xe

dx

dyxy

dx

dy

y

031 3

xeyx

ydx

dy

yx

ey

dx

dy x

1

3 3

Kalkulus 75

c. 0cos)(cos)( 22 xdx

dyy

dx

dxy

dx

d

0)sin()(2.cos)( 2 xyydx

dyxy

dx

d

0sincos21 2 xyxydx

dy

xy

xy

dx

dy

cos21

sin2

7.2. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial

Jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x dan y, maka

dalam turunan parsial akan ada kemungkinan yang akan terjadi antara lain:

a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y

dianggap tetap.

x

yxfyxxf

x

zyxf

xx

,,lim,

0

Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, maka z adalah fungsi x dan

turunannya ke x.

b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x

dianggap tetap.

y

yxfyyxf

y

zyxf

xx

,,lim,

0

Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, maka z adalah fungsi y dan

turunannya ke y.

7.3. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Parsial

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial x

z

dari ),( yxfz dapat diturunkan

parsial lagi ke x dan y, menghasilkan turunan kedua ( ''z ). Turunan kedua

dapat diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( '''z ) dan

seterusnya. Jika dituliskan sebagai berikut:

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfx

z

Kalkulus 76

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

x

z

xyxf

x

zxx ),(

2

2

x

z

yyxf

xy

zyx ),(

2

sedangkan,

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfy

z

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

y

z

xyxf

yx

zxy ),(

2

y

z

yyxf

y

zyy ),(

2

2

Contoh:

Hitunglah turunan kedua dari:

22 342 yxyxz

Penyelesaian:

yxx

z44

, 4

2

2

x

z

xx

z, 4

2

x

z

yxy

z

xyy

z46

, 4

2

y

z

xyx

z, 6

2

2

y

z

yy

z

7.4. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } dapat diturunkan secara parsial,

dimana jika diturunkan terhadap x maka y konstan, dan sebaliknya ketika

diturunkan terhadap y maka x dianggap konstan. Supaya lebih jelas mngenai

turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:

Hitung turunan dari: 23 5 yxyxz jika diturunkan terhadap x dan y

Penyelesaian:

Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka yxx

z53 2

Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka yxy

z25

Kalkulus 77

7.5. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Trigonometri

Cara penurunan secara parsial fungsi trigonometri sama seperti pada

fungsi aljabar. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita

pelajari contoh berikut:

Hitung turunan dari xyyxz sincos2 jika diturunkan terhadap x dan y

Penyelesaian:

Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka

xyyx

zcoscos2

Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka xyy

zsinsin2

7.6. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Eksponensial

Pada prinsipnya cara penurunan parsial pada fungsi eksponensial{ XE

"eksponensial" } sama seperti fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Supaya

lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:

Hitung turunan dari z = xyxe 3

jika diturunkan terhadap x dan y

Penyelesaian:

Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka

)3(

)3(

2

23

yxz

yxex

z xyx

zx

xey

z xyx

)(3

Kalkulus 78

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" } implisit adalah turunan dimana proses menurunkan

persamaan tidak dapat diturunkan secara langsung, turunan pertama (y’) dari

f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara berikut:

a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian

dideferensialkan terhadap x.

b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.

2. Pada turunan parsial, jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x

dan y:

a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y

dianggap tetap.

x

yxfyxxf

x

zyxf

xx

,,lim,

0

b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x

dianggap tetap.

y

yxfyyxf

y

zyxf

xx

,,lim,

0

3. Pada turunan parsial x

z

dari ),( yxfz dapat diturunkan parsial lagi ke x dan

y, menghasilkan turunan kedua ( ''z ). Turunan{ XE "Turunan" } kedua dapat

diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( '''z ) dan seterusnya.

Jika dituliskan sebagai berikut:

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfx

z

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

x

z

xyxf

x

zxx ),(

2

2

x

z

yyxf

xy

zyx ),(

2

sedangkan,

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfy

z

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

y

z

xyxf

yx

zxy ),(

2

Kalkulus 79

y

z

yyxf

y

zyy ),(

2

2

Kalkulus 80

Soal-soal Latihan

Carilah turunan implisit fungsi berikut ini:

1. 5234 23 yxyx

2. 93cos 22 yxxy

3. 102 yxyx

4. 42 44 xyyx

Carilah turunan parsial fungsi berikut ini:

1. )37cos( yxz , berapakah x

z

dan

y

z

2. z = yxe 2 berapakah , x

z

dan

y

z

3. z

y

x

z

y

xw

2

2 , berapakah

x

w

,

y

w

dan

z

w

4. )64cos()5sin( yxz , berapakah x

z

dan

y

z

5. 1)sin()sin()sin( zxzyyx , berapakah x

z

dan

y

z

6. 0ln33),,( zzyxzyxf , berapakah 2

2

x

z

dan

2

2

y

z

Carilah y’

Carilah y’’bila diketahui x =1

Kalkulus 81

BAB VIII

INTEGRAL TAK TENTU ALJABAR

Materi : Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar{ XE

"Aljabar" }

Sub Materi : - Pendahuluan

- Rumus – rumus Dasar Integral

- Integral dengan Substitusi ”u”

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan

substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar serta menghitung integral tak

tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.

Materi

8.1. Pendahuluan

Jika diketahui 2)( xxF maka turunannya adalah:

)(2)(1 xfxxF . Bila operasi dibalik yakni diketahui xxf 2)( dapatkah

di temukan )(xF sebagai anti turunan dari )(xf sedemikian hingga

)(2)(1 xfxxF ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai

berikut:

2)( xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau

1)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau

7)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau

10)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau

………dan seterusnya sehingga dapat ditulis

CxxF 2)( untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .

Ini benar sebab )(2)(1 xfxxF . Ternyata anti turunan F dari f

jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari

Kalkulus 82

xxf 2)( adalah CxxF 2)( berlaku untuk sembarang konstanta{ XE

"konstanta" } C .

Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang di rumuskan

oleh nxxf )( adalah Cxn

xF n

1

1

1)( , 1n sebab turunannya

)()(1 xfxxF n .

Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"

} (Leibniz) :

dxxfxF )()( (1-1)

ini berarti )()()()(1 xfdxxfdx

dxF

dx

dxF atau :

)()( xfdxxfdx

d (1-2)

Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :

CxFCxFddxCxFdx

ddxxF

dx

ddxxFdxxf )()()()()()( 1

, sehingga

CxFCxFd )()( (1-3)

atau ditulis

CxFxFd )()( (1-3 * )

kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.

Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF

adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan

konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu.

Sekarang himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh nxxf )(

adalah Cxn

dxxdxxfxF nn

1

1

1)()( untuk 1n . Dengan

demikian kita peroleh :

(1-4)

1,1

1 1

nCxn

dxx nn

Kalkulus 83

sebagai rumus dasar integral{ XE "integral" } tak tentu.

Kalkulus 84

8.2. Rumus – rumus Dasar Integral

A.

1 Cxdx

2 Caxdxaadx

3 1,1

1 1

nCx

ndxx nn

4 0,ln xCxx

dx

5 1,0,ln

aaCa

adxa

xx

6 Cedxe xx

B.

7 dxxfkdxxkf )()( , k adalah konstanta{ XE "konstanta" }

8 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

9 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

10 )(),(, xvvxuuvduuvudv , disebut integral{ XE "integral" }

parsial

8.3. Integral dengan Substitusi ”u”

Integral substitusi{ XE "substitusi" } dapat digunakan untuk

menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan menggunakan substitusi u =

g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu

mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h,

maka:

CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(

Contoh Integral Substitusi dan penyelesaiannya:

1. dxx5

82

Kalkulus 85

2. dxxx 53 32

Penyelesaian:

1. dxx5

82

Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"

} di atas adalah sebagai berikut:

- mengasumsikan bahwa 82 xu

- menghitung dx

du; karena 82 xu maka 2

dx

du

sehingga 2

dudx

- bentuk integral{ XE "integral" } menjadi : 2

5 duu

- diubah menjadi bentuk: duu 5

2

1

- hasil pengintegralan: cu

51

51

1

2

1

- konstantanya disederhanakan menjadi: cu 6

12

1

- variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:

cx 6

8212

1

2. dxxx 53 32

Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"

} di atas adalah sebagai berikut:

- mengasumsikan bahwa 53 3 xu

- menghitung dx

du; karena 53 3 xu maka 29x

dx

du

sehingga 29x

dudx

- bentuk integral{ XE "integral" } menjadi : 2

21

2

9x

duux

- disederhanakan menjadi bentuk: duu 21

9

1

Kalkulus 86

- hasil pengintegralan: cu

12

1

211

1

9

1

- konstantanya disederhanakan menjadi: cu 23

27

2

- variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:

cxx 535327

2 33

Contoh Soal dan Penyelesaiannya:

1. dxx4

2. dxxx 222

3. dxx33

4. dttt

)22

1(

2

5. Jika Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan Marginal

Cost = 5q2-3q+2 dengan q adalah banyaknya unit yang diproduksi, dan biaya

tetap k=3, dimana k adalah konstanta{ XE "konstanta" } integral{ XE

"integral" }. Tentukan persamaan biaya total (Cost).

Penyelesaian:

1. dxx4 Cx

5

5

2. dxxx 222 = Cxxx 23

1 23

3. dxx33 = dxx 31

3

= dxx 31

3

= cx

)(31

31

= cx )(3 34

4. dttt

)22

1(

2 = dttt

2

12 22

1

Kalkulus 87

= dttdtt 2

12 2

2

1

= dttdtt 21

2 22

1

=

dttdtt1

21

12

2

11

12

12

1

2

1

=

2

3

1

3

22

2

1tt

=

2

3

1

3

4

2

1tt

5. Persamaan Marginal Cost = 5q2-3q+2

dq

dCMC ; sehingga MCdqdC

Cost (C) = MCdq

= dqqq )235( 2

= cqqq

211

13

12

15 1112

= cqqq 22

3

3

5 23

Kalkulus 88

RINGKASAN

1. Integral tak tentu F pada fungsi aljabar dari f yang dirumuskan:

nxxf )( adalah Cxn

dxxdxxfxF nn

1

1

1)()( untuk 1n .

2. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar, dapat digunakan untuk

menentukan hasil dari bentuk dxxf )( .

Dengan menggunakan substitusi{ XE "substitusi" } u = g(x), di mana g adalah

fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi

h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:

CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(

3. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada integral{ XE "integral" }:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4. Integral tak tentu parsial dirumuskan:

)(),(, xvvxuuvduuvudv

Kalkulus 89

Soal-soal Latihan

1. dxx

x )51

2(

2. daa5 3

3

3. dttt2

1

4.

dss

s

52

4

2

5.

dx

x3

42

2

6. dxxx 332

7. dxxx 1422

8. dxxx

x

3 5

2

2

9.

dss

ss 7223

10.

dtt

t

64

24

2

11. dxxx 253 46

12.

da

a

a

2

2

110

5

13. daa

a

82

12

3

2

14. dxxxx 51052 4105

15.

dx

x

x

x

x

156

9

156

3 2

2

3

3

16.

dxxx

x

3 6242

820

Kalkulus 90

17. dttt

t

2186

64

2

18. Sebuah roket yang bergerak memiliki percepatan dengan persamaan

3)25()( tta meter per detik kuadrat. Kecepatan roket pada saat t = 0

adalah 10 meter per sekon. Berapakah kecepatan roket pada saat empat detik?

19. Truk pengangkut barang memindahkan box dengan cara meluncurkan balok

tersebut pada bidang miring dengan percepatan tetap sebesar 4 meter per detik.

Jika bidang miring memiliki panjang 40 meter dan box mencapai alas dalam

waktu 3, 25 detik. Berapakah kecepatan awal box tersebut?

(Rumus bantuan: atVVt 0 )

20. Pada perusahaan ABC terdapat biaya marginal untuk memproduksi makanan

ringan dengan persamaan berikut: MC = 6q2 – 10q + 4. Jika untuk

memproduksi satu makanan ringan tersebut diperlukan biaya Rp. 120.

tentukanlah :

a. Persamaan Biaya total pembuatan makanan ringan.

b. Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output

tiga makanan ringan.

(Rumus bantuan: Fungsi biaya total C = ∫ (MC) dq, Dicari Nilai Konstanta

Integrasi dengan memasukkan nilai q= 1 dan C (Biaya).

Kalkulus 91

BAB IX

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi : Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sub Materi : - Pendahuluan

- Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi

Trigonometri

- Integral dengan Substitusi ”u” dengan Fungsi

Trigonometri

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan

substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri serta menghitung

integral tak tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.

Materi

9.1. Pendahuluan

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai integral{ XE "integral" }

pada fungsi aljabar. Rumus dasar yang digunakan dalam integral, baik pada

fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pada umumnya sama. Integral pada

fungsi aljabar telah dituliskan dalam rumus – rumus dasar di bawah ini.

Integral tak tentu tidak memiliki nilai batas awal dan nilai batas akhir.

Sehingga pada penggunaannya dapat langsung memperhatikan rumus – rumus

dasar yang telah ditetapkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan

berikut ini:

Jika diketahui xxF sin)( maka turunannya adalah :

)(cos)(1 xfxxF . Bila operasi dibalik yakni diketahui xxf c o s)(

dapatkah di temukan )(xF sebagai anti turunan dari )(xf sedemikian hingga

)(cos)(1 xfxxF ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai

berikut:

xxF sin)( , sebab )(cos)(1 xfxxF atau

Kalkulus 92

5sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau

15sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau

10sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau

………dan seterusnya sehingga dapat ditulis

CxxF sin)( untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .

Ini benar sebab )(cos)(1 xfxxF

Ternyata anti turunan F fungsi trigonometri sama seperti halnya pada

fungsi aljabar yaitu dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa

himpunan anti turunan F dari xxf cos)( adalah CxxF sin)( berlaku

untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .

Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"

} (Leibniz) :

dxxfxF )()( (1-1)

ini berarti )()()()(1 xfdxxfdx

dxF

dx

dxF atau :

)()( xfdxxfdx

d (1-2)

Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :

CxFCxFddxCxFdx

ddxxF

dx

ddxxFdxxf )()()()()()( 1

, sehingga

CxFCxFd )()( (1-3)

atau ditulis

CxFxFd )()( (1-3 * )

kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.

Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF

adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan

konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu.

Pada penggunaan integral{ XE "integral" } fungsi trigonometri dapat

digunakan rumus-rumus dasar yang ada di bawah. Tidak hanya fungsi

Kalkulus 93

trigonometri dasar, tetapi juga tersedia untuk trigonometri fungsi hiperbolik.

Rumus – rumus di bawah dapat digunakan pada integral sederhana, sedangkan

untuk teknik pengintegralan yang rumit dapat menggunakan teori substitusi{

XE "substitusi" } yang akan dijelaskan pada bab ini.

9.2. Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

A.

11 Cxdxx cossin

12 Cxdxx sincos

13 Cxdxx tansec2

14 Cxdxx cotseccos 2

15 Cxdxxx sectansec

16 Cxdxxx seccoscotseccos

17 CxCxdxx seclncoslntan

18 CxCxdxx seccoslnsinlncot

19 Cxxdxx tanseclnsec

20 Cxxdxx cotseccoslnseccos

B.

21 Cxdxx coshsinh

22 Cxdxx sinhcosh

23 Cxdxxh tanhsec 2

24 Cxdxxech cothcos 2

25 Cxhdxxxh sectanhsec

26 Cxechdxxxech coscothcos

C.

Kalkulus 94

27 a. Cxarcx

dx

sin

1 2,

b. Ca

xarc

xa

dx

sin

22

28 a. Cxarcx

dx

tan

1 2,

b. Ca

xarc

axa

dx

tan1

22

29 a. Cxarcxx

dx

sec

12,

b. Ca

xarc

aaxx

dx

sec

1

22

30 a. 1,1

1ln

2

1

1

2

2

xCx

x

x

dx,

b. 22

22,ln

2

1axC

ax

ax

aax

dx

31 a.

Cx

x

xCxarc

xCxarc

x

dx

1

1ln

2

1

1,coth

1,tanh

1 2,

b. 22

22,ln

2

1axC

ax

ax

axa

dx

32 a. CxxCxarcx

dx

1lnsinh

1

2

2,

b. Caxxax

dx

22

22ln

33 a. CxxCxarcx

dx

1lncosh

1

2

2,

b. Caxxax

dx

22

22ln

34 a. Cxarcxx

dxx sin2

11

21 22 ,

b. Ca

xarc

axa

xdxxa sin

22

22222

Kalkulus 95

35 a. Cxxxx

dxx 1ln2

11

21 222

b. Caxxa

axx

dxax 22

22222 ln

22

36 a. Cxxxx

dxx 1ln2

11

21 222

b. Caxxa

axx

dxax 22

22222 ln

22

9.3. Integral dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri

Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat

digunakan untuk menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan

menggunakan substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat

diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan

apabila H sebuah anti turunan h, maka:

CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(

Rumus dasar ini sama dengan rumus pada fungsi aljabar. Pada fungsi

trigonometri dapat digunakan logika yang sama. Metode substitusi{ XE

"substitusi" } ini memiliki peran yang sama untuk integral{ XE "integral" }-

integral yang dimainkan oleh Aturan Rantai terhadap turunan. Hal yang perlu

dicermati disini adalah bahwa Aturan Substitusi adalah Aturan Rantai dalam

kebalikannya.

Sebelum mengerjakan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE

"substitusi" }, yang perlu diperhatikan adalah bentuk dasar integral yang sudah

sederhada ataukah belum. Jika bentuk integral belum sederhana, maka yang

perlu dilakukan adalah mengubahnya ke bentuk dasar trigonometri.

Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang dapat dijadikan

rumus penunjang dalam mengerjakan integral{ XE "integral" } trigonometri

untuk mengubah persamaan ke dalam bentuk dasar sebelum diintegralkan:

1. 1cossin 22 xx

2. xx 22 sectan1

Kalkulus 96

3. xecxan 22 coscot1

4. xx 2cos12

1sin 2

5. xx 2cos12

1cos 2

6. xxx 2sin2

1cos.sin

7. yxyxyx sinsin2

1cos.sin

8. yxyxyx coscos2

1sin.sin

9. yxyxyx coscos2

1cos.cos

10. xx2

1sin2cos1 2

11. xx2

1cos2cos1 2

Untuk lebih jelasnya mengenai integral{ XE "integral" } tak tentu pada Fungsi

Trigonometri, perhatikan pada beberapa contoh dan penyelesaiannya berikut ini:

1. dxxx )sin2(cos

2. xdx2sin2

3. dxxxx 42sin44 2

4. xdx5cos5

5. xdxx 2cos.2sin

Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-tahapan

seperti berikut:

1. dxxx )sin2(cos

Untuk menyelesaikan soal di atas, dapat digunakan teknik pengintegralan

secara langsung. Hal ini dikarenakan bentuk integral{ XE "integral" } di atas

merupakan bentuk integral dasar.

- Langkah pertama adalah memecah persamaan tersebut menjadi:

Kalkulus 97

xdxxdx sin2cos

- Langkah kedua adalah langsung mengintegralkan masing-masing suku

dalam persamaan:

Cxx cos2sin

2. xdx2sin2

Jika penyelesaian nomor satu dapat diselesaikan secara langsung, maka nomor

dua ini tidak bisa diselesaikan secara langsung dikarenakan berpangkat lebih

dari satu (pangkat kuadrat).

- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan tersebut ke dalam

persamaan dasar trigonometri:

dxx2cos12

12

dxx2cos2

12

12

- Langkah kedua adalah memecah persamaan:

xdxdx 2cos2

1.22

1.2

- Langkah ketiga adalah mengubah persamaan tersebut menjadi:

)2(2

12cos xdxdx

Hal yang perlu diingat: 2)2(

dx

xd, sehingga )2(

21 xddx

- Langkah keempat adalah mengintegralkan persamaan:

Cxx 2sin2

1

3. dxxxx 42sin44 2

Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan permisalan dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan:

duusin

dengan dxxduxxu 44;42 2

Kalkulus 98

karena du bernilai sama dengan konstanta{ XE "konstanta" } pada

persamaan awal maka persamaan akhir dikali 1, sehingga tidak ada

perubahan pada persamaan akhir.

- Langkah kedua adalah mengintegralkan persamaan menjadi:

uducos +c

- Langkah terakhir yaitu mengganti nilai u dan du:

cdxxxx )44)(42cos( 2

4. xdx5cos5

Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } dengan

pangkat tinggi, selain menggunakan teknik permisalan juga digunakan teknik

substitusi{ XE "substitusi" }.

- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan yang

memungkinkan ke bentuk permisalan dan substitusi{ XE "substitusi" }:

dxxx 4coscos5

- Langkah kedua yaitu memecah pangkat empat:

dxxx22coscos5

karena 1cossin 22 xx , maka

dxxx22sin1cos5

misalkan:

xdxduxu cos;sin

- Langkah ketiga yaitu substitusi{ XE "substitusi" } u:

duu2215

- Langkah keempat sebelum diintegralkan, persamaan didalam integral{

XE "integral" } dikuadratkan lebih dulu:

duuu 42215

- Langkah kelima adalah diintegralkan satu per satu:

Cuuu

53

5

1

3

25

- Langkah terakhir adalah diubah nilai u ke nilai awalnya:

Kalkulus 99

Cxxx 53 sinsin3

10sin5

5. xdxx 2cos.3sin

Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } yang

didalamnya terdapat perkalian trigonometri.

- Langkah pertama adalah mengubah bentuk perkalian di dalam

persamaan yang memungkinkan ke bentuk penjumlahan atau

pengurangan:

yxyxyx sin2

1sin

2

1cos.sin

- Langkah kedua yaitu memasukkan ke dalam persamaan integral{ XE

"integral" }:

dxxxdxxxxdxx 23sin2

123sin

2

12cos.3sin

dxxdxxxdxx sin2

15sin

2

12cos.3sin

- Langkah ketiga dengan mengintegralkan masing-masing bagian:

Cxxdxxdxx cos1.2

15cos

5

1

2

1sin

2

15sin

2

1

- Langkah akhir yaitu menyederhanakan hasil pengintegralan:

Cxx cos2

15cos

10

1

Kalkulus 100

RINGKASAN

1. Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF

adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan

konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu pada fungsi trigonometri.

2. Beberapa rumus dasar pada integral{ XE "integral" } tak tentu trigonometri:

a. Cxdxx cossin

b. Cxdxx sincos

c. CxCxdxx seclncoslntan

d. Cxxdxx tanseclnsec

e. Cxxdxx cotseccoslnseccos

3. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat digunakan

untuk menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan menggunakan

substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika

substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti

turunan h, maka:

CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(

Kalkulus 101

Soal-soal Latihan

1. dvv 2cos

2. d)2(cos 2

3. dxxx )6cos()4sin(

4. dxxx 2tan

5. d)tan(sec

6. d2sec

7. xdxx 22 cos2sin2

8. dxxxxx sincossincos

9. dxx2sec2

10. dxxx 3cos 32

11.

dx

xx

xx

sincos

sincos 22

(Note: sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)

12. dvvv 22cos2 54

13. xdxx 5sin.7sin3

(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)

14. xdxx tancos2

(Note: Ingat bahwa x

xx

cos

sintan !)

15. dx

x2sin1

5

(Note: Ingat bahwa 1cossin 22 xx !)

16.

dxx

x

sin21

2sin

(Note: Ubahlah bentuk xxx cossin22sin ; Lakukan permisalan xu sin21 ;

Lakukan substitusi{ XE "substitusi" }!)

Kalkulus 102

17. xdx2sin2

(Note: Ingat bahwa 1cossin 22 xx !)

18. xdxx 4sincos

(Note: Ingat bentuk substitusi{ XE "substitusi" } u = sin x!)

19. dxxxx )sintan(sec

(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)

20. xdxxsincos2 2

(Note: Lihat rumus dasar trigonometri; Gunakan permisalan & Substitusi; u = cos

x!)

Kalkulus 103

BAB X

INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } ALJABAR

Materi : Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Sub Materi : - Pendahuluan

- Definisi

- Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE

"Aljabar" }

- Penghitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{

XE "Aljabar" }

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar dan teknik

pengintegralan serta menghitung integral tentu secara konsep dan aplikasi.

Materi

10.1. Pendahuluan

Pada bab sebelumnya telah di pelajari tentang integral{ XE "integral" }

tak tentu pada fungsi aljabar. Prinsipnya secara teknik pengintegralannya

adalah sama, yang membedakan adalah nilai batasnya. Integral tentu terdapat

nilai batas minimum atau nilai batas bawah dan nilai maksimum atau batas

atas. Sebelum mengenal lebih jauh tentang integral tentu, pengertian, sifat-

sifat integral tentu, teknik pengintegralannya, penyelesaiannya soal-soal, serta

penerapannya, perhatikan beberapa penjelasan di bawah ini. Pada gambar di

bawah ini terdapat kurva yang memiliki luasan dalam batasan tertentu, untuk

menghitung batasannya, maka diperlukan teknik pengintegralan dengan

memasukkan nilai batasannya.

Kalkulus 104

Gambar 10.1. Luas daerah bidang A

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya

A(R) ditentukan oleh:

A(R) = dxxfb

a )(

Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral{ XE

"integral" } diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin

bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula

gambar berikut ini:

Gambar 10.2. Luas daerah bidang B

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya

A(R) ditentukan oleh :

A(R) = dyyfd

c )(

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral{ XE "integral" }

diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif

maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

10.2. Definisi

Misalkan f sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika,

Kalkulus 105

n

iii

Pxxf

10)(lim

bernilai, f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Selanjutnya b

a

dxxf )( disebut

Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:

b

a

dxxf )( =

n

iii

Pxxf

10)(lim

Kembali ke lambang b

a

dxxf )( , boleh disebut bahwa a titik ujung bawah dan b

titik ujung atas integral{ XE "integral" }. Tetapi kebanyakan referensi

menyebutnya istilah batas bawah dan batas atas integrasi.

Pada definisi b

a

dxxf )( , secara implisit kita menganggap bahwa ba .

Perhatikan rumus-rumus berikut:

Berdasarkan rumus dasar di atas, dapat dituliskan contoh berikut ini:

3

3

2 0dxx

2

4

2

4

2

2 dxxdxx

Variabel x merupakan peubah{ XE "peubah" } dummy (dummy

variable), dimana x dapat diganti dengan huruf sebarang lainnya.

b

a

b

a

b

a

b

a

dssfduufdttfdxxf )()()()(

Tidak semua fungsi dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b].

Misalnya fungsi tak terbatas.

a

a

dxxf 0)(

b

a

a

b

badxxfdxxf ,)()(

Kalkulus 106

01

01

)( 2

xjika

xjikaxxf

Pada teorema keintegrasian dijelaskan bahwa jika f terbatas pada [a, b]

dan f kontinyu di sana, kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f

terintegrasikan pada [a, b]. Khususnya jika f kontinyu pada seluruh selang

tertutup [a, b], maka f terintegrasikan pada [a, b].

Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada

selang tertutup [a, b]:

1. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }

2. Fungsi sinus dan kosinus

3. Fungsi rasional{ XE "rasional" },

dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang

mengakibatkan penyebut bernilai 0.

10.3. Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.

a. Sifat Tambahan pada Selang

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b

dan c, maka:

dxxfc

a )( = dxxf

b

a )( + dxxf

c

b )(

dengan catatan tidak mempedulikan orde a, b dan c.

Contoh dari sifat pertama:

a) dxxdxxdxx 2

1

21

0

22

0

2

b) dxxdxxdxx 2

3

23

0

22

0

2

c) dxxdxxdxx

2

1

21

0

22

0

2

b. Sifat Perbandingan

Kalkulus 107

Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan jika

)()( xgxf untuk semua x dalam [a, b], maka:

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

c. Sifat Keterbatasan

Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan Mxfm )( untuk

semua x dalam [a, b], maka:

)()()( abMdxxfabm

b

a

d. Sifat Kelinearan

Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan k adalah kostanta.

Maka kf dan f+g terintegrasikan, sehingga:

a)

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

b)

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

c)

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

10.4. Perhitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Untuk lebih memahami penerapan teori dalam perhitungan integral{

XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar, perhatikan beberapa contoh berikut

ini:

1.

1

1

2dxx

2.

2

0

2 )32( dxxx

3. dwww

2

4

1

2 2

11

Kalkulus 108

4.

1

0

22 )2( dxxx

5.

1

0

2 133 dxxx

Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-

tahapan seperti berikut:

1.

1

1

2dxx

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:

- Integralkan 2x

1

13

x

- Masukkan nilai batas awal dan akhir

[(1 3 )- 31 ] = 2

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 2.

2.

2

0

2 )32( dxxx

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:

- Integralkan 232 xx

0

232 xx

- Masukkan nilai batas awal dan akhir

40022 3232

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar -4.

3. dwww

2

4

1

2 2

11

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:

Kalkulus 109

- Integralkan 2

2 2

11w

w

Untuk lebih mudahnya persamaan di atas diubah dulu menjadi:

22

2

1ww

Hasil integralnya: 31

3

1

2

1ww

1

4

6

1 31

ww

- Masukkan nilai batas awal dan akhir

33 )1(

6

1

1

14

6

1

4

1

6

11

6

64

4

1

6

1

6

6

12

128

12

3

6

5

12

125

12

115

12

10

12

125

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 12

115

4.

1

0

22 )2( dxxx

Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:

- Uraikan pangkat dua pada persamaan di dalam integral{ XE

"integral" }

234 44 xxx

- Integralkan 234 44 xxx

0

144 234 xxx

Kalkulus 110

- Masukkan nilai batas awal dan akhir

901.41.41 234

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 9.

5.

1

0

2 133 dxxx

Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:

- Ubah ke bentuk substitusi{ XE "substitusi" }

13 2 xu

1

0

21

6.3

6

6

x

duux

x

dudx

xdxdu

- Integralkan persamaan

0

1.

3

2

2

12

3

u

- Masukkan nilai awal dan akhir

0

1)13(

3

12

32

x

0

1)1)0(3()1)1(3(

3

12

322

32

3

7

)1()2(3

12

32

32

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 3

7

Kalkulus 111

RINGKASAN

1. Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:

b

a

dxxf )( =

n

iii

Pxxf

10)(lim

2. Pada definisi b

a

dxxf )( , secara implisit dengan menganggap bahwa ba , maka:

a

a

dxxf 0)(

b

a

a

b

badxxfdxxf ,)()(

3. Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada selang

tertutup [a, b]:

a. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }

b. Fungsi sinus dan kosinus

c. Fungsi rasional{ XE "rasional" },

dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang

mengakibatkan penyebut bernilai 0.

4. Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar yang

dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.

a. Sifat Tambahan pada Selang

b. Sifat Perbandingan

c. Sifat Keterbatasan

d. Sifat Kelinearan

Kalkulus 112

Soal-soal Latihan

1.

2

0

2 )( dxxx

2.

3

1

3)23( dtt

3.

2

1

34

31

)32( dxxx

4.

2

1

)22()62( dxxx

(Note: Sederhanakan persamaan!)

5.

3

1

)1( dxxx

6.

2

1

3)1(

1dx

tt

7.

4

0

2 )12( dxxxx

(Note: Integral Substitusi!)

8.

5

1

2)2(

1dt

t

9.

2

1

32 13 dxxx

(Note: Integral Parsial!)

10.

3

2

2)32( x

dx

(Note: Integral Substitusi!)

11.

3

2

2)32(

2

x

dx

(Note: Integral Parsial!)

Kalkulus 113

12.

2

0

4)106(2 dxxx

(Note: Integral Substitusi!)

13.

3

0

2 )24(22 dxxxx

(Note: Integral Parsial!)

Tentukan nilai p integral{ XE "integral" } di bawah ini!

14.

p

dxx3

963

88

15.

0

2 8)82(p

dxxx

16.

p

x

dx2

1

2 2

33

17. Hitung Luas Daerah yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan

016122 2 xx dan sumbu x!

(Note: Batas integral{ XE "integral" } diperoleh dari titik potong kurva

terhadap sumbu 0 yx )

18. Dua elektron memiliki muatan negatif sebesar 1,6. 10-19

C. Berapa besar gaya

yang diperlukan untuk memisahkan dua elektron yang memiliki jarak awal

1µm, sehingga jarak akhir dua elektron tersebut menjadi 4µm.

(Note: Hukum Coulomb = 2

21

r

qkqF ; jika dimasukkan ke dalam persamaan

integral{ XE "integral" } menjadi b

a

dxx

qkqF

2

21; k = konstanta{ XE

"konstanta" } gaya listrik yang besarnya 9.109 N m

2 C

−2)

19. Sebuah bola pantul dilemparkan ke atas dengan persamaan kecepatan gerak

bola, yaitu v = (t – 1) m/s. Berapakah percepatan bola selama 2 detik dan jarak

yang dapat ditempuh bola selama 10 detik? Kapankah bola akan membentur

tanah? (dengan mengabaikan gesekan udara)

(Note: dt

dstv

dt

dvta )(;)( )

Kalkulus 114

20. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan arus listrik. Apabila

1/3t2+2t Coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam t

detik. Ingat bahwa Arus Listrik (I) =dt

dQ.

a) Berapakah arus listrik dalam Ampere (Coulomb per detik) setelah 3 detik?

b) Kapankah suatu sekering 20 Ampere yang dipasang pada saluran itu akan

putus?

Kalkulus 115

BAB XI

INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi : Integral Tentu Fungsi Trigonometri

Sub Materi : - Pendahuluan

- Sifat – sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri

- Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada

Fungsi Trigonometri

Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi trigonometri dan teknik

pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" } serta menghitung integral

tentu secara konsep dan aplikasinya.

Materi

11.1. Pendahuluan

Perhitungan integral{ XE "integral" } tentu secara umum telah

dijelaskan pada bab sebelumnya yaitu integral tentu fungsi aljabar, akan tetapi

ada beberapa teori yang membedakan pada penggunaan sifat-sifat

trigonometri. Jika dalam integral tentu fungsi aljabar telah dikenalkan teori

substitusi{ XE "substitusi" }, maka pada integral tentu fungsi trigonometri juga

terdapat teori substitusi yang akan dijelaskan pada sub bab berikut ini. Pada

perhitungan integral tentu trigonometri tidak terlepas dari rumus – rumus dasar

trigonometri yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, karena rumus –

rumus dasar tersebut akan digunakan untuk mengubah persamaan trigonometri

dalam integral yang tidak bisa langsung diintegralkan. Berikut ini adalah sifat

– sifat integral tentu yang terdapat dalam fungsi trigonometri.

11.2. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri

1. Sifat Penambahan Selang

Kalkulus 116

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b

dan c, maka:

dxxfc

a )( =

dxxfb

a )(

+ dxxfc

b )(

2. Sifat Periodik{ XE "Periodik" }

Jika f periodik dengan periode p, maka:

b

a

pb

pa

dxxfdxxf )()(

Suatu fungsi f merupakan fungsi periodik jika terdapat suatu bilangan

p sedemikian rupa sehingga f(x+p) = f(x) untuk semua nilai x dalam

daerah asal f. Bilangan positip p yang terkecil disebut periode dari

fungsi f. Fungsi – fungsi trigonometri merupakan contoh dari fungsi –

fungsi yang periodik.

Contoh:

Hitunglah: dxx2

0

sin

Jika dilihat dari keperiodikannya, maka fungsi tersebut periodik

dengan periode . Perhatikan gambar berikut.

Gambar 11.1. Gambar fungsi yang periodik

Karena periodik seperti yang telah di jelaskan dengan gambar, maka

dapat diselesaikan seperti di bawah ini:

2

0

2

0

sinsinsin dxxdxxdxx

dxxdxx sinsin0

Kalkulus 117

4

)2(2

0cos2

sin20

x

xdx

3. Sifat Simetri

Jika f fungsi genap{ XE "genap" } [f(-x) = f(x)] , maka:

dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)(

Jika f fungsi ganjil{ XE "ganjil" } [f(-x) = - f(x)], maka:

dxxfa

a

)( = 0

Contoh :

04

cos24

cos dxx

dxx 24

4

1.

4cos8

0

dxx

11.3. Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri

Terdapat beberapa langkah sebelum sebuah persamaan trigonometri dapat

langsung diintegralkan, diantaranya adalah teknik substitusi{ XE "substitusi"

}.

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah

nilai g, maka:

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

)()('))((

Untuk membuat sebuah substitusi{ XE "substitusi" } dalam integral{

XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:

Membuat substitusi{ XE "substitusi" } dalam integran

Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk

diferensial

Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)

Kalkulus 118

Perhatikan contoh berikut untuk memperjelas teori:

1. Hitunglah:

2

cos2 xdx

Penyelesaian:

1

10

2sinsin

2

sincos2

2

xxdx

2. Hitunglah:

0

2 )sin( dxxx

Penyelesaian:

Misal : 2xu

duxdx

xdxdu

2

1

2

Masukkan ke dalam persamaan awal:

0

1.2

1)1(

2

1

0cos2

1cos

2

1

0cos

2

1

0cos

2

1

)2

1(sin

22

2

0

x

u

duu

3. Hitunglah:

3/

0

2 sin2

1cos4

xdxx

Kalkulus 119

Untuk menyelesaikan integral{ XE "integral" } di atas diperlukan

beberapa rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab

sebelumnya.

(i) 12

1cos2cos 2 xx

)cos1(2

1

2

1cos 2 xx

(ii) xxx cossin22sin

xxx 2sin2

1cossin

Ubahlah )cos1(2

1

2

1cos 2 xx , sehingga persamaan menjadi:

3/

0

sin)1(cos2

1.4

xdxx

3/

0

)sinsin(cos2

dxxxx

Ubahlah xxx 2sin2

1cossin , sehingga persamaan menjadi:

4

7

8

72

4

5

8

32

14

1

2

1

8

12

0cos0cos4

160cos120cos

4

12

03cos2cos

4

12

)sin2sin2

1(2

3/

0

xx

dxxx

4. Hitunglah:

2/

0

cos1

dxx

Kalkulus 120

Untuk menyelesaikan integral{ XE "integral" } di atas diperlukan

rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab sebelumnya.

2cos1sin2

sin212cos

2

2

Substitusikan 2

x ; sehingga x

xcos1`

2sin2 2

dxx

dxx

2/

0

2

2/

02

sin2cos1

dxx

2/

02

sin2

karena 2

sin)(x

xf tidak bernilai negative pada [2

,0

]; maka dapat

dituliskan 2

sin2

sinxx

2/

0 02

2cos22

2sin2

xdx

x

222

12

222

0cos4

cos22

02

2cos22

x

5. Hitung volume benda putar yang dibatasi oleh y = sin x untuk x0

dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 2 . Perhatikan gambar di bawah

ini.

Gambar 11.2 Batas Volume Benda Putar

Kalkulus 121

Kalkulus 122

Penyelesaiannya:

Persamaan integral{ XE "integral" } untuk volume:

0

2sin xdxV

)0

2sin4

1

2

1(

2cos2

1

2

1

0

xx

dxx

2

2

1

0.2sin4

10.

2

12sin

4

1

2

1

6. Buktikan bahwa persamaan keliling lingkaran untuk lingkaran yang

memiliki jari – jari sebesar r adalah r2 . (Gunakan bantuan gambar di

bawah!)

Gambar 11.3. Representasi sudut dalam Lingkaran

Penyelesaiannya:

dari gambar di atas, dapat dibuat persamaan sebagai berikut:

try

trx

sin

cos

Pada persamaan trx cos , maka trdt

dxsin

Pada persamaan try sin , maka trdt

dycos

2

1

22t

t

dtdt

dx

dt

dyKeliling

Kalkulus 123

2

0

22 cossin dttrtKeliling

2

0

222 cossin dtttrKeliling

2

0

dtrKeliling

0

2rtKeliling

)02( rKeliling

rKeliling 2

Kalkulus 124

RINGKASAN

1. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri

4. Sifat Penambahan Selang

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b

dan c, maka:

dxxfc

a )( =

dxxfb

a )(

+ dxxfc

b )(

5. Sifat Periodik{ XE "Periodik" }

Jika f periodik dengan periode p, maka:

b

a

pb

pa

dxxfdxxf )()(

6. Sifat Simetri

Jika f fungsi genap{ XE "genap" } [f(-x) = f(x)] , maka:

dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)(

Jika f fungsi ganjil{ XE "ganjil" } [f(-x) = - f(x)], maka:

dxxfa

a

)( = 0

2. Fungsi g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah

nilai g, maka:

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

)()('))((

Untuk membuat sebuah substitusi{ XE "substitusi" } dalam integral{

XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:

Membuat substitusi{ XE "substitusi" } dalam integran

Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk

diferensial

Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)

Kalkulus 125

Kalkulus 126

Soal-soal Latihan

1.

dxxx )cos(sin

(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)

2. dxx

x

2/

2/cos1

sin

(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)

3. dxx

x

2/

0

3cos

sin

(Note: Gunakan bantuan metode substitusi{ XE "substitusi" }!)

4.

0

)cos32sin2( dxxx

5.

2/

0

)cos2sin3(

dxxx

6.

4/

0

)2sin(

dxx

7.

2/

4/

2)cos(sin

dxxx

(Note: Sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)

8.

xdxx 22 cossin

(Note: Gunakan bantuan sifat trigonometri!)

9. 8/

0

)3cos()5sin(

dxxx

10.

2/

2 cossin2 xdxx

11.

2/

2cos2 xdx

12.

2/

3/

)1cos4(

dxx

Kalkulus 127

13.

3/

0

2cos1

dxx

14. 2/

0

3cossin

xdxx

15. 2/

0

3

cos

sin

dxx

x

16. 2/

3/

2sectan

xdxx

17.

4/

2/

)cos6sin2(

dxxx

18.

3/

0

2 )2cos4(

dxx

19. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:

2

30;sin xxy

20. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:

2;cos;sin xxyxy

Kalkulus 128

Daftar Pustaka

1. Purcell, E J. Varberg, Dale. Rigdon, S E. 2004. Calculus 8th

Edition

(Terjemahan, Jilid 8). Erlangga. Jakarta.

2. Koko M. 1999. Kalkulus. Penerbit Erlangga. Jakarta.

3. Frank, Ayres. 1998. Theory and Problems of Differential and Integral

Calculus. 2nd

Edition (Terjemahan, Edisi Kedua). Penerbit Erlangga.

Jakarta.

4. Lucy, I. 1998. Kalkulus I. STIKOM. Surabaya.

5. Baisuni, HM. Hasyim. 2005. Calculus. UI-Press. Jakarta.

6. Sudaryono. 2012. Langkah Mudah Belajar Kalkulus. Penerbit Andi.

Yogyakarta.

7. Harshbarger, R J. 1990. Calculus with applications. DC Heath & Co.

Lexington.

8. Dubinsky E D. 1992. Calculus, Concept and Computer Preliminary

Version. West Pub. Co. New York.

Kalkulus 129

Indeks

A

Aljabar, 1, 8, 9, 42, 44, 48, 50, 71, 76, 81, 103, 106, 107

D

domain, 14, 18

E

eksponensial, 1, 20, 28, 62, 64, 66, 68, 77

F

FUNGSI, 1, 20, 53, 62, 71, 91, 103, 115

G

ganjil, 13, 117, 124 genap, 13, 117, 124

H

Hiperbolik, 20, 25, 26, 27

I

identitas, 1 IMPLISIT, 71 integral, 31, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 111, 113, 115,

117, 119, 120, 122, 124 invers, 1, 14, 15, 18, 23, 28

K

kodomain, 18 komposisi, 1, 7, 18 konstanta, 8, 16, 20, 28, 44, 45, 50, 81, 82, 84, 86, 92, 98, 100, 113 Kuadrat, 8, 18

L

Limit, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 40 Linier, 9, 18 Logaritma, 20, 23

N

notasi, 2, 18, 30, 31, 40, 62, 68

P

Pangkat, 1, 8, 16, 18, 45, 50 PARSIAL, 71 Periodik, 116, 124 peubah, 16, 20, 28, 31, 35, 40, 105

Kalkulus 130

polinomial, 106, 111

R

rasional, 36, 106, 111 relasi, 2, 18

S

sekawan, 32 siklometri, 14 substitusi, 81, 84, 85, 88, 91, 93, 95, 98, 100, 101, 102, 110, 115, 117, 124, 126

T

transenden, 20 Turunan, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 65, 71, 75, 76, 77, 78

V

variabel, 3, 18, 30, 75, 78, 85, 86