fungsi error sebagai aplikasi dari fungsi gamma.docx

8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx

1/8

FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA

A. FUNGSI GAMMA

a. Definisi Fungsi Gamma

Fungsi gamma dinyatakan ol!

"# pΓ yang did$nisikan s%agai &

dxe x p x p −∞

−∫ =Γ'

("#

) untuk

'> p

Fungsi $a*to+ial did$inisikan dngan &

dxe x p x p −∞

∫ ='

,

-u%ungan $ungsi Gamma dngan $ungsi Fakto+ial adala! &

dxe x p x p −

∞−+∫ =+Γ

'

("(#"(#

dxe x x p −∞

∫ ='

, p=

Contoh :

(,'"(# ==Γ (,("# ==Γ )

,"/# ==Γ ) dan st+usnya.

b. Hubungan Rekursif Fungsi Gamma

"#"(# p p p Γ=+Γ

Bukti:

1


2/8

dxe x p x p −∞

∫ =+Γ'

"(#

Lakukan intg+asi 0a+sial untuk 0+samaan diatas) s0+ti %+ikut&

Misalkan&

p xu = dxedv x−=

dp pxdu p (−= xev −−=

S!ingga)

∫ ∞

−−∞− −−−=+Γ'

(

' "#1"(# dx pxee x p p x x p

∫ ∞

−−−−='

("#' dx xe p

p x

∫ ∞ −−='

( dxe x p x p

"# p pΓ=

2adi) di0+ol! %a!3a &

"#"(# p p p Γ =+Γ

Contoh :

(.

"(#"#"(#"/# ==Γ =+Γ =Γ

2


3/8

.

4"(#4"#../"(#/"/#/"(/#"5# ==Γ =+Γ =Γ =+Γ =Γ

•

"(#(

"# +Γ=Γ p p

p

Contoh :

(.

"4.(#4.'

("(4.'#

4.'

("4.'# Γ =+Γ =Γ

.

"("6)(##6.(

("6.(# +−Γ

−=−Γ

"6.'#6.(

( −Γ −

=

5

/

"6.'#6.'

(

6.(

(

"("6.'##6.'

(

6.(

(

π =

Γ −−

=

+−Γ −−

=

Contoh soal :

-itungla! intg+al %+ikut dngan $ungsi gamma&

∫ ∞

−

'

. .

dxe x x

Penyelesaian :

Misalkan &

xu =) maka &

dx xdu =

Untuk'= x

maka'=u

3


4/8

Untuk∞= x

maka∞=u

Maka &

5

"6.'#

(

(

"6.(#

(

(

7(

''

π =

Γ =

Γ =

=

=

−

∞−

∞−

∫ ∫

x

x x

eu

u

duuedxe x

c. Formula Penting Terkait Fungsi Gamma

Sala! satu $o+mula yang 0nting dalam $ungsi gamma adala! &

p p p

π

π

sin"(#"# =−Γ Γ

S!ingga untuk

6.'= p) maka&

π

π

6.'sin"6.'(#"6.'# =−Γ Γ

("6.'#"6.'#

π =Γ Γ

π =Γ Γ "6.'#"6.'#

[ ] π =Γ "6.'#

π =Γ "6.'#

4


5/8

B. FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA

Fungsi E++o+ mnyatakan luas da+a! di %a3a! ku+8a

. xe y −=. Fungsi E++o+

did$inisikan dngan &

D$inisi t+s%ut adala! d$inisi standa+d $ungsi E++o+) mski0un dmikian t+da0at

%%+a0a %ntuk intg+al yang da0at dinyatakan dalam $ungsi E++o+. Misalnya)

dt e x P

x

t

∫ ∞−

−=−∞ 7

(")#

π

Misalkan.ut =

maka

ut =

dandudt .=

) maka&

+===−∞= ∫ ∫ ∫ ∫

−

∞−

−

∞−

−

∞−

− duedueduedue x P x

x

uu

x

u

x

u

7

'

'77 ((

(")#"#

π π π φ

Dimana&

• Suku kdua da0at dinyatakan s%agai $ungsi ++o+) yaitu

"7#

7

xerf due

x

u π =∫ ∞−

−

• Suku 0+tama m+u0akan intg+al da+i suatu $ungsi gna0) s!ingga da0at dituliskan

mn9adi&

"7(#

'

' π

=Γ

== ∫ ∫ ∞

−

∞−

− duedue uu

Sehingga:

"7#

(

(

"7#

(

(")#"#

7

'

'

xerf

xerf

duedue x P x

x

uu

+=

+=

+=−∞= ∫ ∫

−

∞−

−

π π

π

π φ

5

dt e xerf

x

t

∫ −=

'

"#

π


6/8

Fungsi

"# xφ

diknal s%agai $ungsi dist+i%usi no+mal standa+ atau diknal 9uga

dngan $ungsi dist+i%usi kumulati$ gauss yang %anyak di9um0ai dalam 0+soalan

statistika.

Slain itu) ada 9uga $ungsi yang dis%ut s%agai $ungsi ++o+ 0lngka0

#complementary error function" yang dinyatakan dngan +$*# x".

Fungsi ++o+ 0lngka0 did$inisikan dngan &

Dngan mnggunakan d$inisi $ungsi ++o+ untuk∞= x

) maka da0at dinyatakan &

dt eerf t

∫

∞−=∞

'

"#

π

"7(#

(Γ =

π

π π

(=

(=

-u%ungan anta+a $ungsi ++o+ dan $ungsi 0lngka0 ++o+ adala! &

+=+ ∫ ∫

∞−−

x

t

x

t dt edt e xerfc xerf

..

'

."#"#

π

∫ ∞

−=+'

"#"# dt e xerfc xerf t

π

("#"#"# =∞=+ erf xerfc xerf

2adi) da0at disim0ulkan %a!3a&

("#"# =+ xerfc xerf

6

dt e xerfc x

t

∫ ∞

−= ..

"#π


7/8

"#("# xerfc xerf −= dan

"#("# xerf xerfc −=

Fungsi ++o+ %anyak di9um0ai dalam to+i 0+o%a%ilitas. Di dalam $isika) $ungsi

++o+ %anyak di9um0ai dalam mkanika statistiks. S%agai *onto!) $ungsi ++o+ %anyak

digunakan ktika kita !ndak mnntukan 9umla! molkul yang mmiliki k*0atan yang

l%i! %sa+ atau l%i! k*il da+i k*0atan t+tntu.

KESIMPULAN

Da+i 0n9lasan diatas) da0at disim0ulkan %a!3a&

(. Fungsi gamma s*a+a umum did$inisikan ol! &

dxe x p x p −

∞−∫ =Γ

'

("#

. Fungsi ++o+ s%agai a0likasi da+i $ungus gamma did$inisikan dngan &

dt e xerf

x

t

∫ −=

'

"#

π

Sdangkan $ungsi ++o+ 0lngka0 did$inisikan dngan &

7


8/8

dt e xerfc x

t

∫ ∞

−=

"#π

8

fungsi error sebagai aplikasi dari fungsi gamma.docx

Documents