Estadística Inferencial. Sesión 3. Estimación de parámetros y por intervalos

Contextualización.

Se denomina estadístico a un estimador insesgado de un parámetro poblacional si la media o la esperanza del estadístico es igual al parámetro.

En esta sesión definiremos los conceptos de estimación puntal y por intervalos, veremos las características principales de las estimaciones por intervalos del tipo de la media de una población y la proporción de una población; así como las formulas necesarias para el cálculo de la confiabilidad del estimador.

Fuente: http://www.clasa-anestesia.org/revistas/chile/imagenes/Chi2520501.gif

Introducción.

En la actualidad la palabra confiabilidad no es muy común ya que se tiene una

gran desconfianza en la mayoría de los procesos de trabajo, más si hablamos

en términos de gobierno. Pero esta palabra tiene gran valor y aprecio en

términos de calidad de los productos que adquirimos para nuestras

necesidades y estos productos típicamente están diseñados bajo normas de

calidad, las cuales se apoyan en la estadística inferencial para su mejor

control.

Por ejemplo, en estadística inferencial es muy común casos como este que se

presenta a continuación:

Si se dice que una distancia es de 5.28 pies, se proporciona una estimación

puntual. Si, por otro lado, se dice que la distancia es de 5.28 ± 0.03 pies, esto

es, la distancia se ubica entre 5.25 y 5.31 pies, se da una estimación por

intervalo.

Introducción.

¿Cuál es la verdadera utilidad de conocer el valor de un parámetro

poblacional?

¿Cuándo debemos de utilizar estos métodos de estimación?

Fuente: http://www.zalthen.com/joomla/ESTIMACION_files/image203.jpg

Explicación.

Estimación puntual.

Un estimador puntual es un estadístico muestral que se usa para estimar un

parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral 𝑥 es un estimador

puntual de la media poblacional µ y la proporción muestral 𝑝 es un estimador

puntual de la proporción poblacional p.

Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto

del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al

sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.

La fórmula para la estimación por intervalo es:

Estimación puntal ± Margen de error

Explicación.

El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan

cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del

parámetro poblacional.

Estimación por intervalo para la media poblacional (µ). Su fórmula es:

𝑥 ± Margen de error

Estimación por intervalo para la proporción población (p), su fórmula es:

𝑝 ± Margen de error

Las distribuciones muestrales de 𝑥 y 𝑝 son clave para calcular estas

estimaciones por intervalo.

Explicación.

Intervalo de confianza para la media µ con σ conocido o desconocida

pero n≥30.

Se usa la fórmula: 𝑥 − 𝑧𝑎2

𝜎

𝑁< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑎

2

𝜎

𝑁

; donde:

= Promedio de la muestra

Z= valor de z que deja un área de α/2 a la derecha

σ= desviación estándar de la población(o estándar de la muestra en el

caso n≥30)

n= tamaño de la muestra

Explicación.

Error estándar es: 𝑧𝑎2

𝜎

𝑁

Ilustración:

En este caso el verdadero valor

para µ estaría ubicado en la región

central, es decir dentro de la

probabilidad de 1-α llamado

también intervalo de confianza.

fuente: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap1/estadistica07.gif

Explicación.

Valores de zα/2 para los niveles de confianza más usados:

Nivel de

confianza

α α/2 zα/2

90% .10 .05 1.645

95% .05 .025 1.960

99% .01 .005 2.576

Explicación.

Ejemplo: un fabricante de focos industriales desea conocer la duración

de su producto por experiencia sabe que el tiempo de duración de un

foco es una variable aleatoria normal. Para efectos de estimación toma

una muestra de n= 36 focos, lo cual arrojo una media de 5230 hrs. con

una desviación estándar de 215 hrs. Calcula un intervalo de confianza

de 95% para la verdadera duración promedio de estos focos.

Como sabemos que el tiempo de duración es una variable aleatoria

normal, usaremos la fórmula:

𝑥 − 𝑧𝑎2

𝜎

𝑁< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑎

2

𝜎

𝑁

Explicación.

Tomando los datos que el problema nos da, tenemos que:

1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05

𝑧𝑎2 = 𝑧.05

2

= 𝑧.0252

= 1.96; 𝑥 = 5230; σ = 215; n= 36

Fuente: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estimacion/estimacion_clip_image030.jpg

Explicación.

Sustituyendo los valores en la formula tenemos que:

5230 − 1.96215

36< 𝜇 < 5230 + 1.96

215

36

Haciendo los cálculos el intervalo de confianza quedara así:

5159.77< µ < 5300.23

Esperaríamos que 95% de las veces el verdadero valor de la media µ

estuviera entre 5159 y 5300.

Explicación.

Intervalo de confianza para la proporción p.

𝑝 − 𝑧𝑎2

𝑝 1−𝑝

𝑛< 𝑝 < 𝑝 + 𝑧𝑎

2

𝑝 1−𝑝

𝑛 ; Donde:

Ejemplo: Un estudio en estados unidos encuesto a 900 golfistas para

conocer su opinión acerca de cómo se les trataba en los cursos de golf.

En el estudio se encontró que 396 golfistas estaban satisfechas con la

disponibilidad de horarios de salida. Por lo tanto, la estimación puntual de

la proporción poblacional de golfistas satisfechas con la disponibilidad de

horario de salida es 396/900 = 0.44. Calcula un intervalo de confianza del

95% de la proporción de golfistas satisfechas con la disponibilidad de

horarios de salida.

Explicación.

Datos:

1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05

𝑧𝑎2 = 𝑧.05

2

= 𝑧.0252

=1.96; 𝑥 = 0.44

Sustituyendo lo datos, tenemos que:

0.44 − 1.960.44 1 − 0.44

900< 𝑝 < 0.44 + 1.96

0.44 1 − 0.44

900

Haciendo los cálculos, tenemos el siguiente intervalo de confianza:

0.4076 < p < 0.4724

Esto permite decir con 95% de confianza que entre 40.76 y 47.24% de las

golfistas están satisfechas con la disponibilidad de horarios de salida.

Conclusión.

En esta sesión se presentaron los métodos para obtener estimaciones

por intervalo de la media poblacional y de la proporción poblacional un

estimador puntual puede o no proporcionar una buena estimación de un

parámetro poblacional. Un intervalo de estimación suministra una medida

de la precisión de una estimación.

Tanto la estimación por intervalo de una media poblacional como la de

una proporción poblacional tienen la forma: Estimación puntal ± Margen

de error.

En la siguiente sesión estaremos trabajando nuevamente las

estimaciones por intervalo pero ahora para la Diferencia entre dos

medias poblacionales, la diferencia de dos proporciones poblacionales y

la Varianza poblacional.

Bibliografía.

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage

Learning. ISBN: 970-686-278-1

Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-

607-15-0270-4