EKIVALEN

Budi MurtiyasaJur. Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah SurakartaJuli 2008

20/04/23 1design by budi murtiyasa 2008

E K I V A L E N

Rank, OBE/OKE, Matriks Ekivalen, Bentuk Kanonik, Matriks Elementer, Dekomposisi A = LU, Bentuk Normal

Rank : dimensi dari submatriks yang terbesar yang determinannya tidak nol

RANK / PANGKAT

A = 2 -3 1 4

-1 0 -2 3

1 -1 1 -1

Dengan menghilangkan kolomkeempat diperoleh submatriks :

111

201

132

111

201

132

= 0

Tetapi, jika dari A menghilangkan kolom pertama diperoleh submatriks :

111

320

413

111

320

413

= – 8 ≠ 0

Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, makarank dari A, ditulis r(A) = 3.

Berapakah rank-nya ?

A =

111

112

B =

6422

3211

3211

C =

121

121

213

D =

400

030

002

E =

431

341

331

Matriks persegi, yang determinannyatidak nol dikatakan mempunyai rankpenuh, atau matriks nonsingular.

Matriks D dan E dalam contoh diatasmempunyai rank penuh atau nonsingular.

r(A) = 2

r(B) = 1

r(C) = 2

r(D) = 3

r(E) = 3

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Tipe Simbol arti

I Hij(A) Menukar baris ke i dengan baris ke j dari matriks A

II Hi(k)(A) Mengalikan baris ke i dengan skalar k ≠ 0

III Hij(k)(A) Mengalikan baris ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada baris ke i.

Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi baris elementer (OBE).

A =

2211

2120

3112

H13(A) =

3112

2120

2211

H3(-1)(A) =

2211

2120

3112

H12(-2)(A) =

2211

2120

7352

OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE)

Tipe Simbol arti

I Kij(A) Menukar kolom ke i dengan kolom ke j dari matriks A

II Ki(k)(A) Mengalikan kolom ke i dengan skalar k ≠ 0

III Kij(k)(A) Mengalikan kolom ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada kolom ke i.

Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE).

A =

2211

2120

3112

K24(A) =

K3(4)(A) =

K41(1)(A) =

1221

2120

1132

2811

2420

3412

3211

2120

5112

Terhadap suatu matriks dapat dilakukan berturut-turut sederetan OBE dan/atau OKE

A =

132

121

123

211H3(-2)

132

242

123

211H43(1)

310

242

123

211H21(-3)

310

242

750

211

H31(2)

310

260

750

211

= B

Perhatikan bahwa dengan lima kali OBE secara berturutan terhadap A diperoleh matriks baru, misalnya B. Jadi dalam hal ini :

(A)H3(-2)H43(1)H21(-3)H31(2) = B

Matriks B yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE/OKE disebutmatriks-matriks yang ekivalen, dinotasikan A ~ B

~ ~~

~

H41

211

260

750

310

H41

~

Perhatikan kembali :

(A)H3(-2)H43(1)H21(-3)H31(2) = B

Dengan sederetan OBE, A dapat di bawa menjadi matriks baru B. Sebaliknya, tentu juga ada sederetan OBE yang dapat membawa B kembali ke matriks A.

B =

310

260

750

211

H41

211

260

750

310

310

242

750

211

310

242

123

211

132

242

123

211

132

121

123

211

H41H31(-2) H21(3)

H43(-1) H3(-1/2)

~ ~~

~ ~= A

Jadi dengan sederetan OBE : (B)H41H31(-2)H21(3)H43(-1)H3(-1/2) = A

Ini berarti B ekivalen A, ditulis B ~ A

Karenanya operasi OBE (OKE) mempunyai invers (kebalikan).

Perhatikan :

(A)H3(-2)H43(1)H21(-3)H31(2)H41 = B

Sebaliknya,

(B)H41H31(-2)H21(3)H43(-1)H3(-1/2) = A

Dapat di amati bahwa invers OBE adalah :

OBE Invers OBE

Hij = Hij

Hi(k) = Hi(1/k)

Hij(k) = Hij(-k)

1ijH1)(

kiH

1)(

kijH

Analogi, invers OKE :

OKE Invers OKE

Kij = Kij

Ki(k) = Ki(1/k)

Kij(k) = Kij(-k)

1ijK1)(

kiK

1)(

kijK

P =

152

341

231H21(1)

~

152

110

231H31(-2)

~

510

110

231 K32(5)

010

410

1331= Q~

Sebaliknya, mudah diamati bahwa :

Q =

010

410

1331K32(-5)

510

110

231H31(2)

152

110

231H21(-1)

152

341

231

= P ~~~

Dalam hal ini P ~ Q atau Q ~ P.

Relasi ekivalen ( ~ ) suatu matriks memenuhi sifat :

1. refleksif, A ~ A

2. simetri, A ~ B, maka B ~ A

3. transitif, A ~ B, dan B ~ C, maka A ~ C

Dua matriks yang ekivalen mempunyai rank yang sama

Matriks Elementer :

Matriks elementer adalah matriks identitas yang sudah mengalamisatu kali OBE (atau satu kali OKE)

Misalnya I =

100

010

001

Matriks Elementer (baris)

H12(I) =

100

001

010

H3(-2)(I) =

200

010

001

H23(-1) =

100

110

001

Matriks Elementer (kolom)

K13(1) (I) =

101

010

001

K2(-3) (I) =

100

030

001

K32(I) =

010

100

001

= E12

= E3(-2)

= E23(-1)

= F13(1)

= F2(-3)

= F32

Karena OBE/OKE mempunyai invers, maka matriks elementer tentu juga mempunyai invers

Matris elementer (baris) Invers matriks elementer (baris)

Eij = Eij

Ei(k) = Ei(1/k)

Eij(k) = Eij(-k)

1ijE1)(

kiE

1)(

kijE

Matris elementer (kolom) Invers matriks elementer (kolom)

Fij = Fij

Fi(k) = Fi(1/k)

Fij(k) = Fij(-k)

1ijF1)(

kiF

1)(

kijF

Apa keistimewaan matriks elementer ?

A =

1111

3112

2121I3 =

100

010

001

H31(A) =

2121

3112

1111E31 =

001

010

100

E31 A =

001

010

100

1111

3112

2121=

2121

3112

1111

= H31(A)

H21(-1)(A) =

1111

1031

2121

E21(-1) =

100

011

001E21(-1) A =

100

011

001

1111

3112

2121

=

1111

1031

2121

= H21(-1)(A)

Jadi :

H31(A) = E31 A

H21(-1)(A) = E21(-1) A

OBE identik dengan penggandaandi depan dengan matriks elementerdengan tipe yang sama

A =

1111

3112

2121

K3(-2)(A) =

1211

3212

2221

I4 =

1000

0100

0010

0001

F3(-2) =

1000

0200

0010

0001

A F3(-2)=

1000

0200

0010

0001

1111

3112

2121=

1211

3212

2221

K14(1)(A) =

1110

3115

2123

F14(1) =

1001

0100

0010

0001

A F14(1) =

1111

3112

2121

1001

0100

0010

0001

=

1110

3115

2123

= K3(-2)(A)

= K14(1)(A)

Jadi :

K3(-2)(A) = A F3(-2)

K14(1)(A) = A F14(1)

OKE identik dengan penggandaandi akhir (belakang) dengan matriks elementer dengan tipe yang sama

P =

152

341

231H21(1)

~

152

110

231H31(-2)

~

510

110

231 K32(5)

010

410

1331= Q~

K32(5) H31(-2) H21(1) (P) Dalam hal ini :

Atau bisa juga dengan matriks elementer :

PE21(1)E31(-2) F32(5) = Q

102

010

001

100

011

001

152

341

231

100

510

001=

010

410

1331

= Q

Dengan O B E dapat : keterangan

Mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris

Rank matriks dapat dilihat dari banyaknya baris yang tidak nol dari bentuk eselon

Mendekomposisi (memfaktorkan) matriks A menjadi A = LU

L : matriks segitiga bawah

U : matriks eselon

Mereduksi matriks menjadi reduced row echelon form --- bentuk eselon baris tereduksi (EBT)

Eselon baris tereduksi (EBT) adalah bentuk eselon dengan syarat :

a. Elemen pivot harus 1,

b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada

Dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal.

Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk :

Ir (Ir 0)

0rI

atau

00

0rI

dengan r menyatakan rank dari matriks.

MEREDUKSI MATRIKS MENJADI BENTUK ESELON

Ingat kembali tentang matriks eselon :

1. setiap baris yang semua unsurnya nol terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol;

2. pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya

Reduksi menjadi bentuk eselon, dan berapa rank nya ?

A =

1132

2111

1121 H21(1)

1132

3210

1121H31(2)

1310

3210

1121H32(-1)

2100

3210

1121= U

Jadi bentuk eselon dari A adalah :

U =

2100

3210

1121 Karena bentuk eselon U mempunyai tiga barisyang tidak nol, maka r(U) = 3, dan tentu jugar(A) = 3.

~ ~ ~

Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks :

B =

211

632

421H21(2)

211

210

421 H31(1)

210

210

421H32(-1)

000

210

421

= U

Bentuk eselon dari B adalah U =

000

210

421Rank dari B adalah r(B) = 2

~ ~ ~

Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks :

C =

601

412

223

211H21(-3)

601

412

810

211H31(-2)

601

810

810

211H41(-1)

810

810

810

211

H32(-1)

810

000

810

211H42(-1)

000

000

810

211

= U Jadi r(C) = 2

~ ~ ~

~ ~

Cari bentuk eselon daro matrik :

A =

0985

1432

2121

~

10420

5210

2121

~

0000

5210

2121r(A) = 2

DEKOMPOSISI MATRIKS A = L UUntuk sembarang matriks A dengan melakukan OBE tipe II dan III, matriksA tersebut dapat di dekomposisi sebagai A = L U, dengan L matrikssegitiga bawah, dan U matriks eselon.Jika A matriks persegi, maka U ini adalah matriks segitiga atas.

Dekomposisikan matriks A = LU, jika :

A =

1103

2112

1211H21(2)

1103

4530

1211H31(-3)

4530

4530

1211 H32(1)

0000

4530

1211= U

~ ~ ~

Ini berarti bahwa :

(A)H21(2)H31(-3)H32(1) = U

AE21(2)E31(-3)E32(1) = U

P A = U

P-1 P

A

A = U P-1

= U

=A

(E32(1) E31(-3) E21(2))-1

(E32(1))-1(E21(2))-1 (E31(-3))-1 U

A = E21(-2) E31(3) E32(-1) U = L

L =

UJadi

100

012

001

103

010

001

110

010

001=

113

012

001

dan U =

0000

4530

1211A = L U

Dekomposisikan menjadi A = LU, jika :

A =

111

112

021

211H21(1)

111

112

210

211H31(2)

111

310

210

211H41(1)

120

310

210

211H32(1)

120

500

210

211

H42(2)

500

500

210

211H43(-1)

000

500

210

211

= U

~ ~ ~ ~

~ ~

H43(-1) H42(2) H32(1) H41(1) H31(2) H21(1) (A) = U

= UAE21(1)E31(2)E41(1)E32(1)E42(2)E43(-1)

Jadi L = E21(-1) E31(-2) E41(-1) E32(-1) E42(-2) E43(1)

L =

1000

0100

0011

0001

1000

0102

0010

0001

1001

0100

0010

0001

1000

0110

0010

0001

1020

0100

0010

0001

1100

0100

0010

0001

=

1130

0111

0011

0001

Jadi :

L =

1130

0111

0011

0001

dan U=

000

500

210

211

A = L U

MEREDUKSI MATRIK MENJADI BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI (EBT)

Bentuk EBT adalah bentuk eselon yang :a. Elemen pivot harus 1,b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada

Reduksi A =

1132

2111

1121

menjadi bentuk EBT !

Solusi : langkah awal, bawa A menjadi bentuk eselon terlebih dahulu, kemudian teruskan dengan OBE sehingga dua syarat di atas dipenuhi.

A =

1132

2111

1121H21(1)

H31(2)

1310

3210

1121H32(-1)

2100

3210

1121H1(-1)

2100

3210

1121H12(2)

2100

3210

5301 H13(-3)

2100

7010

11001

H23(-2)

Jadi bentuk EBT dari A adalah :

2100

7010

11001

~~ ~

~

~

Oleh karena itu, untuk sembarang matriks A, maka dengan OBE dan OKE dapat di bawa menjadi bentuk normal N, sedemikian hingga :

A

Di mana P adalah hasil penggandaan (perkalian) matriks elementer baris dan Q adalah hasil penggandaan matriks elementer kolom.

Bergantung pada cara melakukan OBE dan OKE, banyaknya matriks Pdan Q tidak tunggal. Tetapi setiap P mempunyai tepat satu pasangan Qsehingga P A Q = N.

Telah diketahui dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal.

Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk :

Ir (Ir 0)

0rI atau

00

0rI

AHp . . H3 H2 H1 K1 K2 K3 . . KQ = N

AEp . . E3 E2 E1 F1 F2 F3 . . FQ = N

P = NQ

Bagaimana mendapatkan matriks P dan Q sehingga P A Q = N ?

Karena P merupakan hasil penggandaan matriks elementer baris, makaP dapat dicari dengan jalan melakukan OBE terhadap I (identitas) dengan tipe OBE yang sama terhadap A sedemikian hingga A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk eselon baris tereduksi (EBT).Pada saat A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk EBT, maka I (identitas) akan tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks P.

Sedangkan Q merupakan hasil penggandaan matriks elementer kolom, maka Q dapat dicari dengan jalan melakukan OKE terhadap I (identitas) dengan tipe OKE yang sama terhadap A (yang telah tereduksi menjadi U), sedemikianhingga U ini tereduksi menjadi bentuk normal N.Pada saat U tereduksi menjadi bentuk normal N, maka I (identitas) akan Tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks Q.

Jadi (A | I) ~ (U | P)

Jadi

I

U~

Q

N

Cari matriks P dan Q sehingga PAQ = N, jika A =

2111 4233 2122

Solusi :

(A | I3) =

1002122

0104233

0012111 H21(3)

H31(-2)

1022100

0132100

0012111 H32(1)

1110000

0132100

0012111

= (U | P)

4I

U

=

1000

0100

0010

0001

0000

2100

0011

1110000

0132100

0012111H1(-1) H12(1)

1110000

0132100

0120011

K21(1)

K43(2)

1000

2100

0010

0011

0000

0100

0001

K23

1000

2010

0100

0101

0000

0010

0001

=

QOO

OI2=

Q

N

~ ~

~ ~

~~

Jadi P =

111

013

012dan Q =

1000

2010

0100

0101

serta N =

OO

OI2

Dapat di cek kebenarannya bahwa : P A Q = N

Dari bentuk normalnya, dapat diketahui bahwa rank dari A adalah r(A) = 2.

Cari bentuk normal dari matriks B =

642

231

221

Solusi :

(B | I3) =

100642

010231

001221 H21(-1)

H31(2)

102200

011010

001221H3(-1/2)

2101100

011010

001221

= (U | P)

~~

3I

U=

100

010

001

100

010

221

K21(-2)

K31(-2)

~

100

010

221

100

010

001

=

Q

I3

Jadi P =

2101

011

001

Q =

100

010

221dan N =

100

010

001

= I3

Dapat ditunjukkan bahwa PBQ = N = I.

Perhatikan kembali bahwa B =

642

231

221

Dapat dihitung det(B) = - 2 ≠ 0

Ini berarti r(B) = 3. Amati bahwa B matriks persegi dengan determinan ≠ 0,atau matriks B nonsingular, serta matriks B ini mempunyai bentuk normal berupa matriks I. Dengan kata lain, B ekivalen dengan matriks I.

Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannyatidak sama dengan nol), maka matriks A ekivalen dengan matriksI (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P dan Qsehingga PAQ = I

Perhatikan kembali kasus matriks B, di atas, yaitu :

(B | I3) =

100642

010231

001221 H21(-1)

H31(2)

102200

011010

001221H3(-1/2)

2101100

011010

001221

= (U | P) Sampai di sini bisa saja diteruskanmelakukan OBE, sehingga :

2101100

011010

001221 H12(-2)

2101100

011010

023201 H13(-2)

2101100

011010

125001

= (I3 | P) = (N | P)

Amati bahwa B matriks persegi nonsingular, dengan hanya melakukan OBE,matrik B dapat direduksi menjadi bentuk normal N = I.

~ ~

~ ~

Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannyatidak sama dengan nol), dengan hanya melakukan OBE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P sehingga PA = I

Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannyatidak sama dengan nol), dapat juga ditunjukkan bahwa hanya melakukan OKE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks Q sehingga A Q = I

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan, jika A matriks persegi nonsingular, selalu ada matriks nonsingular P dan Q sedemikian hingga :

1. P A Q = I (melakukan OBE dan OKE terhadap A)

2. P A = I (hanya melakukan OBE terhadap A)

3. A Q = I (hanya melakukan OKE terhadap A)