Distribusi Porbabilita

1Distribusi Probabilita2Distribusi ProbabilitaDistribusi Probabilita adalah semua peristiwa yang dapat terjadi dengan persentase terjadinya peristiwa tersebut atau fungsi yang memetakan peristiwa dasar dari suatu ruang sampel (R) ke nilai numerik (X).Variabel acak (random variable) adalah nilai numerik yang ditentukan dari hasil terjadinya suatu peristiwa atau probabilita yang terdistribusi menurut nilai-nilai kemungkinan. 3Variabel AcakContoh 1 :a. 1 coin dilempar R = { G , A } X = peristiwa banyaknya sisi Angka yang muncul = { 0, 1 }

b. Sebuah dadu dilempar sekali R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } X = banyaknya mata dadu yang muncul = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

R XG 0A 14c. Pengamatan terhadap tamu di hotel Ambruk X = lamanya menginap (hari) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, }d. Pengamatan terhadap tabungan di Bank Collaps X = saldo tabungan = { x | x > 0}

Berdasarkan contoh di atas, variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit (a,b,c,d,e) dan variabel acak kontinu (f)

5 VARIABEL ACAKVariabel acak Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.

Variabel acak kontinu Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval.6Perbedaan distribusi variabel acak yang diskrit dengan kontinusA Discrete distribution is based on random variables which can assume only clearly separated values.Discrete distributions studied include: Binomial Hypergeometric Poisson.A Continuous distribution usually results from measuring something.

Continuous distributions include: Eksponensial Normal Uniform Others7

Distribusi Probabilita Diskrit Total probabilitas dari seluruh kemungkinan hasil adalah 1.00.Probabilitas suatu hasil percobaan adalah antara 0 dan 1.00.Hasil percobaan (outcomes) adalah mutually exclusive.Jumlah Mahasiswa dalam satu kelasJumlah anak dalam keluargaJumlah mobil yang datang ke tempat cuci mobil

rata-rata (mean) Nilai mean distribusi probabilitasRata-rata nilai variabel randomKadang kala disebut sebagai nilai harapan (expected value), E(X), dalam distribusi probabiltasDimana m adalah mean distribusi probabilitas

Varians distribusi probabilitas diskritVariansMengukur persebaran (variasi) dari distribusiDilambangkan oleh huruf latin 2 (sigma squared)Standard deviasi adl akar dari 2.

# rumah yg dicat# mingguPersentase perminggu10525 (5/20)11630 (6/20)12735 (7/20)13210 (2/20)Total %100 (20/20)Dan Desch, adalah pemilik College Painters, mencatat pekerjaan pengecatan rumah selama 20 minggu yang lalu dan mendapatkan hasil pengecatan rumah setiap minggunya.

# Rumah yg dicat (x)ProbabilitasP(x)x*P(x)10.25 2.511.303.312.354.213.101.3m =11.3Rata-rata rumah yang dicat setiap minggu# rumah yg dicat (x)ProbabilitasP(x)(x-m)(x-m)2

(x-m)2 P(x)10.2510-11.31.69.42311.3011-11.3.09.02712.3512-11.3.49.17113.1013-11.32.89.289s2 =.910

Varians jumlah rumah yang dicat per minggu nya13Distribusi Probabilita BinomialSeringkali dalam suatu percobaan menghasilkan dua hasil alternatif seperti siang-malam, gambar-angka, sakit-sehat, baik-buruk, cacat-tdk cacat, sukses-gagal, dll

14Ciri-ciri percobaan binomial :

Percobaan dilakukan atas n ulanganSetiap ulangan hasilnya digolongkan menjadi dua yaitu sukses dan gagalProbabilita peristiwa sukses (p) untuk setiap ulangan sama atau tidak berubah.Antara ulangan yang satu dan ulangan yang lain bersifat bebas.

Probabilita gagal (q) = 1 p sukses disini berarti salah satu hasil yang sedang diperhatikan akan muncul.Misalkan : sukses = sisi angka yang muncul sukses = sisi cacat yang muncul15Nilai Harapan distribusi Binomial

= E (X) = x P(x) = n p

Varians dan Deviasi standar : Varians : 2 = n p q Deviasi std : = n p q

X = banyaknya peristiwa sukses yang memilki prob. p dari percobaan binom dengan n ulangan16Rumus Binomial

17Contoh soalThere are five flights daily from Pittsburgh via US Airways into the Bradford, Pennsylvania, Regional Airport. Suppose the probability that any flight arrives late is .20. What is the probability that none of the flights are late today? 18jawaban

19Distribusi PoissonDistribusi Poisson merupakan distribusi variabel acak yang hasil percobaannya terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Distribusi ini secara luas banyak dipakai terutama dalam proses simulasi, seperti proses kedatangan, proses antrian dll.

Untuk x=1, 2, 3, Dimana adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2,7182820Distribusi PoissonPercobaan Poisson memiliki ciri-ciri sbb :

Banyaknya hasil percobaan yg terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak bergantung pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

Probabilita terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sebanding dengan panjang selang waktu tsb.

Probabilita bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil dapat diabaikan.21Contoh Soal 1 Seorang sekretaris rata-rata melakukan kesalahan ketik 2 huruf setiap halaman yang diketik. Berapa probabilita bahwa pada halaman berikutnya ia membuat kesalahan :a. Definisikan variabel acak X ?b. Tepat 3 huruf,c. Kurang dari 3 hurufd. Lebih dari 2 huruf22JawabanX = banyaknya kesalahan ketik

b. P(X=3) = 0,180c. P(X2) = 1 0,675 = 0,32523Distribusi poissonMempunyai karakteristik yang sama dengan distribusi binomial, namun mempunyai :total seluruh kejadian (percobaan) yang sangat besar (50 atau lebih), serta probabilita hasil kejadian yang sangat kecil (0,1 = 10 persen atau lebih kecil)24Dist. Poisson dpt pula digunakan untuk kasus percobaan binomial, p kecil n besar.Contoh soal 2.Secara rata-rata, 1 diantara 1000 orang terkena penyakit asam urat. Hitung probabilita bahwa dari sampel acak sebanyak 8000 orang, terdapat paling banyak 2 orang terkena penyakit asam urat.

25jawabann = 8000 p = 0,001 = np = 8

P(X0) memiliki rumus distribusi probabilita eksponensial sbb:

: rata-rata kedatangan/kejadian per satuan waktu (yang sama dengan pd dist poisson)t: selang waktu sampai munculnya kedatangan/kejadian berikutnyae: nilai 2.71828 dengan distribusi kumulatif:

Dengan rata2 (1/) dan std. deviasi (1/2)

t > 0

t > 050Contoh 1Waktu pelayanan bagi seorang nasabah yang datang ke bank BEN mempunyai bentuk distribusi eksponensial. Jika rata-rata waktu untuk melayani seorang nasabah yang datang ke bank BEN oleh kasir bank adalah 5 menit. Berapakah probabilita seorang nasabah harus menunggu lebih dari 10 menit sebelum dia memperoleh pelayanan?51Jawab:= (1/ ) = 5 = (1/5)= 0,2 (jumlah kejadian kedatangan nasabah per menit)P(T>10) = 1- P(T