Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd

PENGERTIAN DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang

menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang

berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.

Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi

hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada

distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan

pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan

sampel dilakukan tanpa pengembalian.

Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi

hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok

objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik memiliki kedua sifat berikut:

1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya,N – k,

diberi nama gagal

RUMUS DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Secara umum, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

Keterangan:

N = ukuran populasi

n = ukuran sampel

k = banyaknya unsur yang sama pada populasi

x = banyaknya peristiwa sukses

𝑃 𝑋 = 𝑥 = ℎ 𝑥;𝑁, 𝑛, 𝑘 =𝐶𝑥𝑘𝐶𝑛−𝑥

𝑁−𝑘

𝐶𝑛𝑁

Distribusi hipergeometrik dapat diperluas, seperti berikut ini.

Jika dari populasi yang berukuran N terdapat unsur-unsur yang sama,

yaitu 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, … ,𝑘𝑛 dan dalam sampel berukuran n terdapat unsur-

unsur yang sama pula, yaitu 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛dengan 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + …+

𝑘𝑛 = 𝑁 dan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + …+ 𝑥𝑛 = 𝑛 , distribusi hipergeometrik

dirumuskan:

𝑃 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 =𝐶𝑥1𝑘1𝐶𝑥2

𝑘2 . . . 𝐶𝑥𝑛𝑘𝑛

𝐶𝑛𝑁

Contoh soal

1. Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4

bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah?

2. Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas,

diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa

bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, dan 3

mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang

mahasiswa, berapa probabilitas seorang mahasiswa memiliki

golongan darah A, 2 mahasiswa memiliki golongan darah B, dan 2

mahasiswa memiliki golongan darah O?

Penyelesaian:

1. Probabilitas dua bola pecah dari pengambilan 4 bola adalah

𝑁 = 50; 𝑛 = 4; 𝑘 = 5; 𝑥 = 2

𝑃 𝑋 = 2 =𝐶25𝐶4−2

50−5

𝐶450

=𝐶25𝐶2

45

𝐶450

=10 × 990

230.300

=9.900

230.300

= 0,043

2. Diketahui 𝑁 = 10; terdiri dari 𝑘1 = 2, 𝑘2 = 5, 𝑘3 = 3

𝑛 = 5; terdiri dari 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 2

𝑃 𝑋 = 1, 2, 2 =𝐶12𝐶2

5𝐶23

𝐶510

=2 × 10 × 3

252

=60

252

= 0,238

PERBEDAAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Pada pembahasan sebelumnya telah diungkapkan bahwa perbedaan

utama distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada

cara pengambilan sampelnya.

Pada distribusi hipergeometrik, probabilitas keberhasilan dalam setiap

pengambilan tergantung dari berapa banyak macam sampel dari

sebuah populasi dan tergantung sampel yang telah diambil.

CONTOH SOAL

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1

bola Putih. Berapa peluang:

a. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak

dengan pengembalian?

b. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa

pengembalian?

PENYELESAIAN

Karena pengambilan sampel pada soal a dilakukan dengan pengembalian berarti soal

a diselesaikan dengan distribusi binomial:

𝑝 =2

5; 𝑞 =

3

5; 𝑛 = 4; 𝑥 = 2

𝑃 𝑋 = 2 = 𝐶24 . 𝑝2 . 𝑞4−2

= 6 .2

5

4

.3

5

2

= 0,3456

Karena pengambilan sampel pada soal b dilakukan tanpa pengembalian berarti soal b

diselesaikan dengan distribusi hipergeometrik:

𝑁 = 5; 𝑛 = 4; 𝑘 = 2; 𝑥 = 2

𝑃 𝑋 = 2 =𝐶22𝐶4−2

5−2

𝐶45

=𝐶22𝐶2

3

𝐶45

=1 × 3

5

=3

5

= 0,60

RATA-RATA, VARIANS, DAN SIMPANGAN BAKU DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi hipergeometrik

ℎ 𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘 adalah:

Rata-rata = 𝜇 =𝑛𝑘

𝑁

Varians = 𝜎2 =𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1. 𝑛.

𝑘

𝑁1 −

𝑘

𝑁

Simpangan Baku = 𝜎 =𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1. 𝑛.

𝑘

𝑁1 −

𝑘

𝑁