chapter iii v skripsi

BAB III

METODE ANALISA DAN APLIKASI

III.1 Elemen Segitiga Isoparametrik dengan Tiga Node

Untuk keperluan analisa suatu continum yang berupa luasan, diperlukan pengambilan

elemen berupa elemen berbentuk luasan pula. Bagian ini akan membahas permasalahan yang

ada disekitar elemen segitiga dengan tiga node seperti matrik kekakuan elemen, Plain Strain

dan Plain Stress serta vektor-vektor gaya yang bekerja pada elemen. Secara terperinci hal-hal

yang disebutkan di atas akan ditinjau dalam sistem Koordinat Lokal, Global dan Sistem

Koordinat. Akan dibandingkan apakah keuntungan dan kerugian dalam penggunaan setiap

sistem koordinat yang dipakai.

III.1.1 Elemen Segitiga dengan Tiga Node

Perhatikan sebuah elemen segitiga dengan 3 node dalam gambar di bawah ini:

Gambar 3.1 Elemen segitiga dengan penomoran Lokal

Dalam urutan penomeran dilakukan dengan arah berlawanan dengan perputaran jarum

jam (CCW). Elemen segitiga dalam gambar diatas disebut elemen Isoprametrik.

Elemen Isoparametrik adalah elemen yang menggunakan koefisien interpolasi yang sama

antara fungsi displacement dan fungsi koordinat spasial.

Langkah 1 : Menentukan fungsi displacement

Koordinat lokal tiap dari tiap node dinyatakan dalam :

u = untuk arah horisontal

v = untuk arah vertikal

Universitas Sumatera Utara

koordinat lokal dalam kaitan dengan Koordinat Global dihubungkan lewat persamaan:

u ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y .....pers 3.1 (a)

v ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y .....pers 3.1 (b)

Kenakan syarat batas bahwa:

Pada x = x1 , dan u = u1 Pada x = x2 , dan u = u2 Pada x = x3 , dan u = u3

Pada persamaan 3.1 a diperoleh sistem persamaan linier berikut:

u1 = 1 + 2 x1 + 3 y1

u2 = 1 + 2 x2 + 3 y2 u3 = 1 + 2 x3 + 3 y3

Ketiga persamaan ini, dalam bentuk matriks ditulis sebagai :

3

2

1

33

22

11

3

2

1

1

1

1

yx

yx

yx

u

u

u

.....pers. 3.2

Atau {q1} = [ A1 ] {}

dimana {q1} = Matriks Displacement Horisontal Lokal

[ A1 ] = Matriks Absis Global

{} = Matriks Koefisien

Demikian pula, syarat batas:

Pada y = y1 , dan v = v1 Pada y = y2 , dan v = v2 Pada y = y3 , dan v = v3

Yang dikenakan pada persamaan 3.1 (b) diperoleh :

3

2

1

33

22

11

3

2

1

1

1

1

yx

yx

yx

v

v

v

Atau {q2} = [ A ] {} .....pers 3.3


Untuk selanjutnya yang akan diturunkan hanya untuk u saja, sedangkan untuk v diambil

analogi dengan hasil yang diperoleh dari u.

Dari persamaan 3.2 diturunkan :

{} = [ A1 ]-1

{q1} .....pers. 3.4

Dimana [ A1 ]-1

adalah invers dari matriks [ A1 ]

1

1

33

22

11

1_mindet

int

1

1

1

Adarianer

Adariajo

yx

yx

yx

A

331

221

111

1

1

1

ccc

bbb

aaa

A matriks ajoint .....pers. 3.4(a)

Dimana = dterminan dari matriks [ A1 ]

= (x2y3-x3y2) (x1y3-x3y1) + (x1y2-x2y1)

= 2 kali luas elemen segitiga

Catatan :

Ajoint dari satu matriks diperoleh dengan menghitung matrik kofaktor kemudian

transpose pada hasil dari matriks kofaktor tersebut

33

22

11

1

1

1

1

yx

yx

yx

A matriks kofaktornya adalah :

)()()(

)()()(

)()()(

12121221

13131331

23232332

xxyyyxyx

xxyyyxyx

xxyyyxyx

Transpose matriks ini (ubah baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris) diperoleh

121323

121323

122113312332

xxxxxx

yyyyyy

yxyxyxyxyxyx


Matriks diatas diubah menjadi:

321

3

321

21

ccc

bbb

aaa

Dimana :

a1 = x2 y3 - x3 y2 b1 = y2 - y3 c1 = x3 - x2

a2 = x3 y 1 - x1 y3 b2 = y3 - y1 c2 = x1 - x3

a3 = x1 y2 - x2 y1 b3 = y1 - y2 c3 = x2 - x1 ....pers. 3.5

Kembali kita tinjau persamaan 3.1(a) :

u = 1 + 2 x + 3 y

atau

3

2

1

1

yxu

atau yxu 1

Substitusikan {} dari persamaan 3.5 ke persamaan ini, dan akan dihasilkan :

11

11 qAyxu

....pers. 3.6

Dimana :

3

2

1

1

u

u

u

q

Demikian pula untuk v (ordinat lokal)

21

11 qAyxv

Dimana :

3

2

1

2

v

v

v

q

Tinjau kembali persamaan 3.6 dengan syarat substitusi [ A1]-1

dari persamaan 3.5 (a)

3

2

1

321

3

321

21

11

u

u

u

ccc

bbb

aaa

yxu


3

2

1

333222111

1

u

u

u

ycxbaycxbaycxbau

3

2

1

321

u

u

u

NNNu ....pers 3.7 (a)

3

2

1

321

v

v

v

NNNv ....pers 3.7 (b)

Dimana : ycxbaN 11111

ycxbaN 22221

ycxbaN 33331

Ni = shape function dari node ke-i

Gabungkan kedua persamaan 3.7 (a) dan 3.7 (b) diperoleh:

3

3

2

2

1

1

321

\321

2

1

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

N

N

....pers. 3.8

Dalam bentuk simbol ditulis:

{u}= [ N ] {q} .....pers 3.8 (a)

Langkah 2: Menurunkan persamaan Strain dan Energi Strain

Sebelum menurunkan persamaan srai dan energi Strain terlebih dahulu akan dibahas

defenisi dari Strain, Stress dan hubungan dari keduanya.

Anggap terjadi deformasi yang kecil pada suatu kontinum sejauh u, v dan w berturut-turut

pada arah sumbu x, y dan z.

Komponen longitudinal Strain pada masing-masing arah sumbu x,y dan z adalah:


xux

,

y

vy

z

wz

.....pers. 3.9

Shearing Strain masing-masing:

x

v

y

uxy

y

w

z

vyz

z

u

x

wzx

.....pers 3.10

Kedua persamaan 3.9 dan 3.10 ditulis dalam bentuk matriks menjadi :

w

v

u

xz

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

.....pers. 3.11

Gambar 3.2 Tensile Stress pada bidang x dalam arah sumbu x

Gambar 3.3 normal stress dan shear stress pada bidang x dan y

Untuk kasus uniaxial (lihat gambar 3.2) hubungan Stress-Strain adalah:


= E x ....pers. 3.11(a)

Dimana E = modulus elastisitas

Dalam kasus ini Strain dalam arah y dan z tidak sama dengan nol, tetapi y= z = -v x

Dimana v = poison ratio dari material

Plane Stress

Dalam kasus ini, komponen-komponen dari Normal Stress dan Shear Stress bekerja dalam

dua arah saja (tidak pada arah sumbu z) sehingga:

z = zx = zy = 0

Hubungan antara Stress dan Strain adalah :

yxx vv

E

)1( 2

xyy vv

E

)1( 2

xyxyxy Gv

E

)1(2

Persamaan konstitutif dalam bentuk matriks dibentuk dari persamaan di atas adalah:

xy

y

x

xy

y

x

vv

v

v

E

2

100

01

01

1 2 ....pers. 3.12

Atau dapat diringkas = c } ....pers. 3.12 a

Dengan = vektor stress/tegangan

c = matriks konstitusi untuk plane stress

= vektor strain/regangaN


Plane Strain

Gambar 3.4 Stress pada satu titik dalam kasus plane Strain

Hubungan Stress Strain dalam kasus ini adalah :

yxx vvvv

E

)1(

)21)(1(

yxy vvvv

E )1(

)21)(1(

)()21)(1(

yxyxz vvv

vE

xyxyxy Gv

E

)1(2

Hubungan-hubungan di atas dalam bentuk matrik ditulis sebagai

xy

y

x

xy

y

x

vvv

vv

vv

E

2

2100

01

01

)21)(1(

.....pers 3.13

Atau {} = [C] ( ) .....pers. 3.13 (a)

Dimana [C] adalah matriks konstituif untuk kasus plane Strain

Tinjau kembali persamaan 3.9 dan 3.10 dalam bentuk diferensial parsial

x

ux

,

y

vy

x

v

y

uxy

Ketiga persamaan ini dalam bentuk matriks:


v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

.....pers. 3.14

Substitusi

v

upersamaan 3.8 ke persamaan terakhir ini:

xy

y

x

xy

y

x

0

0

3

3

2

2

1

1

321

\321

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

.....pers. 3.15

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

000

000

v

u

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

xy

y

x

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

000

0001

v

u

v

u

v

u

bcbcbc

ccc

bbb

xy

y

x

.....pers. 3.16

Besarnya b dan c lihat persamaan 3.5

Ingat = x2y3- x3y2 x1y3 - x3y1 + x1y2 - x2y1

= 2 kali luas elemen segitiga

Dalam bentuk simbol dapat ditulis :

{ } = [ B ] { q } .....pers. 3.16(a)


Energi Strain

Energi Strain dari suatu continum dalam kasus perhitungan Plane Stre ss adalah:

dcU T }]{[}{2

1 .....pers. 3.17

Dimana adalah volume kontinum dan [c] dinyatakan dalam persamaan 3.43

Substitusi persamaan 3.16(a) ke persamaan 3.17 diperoleh :

dqBcBqU TT }]{][[][}{2

1 .....pers. 3.18

Diingatkan [A.B]T

= [B]T.[A]

T

Volume elemen d dalam persamaan 3.18 dapat diganti dengan

d = h. dA

dimana h = tebal elemen

dA = luas elemen

Masing-masing {q}T, [B]

T , [c], dan [B] dan {q} bukan fungsi luasan dA , sehingga matriks-

matriks tersebut dapat dikeluarkan dari tanda integral.

Persamaan 3.18 diubah menjadi:

A

TT dAhqBcBqU .}]{][[][}{2

1

Jadi Energi Strain dari satu elemen segitiga adalah:

AhqBcBqU TT .}]{][[][}{2

1

.....pers. 3.19

Dimana A= luas elemen =21 kali determinan

Langkah 3 : Menurunkan Fungsi Energi Akibat Pembebanan

Ada 3 jenis pembebanan yaitu :

1. Gaya terkonsentrasi pada node

2. Gaya terdistribusi sepanjang sisi elemen


3. Gaya berat dari elemen (body force)

Masing-masing jenis gaya tersebut di atas dijelaskan secara rinci sebagai berikut :

1. Gaya terkonsentrasi pada node (Node Force)

Energi potensial V akibat gaya F diberikan (dengan komponen Fx dan Fy) adalah :

V : - Fx u - Fy v .....pers. 3.20

Energi potensial dari node 1 yang dikenai gaya (dengan komponen Fx1 dan Fy1 )

adalah : V1 : - Fx1 u1 - Fy1 v1 .....pers. 3.21

Kembangkanlah persamaan ini untuk semua node pada elemen maka diperoleh energi

potensial akibat gaya terkonsentrasi pada node-node adalah:

T

NFNF qqV }{}{ .....pers. 3.22

Untuk elemen segitiga:

3

3

2

2

1

1

}{

y

x

y

x

y

x

NF

F

F

F

F

F

F

q

2. Gaya terdistribusi sepanjang sisi elemen

Gaya terdistribusi dapat berupa tiap satuan panjang sisi atau gaya tiap satuan luas

permukaan (disebut vektor stress traksi = T ). Contoh dari vektor stress traksi nampak

pada gambar 3.5 berikut ini:

Gambar 3.5 Contoh Stress Traksi

Gaya yang bekerja pada luasan dA adalah:


ndATFd .. traksigayaarahn

Energi potensial akibat gaya Fd adalah : (gunakan persamaan 3.21) adalah:

dAvTudATdV YxT

Dimana u dan v adalah komponen Displacement dai sembarang node pada elemen. Jika

h adalah tebal elemen pada gambar 3.5 maka:

dST

TvuV

y

x

s

T

][

Substitusi [ u v ] dari 3.8 (a) ke persamaan ini didapatkan :

dShT

TNqV

y

xT

s

T

T

]

Ditinjau kembali : [ A . B ]T = [B]

T. [A]

T

Karena {q}T

bukan fungsi dari S maka term ini dapat dikeluarkan dari integrasi,

sehingga persamaan akhir dapat ditulis sebagai :

dST

TNqhV

y

xT

s

T

T

] .....pers.3.23

3. Gaya berat dari elemen (Body Force)

Gaya yang dikenakan pada setiap massa elemen dari suatu kontinum disebut Body

Force. Salah satu contoh dari body force adalah gaya gravitasi. Satuan dari body force

adalah gaya/volume. Sebuah elemen yang dikenai gaya body Bx memiliki energi

potensial :

vdBuBddV yBF

dAhB

Bvu

y

x

dimana u dan v adalah Displacement sembarang node dalam elemen.


Dari persamaan terakhir diperoleh energi potensial sebesar :

dAB

BNqhV

y

xT

s

T

BF

] .....pers.3.24

Langkah 4 : Jumlah Energi

Jumlah energi dari sebuah elemen terdiri dari energi Strain U dan energi akibat pembebanan

(baik pembebanan tunggal pada node (VNF), energi dari body force (VBF) dan energi dari

gaya traksi (VT).

Jadi = U + VNF + VBF + VT

dAB

BNqhds

T

TNqh

F

F

F

F

F

F

qdqBcBqy

xT

A

T

y

xT

S

T

y

x

y

x

y

x

TT

][}{][}{}{}]{][[]}[{2

1

3

3

2

2

1

1

.....pers.3.25

Langkah 5: Penggunaan dari prinsip energi minimum

Pembebanan yang dihasilkan adalah

dAB

BNhds

T

TNh

F

F

F

F

F

F

v

u

v

u

v

u

dBcBy

xT

Ay

xT

S

y

x

y

x

y

x

T

][][]][[][

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

.....pers. 3.26


Atau [ k ] { q } = { Q }NF + { Q }T + { Q }BF .....pers. 3.26(a)

Dimana :

[ k ] = [B]T . [c] . [B] h. A adalah mariks kekakuan elemen (pers. 3.26(b))

{ q } = vektor displacement nodal elemen

{ Q }NF = vektor gaya pada node elemen

{ Q }T = vektor gaya resultan dari gaya terdistribusi pada sisi elemen

{ Q }BF = vektor gaya resultan dari distribusi body force

III.1.2 Elemen Segitiga dalam Sistem Koordinat Lokal

Sistem koordinat lokal hanya berlaku untuk titik-titik atau node pada elemen itu saja. Untuk

elemen segitiga, biasanya node 1 diambil sebagai titik asal sistem koordinat dan sumbu x

diambil pada sisi 1-2 dari elemen tersebut (lihat gambar berikut ini)

Gambar 3.6 Elemen Segitiga Dalam Sistem Koordinat Lokal

Langkah-langkah yang dilakukan seperti pada perhitungan dengan menggunakan Sistem

Koordinat Global.

Langkah 1: Menentukan fungsi Displacement

(perhatikan, tanda bar diatas x dan y menandakan Koordinat Lokal)

Substitusi syarat batas dalam persamaan ini, seperti juga pada perhitungan dengan Koordinat

Gloal diperoleh:


3

2

1

33

2

3

2

1

1

01

001

yx

x

U

U

U

Atau { q1 } = [ A1 ] {} .....pers. 3.27

Demikian pula untuk Displacement nodal v

13

2

1

Aq

v

v

v

.....pers. 3.28

Dari persamaan 3.27 yakni { q1 } = [ A1 ] {} maka

{ } = [ A1 ]-1

{q1} .....pers. 3.27(a)

Maka kofaktor dari [ A1 ] adalah

22

3

23332

0

00

xx

y

xxyyx

Transpose dari matriks terakhir ini disebut ajoint dari [ A1 ]

Ajoint [ A1 ] =

321

321

321

2223

33

32

0

00

ccc

bbb

aaa

xxxx

yy

yx

Dimana a1 = x2y3 a2 = 0 a3 = 0

b1= -y3 b2 = y3 b3=0

c1=x3-x2 c2 = - x3 c3 = x2

determinan = 2 kali luas segitiga = 2. . x2. y3

Dari persamaan 3.28 diperoleh :

{ } = [ A1]-1

{ q2} ...pers. 3.28(a)

11

1 int.det

1AajoA


Substitusi persamaan 3.27(a) dan 3.28 (a) ke persamaan 3.26 didapatkan:

3

3

2

2

1

1

21

321

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

v

u ...pers. 3.29

Dimana 32

23231

)()(

yx

xxyxxyN

32

332

yx

yxxyN

32

21

yx

yxN

Dalam bentuk simbolik persamaan 3.29 ditulis sebagai {u} = [ N ] {q} pers. 3.29(a)

Langkah 2 : Menurunkan Strain dan Energi Strain

Gunakan persamaan 3.46 dan 3.47

xy

y

x

xy

y

x

0

0

3

3

2

2

1

1

321

\321

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

substitusikan harga masing-masing Ni dari persamaaan 3.29 ke persamaan di atas, diperoleh :


3

3

2

2

1

1

233323

2323

33

320

000

00001

v

u

v

u

v

u

xyxyxx

xxxx

yy

yxxy

y

x

diringkas menjadi : { } = [ B ] { q } .....pers. 3.30

Langkah 2 : Menentukan Persamaan energi akibat pembebanan

Langkah ini seperti yang pernah dijelaskan. Hanya saja harus diadakan transformasi dari

Koordinat Global ke Koordinat Lokal. Untuk itu akan dijelaskan pada bagian berikutnya.

Langkah 4 : Penjumlahan energi yang timbul

Demikian pula untuk langkah 4 ini. Persamaan sebelumnya dapat dipakai, hanya saja

Koordinat Global yang dipakai harus ditransformasikan ke Koordinat Lokal

Langkah 5 : Penggunaan dari prinsip energi Minimum

Persamaan dapat dipakai dengan catatan bahwa semua koordinat dinyatakan dalam Sistem

Koordinat Lokal:

yxNFyxNFyxNFyxyxQQQqK }{}{}{}{][ .....pers.3.31

III.1.3 Transformasi Koordinat Lokal ke Global

Dari hasil pembahasan sebelumnya mengenai penggunaan Koordinat Global dan

penggunaan Sistem Koordinat Lokal dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks-matriks yang

disajikan dalam Sistem Koordinat Lokal mempunyai elemen-elemen matriks yang lebih

sederhana. Dengan alasan ini maka penggunaan Sistem Koordinat Global akan menimbulkan

round of error yang lebih besar dibandingkan dengan jika menggunakan Sistem Koordinat

Lokal.


Di pihak lain, jika suatu kontinum dibagi menjadi banyak elemen, maka setiap elemen

akan memiliki Sistem Koordinat Lokal yang hanya berlaku bagi dirinya sendiri. Hal ini tentu

akan memepersulit perhitungan karena akan melibatkan banyak Sistem Koordinat Lokal.

Untuk mengatasi hal ini perlu dilakukan transformasi dari Sistem Koordinat Lokal ke

global.

Matriks Transformasi Koordinat Global ke Lokal

cossin

sincosT

Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Global

cossin

sincos1T

yang merupakan invers atau Transpose dari matriks T

Catatan : Matriks T adalah Matriks Orthogonal sehingga T-1

=TT

Untuk merotasikan sebuah bar (dengan 2 node pada ujung-ujungnya) diperlukan

Matriks Transformasi berordo 4 x 4. Karena setiap node mempunyai 2 derajat kebebasan

yaitu x dan y.

Untuk merotasikan sebuah elemen segitiga, diperlukan transformasi sebanyak 2 x 3

derajat kebebasan sehingga diperlukan matriks berordo 6 x 6 . Jadi transformasi gaya pada

Sistem Koordinat Global dilakukan perhitungan sebagai berikut :

3

3

2

2

1

1

1

1

1

3

3

2

2

1

1

00

00

00

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

F

F

F

F

F

F

T

T

T

F

F

F

F

F

F

.....pers.3.32

Dimana

cossin

sincos1T .....pers.3.32(a)


Secara simbolik persamaan 3.32 ditulis

{ Q }xy = [ T1*] [ Q ] .....pers.3.32(b)

Untuk mentransformasikan matriks kekakuan

{ Q }xy = [ T1*] [ k ] [T1* ]T

.....pers.3.33

III.1.4 Gabungan/ Assemblage Elemen

Perhatikan suatu continum yang dibagi menjadi 2 buah elemen segitiga dalam gambar berikut

ini :

Gambar 3. 7 Penggabungan 2 buah Elemen Segitiga [Dasar-dasar metode Elemen Hingga,

Yerri Susatio, 2004]

Elemen 1 : Berbatas node 1, 4 dan 3

Elemen 2 : Berbatas node 1, 2 dan 3

Node 1 : Diberi nomor 1 untuk Displacement datar global

Diberi nomor 2 untuk Displacement tegak global







Matriks kekakuan Global adalah gabungan dari matriks kekakuan elemen-elemen penyusun

dengan memperhatikan urutan di atas. Matriks kekakuan global berukuran 8 x8.


Perhatikan matrik berukuran 8 baris x 8 kolom pada halaman berikutnya. Yang

diarsir tegak adalah matriks kekakuan elemen 2, sedangkan elemen 1 diwakili oleh elemen-

elemen matriks dengan baris dan kolom bernomor 1,2,5,6,7,8 (diarsir datar).

Daerah yang diarsir tegak maupun datar (daerah overlap) berarti jumlah dari dua

elemen atau dengan kata lain terdapat node-node yang sama yang juga dipakai oleh kedua

elemen. Dalam gambar 3.17 diatas, ode global 1, 2, 5, dan 6 (lihat matriks dibawah) kedua

sub matrik diarsir baik datar maupun tegak.

III.1.5 Elemen Segitiga dalam Koordinat Natural

Jika sebelumnya telah dibahas tentang penggunaan Sistem Koordinat Lokal dan

Global, serta hubungan antara Sistem Koordinat Lokal-Global atau sebaliknya.

Bagian ini akan membahas tentang penggunaan sistem Koordinat Natural dalam menyatakan

fungsi Displacement. Elemen segitiga yang dianalisa, bersifat Isoparametrik. Artinya

koefisien-koefisien dari fungsi Displacement, sama dengan koefisien-koefisien yang dipakai

dalam fungsi koordinat spasial/Shape function. Tahapan yang dilakukan dalam analisa

dengan Sistem Koordinat Natural diperinci sebagai berikut :


Langkah 1 : Pemilihan Fungsi Displacement

Fungsi Displacement nodal dinyatakan dalam Koordinat Natural adalah:

u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3

v = L1 v1 + L2 v2 + L3 v3 .....pers.3.34

mengingat bahwa L1 + L2 + L3 = 1 maka persamaan 3.34 dapat dinyatakan sebagai:

u = L1u1 + L2u2 + ( 1 - L1 - L2 ) u3

v = L1v1 + L2v2 + ( 1 - L1 - L2 ) v3 .....pers.3.34 (a)

Dengan pertimbangan bahwa elemen yang diambil bersifat Isoparametrik, maka fungsi

koordinat spasial, dapat dinyatakan sebagai :

x = L1 x1 + L2 x2 + L3 x3 .....pers.3.35

atau

x = L1 x1 + L2 x2 + ( 1 - L1 - L2 ) x3 .....pers.3.35 (a)

dan = L1y1 + L2y2 + ( 1 - L1 - L2 ) y3 .....pers.3.35 (b)

Gambar 3. 8 Elemen Segitiga dalam Koordinat Global dan Koordinat Natural

Perhatikan dalam gambar 3. 8 diatas, bahwa L1 dinyatakan dalam arah tegak lurus sisi

1, L2 dinyatakan dalam arah sisi 2, dan L3 dinyatakan dalam arah tegak lurus pada sisi 3.

Langkah 2 : Penurunan Strain Elemen

Dari persamaan 3.34(a) dan persamaan 3.35 dapat dihitung besarnya :


.......,.........,.......,.........,2121 L

x

L

xdan

L

u

L

u

Turunkan persamaan 3.34(a) terhadap L1 diperoleh :

111 L

y

y

u

L

x

x

u

L

u

.....pers.3.36

Turunkan persamaan 3.34(a) terhadap L2 diperoleh :

222 L

y

y

u

L

x

x

u

L

u

.....pers.3.37

Susun kembali kedua persamaan 3.36 dan 3.37 menjadi satu sistem persamaan simultan:

111 L

y

y

u

L

x

x

u

L

u

.....pers 3.38

222 L

y

y

u

L

x

x

u

L

u

dalam bentuk matriks persamaan 3.38 ditulis sebagai :

y

ux

u

L

x

L

x

L

y

L

x

L

u

L

u

22

11

2

1 .....pers 3.39

Hitung besar elemen-elemen matriks [ Q ] dengan menurunkan persamaan 3.35(a) dan

persamaan 3.35(b)

,311

xxL

x

,32

2

xxL

x

,311

yyL

y

,32

2

yyL

y

Elemen-elemen matriks [ Q ] diperoleh dari meurunkan persamaan 3.34 (a) terhadap L1 dan

L2.


,311

uuL

u

,32

2

uuL

u

Substitusikan harga-harga ini ke dalam persamaan 3.39 (a), didapatkan :

y

ux

u

yyxx

yyxx

uu

uu

3232

3131

32

31 maka :

32

31

3232

31311

uu

uu

yyxx

yyxx

jy

ux

u

.....pers. 3.40

Dimana j = determinan Jacobian

= (x1-x3) (y2-y3) - (x2-x3) - (y1-y3)

Ubah bentuk

32

31

uu

uu menjadi

3

2

1

32

31

110

101

u

u

u

uu

uudan substitusikan ke persamaan 3.40

3

2

1

123123

2113321

u

u

u

xxxxxx

yyyyyy

j

x

ux

u

.....pers. 3.41

Hal yang sama berlaku untuk displacement v, diperoleh persamaan yang sama seperti 3.41

3

2

1

123123

2113321

v

v

v

xxxxxx

yyyyyy

j

x

vx

v

.....pers. 3.41

Gabungkan kedua persamaan 3.40 dengan persamaa 3.41, dan akan diperoleh :


3

3

2

2

1

1

2\11213313223

123123

211332

000

0001

v

u

v

u

v

u

yyxxyyxxyyxx

xxxxxx

yyyyyy

j

x

v

y

u

y

vx

u

Dalam bentuk simbol ditulis:

{ } = [ B ] { g }

Perhatikan kembali persamaan 3.12 dan persamaan 3.28. Kedua persamaan tersebut

dan persamaan 3.41 menyatakan hal yang sama. Disimpulkan bahwa pernyataan strain dalam

bentuk sistem koordinat adalah sama.

Energi Strain U telah dituliskan dalam persamaan 3.

U = {g}T

[B]T [c] [B] {g} h A

[K] = [B]T [c] [B] hA

Matriks [K] adalah matriks kekakuan dari elemen

Langkah 3: Menentukan Gaya Nodal Ekuivalen

Gaya Nodal : (gaya yang bekerja pada node-node elemen)

3

3

2

2

1

1

Fy

Fx

Fy

Fx

Fy

Fx

Q NF .....pers. 3.42

Gaya terdistribusi pada sisi elemen

dsT

TNhQ

y

xT

S

T

}{ .....pers. 3.43

Gaya body terdistribusi :

dBB

NhQy

xT

A

BF}{ .....pers. 3.44


Dimana { Q }T dan { Q }BF adalah vektor kolom berorde 6x1

Persamaan 3.32 (a) dalam bentuk lain dapat ditulis dengan

3

3

2

2

1

321

321

1

000

000

v

u

v

u

v

u

LLL

LLL

v

u .....pers. 3.45

Ingat L1 + L2 + L3 = 1 dan matriks [N] disebut juga Matriks Shape Function

Persamaan 3.45 dalam bentuk simbol ditulis :

{ U } = [ N ] {q}

Dalam kaitan dengan Koordinat Natural, persamaan 3.73 ditulis sebagai.

dsTy

Tx

L

L

L

L

L

L

hQS

T

4

4

3

3

1

1

0

0

0

0

0

0

.....pers. 3.43 (a)


III.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik

Pernyataan umum untuk matriks kekakuan dari semua bidang tebal h dalam metode

elemen hingga adalah :

dABCBhKT

A

.....pers. 3.44

Untuk elemen quadrilateral, matriks [ B ] dari suatu elemen tidak lagi merupakan

konstanta yang dapat dikeluarkan dari integrasi, karena kedua matrik tersebut masih

merupakan fungsi dari Koordinat Natural s dan t. Kesulitan yang akan dihadapi adalah dalam

menghitung integral.

Ada tiga hal yang perlu untuk mendapatkan perhatian dalam menganalisa jenis elemen ini:

1. Koordinat natural dari elemen Quadrilateral

2. Koefisien dari fungsi interpolasi (shape function) untuk elemen ini

3. Integrasi numerik dari perkalian dari [B]T [C] [B] untuk seluruh luasan elemen.

III.2.1 Koordinat Natural dari Elemen

Elemen Quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini:

Gambar 3. 9 Elemen Quadrilateral

Penomeran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam (CCW). Dua sumbu

Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Dalam gambar disamping,

akan ditentukan Koordinat Natural dari ke empat node dari elemen tersebut. Untuk itu

perhatikan gambar berikut ini.


t

4 3

(-1,1) (1,1)

1 2

(-1,-1) (1,-1)

Gambar 3.10 Koordinat Natural untuk Elemen Quadrilateral

Dalam sistem koordinat natural, ke empat node dari elemen dinyatakan dalam (s,t) seperti

nampak pada gambar 3. 9. Diingatkan kembali bahwa kedua sumbu koordinat ini tidak harus

tegak lurus.

Fungsi interpolasi atau fungsi Displacement dakam arah x dan y adalah :

u (s,t) = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 + N4 u4

v (s,t) = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3 + N4 v4 ....pers. 3.45

Untuk koordinat Global:

x (s,t) = N1 x1 + N2 x2 + N3 x3 + N4 x4

y (s,t) = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 + N4 y4 ....pers. 3.46

Besarnya Shape Function untuk setiap node (diperoleh dari interpolasi Lagrange) adalah :

4

)1).(1(1

tsN

4

)1).(1(2

tsN

4

)1).(1(3

tsN

4

)1).(1(4

tsN

....pers. 3.46(a)

Catatan N1 + N2 + N3 + N4 =1 artinya jumlah shape function dari suatu titik = 1

III.2.2 Strain Elemen Matriks Displacement

Gunakan kembali persamaan 3.45 dan 3.46 untuk menghitung Strain dari Elemen

Quadrilateral.


sy

y

u

s

x

x

u

s

u

t

y

y

u

t

x

x

u

t

u

....pers. 3.47

Kedua persamaan yang terdapat pada 3.47 dalam bentuk matriks ditulis :

y

ux

u

s

y

s

xs

y

s

x

t

us

u

....pers. 3.47(a)

Maka :

t

ux

u

s

x

s

xs

y

t

y

Jy

ux

u

1 ....pers. 3.47(b)

Dimana : J = Determinan Jacobian

=

s

y

t

x

t

y

s

x

Diferensialkan persamaan 3.45 terhadap s:

44

33

22

11 x

s

Nx

s

Nx

s

Nx

s

N

s

x

1

4

1

xs

N

s

x

i

i

....pers. 3.48

Demikian pula untuk s

y

,

t

x

,

t

y

i

i

i ys

N

s

y

4

1

....pers. 3.48(a)

ii

i xt

N

t

x

4

1

....pers. 3.48(b)

ii

i yt

N

t

y

4

1

....pers. 3.48(c)


Turunan dari masing-masing Shape Function terhadap s dan t menghasilkan persamaan-

persamaan berikut ini:

)1(4

11 ts

N

, )1(

4

11 ts

N

)1(4

12 ts

N

)1(

4

12 st

N

)1(4

13 ts

N

)1(

4

13 st

N

)1(4

14 ts

N

)1(

4

14 st

N

....pers. 3.49

Determinan Jacobian J dihitung sebagai berikut:

s

y

t

x

t

y

s

xJ

i

i

ii

i

ii

i

ii

i

i ys

Nx

t

Ny

t

Nx

s

N

4

1

4

1

4

1

4

1

jii

j

iii

i

xt

N

s

N

s

N

t

Ny )({

44

....pers. 3.50

Dalam bentuk matrik, persamaan 3.49 ditulis sebagai

4

3

2

1

4321

x

x

x

x

ayyyyJ ....pers. 3.50 (a)

Dimana [ a ] adalah matrik yang elemen-elemennya memenuhi persamaan:

))(())((t

N

s

N

s

N

t

Na

jiji

ji

....pers. 3.50 (b)

Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matrik [ a ] masing adalah:

0))(())(( 111111

t

N

s

N

s

N

t

Na


)1(8

1)}1(

4

1)}{1(

4

1{)}1(

4

1)}{1(

4

1{))(())(( 2121

21tstts

t

N

s

N

s

N

t

Na

)(8

1))(())(( 3131

31st

t

N

s

N

s

N

t

Na

)1(8

1))(())(( 4141

41

s

t

N

s

N

s

N

t

Na

Demikian seterusnya untuk semua elemen matriks [ a ]. Disimpulkan matrik [ a ] adalah :

0)1(1

10)1(

)(101

110

8

1][

ttss

tsts

stst

sstt

a ....pers. 3.51

Lihat kembali persamaan 3.47 (b). Dari persamaan tersebut, tinjau pada bagian:

][1

t

u

s

y

s

u

t

y

Jx

u

(a)

Dari persamaan 3. 44 dapat ditentukan

ii

i

us

N

s

u

4

1

, ii

i

ut

N

t

u

4

1

sedangkan t

y

dan

s

y

Diperoleh dari persamaan 3. 48 (a) dan persamaan 3.48 (c)

Substitusikan: s

u

,

t

u

,

t

y

,

s

y

ke persamaan (a) diperoleh:

})({1 4

1

4

1

j

jijii

ii

ut

N

s

N

s

N

t

Ny

Jx

u

Dalam bentuk matriks ditulis :

x

u

u

u

u

yyyyJx

u

3

3

2

1

4321

1 ....pers. 3.52

Bagian kedua dari persamaan 3.47(b) adalah :


)])(())([(1

t

u

s

x

t

u

t

x

Jy

u

})({1 4

1

4

1

j

jijii

ii

ut

N

s

N

s

N

t

Nx

Jy

u

Dalam bentuk matrik, persamaan terakhir ini ditulis sebagai

x

u

u

u

u

axxxxJy

u

4

3

2

1

4321

1 ....pers. 3.53

Untuk Displacement ke arah vertikal ( = v ), persamaan 3.47(b) di ubah menjadi

(Ganti semua u dengan v)

t

vs

v

s

x

t

xs

y

t

y

Jy

vx

v

1 ....pers. 3.54

Dari persamaan tersebut, ditulis :

)])(())([(1

t

v

s

y

s

v

t

y

Jx

v

4

3

2

1

4321

1

v

v

v

v

ayyyyJ

....pers. 3.54(a)

Dari persamaan 3.47 (b) juga diperoleh:

)])(())([(1

t

v

s

x

s

v

t

x

Jx

v


y

v

v

v

v

axxxxJ

4

3

2

1

4321

1

....pers. 3.54(b)

Diingatkan kembali tentang defenisi dari Strain :

xy

y

x

dimana x

v

y

uxy

Ambil y

u

dari persamaan 3.51 da ambil

x

v

dari persamaan 3.52 kemudian jumlahkan, maka

didapatkan :

4

3

2

1

4321

4

3

2

1

4321 ][1

][1

v

v

v

v

ayyyyJ

u

u

u

u

axxxxJx

v

y

uxy

Sehingga

}]{[][

4

4

3

3

2

2

1

1

qB

v

u

v

u

v

u

v

u

B

xy

y

x

....pers. 3.55

Dari persamaan 3.50 berikut ini akan dihitung berapakah harga dari B1j ?

j

i

j ayJ

B 1

4

1

1)12(,1

1

dimana j =1, 2, 3, 4 ....pers. 3.56(a)

B1,j = 0 untuk j = 2, 4, 6, 8 ....pers. 3.56(b)


Dengan kata lain ; B1,genap = 0

Dari persamaan 3.53 diperoleh:

j

i

j axJ

B 1

4

1

12,2

1

dimana j = 1, 2, 3, 4 .....pers. 3.56(c)

B2,j = 0 untuk j = 1, 3, 5, 7 ....pers. 3.56(d)

Dengan kata lain B2,gasal = 0

Dari persamaan 3.51 dan 3.52 diperoleh

B3,j = B2,(j +1) untuk j = 1, 3, 5, 7 ....pers. 3.56(e)

= B1,(j -1) untuk j = 2, 4, 6, 8 ....pers. 3.56(f)

Agar penulisan lebih sederhana, diadakan peringkasan sebagai berikut :

xm, n = xm - xn dan

ym, n = ym - yn

maka elemen-elemen matriks [ B ] dinyatakan sebagai berikut :

)(8

13243243211 ytysy

JBB

)(8

11434313413 ytysy

JBB

)(8

12321423615 ytysy

JBB

)(8

12321133817 ytysy

JBB

)(8

12334423122 xtxsx

JBB

)(8

14143133324 xtxsx

JBB

)(8

11421243526 xtxsx

JBB


)(8

13212313728 xtxsx

JBB ....pers. 3.56(g)

Dimana,

4

3

2

1

4321

0)1(1

10)1(

)(101

110

8

1

y

y

y

y

ttss

tsts

stst

sstt

xxxxJ ....pers. 3.56(h)

Sehingga diperoleh Matriks Kekakuan :

dABEBhKT

A

; atau ....pers. 3.57 (a)

dsdttsJtsBEtsBhKT

),(),(),(

1

1

1

1

....pers. 3.57(b)

Formula di bawah untuk integral numerik Gauss 2x2 titik :

),(),(,(

),(),(,(

),(),(,(

),(),(,(

22222222

12121212

21212121

11111111

tsJtsBEtsBwhw

tsJtsBEtsBwhw

tsJtsBEtsBwhw

tsJtsBEtsBwhwK

T

T

T

T

....pers. 3.58


BAB IV

HASIL & PEMBAHASAN

IV.1 Umum

Perhitungan secara manual dengan Metode Elemen Hingga adalah suatu metode

perhitungan yang mengaplikasikan sistem matriks dalam perhitungannya. Dimana dalam

analisanya dikenal dua metode utama yaitu Metode Kekakua langsung ( Direct Stiffness

Method/Displacement Method ) dan Metode Fleksibilitas (Flexibility Method/Force Method).

Metode Kekakuan Langsung merupakan metode yang didasarkan pada konsep

kekakuan (stiffness) dan displacement (translasi dan rotasi) adalah sebagai variabel utama

yang tidak diketahui dan dicari lebih dulu. Kemudian respon struktur lainnya yaitu reaksi

tumpuan dan gaya-gaya dalam (gaya aksial, momen lentur, momen torsi dan gaya geser) akan

diselesaikan kemudian. Secara berurutan, persamaan-persamaan yang digunakan dalam

formulasi adalah persamaan aksi-deformasi, persamaan keseimbangan dan persamaan

kompatibilitas. Pada Metode Fleksibilitas, gaya (reaksi tumpuan dan gaya-gaya dalam)

merupakan variabel utama yang tidak diketahui dan dicari lebih dulu.

Secara berurutan persamaan yang digunakan dalam formulasi adalah persamaan aksi-

deformasi, persamaan kompatibilitas dan persamaan keseimbangan.

Dalam perhitungan kali ini, Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)

adalah formulasi yang digunakan. Secara singkat dan berurutan, prosedur perhitungan yang

harus ditempuh adalah:

1. Semua kekakuan elemen (dalam bentuk matriks kekakuan) dievaluasi sesuai dengan

hubungan antar aksi dan deformasi dengan referensi koordinat lokal elemen

tersebut.

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke sistem koordinat global.


3. Matriks kekakuan elemen-elemen (dalam koordinat global) disuperposisikan

(dengan mempertimbangkan kompatibilitas) menjadi matriks kekakuan struktur.

4. Berdasarkan pembebanan yang bekerja, disusun vektor gaya dengan referensi

koordinat global.

5. Kondisi batas displacement paa titik-titik nodal tumpuan maupun kondisi batas

gaya pada titik-titik nodal bebas diformulasikan dalam bentuk vektor displacement

dan vektor gaya. Selanjutnya digunakan kondensasi statis untuk memperoleh

matriks kekakuan (stiffness matrix) struktur tereduksi.

6. Matriks kekakuan struktur yang telah tereduksi tersebut memberikan persamaan

keseimbangan struktur yang solusinya menghasilkan displacement di setiap titik

nodal. Selanjutnya, reaksi di setiap titik nodal tumpuan dapat diperoleh.

7. Tahap terakhir adalah penghitungan gaya-gaya dalam dan tegangan-tegangan dalam

untuk setiap elemen.


Adapun data-data yang dipergunakan dalam analisa ini adalah sebagai berikut :

1. Panjang bentang L = 10 meter = 1000 cm

2. Lebar bentang h = 2 meter = 200 cm

3. Tebal balok t = 20 cm

4. Beban Horizontal PI= 50 ton= 500 KN= 500000N

PII = 50 ton= 500 KN = 500000N

E = 21 x 10 6

N/cm2 ; v = 0,3

5. Perletakan jepit-jepit

200 mm

2000 mm

1000 mm

P = 500KN P = 500KN


Total nilai K

380769231 75000000 -57692308 -5769230,8 0 -75000000 -323076923 5769230,8

75000000 943269231 5769230,8 -20192308 -34615385 0 -5769230,8 -923076923

-57692308 5769230,8 380769231 -75000000 0 -5769230,8 0 75000000

K =

-5769230,8 -20192308 -75000000 943269231 -34615385 -923076923 75000000 0

0 -34615385 0 -34615385 57692308 34615385 -57692308 34615385

-75000000 0 -5769230,8 -923076923 34615385 943269231 5769230,8 -20192308

-323076923 -5769230,8 0 75000000 -57692308 5769230,8 380769231 -75000000

5769230,8 -923076923 75000000 0 34615385 -20192308 -75000000 943269231

Setelah diperoleh nilai K kemudian akan disusun Matriks Kekakuan Gabungan untuk 80

Elemen Segiempat atau 99 titik global, seperti yang terdapat di dalam Lampiran 3

Rumus :

Gaya = Matriks Kekakuan x Perpindahan

Atau { F } = [ K ] {d}

Selanjutnya akan dicari besarnya perpindahan yang terjadi adalah :

{d} = [ K ]-1

x { F }

Sehingga akan diperoleh besarnya perpindahan u dan v untuk setiap titik global.

Besarnya perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segiempat dengan 99

titik global adalah :

di titik 20 (titik tinjau 1) diperoleh :

u = -0,07100814 cm dan

v = 0,0102564

dititik 56 (titik tinjau 2) diperoleh :

u = -0,0764021 cm dan

v = 0,0124371 cm


IV. 3 Elemen Segiempat (Linear Quadrilateral)

KOORDINAT GLOBAL

91

1 2 11 12 21 22 31 32 41 42

3

2 19 20 37 38 55 56 73 74

21

100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm

25 cm

1000 cm

22 39 40 57 58 75 76 92 4

17 35 36 53 54 71 72 89 90 99 18

15 33 34 51 52 69 70 87 88 98 166

13 31 32 49 50 67 68 85 86 97 14

11 29 30 47 48 65 66 83 84 96 12

9 27 28 45 46 63 64 81 82 95 10

7 25 26 43 44 61 62 79 80 94 8

5 23 24 41 42 59 60 77 78 93 6

25 cm

25 cm

25 cm

25 cm

25 cm

25 cm

25 cm


IV. 5 Grafik dan Perbandingan

Secara Eksak Elemen Segitiga Elemen Segitiga Keterangan Titik tinjau

1 = -0,064285178 cm 1 = -0,087057419 cm 1 = -0,071008140 cm

= titik 12

= titik 20

2 = -0,064285178 cm 2 = -0,085233640 cm 2 = -0,07640210 cm

= titik 30

= titik 56

Grafik Perbandingan

: secara eksak

: elemen segiempat

: elemen segitiga

0

-0,064285178 -0,064285178

00

-0,087057419 -0,08523364

00

-0,07100814

-0,0764021

0

-0,12

-0,115

-0,11

-0,105

-0,1

-0,095

-0,09

-0,085

-0,08

-0,075

-0,07

-0,065

-0,06

-0,055

-0,05

-0,045

-0,04

-0,035

-0,03

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

2,5E-16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0-0,064285178 -0,064285178

00

-0,087057419 -0,08523364

00

-0,07100814-0,0764021

0

-0,12-0,115

-0,11-0,105

-0,1-0,095

-0,09-0,085

-0,08-0,075

-0,07-0,065

-0,06-0,055

-0,05-0,045

-0,04-0,035

-0,03-0,025

-0,02-0,015

-0,01-0,005

2,7E-16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 KESIMPULAN

1. Dalam tugas akhir ini dibuat suatu verifikasi yang digunakan untuk membandingkan

hasil-hasil yang didapat dari perhitungan manual dan program Exel. Besarnya

perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segitiga yakni 80 elemen dengan

55 titik global adalah : di titik 12 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,087057419 cm dan v =

0,191331061 cm dan di titik 32 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,08523364 cm dan v =

0,2201640 cm. Sedangkan untuk pembagian dengan Elemen Segiempat dengan 99 titik

global adalah : di titik 20 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,07100814 cm dan v = 0,0102564

dan dititik 56 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,0764021 cm dan v = 0,0124371 cm

Secara Eksak Elemen Segitiga Elemen SegiEmpat Keterangan Titik tinjau

1 = -0,064285178 cm 1 = -0,087057419 cm 1 = -0,071008140 cm

= titik 12

= titik 20

2 = -0,064285178 cm 2 = -0,085233640 cm 2 = -0,07640210 cm

= titik 30

= titik 56

Grafik Perbandingan

: secara eksak : elemen segiempat : elemen segitiga


2. Sedangkan dengan perhitungan secara eksak akan diperoleh perpindahan akibat gaya 1 =

-8,035178 x 10-2 dan perpindahan akibat momen 2 = -5,62500 x 10-2. Sehingga besarnya

diperoleh adalah 1 - 2 = -6,4285178 x 10-2

atau -0,064285178 cm

3. Adapun selisih antara setiap Elemen dengan nilai Eksak adalah :

Selisih dengan Elemen Segitiga

Titik tinjau 1 = -0,087057419 cm (-0,064285178cm ) = 0,022772319 cm


Selisih dengan Elemen Segiempat



4. Jika dibandingkan antara hasil yang diperoleh dengan cara perhitungan Exel dan

eksak terdapat selisih. Dan nilai yang lebih mendekati adalah nilai Elemen Segiempat,

yakni memiliki selisih paling kecil sebesar : 0,00672304 cm

5. Data yang di input ke dalam program Exel haruslah tepat. Kalau tidak tepat maka

hasil keluaran output pasti akan salah juga.

6. Diperlukan tingkat konsentrasi dan ketelitian dalam melakukan perhitungan di Exel

saat melakukan penjumlahan matriks sera perkaliannya agar kesalahan tidaklah besar.


V.2 SARAN

1. Perbedaan hasil dari perhitungan Microsoft Exel dengan perhitungan secara eksak

disebabkan karena pembulatan koma .

2. Dalam mengerjakan soal Metode Elemen Hingga sangatlah diperlukan ketelitian dan

tingkat konsentrasi agar meminimalkan kesalahan dalam penjumlahan atau

penggabungan matris dari setiap elemen-elemen yang ada.


chapter iii v skripsi

Documents