CATATAN KULIAH #8 Optimasi Dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya

Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.12 6.1 Pendahuluan • Sejauh ini, proses optimasi dilakukan tanpa menggunakan kendala. • Padahal, seringkali persoalan optimasi dihadapkan pada kendala-

kendala tertentu • Sebagai contoh, persoalan dasar dalam teori konsumen adalah

bagaimana menentukan tingkat konsumsi yang memberikan kepuasan optimal dengan tingkat pendapatan tertentu.

6.2 Metode Pengali Lagrange • Metode pengali lagrange adalah sebuah teknik dalam

menyelesaikan optimasi dengan kendala persamaan. • Inti dari metode pengali-Lagrange adalah mengubah persoalan titik

ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. Selanjutnya, fungsi yang terbentuk dari transformasi tersebut dinamakan fungsi Lagrange.

• Misalkan permasalahan yang dihadapi adalah memaksimalkan ( )yxfF ,= dengan kendala ( ) cyxg =, . Maka, fungsi Lagrange-nya

adalah ( ) ( )( )yxgcyxfL ,, −+= λ

dimana λ adalah pengali Lagrange • Kondisi optimal diperoleh melalui FONC, yaitu:

0=== λLLL yx

• Untuk kasus n-variabel, Jika fungsi objektifnya mempunyai bentuk ( )nxxxfz ,...,, 21= dengan kendala ( ) cxxxg n =,...,, 21 , maka fungsi

Lagrange ditulis dengan ( ) ( )( )nn xxxgcxxxfL ,...,,,...,, 2121 −+= λ

• Contoh soal: Diketahui sebuah fungsi ( ) 121 2, xxxyxfy +== . Berapakah nilai 1x dan

2x yang dapat memaksimalkan y jika diketahui bahwa kendala yang dihadapi adalah 02460 21 =−−= xxc ?

6.3 Intepretasi dari Pengali Lagrange (λ ) • λ adalah ukuran sensitivitas dari L terhadap perubahan dari

kendala c. • λ , x dan y bersifat endogen, dan c bersifat eksogen • Dari fungsi Lagrange yang didefinisikan sebelumnya, diperoleh

bahwa λ=

dcdL

• Dengan kata lain, λ dapat diintrepetasikan sebagai ukuran pengaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari fungsi objektifnya

6.4 Uji Syarat Orde Dua (SOSC) • Seperti halnya pada optimasi tanpa kendala, optimasi berkendala

persamaan membutuhkan uji syarat orde dua untuk menentukan apakah titik ekstrim yang ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum

• Uji SOSC ini menggunakan matriks Hessian terbatas (Bordered Hessian Matrix)

• Jika diketahui fungsi tujuan ( )yxfF ,= dengan kendala ( ) cyxg =, , maka matriks Hessian terbatasnya dituliskan dengan

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

yyyxy

xyxxx

yx

LggLLggg

H0

dimana: xg = turunan pertama kendala terhadap x yg = turunan pertama kendala terhadap y

xxL = turunan xL terhadap x xyL = turunan xL terhadap y yxL = turunan yL terhadap x yyL = turunan yL terhadap y

• Bila |H| > 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif. Sebaliknya, bila |H| < 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik minimum relatif.

• Untuk kasus n-variabel, Matriks Hessian Terbatas-nya adalah

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnn

n

n

n

LLLg

LLLgLLLgggg

H

LMMMM

LLL

21

222212

112111

210

• Selanjutnya, uji Hessian Terbatasnya yakni:

• z adalah maksimum relatif jika ( ) 01;...;0;0 32 >−<> nn HHH

• z adalah minimum relatif jika 0,...,, 32 <nHHH • Contoh soal:

Dengan menggunakan contoh kasus sebelumnya, ujilah syarat SOSC-nya!

6.5 Penerapan Metode Lagrange dalam Ekonomi • Teori konsumen: memaksimalkan utilitas dengan kendala

pendapatan. Contoh: Misalkan seorang konsumen dihadapkan pada fungsi himpunan yang berbentuk u: ( )2,1 xxu = 10 3/2

23/1

1 .xx . Fungsi kepuasan ini dibentuk sebagai akibat konsumen tersebut menghadapi dua barang yaitu x 1 dan x 2 yang menjadi pilihan konsumsinya. Diketahui harga barang x 1 dan x 2 masing-masing adalah 4 dan 6 sementara pendapatan yang dimiliki konsumen tersebut hanya sebesar 72. Carilah jumlah konsumsi barang x1 dan x 2 yang harus dipilih konsumen tersebut agar kepuasanna maksimum! Perlihatkan bahwa SOSC terpenuhi.

• Teori produsen: meminimalkan biaya dengan kendala sejumlah

barang yang dipenuhi. Contoh: Misalkan seorang produsen memunyai fungsi biaya total yaitu :

( ) 22 909045, yxyxyxfc ++== , disamping itu produsen tersebut harus memenuhi kuota produksi barang x dan y yang setara dengan 2x+3y = 60. Tentukanlah jumlah barang x dan y yang harus diproduksi dengan tujuan meminimumkan biaya!

Contoh soal 1. Diketahui fungsi utilitas ( )( )12 ++= yxU . Diketahui pula bahwa

6,4 == yx PP dan 130=B . a. Tulislah fungsi Lagrange-nya b. Tentukan nilai optimal x dan y c. Apakah SOSC-nya terpenuhi?