BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Boundary Value Problems

• Persamaan umum

• Arti pernyataan tersebut adalah bahwa persamaan ini memiliki solusi di x=a adalah y=A dan di x=b adalah y=B

• Dalam bidang TL, BVP sering dijumpai dalam persamaan transpor pencemar dan persamaan hidrolika air tanah

BbyAayxfyxQx

yxP

x

y

)(,)(),()()(2

2

0,)0(,0 02

2

dx

dCCCkC

x

Cv

x

CD

• Persamaan transpor pencemar

• Persamaan hidrolika air tanah

212

2

)(,)0(,0 HLhHhQdx

hdK

Penyelesaian dengan Beda Hingga

• Kita dapat mencari solusi di semua nilai x antara a dan b dengan Metode Beda Hingga

• Sebenarnya kita tidak menemukan solusi di semua titik, tapi pada n jumlah dengan jarak h diantara a dan b dimana h=(b-a)/(n+1)

h h h h h

x0=a x1=a+h x2=a+2h xn=b

n= jumlah titik dalam range yang dicari

Pendekatan Beda Hingga

( )h i

( 1)h i

( 1)h i

1

( ) ( 1)h h i h i

x x

x

h

2

( 1) ( )h h i h i

x x

2

22 1

1h h h

x x x x

Konsep Penyelesaian dengan Beda Hingga

h

yy

dx

dy ii

211

211

2

2 2

h

yyy

dx

yd iii

Contoh

• Cari solusinya dengan step size 0,2

• Jumlah titik solusi n=(2-1)/0,2)-1=4

• Kita dapatkan 4 persamaan, satu untuk tiap titik yang dicari.

6)2(,1,0)1(,423 22

2

yyxydx

dy

dx

yd

Penyelesaian dengan Beda Hingga

Persamaannya:

Buat persamaan untuk semua titik, mulai dari i=1, hingga i=4

x0=a x1 x2 x3 x4 x5=b

2112

11 422

32

iiiiiii xy

h

yy

h

yyy

Domain Solusi

y5=6

y0=1

x0=1 x5=2

Penyelesaian dg Finite Diff.

• Dengan h = 0,2

• Buat persamaan untuk semua titik, mulai dari i=1, hingga i=4

• Masukkan nilai-nilai x1=1,2 hingga x4 =1,8 dan kondisi batas y0 = 1 dan y5 = 6

211 45,17485,32 iiii xyyy

Selesaikan dengan Matriks…