Jurnal Gradien Vol.2 No.1 Januari 2006 : 139-143

Bentuk Umum Perluasan Teorema Pythagoras

Mulia Astuti, Buyung Keraman, Ulfasari Rafflesia

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Indonesia

Diterima 1 September 2005; disetujui 20 Desember 2005

Abstrak - Penelitian ini membahas perluasan teorema Pythagoras melalui pendekatan hubungan kesetaraan pada luas daerah. Secara matematis luas daerah diukur berdasarkan variabel-variabel yang terkait dan kesetaraan pada luas daerah dikembalikan pada kesetaraan fungsi-fungsi yang mengacu pada variabel tersebut. Perluasan teorema Pythagoras di 2R dengan pendekatan hubungan kesetaraan pada luas daerah dapat menjelaskan hubungan luas daerah yang berkaitan dengan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Fokus dari penelitian ini adalah membahas perluasan teorema Pythagoras di nR . Kata Kunci : Hubungan Kesetaraan; Teorema Pythagoras.

1. Pendahuluan Ausri [3] telah menyelidiki perluasan teorema Pythagoras

di 2R dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah yang berkaitan dengan sisi segitiga siku-siku. Hasil yang diperoleh adalah penjumlahan luas daerah yang berkaitan dengan sisi siku-siku sama dengan luas daerah yang berkaitan dengan sisi miringnya. Makalah ini akan membahas bentuk umum perluasan

teorema Pythagoras yaitu di nR , dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah, pada persamaan dengan bentuk umum :

),...,,(... 2122

32

22

1 nn xxxgxxxx ++++= (1)

atau pada persamaan dengan bentuk umum 22

22

121 ...),...,,( nn xxxxxxf +++= (2)

Dalam hal ini ),...,,( n21 aaa , ia > 0, ni1 ≤≤

merupakan solusi persamaan (1) atau persamaan (2).

2. Hubungan Kesetaraan [4] Dalam mendefinisikan hubungan kesetaraan, diperlukan notasi-notasi berikut: 1. Notasi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x,x,xG,xF,xg,xf aaaaaa γφ

menyatakan fungsi kontinu untuk suatu konstanta R∈> aa ,0 dan [ ]a,0x∈

2. Notasi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x,x,xG,xF,xg,xf aaaaaa −−−−−− γφ

menyatakan fungsi kontinu untuk suatu konstanta R∈> aa ,0 dan [ ]0,ax −∈

3. Notasi ( ) ( )( )xg,xfR aa menyatakan daerah di bidang

kartesian yang dibatasi oleh: (i) Fungsi ( )xfa dan fungsi ( )xga dengan

( )xga ≤ ( )xfa [ ]a,0x∈∀

(ii) Garis vertikal 0x = dan ax = . 4. Notasi ( ) ( )( )xg,xfA aa menyatakan luas daerah

( ) ( )( )xg,xfR aa .

Definisi 2.1 (Hubungan kesetaraan pada selang) [3] Dua selang dikatakan setara jika kedua selang tersebut mempunyai panjang yang sama. Misalnya : 1. Selang 1xt0 ≤≤ setara dengan selang

21

2 xtxx

0 ≤≤ , untuk 0x1 ≠

2. Selang 40 ≤≤ t setara dengan selang 106 ≤≤ t . Definisi 2.2 (Hubungan kesetaraan pada fungsi) [3] (i) Fungsi ( )xfa dikatakan setara dengan ( )xFb ,

ditulis ( ) ( )xFxf ba π , jika:

( ) [ ]bxxbaf

abxF ab ,0∈∀

=

Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143

140

(ii) Fungsi ( )xf a− dikatakan setara dengan

( )xF b− ditulis ( ) ( )xFxf ba −− π , jika:

( ) [ ]0,bxxbaf

abxF ab −∈∀

= −− .

Misalnya :

Fungsi ( ) axxaxfa ≤≤−= 022 setara dengan fungsi

( ) bxxbxFb ≤≤−= 022 .

Definisi 2.3 (Hubungan kesetaraan pada luas daerah) [3] (i) Daerah ( ) ( )( )xgxfR aa , setara dengan daerah

( ) ( )( )xGxFR bb , , ditulis

( ) ( )( ) ( ) ( )( )xGxFRxgxfR bbaa ,, π jika

( ) ( )xFxf ba π dan ( ) ( )xGxg ba π

(ii) Luas daerah ( ) ( )( )xgxfR aa , namakan

( )( ))(, xgxfA aa dihitung dengan:

( )( ) ( )( )dxxgxfxgxfAa

aaaa ∫ −=0

)()(, .

Definisi 2.4 [2] Misalkan n adalah bilangan bulat positif, n-tupel terurut didefinisikan sebagai urutan n bilangan riil

)a,,a,(a n21 … . Himpunan semua n-tupel terurut

dinamakan Ruang-n Euclidis dan dinotasikan dengan nR

3. Contoh Perluasan Teorema Pythagoras di 2R

Perluasan teorema Pythagoras di 2R menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah yang berkaitan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku. Berikut contoh

perluasan teorema Pythagoras di 2R . 1. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat

daerah beraturan yang berbentuk bujur sangkar. Hubungan luas bujur sangkar tersebut adalah a2 + b2 = c2.

2. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan berbentuk setengah ling- karan dengan diameter sama dengan sisi segitiga siku-siku. Hubungan antara luas setengah lingkaran

tersebut adalah: 2228π

8π

8π cba =+

3. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan berbentuk segitiga yang setara.

Misalkan segitiga itu membentuk sudut-sudut α,β dan θ. Hubungan luas ketiga segitiga setara di atas adalah:

αsin2βsinθsin2

αβθa +

αsin2βsinθsin2

αβθb =

αsin2βsinθsin2

αβθc

Jika pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang tidak beraturan, maka teorema 3.1 memperlihatkan hubungan antara luas daerah yang terdapat pada masing-masing sisi segitiga siku-siku.

Teorema 3.1 [4]

Misalkan a dan b adalah panjang sisi siku-siku dan c adalah sisi miring segitiga siku-siku. Misalkan daerah

( ) ( )( ),, xgxfR aa ( ) ( )( )xGxFR bb , dan ( ) ( )( )xxR cc γ,φ

setara maka: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxAxGxFAxgxfA ccbbaa γ,φ,, =+

Akibat 3.2 [4] Misalkan a ,b dan c masing-masing adalah panjang sisi segitiga sebarang, dengan sisi c berlawanan dengan sudut θ . Misalkan daerah ( ) ( )( )xgxfR aa , , ( ) ( )( )xGxFR bb ,

dan ( ) ( )( )xxR cc γ,φ setara. Maka:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxAc

abxGxFA

xgxfAxxA

ccbb

aacc

γ,φθcos2

,

,γ,φ

2−

+=

4. Bentuk Umum Perluasan Teorema Pythagoras

Bentuk umum perluasan teorema Pythagoras, yaitu di ruang-n Euclidis, dilakukan dengan memperluas pasangan

terurut 0,0),( >> baba di 2R yang merupakan solusi

persamaan lingkaran 222),( cyxyxf =+= , menjadi

n-tupel terurut niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 di nR

yang merupakan solusi persamaan (1) atau merupakan solusi persamaan (2). Sehingga bentuk umum perluasan teorema Pythagoras ini, diperoleh dengan memperluas Teorema 3.1 menjadi teorema 4.2 dan Akibat 3.2 menjadi teorema 4.1 yaitu sebagai berikut :

Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143

141

Teorema 4.1 Misalkan niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 adalah solusi

Persamaan (1). Misalkan daerah ),(),...,,(),,( 2211 nanaaaaa gfRgfRgfR setara,

maka berlaku:

),(),...,,(

),(...),(),(

1121

21

2211

aan

nanaaaaa

gfAa

aaag

gfAgfAgfA

+

++=

Bukti: Berdasarkan Definisi 2.3 (ii) diperoleh:

∫

∫

−

++−

=++

na

nana

a

aa

nanaaa

dxxgxf

dxxgxf

gfAgfA

0

2

022

22

.......))()((

...))()((

),(...),(

(3)

karena daerah ),(),...,,(),,( 2211 nanaaaaa gfRgfRgfR setara,

berdasarkan Definisi 2.2 dan Definisi 2.3 (i), maka Persamaan (3) ditulis sebagai:

∫

∫

−

++

−

=++

na

na

na

n

a

aa

nanaaa

dxxaagx

aaf

aa

dxxaagx

aaf

aa

gfAgfA

0

11

11

1

2

0 2

11

2

11

1

2

22

.......)()(

...)()(

),(...),(

(4)

Dengan melakukan perubahan variabel yaitu:

1,...,1,1

1 −==+

nixaa

ui

i maka Persamaan (4) dapat

pula ditulis sebagai:

( )

( )∫

∫

−−− −

++−

=++

1

01

11111

1

1

01

1

21111

1

2

22

.......)()(

...)()(

),(...),(

a

nn

nanan

a

aa

nanaaa

duaauguf

aa

duaauguf

aa

gfAgfA

( )

( )∫

∫

−

++−=

1

0112

1

2

1

0112

1

22

.......)()(

...)()(

a

aan

a

aa

dxxgxfaa

dxxgxfaa

( )dxxgxfa

aaaa

aan ∫ −

+++=

1

0112

1

223

22 )()(

... (5)

Karena ),...,,( 21 naaa adalah solusi Persamaan (1),

maka diperoleh:

).,...,,(...

),...,,(...

212

122

32

2

2122

32

22

1

nn

nn

aaagaaaa

aaagaaaa

−=+++

++++=

Sehingga Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai:

∫ −

=++

−1

0112

1

),...,2,1(21

22

))()((

),(...),(a

aaa

naaaga

nanaaa

dxxgxf

gfAgfA

),( 1121

),...,2,1(21

aaa

naaaga gfA−=

),(),( 1121

),...,2,1(11 aa

anaaag

aa gfAgfA −=

Dengan demikian diperoleh persamaan:

),(),...,,(

),(...),(),(

1121

21

2211

aan

nanaaaaa

gfAa

aaag

gfAgfAgfA

+

++=

Teorema 4.2 Misalkan niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 adalah solusi

Persamaan (2). Misalkan daerah ),(),...,,(),,( 2211 nanaaaaa gfRgfRgfR setara,

maka :

).,(),(1

2),...,2,1(

iaia

n

j ianaaaf

jaja gfAgfA∑=

=

Jika 0),( ≠iaia gfA maka

∑=

=n

jjaja

iagiafAia

n gfAaaaf1

),(

221 ).,(),...,,(

Bukti: Berdasarkan Definisi 2.3 (ii) diperoleh:

Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143

142

∫

∫

∑

−

++−=

++==

na

nana

a

aanana

aa

n

jjaja

dxxgxf

dxxgxfgfA

gfAgfA

0

1

011

111

.......))()((

...))()((),(

...),(),(

(6)

karena daerah ),(),...,,(),,( 2211 nanaaaaa gfRgfRgfR setara,

berdasarkan Definisi 2.2 dan Definisi 2.3 (i), maka Persamaan (4.6) ditulis sebagai:

∫

∫∑

−++

−=

=

na

n

iia

n

iia

i

n

ai

iai

iai

n

jjaja

dxxaagx

aaf

aa

dxxaagx

aaf

aagfA

0

1

0 11

1

1

)()(...

)()(),(

(7)

Dengan melakukan perubahan variabel yaitu:

1,...,1, −== njxaa

uj

ij maka Persamaan (7) dapat

pula ditulis sebagai:

( )

( )∫

∫∑

−++

−==

ia

ni

nniania

i

n

ia

iiaia

i

n

jjaja

duaauguf

aa

duaauguf

aagfA

0

01

111

1

1

)()(...

)()(),(

( ) ( )∫∫ −++−=ia

iaiai

nia

iaiai

dxxgxfaadxxgxf

aa

02

2

02

21 )()(...)()(

( )dxxgxfa

aa ia

iaiai

n ∫ −++

=0

2

221 )()(

... (8)

Karena ),...,,( 21 naaa adalah solusi Persamaan (2),

maka: 22

22

121 ...),...,,( nn aaaaaaf +++= .

Dengan demikian Persamaan (4.8) dapat dituliskan sebagai:

).,(),(1

2),...,2,1(

iaia

n

j ianaaaf

jaja gfAgfA∑=

=

Jelas bahwa, bila 0),( ≠iaia gfA maka:

∑=

=n

jjaja

iagiafAia

n gfAaaaf1

),(

221 ).,(),...,,(

Akibat 4.3 Misalkan niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 adalah solusi

Persamaan (4.2). Misalkan daerah nkgfR kaka ≤≤1),( semuanya setara. Luas daerah

),( kaka gfR yaitu 0),( =kaka gfA jika dan hanya

jika 0),(1∑=

=n

jjaja gfA .

Bukti: )(⇒ Misalkan 0),( =kaka gfA . Maka menurut

Teorema 4.2, 0),(1∑=

=n

jaa jj

gfA .

)(⇐ Misalkan 0),(1∑=

=n

jjaja gfA dan andaikan

0),( ≠kaka gfA untuk suatu k dengan nk ≤≤1 .

Maka menurut Teorema 4.2 haruslah

0),...,,( 21 =naaaf hal ini bertentangan dengan

Persamaan (2). Oleh karena itu haruslah 0),( =kaka gfA .

Akibat 4.4 Misalkan niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 adalah solusi

Persamaan (2). Misalkan daerah njgfR jaja ≤≤1),(

semuanya setara. Jika 0),( ≠kaka gfA dan

0),( ≠iaia gfA untuk sebarang i,k dengan

nkni ≤≤≤≤ 1,1( maka ),(

2

),(

2

kagkafAka

iagiafAia =

Bukti: Misalkan 0),( ≠kaka gfA untuk nk ≤≤1 dan daerah

),( jaja gfR semuanya setara untuk nj ≤≤1 maka

menurut Teorema 4.2 berlaku:

Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143

143

∑=

=n

jjaja

kagkafAka

n gfAaaaf1

),(

221 ).,(),...,,(

(9) dengan cara yang sama berlaku pula:

∑=

=n

jjaja

iagiafAia

n gfAaaaf1

),(

221 ).,(),...,,( (10)

Dari Persamaan (9) dan (10) diperoleh:

∑=

=n

jjaja

iagiafAia gfA

1),(

2),(

∑=

n

jjaja

kagkafAka gfA

1),(

2),(

Dengan demikian diperoleh:

),(

2

),(

2

kagkafAka

iagiafAia =

Akibat 4.5 Misalkan niaaaa in ≤≤> 1,0,),...,,( 21 adalah solusi

Persamaan (4.2). Misalkan daerah ),( jaja gfR dan

daerah ),( jaja GFR setara untuk nj ≤≤1 . Jika

0),( ≠kaka gfA dan 0),( ≠kaka GFA maka

),(),(

),(),(

kaGkaFAkagkafA

iaGiaFAiagiafA

= untuk sebarang i,k dengan

nkni ≤≤≤≤ 1,1( .

Bukti: Misalkan 0),( ≠kaka gfA untuk nk ≤≤1 dan daerah

),( jaja gfR setara untuk nj ≤≤1 maka menurut

Akibat 4.4 diperoleh:

),(

2

),(

2

kagkafAka

iagiafAia = (11)

Misalkan 0),( ≠kaka GFA untuk nk ≤≤1 dan daerah

),( jaja GFR setara untuk nj ≤≤1 maka menurut

Akibat 4.4 diperoleh:

),(

2

),(

2

kaGkaFAka

iaGiaFAia = (12)

Dari Persamaan (11) dan Persamaan (12) diperoleh:

),(),(

22iaia

kagkafAka

i gfAa =

),(),(

2

iaiakaGkaFA

ka GFA=

Dengan demikian diperoleh:

),(),(

),(),(

kaGkaFAkagkafA

iaGiaFAiagiafA

= .

5. Kesimpulan

1. Telah diperoleh hasil perluasan teorema Pythagoras

di 2R dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah. Hasil yang diperoleh dari penggunaan hubungan kesetaraan tersebut adalah : Jika pada setiap sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan maupun yang tidak beraturan dan setara, maka terdapat hubungan diantara luas daerah tersebut dengan persamaan teorema pythagoras, yaitu:luas daerah yang terkait dengan sisi miring segitiga siku-siku, namakan sisi c merupakan penjumlahan dari luas daerah yang terkait dengan panjang sisi siku-siku, namakan sisi a dan sisi b.

2. Dari hasil perluasan teorema Pythagoras di 2R diperoleh bentuk perumusan umum perluasan

teorema Pythagoras, yaitu di nR seperti dijelaskan dalam teorema 4.1 dan teorema 4.2.

Daftar pustaka [1] Anton, H., Calculus with Analytic Geometry, 1988, John

Wiley. New York [2] Anton, H., Aljabar Linier Elementer, Edisi kelima, 1994,

Erlangga, Jakarta [3] Ausri, A., Pengembangan Sifat Pythagoras dengan

Menggunakan Hubungan Kesetaraan, 1997, Jumpa 6 : 83-90

[4] Clay, James R and Yuen Fong, Generalization of Pythagorean Theorem, 1995, Sea Bull. Math. 19:19-26

[5] Herstein, I.N., 1975. Topics In Algebra. 2thed. 1975, John Wiley. New York