barisan dan deret kelompok 2 rs11h
TRANSCRIPT
KELOMPOK 2
ANGGOTA :1.DESI RARASTITI (292011293)2.SEPTI HANDAYANI (292011306)3.DWI HARSAYA (292011315)
BARISAN DAN DERET
POLA BILANGANPerhatikan kumpulan bilangan/huruf berikut!
1. 2, 3, 5, 8, 14,…2. 3, 4, 7, 11, 18,…3. 1, 2, 3, 6, 7, 14,…4. A, C, F, J,…5. A, B, C, B, E, B,…6. 2, 4, 6, 8, … 7. 1, 3, 6, 10,… 8. 1, 4, 9, 16, … 9. 2, 5, 3, 10, 4, 20,…10. 2, 5, 11, 23, …
Tentukan tiga bilangan/huruf berikutnya!
Pola bilangan adalah kumpulan bilangan yang mempunyai aturan tertentu
a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3
b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6
1. Barisan Dan Deret AritmetikaA. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
Contoh
Perhatikan Barisan aritmatika berikut!
3, 9, 15, 21, . . . n
U1 U2 U3 U4 Un
Suku ke-1 = U1 = a = 3
Suku ke-2 = U2 = 9
Suku ke-3 = U3 = 15
Suku ke-4 = U4 = 21
. . . . . . Suku ke-n = Un
Selisih antara dua suku yang berurutan dinamakan beda (b)
Rumus Suku ke-n
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
. .
Un = Un-1+ b = a + (n – 2)b +b = a + (n – 1)b
Un = a + (n – 1)ba = Suku Pertamab = Beda = U2 –U1
Contoh 1
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....
Diketahui:a = - 3, b = 2 – (-3) = 5Maka
Jawaban
Un = a + (n-1)bU8 = a + (8-1)5 = - 3 + 7.5 = - 3 + 35 = 32
Un = a + (n-1)bU20 = a + (20-1)5 = - 3 + 19.5 = - 3 + 95 = 92
Contoh 2
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Diketahui:a = -2, b = 1 – (-2) = 3Maka
Jawaban
Un = a + (n-1)b Un = -2 + (n-1)3 = 40 -2 + 3n – 3 = 40 3n – 5 = 40 3n = 40+5 3n = 45 n = 15
Contoh 3
Diketahui Suku ke-8 dan ke-5 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 42 dan 27. tentukan rumus suku ke-n nya.
Jawaban
Diketahui U8 = 42 dan U5 = 27Un = a + (n-1)bU8 = a + 7b = 42U5 = a + 4b = 27 - 3b = 15 b = 5
a + 4b = 27a + 4.5 = 27a + 20 = 27 a = 27 – 20 a = 7
Un = 7 + (n-1)5 = 7 + 5n – 5 = 5n + 2 Un = 5n + 2
B. Deret Aritmetika
Deret Aritmatika adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika
Contoh
1. 3 + 5 + 7 + 9 + …
2. 4 + 8 + 12 + 16 + …
3. 6 + 3 + 0 – 3 – 6 - …
Jumlah n suku pertama Sn
n faktor
n faktor
n faktor
Contoh 1
Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawaban
Diketahui:a = -2, b = 1 – (-2) = 3Maka
Contoh 2
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 Makaa = 3, b = 3, dan U = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah
Barisan dan Deret Geometri
1. Barisan Geometri
1, 2, 3, 4, . . . 24
3 6 12 24 ???
Suatu amuba berkembang biak Dengan Membelah diri menjadi dua bagian setiap satu jam.
Barisan geometri yaitu barisan bilangan dengan pembanding antara dua suku berurutan tetap
3 6 12 24 . . . n
U1 U2 U3 U4 Un
Suku pertama di notasikan a dan pembanding antara dua suku yang
berurutan dinamakan rasio (r)
Mencari Un
U1 = 3
U2 = 6 = 3 x 2 = U1 x r
U3 = 12 = 3 x 2 x 2 = U1 x r x r = U1 x r2
U4 = 24 = 3 x 2 x 2 x 2= U1 x r x r x r= U1 x r3
U5 = ??
U6 = ??
. .Un = ??
Un = a.r (n-1)
Un = Suku ke-n a = Suku pertama r = rasio = U2 : U1
Contoh:1
Tentukan besar suku ke-10 dan suku ke-15 dari barisan 64, 32, 16, …Jawab:Diketahui a = 64, r = 32:64 = 1/2 , maka
821142
62
142162
14
21.62
115
21.64
15
1.
U
nranU
81
32192
62
92162
9
21.62
110
21.64
10
1.
U
nranU
Contoh:2Tentukan nilai x sehingga nilai-nilai (x+3), (x+5) dan (2x+10) membentuk barisan geometri.
Jawab:
U1 = x+3 = -5 + 3 = -2U2 = x + 5 = -5 + 5 = 0U3 = 2x+10 = 2(-5)+10=0
Untuk x = -5 Untuk x = -1U1 = x+3 = -1 + 3 = 2U2 = x + 5 = -1 + 5 = 4U3 = 2x+10 = 2(-1)+10=8
Barisanya: -2, 0, 0 Barisanya: 2, 4, 8
Jadi nilai x yang memenuhi adalah – 1
2. Deret Geometri Deret geometri merupakan jumlah suatu barisan geometri
Misalkan barisan: 2, 4, 8, 16, 32, …Maka deretnya adalah: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …S1 = 2
S2 = 2 + 4 = 6
S3 = 2 + 4 + 8 = 14
S100 = ??????
Menentukan Sn
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + …. + ar(n-2) + ar(n-1)
r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …. ar(n-1) + arn
Sn – r.Sn = a – arn
Sn (1– r) = a (1 – rn)
Sn = Jumlah n suku pertama a = Suku pertama r = rasio = U2 : U1
Contoh soal
1. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 3 meter. Setiap kali pantulan bola mencapai dari ketinggian sebelumnya. Tentukan jarak yang ditempuh bola sampai berhenti.
5. Skema dari bola yang dijatuhkan kemudian memantul
Jarak yang ditempuh bola sampai berhenti merupakan jarak yang ditempuh bola untuk turun dan jarak yang ditempuh bola untuk memantul /bola naik, berarti jumlah pantulan yang terjadi tidak dapat ditentukan, maka akan terbentuk deret geometri tak terhingga.
Untuk bola turun ke lantai, diperoleh deret : 3 + 2 + , . . . ., berarti a = 3 dan r = .
Maka jarak yang ditempuh bola untuk turun adalah : S turun = m
3m
2m
m
Untuk bola naik, diperoleh deret : 2 + + . . . ., berarti a = 2 dan r = Maka jarak yang ditempuh bola untuk naik adalah :
S naik =• Maka jarak yang ditempuh bola sampai berhenti adalah : S = jarak tempuh bola turun + jarak tempuh bola naik S = 9 m + 6 m S = 15 meter.
2. Perhatikan gambar susunan korek api berikut :
Berapakah banyak batang korek api yang diperlukan untuk menyusun n buah segitiga seperti pada gambar di atas ?
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Untuk menentukan banyak korek api yang dapat digunakan untuk membentuk n segitiga dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
Dari tabel diperoleh banyak korek api yang dibutuhkan untuk membentuk n buah segitiga adalah sebanyak (2n + 1) buah korek api.
Banyak segitiga Banyak korek api Pola bilangan (Un)
1 3 2.1+1
2 5 2.2+1
3 7 2.3+1
4 9 2.4+1
5 11 2.5+1
6 13 2.6+1
.
.
.
n 2n+1
3. Seseorang menabung di bank Rp. 10.000.000,- Jika bank memberikan bunga majemuk 12% per tahun, berapa uangnya setelah 6 bulan?
Jawab:Mo = Rp 10.000.000,00i=12% (per tahun) = 6% (per enam bulan)Kita kerjakan denganh rumus
Mn = 10.000.000(1+0,6)1/2M3 = 10.000.000(1,6)1/2 = 10.000.000 x 0,8 = 8.000.000
Mn = M (1+i)n
5 7 9 11 13 15 17 191
6 12 20 30 42 56 72 90
6
1
6
5
6
6
6
51
12
9
12
72
12
7
6
1
10
3
30
9
60
18
60
2745
20
9
12
9
3
2
30
20
30
119
30
11
10
3
14
5
42
15
42
1328
42
13
3
2
8
5
56
35
56
1520
56
15
14
5
18
7
36
14
72
28
72
1745
72
17
8
5
45
41
90
82
90
1963
90
19
18
7
4.