BARISAN DAN DERET

A. Pola bilanganPerhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:a. 1 2 3 …b. 4 9 16 …c. 31 40 21 30 16 …

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yangdipunyai?

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 2 2 = 4,bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 = 25.

Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1) 2 dengan n= 1, 2, 3, 4.

Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan secara singkat dengan kata-kata yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud seperti kedua contoh tadi. Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25 secara singkat dengan kata-kata. Oleh karenanya pola bilangan dapat dirumuskan dengan cara-cara lain.

Misalnya:Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut bilangan-bilangan segitiga, karena setiap kali

dapat digambarkan dengan bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola segitiga.Selain itu pola bilangan dapat juga dirumuskan dengan kalimat matematika. Rumusan pola

bilangan dengan kalimat matematika dapat ditentukan setelah sekian banyak bilangan berpola sama ditata secara urut.

Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika adalah rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan dengan nomor urutnya.

B. Barisan     Perhatikan bilangan-bilangan yang disusun secara urut berikut ini:

Bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …Bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Bilangan ganjil, bilangan segitiga dan bilangan Fibonacci yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara urut.

Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan yang unik. Oleh karena itu, barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya menyatakan nomor urut suku.

Setiap bilangan dalam sustu barisan bilangan disebut suku dan biasa dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut suku).

C. DeretDiketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu 1 +

4 + 7 + 10 + 13 +    … disebut deret bilangan. Bila U1, U2, U3, U4, U5, … disebut barisan bilangan, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga n buah suku pertama biasa dilambangkan dengan Sn.

1. Notasi penulisan deretPerhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma). Notasi Sigma dilambangkan dengan ∑ Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n

Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat ditulis := 1 + 2 + 3 + … + 10

Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis : = 9 + 11 + … + 19

D. Deret Aritmatika1. Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan-barisan berikut:1, 4, 7, 10, … dan100, 90, 80, 70, …

Barisan pertama dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan bilangan di atas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:

U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku

sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun.

2. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika.Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan

Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalahUn = a + (n – 1)b

Sifat-sifat suku ke-nUn = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b).

Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.           

3. Menentukan Jumlah n Suku dari Deret AritmatikaPada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku

barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika.Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 +

U5 + … disebut deret aritmatika.Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn =

U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un.Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar,

gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:

S100   = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100S100   = 100 + 99 + … + 2 + 1

                                                                           +      2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 1012S100 = 100 + 101

Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu:

 AtauSn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.

Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a

                                                                                                                           +2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)

Catatan :Un = a + (n – 1)bSifat-sifat  Sn = =  =Jadi, Sn merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.

http://khaidirsyafruddin.blogspot.co.id/2013/02/barisan-dan-deret-giometri.htmlhttps://yos3prens.wordpress.com/2014/12/15/determinan-dan-matriks-singular/

MATRIKS

Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks juga sepertI variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Operasi Dasar Matriks :

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak  yang sama.

representasi dekoratifnya sebagai berikut

2. Perkalian Skalar

Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama

dan maka 

 

Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan

banyaknya kolom (n). Sebagai contoh :   merupakan matriks berordo 3×21) Matriks IdentitasMatriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

2) Matriks Transpose (At)Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom

menjadi baris atau sebaliknya. Contoh :

maka matriks transposenya (At) adalah  

3) Determinan Suatu MatriksUntuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :

1. Misalnya terdapat matriks   yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah

 

2. Metode Sarrus

Misalnya terdapat   maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut

Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c

→ d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi

Sebagai contohnya

maka tentukan 

 

3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom

Jika diketahui   maka untuk menentukan determian dari matriks P

 

4) Matriks SingularMatriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.

Sebagai contoh

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 vs 

5) Invers Matriks

Misalnya diketahui    maka invers dari matriks A

Sifat-sifat dari invers suatu matriks :

Persamaan MatriksTentukan X matriks dari persamaan:

Jika diketahui matriks A.X=B

Jika diketahui matriks X.A=B