BARISAN DAN DERET

Tujuan yang akan dicapai adalah siswa mampu :1. Menjelaskan ciri barisan aritmatika dan barisan

geometri.2. Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret

aritmatika dan deret geometri.3. Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret

aritmatika dan deret geometri.4. Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang

mempunyai jumlah.5. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga.6. Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmatika dan

geometri.

Secara umum barisan dapat dituliskan sbb :

u1, u2, u3, u4, . . . . , un

Dimana :

U1 = Suku pertama

U2 = Suku kedua

.

.

Un=Suku ke-n

Pengertian Barisan

Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu.

Defenisi deretPenjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deretJika barisan bilangan dinyatakan dengan :

u1, u2, u3, u4, . . . .,un-1 , un

Maka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb :

Contoh :1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+…2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+…3. dll

U1+u2 + u3+ u4 + . . . .+un-1 +un

Menentukan rumus suku ke-n!Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!

U1= 2 = 21

U2= 4 = 22

U3= 8 = 23

U4 =16 = 24

Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : un = 2n

Contoh 2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut :1.2,2.3,3.4,4.5,…?

Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!

u1=1.2=1.(1+1)

U2=2.3=2.(2+1)

U3=3.4=3.(3+1)

U4=4.5=4.(4+1)Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n.(n+1)

Cotoh 3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2,5,8,11,…

Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!

u1=2=2+(1-1).3=3.1-1

U2=5=2+(2-1).3=3.2-1

U3=8=2+(3-1).3=3.3-1

U4=11=2+(4-1).3=3.4-1Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1).3 atau un=3n-1

Contoh 4. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 30,28,26,24,…?

Jawab :

Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!

U1=30=30-(1-1).2=32-2.1

U2=28=30-(2-1).2=32-2.2

U3=26=30-(3-1).2=32-2.3

U4=24=30-(4-1).2=32-2.4

Jadi dari hasil diatas dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah un=30 – (n-1).2 atau un=32-2n

Contoh 5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 1,4,9,16,…?

Jawab :

Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku ke-n!

U1=1=1.1=12

U2=4=2.2=22

U3=9=3.3=32

U4=16=4.4=42

Jadi dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah : Un=n2

2. Barisandan deret aritmatika

Defenisi Barisan aritmatika:Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan .

Secara umum jika: u1, u2, u3, u4, . . . . , un , jikadan hanya jika : u2-u1=u3-u2=u4-u3=…=un-un-1=bContoh : barian bilangan asli : 1,2,3,4,…Dimana : 2-1=3-2=4-3=5-4=…=1=b

Rumus Suku ke-n dari barisan aritmatika ?

Jika barisan aritmatika dinyatakan dengan : u1, u2, u3, u4, . . . . , un yang memiliki beda sebesar b maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan :

Un=u1+(n-1)b

Dimana

b= un-un-1

Contoh6. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 2,5,8,11,…?

Jawab :Dik: barisan : 2,5,8,11,…

U1=2

U2=5

Dit : U10= ?Jawab :

b= u2-u1=5-2 =3

Un= u1 + (n-1)bU10=2 +(10-1)3U10 = 2 + 9.3U10 = 2 + 27U10 = 29

Rumus menentukan beda untuk barisan aritmatika ?

• Jika dua suku yang berbeda dikitahui misalnya : um dan un dimana n>m maka besarnya beda dapat ditentukan sbb:

Contoh 7. Tentukanlah beda dan u20 dari barisan aritmatika jika diketahui u10=24 dan u5 =9 ?

Jawab :

mn

uub mn

Jawab :

U1= u5 – (5-1).3

U1= 9 – 4.3 = 9 - 12

a=U1= - 3

U20 = -3 + (20-1).3 = -3 + 19.3

U20 = -3 + 57

U20 = 54

35

15

510

924

510510

uu

b

2. Barisandan deret aritmatika

Defenisi Barisan aritmatika:Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan .

Secara umum jika: u1, u2, u3, u4, . . . . , un , jikadan hanya jika : u2-u1=u3-u2=u4-u3=…=un-un-1=bContoh : barian bilangan asli : 1,2,3,4,…Dimana : 2-1=3-2=4-3=5-4=…=1=b

• Defenisi deret aritmatika :

Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3 + ….. + un disebut deret aritmatika.

• Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah :

Jika u1 = a , u2 = a + b, u3 = a + 2b, un = a + (n-1)b maka :

Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + un

Dengan menggantikan

• U1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n-1)b. maka diperoleh :

• Sn = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b)

• Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a2Sn=(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+…+(2a+(n-1)b)

nx

2Sn=n.(2a+(n-1)b)

Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

bnansn )1(2.21

nn uans .21

Contoh 8. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u1=10 dan u15=94?

• Jawab : • Diketahui :

• a= u1 = 10

• U15= 94

Ditanya :

S15 = ?

Jb:

780104.15.

)9410(15.

..

21

15

21

15

21

S

S

uans nn

Contoh.9 Tentukanlah jumlah dari deret berikut : 3+13+23+33+…+U120. ?

• Penyelesaian:• Diketahui: Deret aritmattika : 3+13+23+33+ +

u120.

• Jb : a = 3, b=13-3=10

717601196.60

1196.120.)11906.(120.

)10)1120(3.2.(120.

)1(2.

120

21

21

120

21

120

21

S

S

S

bnansn

Contoh.3 Suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 12 dan 72. tentukanlah Jumlah 5 suku pertama deret

tersebut ? • Penyelesaian :

• Diketahui: u9=12, u21 =72

• Dit : S5=?

• Jb: 512

60

12

1272

921921

uu

b

2840125.812

8819 911919

a

buuabuuuu

b

90)18.(5

)36.(5.

)2056(5.)5)15()28.(2(5.

5

21

21

21

5

S

s

Menentukan Un jika Rumus Sn diberikan.

• Dari materi sebelumnya telah diketahui bahwa :

Sn = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1 + un

Sn-1 = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1

-

Sn – Sn-1 = Un

Jadi rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah : Un = Sn – Sn-1

Contoh 1. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ?

Penyelesaian :

Diketahui : Sn=5n2 + 2n

Dit : Un=? Dan b=?

Jb. Sn = 5n2+2n

Sn-1 =5(n-1)2 +2(n-1) = 5(n2 – 2n + 1) + 2n – 2

Sn-1 = 5n2 – 10n + 5 + 2n – 2 = 5n2 – 8n + 3

Un= Sn – Sn-1 = (5n2 + 2n) – (5n2 – 8n + 3) =10n – 3

Jadi Un = 10n – 3

b= Un – Un-1 = (10n – 3) – (10 (n-1) – 3)

b= 10n – 3 – ( 10n – 10 – 3) = 10

Jadi bedanya adalah b = 10

Menentukan beda dan Suku ke-n jika sn diberikan dalam fungsi

kuadrat n• Jika sn dinyatakan dalam fungsi kuadrat n dimana

Sn = f(n) = an2 + bn + c maka Rumus suku ke-n dan bedanya dapat ditentukan dengan menggunakan turunannya sebagai berikut :

"21'

nnn ssu

"nsb

Contoh 10. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ?

• Penyelesaian :

• Diketahui : Sn=5n2+2n

• Dit : Un=? Dan b=?

• Jb: Sn = 5n2 + 2n

• Sn’ = 10n + 2

• Sn” = 10

• Jadi :

310

510)10(210 21"

21'

nu

nnssu

n

nnn

10" nsb

3. Barisan dan deret GeometriDefenisi Barisan Geometri:Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu

barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (r). Maka barisan ini adalah barisan Geometri. Bilangan tetap r disebut sebagai rasio dari barisan .

Secara umum : u1, u2, u3, u4, . . . . , un merupakan barisan geometri , jika dan hanya jika :

Contoh : barisan bilangan 2n : 1,2,4,8,16,32,…

ru

u

u

u

u

u

n

n 12

3

1

2 ...

Dimana :

2...16

32

4

8

2

4

1

2

Tugas : Menentukan barisan geometri atau bukan.Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah barisan geometri. Jika ya, tentukan rasionya.a. 3, 9, 27, 81, ....b. 1, 3,4, 7, 11, ....c. 256, 64, 16, 4, ...

327

81,3

9

27,3

3

9

Jawabnya :a. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan.

Merupakan barisan geometri dengan rasio = 3

4

7,3

4,3

1

3

4

1

16

4,4

1

64

16,4

1

254

64

b. Rasio antara setiap dua suku yang berdekata

Bukan barisan geometri karena rasionya tidak sama.

c. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan

Merupakan barisan geometri dengan rasio = 1/4

Rumus Suku ke-n dari barisan Geometri ?

• Jika barisan geometri dinyatakan dengan : u1, u2, u3, u4, . . . . , un yang memiliki rasio r maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan :

• Un=u1.rn-1

• Dimana

• r = 1n

n

u

u

Atau, Jika u1 = a , maka :

Un =a.rn-1

Contoh 11. Suku Ke-n barisan Geometri.Tentukanlah suku ke-8 dan suku ke-n dari

barisan berikut : 2, 6, 18, 54, ….

Jawab:

a=2

r=

jadi : Un = a.rn-1=2.3 n-1

U8 = 2.3 8-1 = 2.37 = 2.(2187) = 4374

32

6

Contoh 12. Suku Ke-n barisan Geometri.

• Dari suatu barisan geometri diketahui

Tentukanalah rasionya.

Jawab:

Lakukan perbandingan antara suku-suku.

.2322 61 UdanU

2

32

32.

2

232

5

5

1

6

r

r

a

ra

U

U

Jadi rasionya adalah 2

Contoh 13. Suku Ke-n barisan Geometri.

• Dari suatu barisan Geometri diketahui U1=-2, un= -162 dan rasio r = -3. Tentukan nilai n.

Jawab :

Jadi nilai n adalah 5

5

332433

813

3

5

n

nn

n

812

1623

3.2162

.

1

1

11

n

n

nn rUU

Contoh 14. Soal aplikasi

Perkembangan bakteri:

Banyak suatu bakteri tertentu menjadi dua kali lipat setiap jangka waktu 3 hari. Jika banyak awal bakteri adalah 20, berapa populasi bakteri pada akhir masa waktu 24 hari.

Jawab :

Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak bakteri pada posisi awal (u1=20)

1x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U2= 2x20=40

2x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U3= 2x40=80

3x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U4= 2x80=160...

8x3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U9=…..?

Jadi jumlah bakteri pada akhir 24 hari sama dengan U9= ….?a = 20, r = 40/20 = 2

U9=a.r8 = 20.28= 20.(256) = 5120.Jadi jumlah bakterinya adalah 5.120.

Contoh 15. Soal aplikasi

• Pertumbuhan Penduduk.Di suatu daerah permukiman baru, banyak pendudukpada tanggal 1 januari 1998 adalah 20.000 orang.Jika tingkat pertumbuhannya 10 % pertahun. Hitunglah banyak penduduk pada tanggal 1 januari 2004.Jawab :Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak Jlh penduduk pada posisi awal (u1=20000)1 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U2= 20000 + 0.1(20000)

=1.1(20000)

2 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U3= 1.1(20000) + 0.1(1.1(20000)) =1.21(20000)=(1.1)2(20000)

3 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U4= (1.1)2 (20000) + 0.1((1.1)2 (20000)) =(1.1)3 (20000)

.

.

.

6 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U7= ….

Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 sama dengan U7= ….?

a = 20000, r =1.1(20000)/20000=1.1

U7=a.r6 = 20000.(1.1)6 = 20000.(1.771561) = 35431

Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 adalah 35.431 orang.

• Defenisi deret Geometri :

Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan geometri maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3

+ ….. + un disebut deret geometri.

• Rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang ditulis dengan sn adalah :

Jika u1 = a , u2 = ar, u3 = ar2, un = ar(n-1)

maka :• Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + un

• Dengan mensubstitusikan dengan suku – suku diatas, diperoleh :

1. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan Sn= 3x2 + 5x – 3.tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut?2. Suatu barisan geometri diketahui sebagai berikut : 4,12,36,..., tentukanlah suku pertama, ratio, suku ke-6, dan suku ke-n dari barisan tersebut?3. Diketahui suku pertama dan ratio dari suatu barisan geometri sebagai berikut 32 dan 8, tentukanlah suku ke 5 dan suku ke-n dari barisan tersebut?

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1

r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 + arn

- -

(1 – r) Sn = a – arn

Dimana :Sn = jumlah n suku pertamaa = nilai suku pertamar = Ratio / perbandingan

1;

1

1

rr

raS

n

n

• Untuk menghindari nilai negarif pada rumus diatas maka sebaiknya :gunakan rumus :

Dan rumus :

Jika maka rumus diatas dapat dituliskan menjadi

Sn= C.rn - C

1arg,1;

1

1

rahuntukcocokrr

raS

n

n

1arg,1;

1

1

rahuntukcocokrr

raS

n

n

,1

cr

a

Contoh 16. Jumlah n suku pertama

• Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret : 3 + 6 + 12 + …?Jawab :Dik : a = 3

r = 2 ; r>1Dit : S8 = …?Jb.

Jadi jumlah delapan suku pertama dari deret di atas adalah 765

7651

2553

1

12563

12

123

8

8

8

S

S

Contoh 17. Jumlah n suku pertama

Jumlah adalah .Tentukanlah banyak suku dari deret ini.Jawab:Dik : a =

r = ; r > 1Sn =

Dit : n = ...?Jb:

...3333 31339

3

3

31339

1

1

r

raS

n

n

62

3

33327

1326131313

1331313313

1331331339

13

13331339

23

nn

nn

nn

n

n

n

Jadi banyak sukunya adalah 6

Contoh 18. Jumlah n suku pertama• Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan oleh Sn

= 23n-1. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-n dari deret tersebut ?.Jawab :Sn = 23n-1a = u1 = S1 = 23.1-1 = 23-1 = 8-1=7 Sn= C.rn - C Sn = 1.8n – 1 ini berarti : r = 8 dan c = 1Un = arn-1= 7.8n-1.

Jadi diperoleh nilai suku pertama = 7, ratio = 8 dan rumus suku ke-n = 7.8n-1.

• Deret Geometri takhingga.

1. Untuk -1<r<1Untuk harga -1<r<1, maka jumlah deret

geometrinya sampai suku ke takhingga akan diperoleh sebagai berikut :

Untuk maka harga , maka rumus diatas akan menjadi :

r

raS

n

n

1

1

n

r

a

r

a

r

raS

n

n

11

01

1

1

0nr

2. Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :

• Jadi nilai dari jumlah suku tak hingga untuk r < -1 dan r > 1 adalah

n nr

r

a

r

a

r

raS

n

n 1

)(

1

1

1

1

n

nr

r

a

r

a

r

raS

n

n 1

)(

1

1

1

1

2. Untuk r < -1 dan r > 1

Untuk

, maka nilai dari

Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :

Contoh 19. Deret geometri tak hingga konvergen

• Tentukan jumlah deret tak hingga

• Jawab :

...9

1

3

113

3

1r

?....nS2

14

2

9

3

23

3

11

3

1

r

aSn

Dik : a = 3

Dit :

Jb :

Contoh 20. Soal aplikasi pada Deret geometri tak hingga

konvergen• Panjang lintasan Bola Jatuh Bebas.

Sebuah bola dijatuhkan vertikal dari ketinggian 4 meter dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus sampai bola berhenti.Hitunglah :a.Panjang lintasan bola hingga bola menyentuh permukaan yang ke-6 kali.

b. Panjang lintasan bola sampai berhenti. h4

4

3

• Jawab : a.

Untuk menyelesaikan kasus diatas coba kita amati gambar berikut.

h0 = 1 x

h1 = 2x

h2 = 3x

dsth0=4m h1

h2

h3h4

• Jadi :

Dimana :

5432106

5432106

2

22222

hhhhhhS

hhhhhhS

.

16

27

4

3

4

3

4

3

4

3

4

9

4

3

4

3

4

3

4

3

344

3

4

3

0

3

0

2

23

0

2

012

01

dst

hhhh

hhhh

mhh

• Dengan demikian :

22,318,34

1024

781244

1024

2431024244

4

11024

2431

64

4

31

4

313

24

1024

729

256

243

64

81

16

27

4

9324

2

6

6

5

6

6

5432106

S

S

S

S

hhhhhhS

jb b:

Dari gambar diatas dapat kita tuliskan bahwa :

Sn=h0+2h1+2h2+2h3+….

Sn = h0 +2(h1+h2+h3+….)

Dimana :

.

16

27

4

3

4

3

4

3

4

3

4

9

4

3

4

3

4

3

4

3

344

3

4

3

0

3

0

2

23

0

2

012

01

dst

hhhh

hhhh

mhh

28244

1224

413

24

4

33;

43

1

324

...16

27

4

9324

n

n

n

n

S

S

rdanaS

SJadi

Soal ulangan harian :1. Tentukanlah dua suku berikutnya dari barisan berikut ini:

a. 1, 3, 5, 7, …,….b. 2, 8, 26, 80, …., ….c. 1, 8, 27, 64, ….., ….d. 2, 5, 7, 3, 6, 8, 4, ….,….e. 11, 19, 27, 9, 17, 25, 7, …., ….

2. Pola bilangan : Tentukan bilangan berikutnya dari barisan belangan berikut ini :a. 100, 4, 90, 7, 80, …b. 5, 7,10, 12, 15, ….c. 2, 4, 2, 4, 6, 8, 6, 8, 10, 8, ….d. 9, 5, 1, 2, 10, 6, 2, 3, 11, 7, ….e. 1, 9, 2, 3, 9, 4, 5, 9, ….

3. Amatilah suku-suku dalam barisan berikut, Kemudian, tentukan suatu aturan rumus untuk suku ke-n dari barisan tersebut :a. 1, 3, 9, 27,…b. 2, 5, 10, 17, 26, ….c. 2, 6, 12, 30, ….

4. Tuliskan lima suku pertama dari masing-masing barisan aritmatika berikut :

a. U1=4, dan b=

b. U1=5, dan b = 205. Gunakan suku umum berikut ini untuk

menulis lima suku barisan :

a. Un=14+3n

b. Un = 3,2-0,2n

4

3

6. Tentukan nilai n dari barian berikut ini :

a. Un = 27,9 dan Un = 6,9 + 1,4n

b. Un = 63/4 dan Un = (23/4)+1/2(n)7. Tentukanlah nilai dari suku pertama dan beda dari

barisan aritmatika berikut :

a. U20 = 42 dan U10 = 32

b. U3 = 5 dan U8 = -58. Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret

aritmatika berikut :

a. n = 18 ; U1 = 40 ; dan b = -7

b. n = 20 ; U1 = 100 ; dan b = -19. Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret

aritmatika berikut :a. n = 16 ; 3+7++11+…b. n = 10 ; -8+(-4)+0+…

10. Tentukanlah jumlah suku dari barisan berikut :

a. 1+3+5+7+…=1156

b. 9+15+21+…=1518

11. Hitunglah jumlah dari :

a. Semua bilangan bulat positip diantara 200 dan 600 yang habis dibagi 4.

b. Semua bilangan bulat positip diantara 1000 dan 1600 yang habis dibagi 3

12. Tentukan Jumlah semua bilangan asli yang terdiri atas 2 angka dan habis dibagi 5