barisan dan deret

Barisan dan DeretBarisan adalah himpunan besaran u1,u2,u3, . . . yang disusun dalam urutan tertentu dan masing-masing sukunya dibentuk menurut suatu pola tertentu pula, yaitu ur=f(r) Contoh : 1,3,5,7, . . . 2,6,18,54, . . . x[1], x[2], x[3], atau x[k] k = 1,2,3, . . . , x[-3], x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], x[3], atau x[k] k = , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . Barisan berhingga (finite sequence) adalah barisan yang banyak sukunya berhingga. Barisan tak berhingga (infinite sequence) adalah barisan yang tak ada akhirnya.3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 1

Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan. Contoh : barisan 1,3,5,7 deret S=1 + 3 + 5 + 7

S n = x[k ] = x[1] + x[2] + L + x[n]k =1

n

Deret ada dua jenis yaitu : 1. Deret hitung (arithmetic series) 2. Deret ukur (geometric series) Deret berhingga (finite series) adalah barisan yang banyak sukunya berhingga. Deret tak berhingga (infinite series) adalah barisan yang tak ada akhirnya.3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 2

Penyajian Barisan Dalam Bentuk GrafikBarisan tangga satuan/ unit step sequence

0 k < 0 x[k ] = 1 k 0

k = L,3,2,1, 0, 1, 2, 3, L

Barisan delta Kronecker

0 k = 0 x[k ] = 1 k 0

k = L,3,2,1, 0, 1, 2, 3, L

3/29/2009

Kalkulus II ( Barisan dan Deret )

3

Deret Hitung (aritmatik)Contoh suatu deret : 2 + 6 + 10 + 14 + L suku pertama 2, bedanya (10 6) = 4, suku ke - 5 adalah u 5 = 18 Deret hitung secara umum dapat dituliskan a + (a + d ) + (a + 2d ) + (a + 3d ) + L a = suku pertama, d = beda Suku ke n = a + (n 1)d Jadi untuk suku ke 10 dari deret diatas adalah u10 = a + (n 1)d = 2 + (10 1)2 = 203/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 4

Jumlah Deret AritmatikaContoh : Tentukan jumlah 5 suku pertama deret aritmatika S = 2 + 6 + 10 + 14 + 18, kalau dihitung jumlahnya = 50 Penulisan persamaan S dapat dilakukan dengan dua jalan : S 5 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 dan S 5 = 18 + 14 + 10 + 6 + 2 S 5 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 S 5 = 18 + 14 + 10 + 6 + 2 + 2 S 5 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2 S 5 = 5 x 20 = 100, S 5 = 503/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 5

Jumlah n suku deret aritmatika S n = a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + L + (a + ( n 1) d ) S n = ( a + ( n 1) d ) + ( a + (n 2)d ) + L + ( a + d ) + a S n = a + ( a + d ) + (a + 2d ) + L + ( a + (n 1) d ) S n = (a + (n 1)d ) + (a + (n 2)d ) + L + ( a + d ) + a + 2 S n = (2a + ( n 1) d ) + (2a + ( n 1) d ) + L + (2a + (n 1)d ) 2 S n = n(2a + (n 1)d ) n S n = (2a + (n 1)d ) 2 n Jadi jumlah n buah suku yang pertama S n = (2a + (n 1)d ) 23/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 6

Contoh 1: carilah jumlah 30 suku pertama dari deret hitung dengan suku pertama = 1 dan beda = 4 n S n = 1 + 5 + 9 + L, S n = (2a + (n 1)d ), 2 30 S30 = (2 + 29 x 4 ) = 1770 2 Contoh 2: carilah jumlah deret aritmatika dengan suku pertama 1, beda 3 dan suku terakhir adalah 100 Suku ke n = a + (n 1)d , 100 = 1 + (n 1)3, 3(n 1) = 99, n 1 = 33, n = 34 34 n S n = (2a + (n 1)d ), S34 = (2 + 33 x3) = (17)(101) = 1717 2 23/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 7

Deret Ukur (Geometrik)Deret Geometri (Ukur) adalah suatu deret yang masing - masing sukunya didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu faktor konstan yang disebut rasio Contoh : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + L 8 Suku pertama = 1 dan rasio r = = 2 4 Secara umum bentuk deret geometri adalah : a + ar + ar 2 + ar 3 + L ar a = suku pertama, r = = rasio, Jadi suku ke n = ar n 1 a Suku ke -10 dari contoh diatas adalah = ar n 1 = 1(2)9 = 5123/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 8

Jumlah Deret GeometriContoh : Tentukan jumlah 5 suku pertama deret geometri 1 + 2 + 4 + 8 + 16. Kalau dihitung jumlahnya = 31 S 5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 kalikan dengan rasio = 2 2 S 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 Kurangkan S 5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 2 S 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 S 5 2 S 5 = 1 32 S 5 = 313/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 9

S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n1 Kalikan dengan rasio r rS n = ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n1 + ar n Kurangkan S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n1 rS n = ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n1 + ar n n S n rS n = a ar a 1 rn Sn = 1 r

(

)

(Jumlah n buah suku yang pertama, syarat r 1)

3/29/2009


10

Contoh 1 : 8 + 4 + 2 + 1 + 1 2 + L tentukan jumlah 8 suku pertama a = 1 r = 4 8 = 12 8(1 ( 1256 )) 255 255 a 1 r n 8 1 ( 12 ) )= Sn = = = = 16( 1 1 1 r 1 2 256 16 2 Contoh 2 :8

(

) (

)

Suku ke - 6 deret geometri 1215 dan suku ketiga 45. Tentukan jumlah enam suku pertama. un = ar n 1 , u6 = ar 5 = 1215, u3 = ar 2 = 45 1215 ar 5 = r3 = = 27, r = 3, u3 = ar 2 = a(3) 2 = 9a = 45, a = 5 45 ar 2 a 1 rn 5 1 36 5(729) Sn = , S6 = = 1820 = 1 r 1 3 2

(

)

(

)

3/29/2009


11

Deret Binomial(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 (a + b )4 = a 4 + 4a3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4Teorema Binomial (n = bilangan positif) n(n 1) n 2 2 n(n 1)(n 2 ) n 3 3 n n n 1 (a + b ) = a + na b + a b + a b + L + bn 2! 3!Misal a = 1 dan b = x n(n 1) 2 n(n 1)(n 2 ) 3 n n (1 + x ) = a + nx + x + x +L 2! 3!3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret )

1 < x < 1

12

Segitiga Pascal(a + b )1 = 2 (a + b ) = 3 (a + b ) = (a + b )4 = 5 (a + b ) =(a + b )5

1 1 1 1 1 5 4 10 3 2+

1 1 3 4 10 5 1 1 1

6

= 1a 5 +

5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + 1b 5Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 13

3/29/2009

Deret Konvergen dan DivergenDeret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju kesebuah harga tertentu jika n disebut deret konvergen. Jika Sn tidak menuju kesebuah harga tertentu ketika n disebut deret divergen 1 1 1 1 + + L konvergen atau divergen Tinjaulah deret ukur : 1 + + + 3 9 27 81 1 1 n n 1 1 1 ( 13 ) a (1 r n ) 3 = 2 1 - 1 = , a = 1, r = Sn = Sn = n 1 2 3 3 1 r 3 1 3 3 2 1 2 Lim S n = Lim 1 - n = (konvergen) n n 3 3 3 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 3/29/2009 14

(

)

Tinjaulah deret ukur : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + L konvergen atau divergen a 1 rn Sn = 1 r

(

)

, a = 1, r = 3

1 1 3n 1 3n 3n 1 = = Sn = 2 1 3 2 (divergen)

(

)

3n 1 = Lim S n = Lim n n 2Tinjaulah deret ukur : 1 + 1+

1 1 1 1 + + + + L konvergen atau divergen 2 3 4 5

1 1 1 1 1 + + + +L+ +L un = 0 untuk n 2 3 4 5 n (belum bisa dipastikan konvergen atau divergen harus diuji lebih lanjut )

3/29/2009


15

Kaidah Uji Konvergen dan Divergen Suatu DeretUji 1. lim u n 0 divergen, n lim u n = 0 mungkin konvergen, harus diuji lebih lanjut n Contoh : 1 1 1 1 1 1 + + + + + L + + L diuji lim u n = 0 n 2 3 4 5 n 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + +L 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dan + + + > + + + > dst. + > + > 3 4 4 4 2 5 6 7 8 8 8 8 8 2 1 1 1 1 1 S n > 1 + + + + + + L, Sn = 2 2 2 2 2 S n tidak memberikan harga tertentu maka deretnya divergen3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 16

2. Uji Perbandingan (the comparison test) Suatu deret dengan suku-suku positif akan konvergen jika sukusukunya lebih kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain.Serupa dengan itu deret tersebut akan divergen jika sukusukunya lebih besar daripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahui divergen. 1 1 1 1 1 1 1 + p + p + p + p +L+ p +L = p p 1 2 3 4 5 n n =1 n (i). Jika p > 1 konvergen (ii). Jika p 1 divergen

Deret Pembanding

3/29/2009


17

Contoh : Untuk menguji kekonvergenan deret 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + L + n + L dibandingkan dengan deret 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + L dibandingkan dengan suku seletak 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 < 3; < 4 ; 5 < 5 dan seterusnya 3 4 3 2 4 2 5 2 Terlihat setelah lewat dua suku pertama suku - suku deret pertama selalu lebih kecil dari pada suku - suku seletak deret lain yang konvergen, jadi deretnya konvergen.

3/29/2009


18

Uji Pembagian (The Ratio Test ) misalkan u1 + u2 + u3 + L + un + L adalah deret dengan suku suku positif u n +1 lim < 1 deretnya konvergen n u n u n +1 lim > 1 deretnya divergen n u n u n +1 lim = 1 deretnya mungkin konvergen atau divergen n u n

3/29/2009


19

1 3 5 7 Contoh. Ujilah deret + + 2 + 3 + L 1 2 2 2 2n 1 2( n + 1) 1 2n + 1 un = n 1 , un +1 = = ( n +1) 1 2 2 2n un +1 2n + 1 2 n 1 2 n 1 2n + 1 = n 2n 1 = 2 n 2n 1 = un 2

1 2n + 1 2 2n 1

u n +1 1 2n + 1 1 2 + 1n 1 2 + 0 1 lim lim = lim = = n 2 2 0 = 2 n u n 2 2n 1 2 2 1n n u n +1 lim < 1; Jadi deretnya konvergen n u n3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 20

Contoh. Ujilah deret un = n , n +1

1 2 3 4 5 + + + + +L 2 3 4 5 6 n +1 n +1 u n +1 = = (n + 1) + 1 n + 2

un +1 n + 1 n + 1 n 2 + 2n + 1 = = un n + 2 n n 2 + 2n 1 + 2 n + 2 n2 1 + 0 + 0 un +1 n 2 + 2n + 1 = =1 lim = lim 2 = lim 2 n u n n + 2n n 1+ n 1+ 0 n un +1 lim = 1; Tidak memberikan kesimpulan apa - apa, n u n deretnya mungkin konvergen atau divergen deretnya harus diuji lagi. n 1 1 lim un = lim = lim = = 1; Jadi deretnya divergen n n n n + 1 n n 1 + 1 1+ 0 n3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 21

Konvergen Mutlak (Absolutely Convergent)Suatu deret yang suku sukunya positif dan negatif (Alternating Series) 1 1 1 (konvergen) Deret : 1 + + 2 3 4 1 1 1 (divergen) Deret : 1 + + + + 2 3 4 Jadi jika un = 1 3 + 5 7 + 9 + L

u = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 +L Jika u konvergen maka deret u dikatakan konvergen mutlak Jika u divergen tetapi u konvergen, maka u dikatakanmakan n n n n n

konvergen bersyarat3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 22

Contoh : Tentukanlah daerah harga x dimana deret berikut konvergen 2 3 4 5 mutlak

x x x x x + + L 2 3 4 5 2.5 3.5 3.5 3.5 3.5

Penyelesaian :

xn x n+1 un = ; un+1 = n (n + 1)5 (n + 1)5n+1 un+1 x n+1 (n + 1)5n x(n + 1) x(1 + 1 / n ) = = = n+1 n (n + 1)5 un x 5(n + 2) 5(1 + 2 / n ) un+1 x un+1 lim = , supaya konvergen mutlak maka lim R. R disebut jari jari konvergensi. Untuk x = R deret mungkin atau tidak konvergen. Interval x < R atau R < x < R disebut interval konvergensi deret. Untuk mencari interval gunakan test pembagian (Ratio Test) 1 Jari jari konvergensi R = u lim n+1 n u n3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 25

Contoh :

xn Carilah interval konvergensi dari deret = 2 n n =1 n 3 u n +1 x n 3 lim = lim n 2 n +1 n (n + 1) 3 n u x n2 n +1 n

x n2 x= = lim 2 n 3(n + 1) 3 deret konvergen untuk x < 3, dan pada x = 3 deret juga konvergen sehingga interval konvergensinya adalah 3 x 33/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 26

Operasi Deret Pangkat Diferensiasi suku demi suku

y ( x) = an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + Ln=0

y ' ( x) = nan x n 1 = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + Ln=0

Penjumlahan suku demi suku

an x n n=0

dan

bn x n n=0

(an + bn ) x n = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x 2 + L n=03/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 27

Perkalian suku demi suku

an xn=0 n=0

n

dan

bn x n n=0

(an bn ) x n = (a0bn + a1bn 1 + L + anb0 ) x n = a0b0 + (a0b1 + a1b0 ) x + (a0b2 + a1b1 + a2b0 ) x 2 + L

3/29/2009


28

Contoh Deret Pangkat

3/29/2009


29

Polinomial Taylor, Deret Taylor dan Deret MaclaurinPolynomial Taylor Polynomial Taylor tingkat pertama dan kedua pada x = a P ( x) = f (a) + f ' (a)( x a) 1 ( x a) 2 P2 ( x) = f (a) + f ' (a)( x a) + f ' ' (a) 2 Polynomial Taylor tingkat n pada x = a Pn ( x) = f (a) + f ' (a)( x a) + f ' ' (a) ( x a) (n) + L + f (a) n!3/29/2009

( x a) ( x a) + f ( 3) ( a ) 2! 3!2

3

n


30

Gambar Polynomial Tingkat Satu dan Dua P1(x) dan P2(x)

a

3/29/2009


31

Teorema Taylor (Formula Taylor)Teorema Taylor Fungsi f dan turunannya f',f'', L ,f (n) ada dan kontinyu dalam interval tertutup a x b dan f (n +1 ) ada dalam interval terbuka a < x < b. f(x) = Pn(x) + Rn(x) Rn ( x) = Remainder tingkat n atau Error f ( n +1) (c)( x a) n +1 Remainder tingkat n = Rn ( x) = (n + 1)! untuk nilai c diantara a dan x3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 32

Deret Taylorf ' (a) f ' ' (a) f ' ' ' (a) 2 f ( x) = f ( a ) + ( x a) + ( x a) + ( x a)3 + L 1! 2! 3! f ( n 1) (a) + ( x a )( n 1) + L (n 1)! untuk x = a + h h h2 h3 f ( a + h) = f ( a ) + f ' ( a ) + f ' ' (a) + f ' ' ' (a) + L 1! 2! 3! h ( n 1) ( n 1) + f (a) + L (n 1)!3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 33

Deret MaclaurinUntuk a = 0 deret Taylor disebut deret Maclaurin

f ' (0) f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f ( n 1) (0) ( n 1) x +L f ( x) = f (0) + x+ x + x +L+ 1! 2! 3! (n 1)!Contoh :

Carilah deret Maclaurin f ( x) = e x f ( x) = e x f ' ( x) = e x f ' ' ( x) = e x f ' ' ' ( x) = e x f ( 0) = e 0 = 1 f ' ( 0) = e 0 = 1 f ' ' ( 0) = e 0 = 1 f ' ' ' ( 0) = e 0 = 1

x x 2 x3 xn f ( x) = 1 + + + +L+ +L n! 1! 2! 3!3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 34

Polynomial Taylor Dua Variabel BebasPolinomial Taylor Dua Variabel tingkat pertama dan kedua f f f adalah fungsi dengan dua variabel bebas, dan nilai f , , dan diketahui x y f f (a, b ) pada titik x = a, y = b, kemudian diketahui f (a, b) ( a, b) x y f f P ( x, y ) = f (a, b) + ( x a ) (a, b ) + ( y b) (a, b) 1 x y f f P2 ( x, y ) = f (a, b) + ( x a ) (a, b ) + ( y b) (a, b) + x y 1 2 f 2 f 2 f ( x a ) 2 2 (a, b ) + 2( x a)( y b) ( a, b) + ( y b) 2 2 ( a, b) x xy y 2! 3/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 35

Contoh 1 :

Perhitungan dengan Deret Pangkat

1 Carilah nilai sampai dengan lima tempat desimal e x x 2 x3 x n 1 e-x = 1 + + L + (1) n 1 +L 1! 2! 3! (n 1)! 1 1 1 1 1 e = 11+ + + L 2! 3! 4! 5! = 1 1 + 0,500000 0,166667 + 0,041667 0,008333 + 0,001389 0,000198 + 0,000025 0,000003 + L = 0,367883/29/2009 Kalkulus II ( Barisan dan Deret ) 36

Contoh 2 : Carilah nilai sin 62o sampai dengan lima tempat desimal Deret Taylor dalam pangkat (x-a) ( x a) 2 ( x a )3 sin x = sin a + ( x a) cos a sin a cos a + L 2! 3! Pilih a = 60o yang dekat dengan 62o x a = 62o 60o = 2o = / 90 = 0,0348889 sin 62o =1 2

3 + 1 (0,0348889) 1 3 (0,0348889) 2 1 (0,0348889)3 + L 2 4 2

= 0,88292

= 0,866025 + 0,017444 0,000527 0,000021 + L

3/29/2009


37

barisan dan deret

Documents