Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 1 Barisan Barisan Tak HinggaKekonvergenan barisan tak hinggaSifat sifat barisan Barisan MonotonRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 2 Barisan Tak Hingga Secarasederhana,barisanmerupakansusunandaribilangan bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuka1,a2,,an. a1 menyatakan suku ke1, a2 menyatakan suku ke2 dan an menyatakan suku ken.Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerahasalnyaadalahbilanganasli.Notasibarisantakhingga adalah{ }=1 nnaRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 3 Barisan Tak Hingga Contoh contoh barisanBarisan Bisa dituliskan dengan rumusBarisan Bisa dituliskan dengan rumusPenentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba coba. , 8 , 6 , 4 , 2{ }=1 nn 2 ,64,53,42,31=)`+1 nn 2nRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 4 Kekonvergenan barisantak hinggaSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menujuL, bila atau {untuksetiapepsilonpositifterdapatNpositifsedemikianhingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antaradan L akan kurang epsilon} L a limnn= c c < > > - > L a , N n 0 N 0nnaRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 5 Kekonvergenan barisantak hinggaContoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena makadivergen =)`+1 n21 nn =+ 1 nnlim2n=)`+1 n21 nnRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 6 Kekonvergenan barisantak hinggaContoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut :Misal,bila maka untuk x e R. =)`1 nn2en n2nenlim( ) n f an=()L x f limx= ()L n f limn= Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 7 Kekonvergenan barisantak hinggaJawaban (lanjutan) Jadi dan dengan menggunakan dalil Lhopital maka Berdasarkan teorema maka .Karena nilai limitnya menuju 0, maka Konvergen menuju 0. xxex 2lim =( )x2exx f =x2xexlim 0enlimn2n= =)`1 nn2en0e2limxx= = Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 8 Kekonvergenan barisantak hinggaContoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Bentukdarisukusukubarisannyamerupakanbentukgantitanda akibat dari nilai cos nt, untuk n ganjil tandanya , untuk n genap tandanya +. Nilaitidak ada tetapi minimal bernilai 1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai ,akan mendekati nol. Jadideret konvergen menuju 0. =)`1 nn cosn1tt n cos limn 0n1limn= t n cos .n1Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 9 Sifat sifat barisan Misal{an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka 1. 2. 3. 4. 5. k k limn= nnnna lim k a k lim =( )nnnnn nnb lim a lim b a lim = ()nnnnn nnb lim a lim b a lim =0 b lim ,b lima limbalimnnnnnnnnn= = Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 10 Barisan Monoton Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : 1.Monoton naik bila2.Monoton turun bila3.Monoton tidak turun bila4.Monoton tidak naik bila 1 n na a+1 n na a+s1 n na a+>Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 11 Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2++an . Notasideret tak hingga adalah. Kekonvergenansuatuderetdapatdiketahuidarikekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu ,,dimana : Dan{ }=1 n na=1 nnannS lim 1 1a S =3 2 1 3a a a S + + =n 3 2 1 na ... a a a S + + + + = 2 1 2a a S + ={} .... , S ..., , S , S Sk 2 11 nn ==Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 12 Deret Tak Hingga ContohSelidiki apakahderetkonvergen ? Jawaban Karena, makaadalah deret konvergenyaitukonvergenmenuju1.PenentuanSndarisuatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba coba. |.|

\|+=1 k1k11 k1 nn1 n11 Sn+=+ =11 nnlim S limnnn=+= 1 k1k11 k+=Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 13 Deret Suku Positif Sebuahdisebutderetsukupositif,bilasemuasuku-sukunyapositif.Berikutiniadalahderet-deretsukupositifyang sering digunakan: 1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p Deretp akan dibahas secara khusus dalam uji integral =1 nnaRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 14 Deret Suku PositifDeret geometri Bentuk umum :Proses menentukan rumusanSn adalah sebagai berikut : Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r = 1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r. .... ...1 3 2 11+ + + + + + = =n kkr a r a r a r a a r a1 n 3 2nr a ... r a r a r a a S+ + + + + =n 1 n 3 2nr a r a ... r a r a r a S r + + + + + =nn nr a a S r S = ( )r 1r 1 aSnn=Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 15 Deret Suku PositifDeret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri :Bila r = 1, maka Sn= na sehingga, sehingga deret divergen Bila | r |1, maka, sehingga deret divergen = na limn0 r limnn= r 1a = nnr limRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 16 Deret Suku PositifDeret harmonis Bentuk umum : Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu =1 nn1n1....817161514131211 Sn+ + + + + + + + + =.....161....91817161514131211 +|.|

\| + + +|.|

\| + + + +|.|

\|+ + + =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 17 Deret Suku PositifDeret harmonis (lanjutan) Karena, maka. Sehinggaderet harmonis divergen.21....212121212121211 + + + + + + + + + = ....161....161818181814141211 Sn2+|.|

\| + + +|.|

\| + + + +|.|

\|+ + + > = + 2n1 limn2n1+ =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 18 KedivergenanDeret Tak Hingga Biladeretkonvergen,maka. kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalahBila ,maka deretakan divergen. Biladalamperhitunganlimitannyadiperolehnol, makaderetbelumtentukonvergen,sehinggaperlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif. =1 nna0 a limnn= 0 a limnn= =1 nnaRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 19 KedivergenanDeret Tak Hingga ContohPeriksa apakahkonvergen ? Jawaban Jadidivergenn121limn += +=1 n1 n 2n1 n 2nlim a limnnn+= +=1 n1 n 2n021= =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 20 Uji Deret Positif1. Uji integral 2. Uji Banding 3. Uji Banding limit 4. Uji Rasio 5. Uji Akar Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 21 Uji Deret PositifUji integral Misalmerupakanderetsukupositifdanmonotonturun, dimana , maka integral tak wajar dari f(x) adalah . Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.Bilanilainyamenujusuatunilaitertentu(ada),makaderet konvergen. =1 nna() +e = B n n f an() ()dx x f lim dx x fb1b1} } =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 22 Deret Suku PositifContoh 1: Uji Integral Deretp Bentuk umum :Kalaudiperhatikanmakaderetharmonissebenarnyajuga merupakanderetpdenganp=1.Kekonvergenanderetpakan bergantungpada nilaip.Untukmenentukanpadanilaipberapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaituMisalmaka.Selanjutnyanilaif(x)tersebutdiintegralkandenganbatas1 sampai . =1 npn1()pnn1n f a = = ( )px1x f =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 23 Deret Suku PositifDeretp (lanjutan) Integral tak wajar dari f(x) adalah Kekonvergenanderetpiniakantergantungdarinilaiintegraltakwajar tersebut.Bilaintegralnyakonvergenmakaderetnyajugakonvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen. dxx1limb1 pb } = dxx11p}b1p 1bp 1xlim(((= p 11p 1blimp 1b= Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 24 Deret Suku PositifDeretp (lanjutan) Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen Bila 0s p1, maka , sehingga deret konvergen. ( )1 pbb 1 p11 p1lim = = p 11p 1blimp 1bp 11p 1blimp 1b 1 p1=Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 25 Uji Deret PositifContoh 2 Tentukan kekonvergenan deret Jawaban Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu : Misal, makaPerhitungan integral tak wajar :dxx ln x1limb2b } = =2 nn ln n1()n ln n1n f an= =x ln x1) x ( f=dxx ln x12}( )| = = b2bx ln ln limRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 26 Uji Deret PositifKarenanilailimitnyamenujutakhingga,makaintegral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen. =2 nn ln n1Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 27 Uji Deret PositifUji Banding Bila untukn > N, berlaku bn > anmakaa. Bila konvergen, makajuga konvergenb. Bila divergen, maka juga divergenJadipadaujibandingini,untukmenentukankekonvergenan suatuderet,bilamenggunakansifatamakaderet pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.Sedangkanbilamenggunakansifatnomor2makaderet pembandingnya adalah yang bersifat divergen. =1 nnb=1 nna=1 nna=1 nnbRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 28 Uji Deret PositifContoh 1 Uji kekonvergenanJawaban Dalamujibanding,pemilihanderetpembandingadalahdipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.Dapat dipilh sebagai deret pembanding. Karenadanmerupakan deretp yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen =+1 n2 n1=1 nn 31=1 nn 31n 312 n1>+Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 29 Uji Deret PositifContoh 2 Uji kekonvergenanJawaban Denganujibanding,digunakanderetpembanding, dimana.Karenamerupakanderet konvergen, maka juga konvergen. =+1 n25 n3=1 n2n32 2n35 n3s+=1 n2n3=+1 n25 n3Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 30 Uji Deret PositifContoh 3 Uji kekonvergenanJawaban Karena untuk , maka deret pembanding yang digunakan adalah.Karena danmerupakan deret konvergen, maka juga konvergen =1 n21nn tan2n tan , n1 t< =1 n22nt2221n nn tants=1 n22nt=1 n21nn tanRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 31 Uji Deret PositifUji Banding Limit Misaldan,merupakanderetsukupositifdan, berlaku Bila0 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri. Notasi deret ganti tanda adalah. atau . Deret ganti tandadikatakan konvergen, bilaa.(monoton tak naik) b.=+11) 1 (inna= 1) 1 (innan 1 na a 0 s s+0 a limnn= ... a a a a4 3 2 1+ + Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 40 Deret Ganti Tanda ContohTentukan kekonvergenan deret Jawaban merupakan deret gantitandadengan rumus suku kennya adalah.Deretakan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :a. . b.Nilai ( ) ( )=+++1 n1 n1 n n3 n1( ) ( )=+++1 n1 n1 n n3 n1n 1 na a 0 s s+() 1 n n3 nan++=0 a limnn= Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 41 Deret Ganti Tanda a.

Karenajadi {an} adalah monoton tak naik. b. Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen. ( )( ) ( ) 1 n n3 n2 n 1 n4 n0++s+ ++s( )( )( )16 n 5 nn 4 n3 n 2 n4 n naa22n1 ns+ ++=+ ++=+1aan1 ns+( )01 n n3 nlim a limnnn=++= ()( )( )13 n1 n n2 n 1 n4 naan1 ns+++ ++=+Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 42 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Deretdikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlakkonvergen (suku an bisa berupa suku positif atau tidak).Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi biladivergen, maka .juga divergen.Kovergen bersyarat terjadibilakonvergen tetapi divergen. + + + ==3 2 11 nna a a a| a | a a a3 2 11 nn+ + ===1 nna=1 nna=1 nna=1 nnaRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 43 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1Tentukan apakahkonvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakanuji banding, dimana deret pembandingnya adalah maka diperoleh bahwa untuk semua nilai n. Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.=1 n3nn cost=1 n3nn cost=1 n3n13 3n1nn cosst=1 n3n1=1 n3nn cost=1 n3nn costRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 44 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakahkonvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah.Dengan uji rasio diperoleh . Karena =0 1, maka divergen .( )21 nlimn+= ( )= 1 nnn2! n1( )! n22! 1 nlim rn1 nn+ +=( )= 1 nnn2! n1 =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 49 Deret PangkatBentuk umum : Contoh deret pangkat 1. 2. 3. + + + + + ==nn22 1 0n0 nnx a x a x a a x a()()()()... b x a b x a b x a a b x ann22 1 0n0 nn+ + + + + = = + + + + + ==n 20 nnx x x 1 x()() + + = =! 6x! 4x! 2x1! n 2x16 4 20 nn 2n( ) () +++ =+=51 x41 x212 n1 x20 nnRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 50 Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkannilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1. Interval nilai xyang memenuhi kekonvergenan dari deret maupundisebut interval kekonvergenan. Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing masing deret. n0 nnx a=()n0 nnb x a =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 51 Deret PangkatTiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deretadalah : Selang konvergensi untuk deret Deret konvergen hanya di x = 0 Deret konvergen mutlak di x e R Deret konvergen mutlak pada intervalbuka (r,r) atau ditambah pada ujung ujung intervalnya.Selang konvergensi untuk deret Deret konvergen hanya di x = b Deret konvergen mutlak di x e R Deret konvergen mutlak pada intervalbuka (br,b+r) atau ditambah pada ujung ujung intervalnya. n0 nnx a=()n0 nnb x a =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 52 Deret Pangkat Contoh 1Tentukan interval kekonvergenan deretJawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x eR 01 nxlimn=+= =0 nn! nx( )n1 nnx! n! 1 nxlim r+=+ Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 53 Deret Pangkat Contoh 2Tentukan interval kekonvergenan deretJawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilaiyang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1.Jadi deret konvergen untuk x = 0 1 n x limn+ = =0 nnx ! n( )n1 nnx! 1 n! nxlim r+=+ Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 54 Deret Pangkat Contoh 3Tentukan interval kekonvergenan deretJawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilaiyang memenuhi adalah 3 < x < 3.Pada ujung ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 2 n1 n3xlimn++= ( )( )=+0 nnnn1 n 3x1( )( )nn1 n1 nnx1 n 32 n 3xlim r++= ++ 1 1 .3x< =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 55 Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut : Saatx = -3 deretnya menjadiDeret inidiketahui sebagai deret harmonis yang divergen . Saatx = 3 deretnya menjadi dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret inikonvergen. Jadi interval kekonvergenan deretadalah =+0 n1 n1( )=+0 nn1 n11( )( )=+0 nnnn1 n 3x13 x 3 s < Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 56 Deret Pangkat Contoh 4Tentukan interval kekonvergenan deretJawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilaiyang memenuhi adalah 4 < x < 6.Pada ujung ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 1 n 2 nn5 x lim22n+ + = ( )=1 n2nn5 x( )( ) ( )n221 nn5 xn1 n5 xlim r +=+ 1 1 . 5 x < =Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 57 Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut : Saatx = 4 deretnya menjadi karena. konvergen makaderet ganti tandanya juga konvergen.. Saatx = 6 deretnya menjadiyang merupakan deret-p yangdiketahui konvergen.Jadi interval kekonvergenan deretadalah ( )= 1 n2nn11=0 n2n1=1 n2n1( )=1 n2nn5 x6 x 4 s sRabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 58 Operasi-operasi deret pangkat1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi 2. Turunan deret :

3.Integral deret : == =((

110 nnnnnn xx na x a DC x1 nadx x a dx x a1 n0 nnn0 n 0 nnnn++=}}=+===Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu 1324 59 Deret Pangkat Deret geometriadalah contoh deret pangkat x dengan an = 1 . Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh Secara umum x bisa diganti denganU dimana U adalah fungsi yang memuatx. =1 nnx... x x x 1x 113 2+ + + + =1 x