barisan dan deret
TRANSCRIPT
142
BAB X BARISAN DAN DERET
Barisan U1, U2, U3, …, Un, adalah fungsi dengan domain bilangan asli. Unsur barisan disebut suku-suku barisan. Dalam hal ini Un di baca sebagai suku ke – n. Deret atau jumlah n suku pertama Un adalah barisan S1, S2, S3, … , Sn dimana S1 = U1, S2 = U1 + U2, …, Sn = U1 + U2 + … + Un. 10.1 Barisan Aritmatika
Contoh : Barisan aritmatika dengan U3 = 7 dan U5 + U11 = 44, maka U2 = … Jawab : U5 + U11 = a + 4b + a + 10b = 2a + 14b = 2(a + 2b) + 10b = 2 U3 + 10 b
Maka 44 = 2 . 7 + 10 b ⇒ b = 3 Dengan demikian U2 = a + b = (a + 2b) − b = U3 − b = 7 − 3 = 4
Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( Sn ) 1. Sn =
21 n ( 2a + (n − 1) b )
2. Sn = 21 n ( a + Un )
3. Sn = n Ut , dimana banyak suku ( baca : n ) ganjil dan Ut suku tengah atau Ut = 2
1 ( a + Un )
U1 = S1 Un = Sn − Sn−1 untuk n = 2, 3, 4, …
Barisan aritmatika Un dapat ditulis sebagai fungsi linier dari n, yaitu …
Un = b n + c ; b = beda, c suatu konstanta
Deret aritmatika Sn dapat ditulis sebagai fungsi kuadrat tanpa konstanta tetap dari n , yaitu …
Sn = 2b n2 + d n ; b = beda, d suatu konstanta
Ciri barisan : Selisih dua suku yang berurutan konstan Un − Un−1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4, … Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan b (beda).
Ciri : Un − Un−1 = b, dengan n = 2, 3, 4 …
Misalkan a = suku pertama barisan = U1 ; b = beda barisan
Maka …
Barisannya: a, a + b, a + 2b , a + 3b, …, a + (n − 1)b, …
Un = a + (n − 1) b, dengan n = 1, 2, 3, …
143
Barisan dan Deret
Contoh 1. Jika Un menyatakan suatu barisan aritmatika dan Sn adalah jumlah n suku pertama
Un, maka nilai 2311
1320UUSS
+− = …
(A) 27 (B) 3
11 (C) 337 (D) 34
33 (E) 3411
Jawab : A S20 − S13 = 2
20 (2a + 19 b) − 213 (2a + 12 b) = 7 a + 112 b = 7 (a + 16 b)
U11 + U23 = a + 10b + a + 22 b = 2a + 32b = 2 (a + 16b) Jadi
2311
1320UUSS
+− = 2
7
2. Diketahui barisan aritmatika dengan jumlah n buah suku pertama Sn = 5n2 + 4n.
Suku yang nilainya 159 adalah suku ke … (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 24 Jawab : B Sn = 5n2 + 4n ⇒
2b = 5 ⇒ b = 10
a = U1 = S1 = 9 Dengan demikian Un = 9 + (n − 1) 10 ⇒ 159 = 9 + (n − 1) 10 ⇒ n = 16
Cara lain a = U1 = S1 = 9; U2 = S2 − S1
= 28 − 9 = 19 Jadi b = U2 − U1 = 19 − 9 = 10 Dengan demikian Un = 9 + (n − 1) 10 ⇒ 159 = 9 + (n − 1) 10 ⇒ n = 16
3. Jumlah bilangan antara 1 sampai dengan 250 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah … (A) 14898 (B) 12498 (C) 10458 (C) 8418 (D) 2040
Jawab D I. Habis dibagi 3 antara 1 sampai 250
3, 6, 9, 12, … Un ⇒ Un = 3 + (n − 1) 3 ⇒ Un = 3n Suku terakhir < 250 ⇒ Un < 250 ⇒ 3n < 250 ⇒ n < 83
31
⇒ Suku terakhir = U83 = 3 . 83 = 249 Jumlah bilangannya SI =
283 ( 3 + 249) = 10458
II. Habis dibagi 3 dan habis dibagi 5 antara 1 sampai 250 ⇒ Habis dibagi 15 15, 30, 45, …, Un ⇒ Un = 15 + (n − 1) 15 ⇒ Un = 15n Suku terakhir < 250 ⇒ Un < 250 ⇒ 15 n < 250 ⇒ n < 16
32
⇒ Suku terakhir = U16 = 15 . 16 = 240 Jumlah bilangannya SII =
216 ( 15 + 240) = 2040
Jumlah bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 antara 1 sampai dengan 250 adalah …
S = (Jumlah yang habis dibagi 3) − ( Jumlah yang habis dibagi 15 ) = SI − SII = 10458 − 2040 = 8418
Ingat: Sn dapat dituliskan Sn =
2b n2 + d n; b = beda
Ingat : Un = Sn − Sn−1
144
Barisan dan Deret
4. Diantara bilangan 14 dan C disisipan 10 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Jika enam kali suku kesembilan barisan yang disisipkan sama dengan jumlah suku-suku sisipan dan yang mengapitnya, maka nilai C adalah … (A) −102 (B) −74 (C) 8 (D) 47 (E) 80
Jawab : B
Pehatikan: S = Jumlah bilangan yang disisipkan dan yang mengapitnya = 2
n ( 2a + (n−1) b ) = 212 ( 28 + (12 −1) b ) = 168 + 66b
Diketahui : S = enam kali bilangan kesembilan yang disisipkan ⇒ 168 + 66b = 6 ( 14 + 9b) ⇒ 12 b = −84 ⇒ b = −7
Dengan demikian C = 14 + 11 b = 3 + 11 (− 7) = −74
5. Diketahui barisan bilangan 2, 13, 24, 35, …. Diantara suku pertama dan suku kedua disisipkan 3 bilangan, diantara suku ke dua dan suku ke tiga disisipkan 5 bilangan, diantara suku ke tiga dan keempat disisipkan 7 bilangan, dan seterusnya. Jika suku-suku yang disisipkan dan yang mengapitnya membentuk barisan aritmatika, maka bilangan kelima suku-suku sisipan antara suku ke 19 dan suku ke 20 adalah … (A) 102
53 (B) 201
83 (C) 261
41 (D) 311
21 (E) 403
52
Jawab : B
Perhatikan, A dan B dan sejumlah 39 bilangan yang disisipkan diantara A dan B membentuk barisan aritmatika. Misalkan barisan tersebut …
A, A + bs , A + 2bs , …, A + 39bs , B Akibatnya B = A + 40 bs ⇒ 211 = 200 + 40 bs
⇒ bs = 4011
Bilangan kelima yang disisipkan antara A dan B adalah … A + 5 bs = 200 + 5
4011 = 200 +
811 = 200 + 1
83 = 201
83
6. Jumlah n suku pertama barisan aritmatika Sn = (p − 2) n2 + (13 − 4p) n + 5p − 8,
maka nilai negatif pertama dari barisan ini adalah suku ke … (A) 26 (B) 20 (C) 11 (D) 9 (E) 7
2 13 24 A B
disisipkan 3
bilangan
disisipkan3 + 2 . 1 bilangan
disisipkan3 + 2 . 2 bilangan
disisipkan 3 + 2 . 18 bilangan
35
A = U19 = a + 18 b = 2 + 18 . 11 = 200 B = A + 11 = 211
14 14 + b C14 + 2b 14 + 2b 14 + 10b
10 bilangan disisipkan antara 14 dan C
145
Barisan dan Deret
Jawab D Sn = (p − 2) n2 + (13 − 4p) n + 5p − 8
⇒ 5p − 8 = 0 dan 2b = p − 2
Dengan demikian p = 58 , b = −
54 dan a = U1 = S1 = −
52 +
533 =
531
Un akan bernilai negatif ⇒ Un = a + (n − 1) b < 0 ⇒
531 + (n − 1) (−
54 ) < 0 ⇒ −4n + 35 < 0 ⇒ n > 8
43
Nilai negatif pertama dari barisan Un adalah suku ke−9
10. 2. Barisan geometri
Contoh : 3, 12, 48, 192, … barisan geometri dengan rasio r = 4
2, −3, 29 , −
427 , … barisan geometri dengan rasio r = −
23
Contoh 1. Jika Un barisan geometri, maka U1 . U3 . U11 . U17 =
(A) 8 U4 (B) U84 (C) 4 U7
8 (D) U74 (E) U7
8
Jawab: B U1 . U3 . U11 . U17 = a . ar2 . ar10 . ar16 = a4 r28 = ( a r7 )4 = U8
4
2. Suku ke-2 dan ke-9 barisan geometri masing-masing adalah A dan B, maka nilai suku ke 12 adalah …
(A) A B 73
AB (C) A B 7 3A
B (E) A B2 7 AB
(B) A B 73
4
AB (D) A B 7 23BA
Jawab: A
Perhatikan 2
9UU = r a
r a 8 = r7 ⇒
AB = r7 ⇒ r = ( ) 7
1
AB
U12 = a r11 = ( a r ) r10 = U2 r10 = A r10
= A ( ) 710
AB = A B ( ) 7
1 3
AB = A B 7
3
AB
Ciri barisan : Hasil bagi dua suku yang berurutan konstan
1nUnU
− = konstan, dengan n = 2, 3, 4, …
Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan r (rasio).
Ciri : 1nU
nU
− = r, dengan n = 2, 3, 4 …
Misalkan a = suku pertama barisan = U1 r = rasio barisan
Maka …
Barisannya: a, a r, a r2, a r3, …, a r n − 1 , … Un = a r n − 1 , dengan n = 1,2, 3, …
Ingat: Sn dapat dituliskan Sn =
2b n2 + d n; b = beda
146
Barisan dan Deret
3. Contoh berikut ini dapat anda hafalkan sebagai rumus
Bukti Tulislah U1, U2, U3, …. sebagai a, ar, ar2, ar3, … Maka barisan U1 + U1+k , U2 + U2+k , U3 + U3+k , …
a + ark , ar + ark +1 , ar2 + ark +2 , … a + ark , ( a + ark ) r , ( a+ ark) r2 , … adalah barisan geometri rasio r
4. Contoh berikut ini dapat anda hafalkan sebagai rumus
Bukti Tulislah U1, U2, U3, …. sebagai a, ar, ar2, ar3, … Maka barisan U1+k − U1, U2+k − U2, U3+k − U3, …
ark − a, ark +1 − ar , ark +2 − ar2, … ark − a, (ark − a)r , (ark − a)r2, … adalah barisan geometri rasio r
5. Barisan geometri x− 3, x + 5, x + 77, … mempunyai rasio r maka x + r = …
(A) 1 (B) 4 (C) 13 (D) 23 (E) 29 Jawab : C Tuliskan U1 = x − 3, U2 = x + 5, U3 = x + 77 … Perhatikan U1, U2, U3, … rasio r
⇒ U2 − U1, U3 − U2, … rasio r ⇒ r =
12
23UUUU−− = 8
72 = 9
Perhatikan U2 = a r ⇒ x + 5 = (x − 3) 9 ⇒ x = 4 Jadi x + r = 13
Cara lain Barisan x − 3, x + 5, x + 77 … mempunyai rasio r ⇒ r = 3x
5x−+ = 5x
77x++ ⇒ x2 +10x+25 = x2 + 74x − 231 ⇒ 64x = 256 ⇒ x = 4
Jadi barisannya adalah 1, 9, 81. Diperoleh r = 9. Dengan demikian x + r = 13
6. Un Barisan aritmatika dengan beda tidak nol dan suku ke-3, suku ke-7 dan suku ke-15 membentuk barisan geometri. Jika jumlah 8 suku pertama barisan aritmatika tersebut sama dengan 11. Suku ke-6 barisan geometri adalah … (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 45
Misalkan U1, U2, U3, …. barisan geometri dengan rasio r Maka U1 + U1+k, U2 + U2+k, U3 + U3+k, …. barisan geometri dengan rasio r
Misalkan U1, U2, U3, …. barisan geometri dengan rasio r Maka U1+k − U1, U2+k − U2, U3+k − U3, …. barisan geometri dengan rasio r
Aplikasi rumus pada contoh nomor 4. Persisnya dengan cara nilai k = 1
147
Barisan dan Deret
Jawab : C Diketahui Un Barisan aritmatika dengan U3, U7, U15 barisan geometri
⇒ a + 2b, a + 6b, a + 14b adalah barisan geometri ⇒ r = b2a
b6a++ = b6a
b14a++ ⇒ (a + 6b)2 = (a + 2b) (a + 14b)
⇒ a2 + 12 ab + 36 b2 = a2 + 16 ab + 28b2 ⇒ 8 b2 − 4 ab = 0 ⇒ b (8b − 4a) = 0 ⇒ b = 0 ( tidak dipakai ) atau b =
21 a
Diketahui jumlah 8 suku pertama barisan aritmatika = 16 ⇒
28 (2a + (8 −1)b) = 11 ⇒ 8a + 28b = 16 ⇒ 22 a = 11 ⇒ a =
21
Jadi barisan geometri : 1, 2, 4, …,2n−1 ⇒ Suku ke-6 = 25 = 32
Cara lain a + 2b, a + 6b, a + 14b rasio r ⇒ r = )b2a()b6a(
)b6a()b14a(+−++−+ = b4
b8 = 2.
Dengan demikian a + 6b = (a + 2b) r ⇒ a + 6b = 2a + 4b ⇒ a = 2b Dari S8 = 11 ⇒ 8a + 28b = 11 ⇒ 22 a = 11 ⇒ a =
21 dan b =
41
7. Diantara
81 dan 32 disisipkan 7 bilangan sehingga membentuk barisan geometri,
maka jumlah dari bilangan bilangan ini adalah … (A)
863 (B)
8127 (C)
8255 (D)
8511 (E)
81023
Jawab : D Karena 32 =
81 r 8 ⇒ r 8 = 32 . 8 = 25 23 = 28 ⇒ r = 2
Jumlah semuah bilangan = S9 = a 1 r 1 r 9
−− =
81 1 2
1 2
m4 1 T91 0.504094 0 TD(1)Tj05.2081 0.5040-0.0.128109 = 2l-0.61.07009 = 2l- 0 6.83 0 TD(2507856 0 7.507856 11 T1 1 0.55TJET0 =)-5.1195.913 -306.41 m208T2 11 0.55TJET0.6 1.2Tf0.4996 (E))Tj) 425.46 Tc(1)Tj-0.1239 375898 356-0.7557 0 TD( )TC-0.4483 0 TD(2)Tj1.5498 1.0439 TD(1)Tj( cm)Tj.34 011 T460 TD7T46011 T4600 0 7.5077856 0 7.507856 249r
148
Barisan dan Deret
Jawab : C U1 = 2 A ; U2 = A, U3 = 2
1 2 A , … Barisan diatas adalah barisan geometri dengan r =
21 2 dan a = U1 = 2 A.
S12 = a r 1r 1 12
−− ⇒ 42 = 2 A
2 21 1641 1
−
− ⇒ A = 42 (1 − 2
1 2 ) 6364 2
1 2
⇒ A= 364 (2 − 2 )
9. Pada segitiga disamping ini, ∆OA1A2 siku-siku di A1
dan ∠ A1OA2 = α, ∆OA2A3 siku-siku di A2 dan ∠ A2OA3 = α, ∆OA3A4 siku-siku di A3 dan ∠ A3OA4 = α dan seterusnya. Jika OA1 = 2, sin α = 5
3 , maka nilai n agar
A1A2 + A2A3 + … + AnAn+1 > 90 adalah … (A) n >
2 3log5
2 − (C) n >
3 5log2
4 + (E) n >
2 5log4
2 −
(B) n > 2 5log
34 +
(D) n > 3 2log
45 +
Jawab E ∆ OA1A2 ⇒ A1A2 = OA1 tan α
cos α = 2
1OAOA ⇒ OA2 = αcos
OA1 = 45 OA1
∆ OA2A3 ⇒ A2A3 = OA2 tan α cos α =
3
2OAOA ⇒ OA3 = αcos
OA 2 = α21
cosOA = (
45 )2 OA1
∆ OA3A4 ⇒ A3A4 = OA3 tan α cos α =
4
3OAOA ⇒ OA4 = αcos
OA 3 = α31
cosOA = (
45 )3 OA1
Cara yang sama berlaku pada segitiga-segitiga berikutnya
Perhatikan A1A2 + A2A3 + A3A4 + … + AnAn+1 > 90 ⇒ OA1 tan α + OA2 tan α + OA3 tan α + … + OAn tanα > 90 ⇒ tanα ( OA1 + OA2 + OA3 + … + OAn−1 ) > 60 ⇒ tan α ( OA1 +
45 OA1 + (
45 )2 OA1 + … + (
45 )n−1 OA1 ) > 90
⇒ 43 ( 2 +
45 . 2 + (
45 )2 . 2 + … + (
45 )n−1 . 2 ) > 90
⇒ 1 + 45 (
45 )2 + … + (
45 )n−1 > 60 ⇒( )
1 45
1 45 n
−
− > 60
⇒ (45 )n − 1 > 15 ⇒ (
45 )n > 16 ⇒ 2log(
45 )n > 2log 16
⇒ n ( 2log5 − 2) > 4 ⇒ n > 2 5log
42 −
A5
OA1
A2
A3
A4
α α α α
149
Barisan dan Deret
10. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri Sn = p19
− − n31p3
−+ . Jika r adalah rasio barisan, maka nilai p . r = … (A) −3 (B) −2 (C) −1 (D) 1 (E) 2 Jawab C Perhatikan Sn = p1
9− − n31p
3−+ ⇒ Sn = p22
3− − 1p
3+
n
271
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇒ p223
− = 1p3
+ dan r = 271 = 3
3−
⇒ 2 − 2p = p + 1⇒ p = 31
Dengan demikian p r = − 1
11. Jika akar-akar persamaan x2 + 2x − 6 = 0 adalah x1 dan x2, maka …
1x1 +
2x1 +
2 1x1 +
2 2x1 +
3 1x1 +
3 2x1 + … = …
(A) −34 (B) − 3
10 (C) 310 (D) 5
3 (E) 34
Jawab : E Perhatikan
1x1 +
2 1x1 +
3 1x1 + … adalah jumlah tak hingga suku deret geometri
dengan a = 1x
1 dan r = 1x
1 .
Jadi 1x
1 + 2
1x1 +
3 1x1 + … = r 1
a−
= 1
1
x1 1
x1
− = 1x
11−
Dengan cara sama 2x
1 + 2
2x1 +
3 2x
1 … = 1x12−
Akibatnya S = 1x
1 + 2x
1 + 2
1x1 +
2 2x1 +
3 1x1 +
3 2x1 + … = 1x
11−
+ 1x12−
= 2121
21xx)xx(1
2 x x ++−−+ =
6 )2( 12 2−−−
−− = 34
12. Deret x + xy + xy2 + xy3 + … konvergen dengan suku-suku negatif, jika
(A) x < 0 dan −1 < y < 0 (D) y > 0 dan 0 < x < 1 (B) x < 0 dan 0 < y < 1 (E) y > 0 dan −1 < x < 0 (C) x > 0 dan −1 < y < 0
Ingat, Sn barisan geometri dapat ditulis sebagai … S n = d − d r n
Notasi : S∞ = nnSlim
∞→ = U1 + U2 + U3 + U4 + …
Ada dua kemungkinan hasil dari S∞, yaitu …
Untuk | r | > 1, berlaku disebut jumlah tak hingga suku divergen
S∞ = ∞
Untuk | r | < 1, berlaku disebut jumlah tak hingga suku konvergen
S∞ = r 1a−
Syarat jumlah tak hingga suku konvergen adalah | r | < 1
150
Barisan dan Deret
Jawab B U1, U2, U3, … bernilai negatif ⇒ x = U1 < 0 …….(1)
rasio= 1
2UU = )(
)(−− = (+) ⇒ y > 0 …….(2)
Karena deret ini konvergen, maka −1 < rasio = y < 1 ……(3) Dari (1), (2) dan (3) , diperoleh x < 0 dan 0 < y < 1
13. Jika x memenuhi 1 ≤ tanx + tan2x + tan3x + … ≤ 3 maka nilai terbesar dari 1 − sin2x + sin4x − sin6x + … adalah … (A)
21 (B)
43 (C) 34
25 (D) 53 (E)
65
Jawab E Misal p = tanx ⇒ 1 ≤ p + p2 + p3 + … ≤ 3
⇒ 1 ≤ p1
p−
≤ 3
⇒ (p1
p−
− 1)( p1
p−
−3) ≤ 0
⇒ 2)p1()3p4)(1p2(
−−− ≤ 0
⇒ 21 ≤ p ≤
43 (memenuhi syarat konvergen −1 < rasio = p < 1)
⇒ 21 ≤ tanx ≤
43
Perhatikan S = S∞ = 1 − sin2x + sin4x − sin6x + … = r1a− =
xsin 11
2+
Untuk tanx = 21 diperoleh sinx =
51 ⇒ S =
65
Untuk tanx = 43 diperoleh sinx = 5
3 ⇒ S = 3425
Dengan demikian 3425 ≤ S ≤
65 ⇒ Smaks =
65
14. Pada deret geometri konvergen, diketahui Sn = p dan S2n = q, maka S∞ = …
(A) pqp2 − (B) p
q (C) qpq2 − (D)
qp2p 2
− (E)
qp2q 2
−
Jawab D Sn = r1
a− (1−rn) ⇒ p = S∞ ( 1−rn)
S2n = r1a− (1−r2n) ⇒ q = S∞ ( 1−rn) (1 + rn) ⇒ q = p ( 1+ rn) ⇒ rn = p
q − 1
Akibatnya diperoleh p = S∞ ( 2− pq ) ⇒ p = S∞ ( p
qp2 − ) ⇒ S∞ = qp2
p 2
−
21
++ +
43 1
−
a ≤ x ≤ b ⇒ (x−a)(x−b) ≤ 0
151
Barisan dan Deret
SOAL & PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA 1. Jumlah deret geometri tak hingga 2log x + 4log x + 16log x + …. adalah
a. 21 log x b. 2 log x c.
21 2log x d. 2log x e. 22log x
(Matematika ’89 Rayon A)
Jawab : E S~ = 2log x +
21 2log x +
41 2log x + …
a = 2log x ; r = 12
uu = 2
1 ⇒ S~ = r 1a−
= 21 1xlog2
− = 2 2log x
2. Diketahui p = log 2 + log22 + … + logn2 nilai p untuk n → ~ adalah …
a. −5log 2 b. 5log 2 c. 2log 5 d. log52 e. log
25
(Matematika ’89 Rayon B)
Jawab : B Karena n → ~, maka p = S~ = r 1
a−
p = log2 12log
− = log2 10log2log− = log5
2log = 5log 2
3. Deret geometri 1 + 3log (x − 5) + 3log2 (x − 5) + … konvergen jika …
a. 0 < x < 5 c. 531 ≤ x ≤ 8 e. 5
31 < x < 8
b. 5 < x < 8 d. 0 ≤ x ≤ 8 (Matematika ’89 Rayon C)
Jawab : E Perhatikan : r = 3log ( x − 5) Syarat konvergen | r | < 1 ⇒ −1 < r < 1 ⇒ −1 < 3log ( x − 5) < 1 I. 3log ( x − 5) terdefinisi untuk x − 5 > 0. Deperoleh x > 5 II. −1 < 3log ( x − 5 ) < 1 ⇒ 3−1 < x − 5 < 31
⇒ 31 < x − 5 < 3 ⇒ 5
31 < x < 5
Dari ( I ) dan ( II ) diperoleh 531 < x < 5
4. Diberikan lingkaran L1 dengan jari-jari r. Di dalam L1 dibuat bujur sangkar B1,
dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L1. Dalam B1 dibuat pula lingkaran L2 yang menyinggung keempat sisi bujur sangkar tersebut. Dalam L2 dibuat pula bujur sangkar B2 dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L2. Demikian seterusnya sehingga diperoleh lingkaran-lingkaran L1, L2, L3, … dan bujur sangkar B1, B2, B3, … Jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh bujur sangkar adalah … a. 2(π + 2)R2 c. (π + 2)r2 e. (π + 2)r2 2 b. (π + 2)R2 2 d. (π + 2 )r2
(Matematika ’90 Rayon A) Jawab : A
152
Barisan dan Deret
I. Jari-jari lingkaran L1 = r. Luas lingkaran L1 = πr2. AC = diameter = 2r Misal : AB = x = BC ⇒ AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = x2 + x2 ⇒ 4r2 = 2x2 ⇒ BC = AB = x = r 2
Jari-jari lingkaran L2 = 21 AB =
21 r 2
Luas lingkaran L2 = π (21 r 2 )2 =
21 πr2
Maka rasio = Lr = 1
2LL =
2
2
r
r 21
π
π = 2
1 ;
Jumlah semua luas L1 + L2 + L3 + ….= S~ =L
1r 1
L−
= 21 1
2r−
π = 2πr2
II. Panjang AB = BC = r 2 Luas bujursangkar B1 = AB.BC ⇒ B1 = r 2 . r 2 = 2r2 Sisi bujursangkar B2 = HE = AP = jari-jari L1 = r Luas bujursangkar B2 = HE . HG = r . r = r2 dan seterusnya
Maka ratio = Br = 2
2
r2r = 2
1 ; u1 = a = 2r2
Jumlah semua luas B1 + B2 + B3 + … = S~ =Br 1
a−
= S~ =21 1
2r2−
= 4r2
Dari (I) dan (II), jumlah semua luas = 2πr2 + 4r2 = 2(π + 2) r2 5. Deret
5log1
x +
2x )5log(1 +
3)5logx(1 + … konvergen untuk nilai x berikut …
a. −1 < x < 1 c. 51 < x < 5, x ≠ 1 e. x < −1atau x > 1
b. −5 < x < 5, x ≠ 1 d. x <51 atau x > 1
(Matematika ’90 Rayon B) Jawab : C I. Bentuk log diatas mempunyai syarat x > 0, x ≠ 1
II. Ratio = r = 5logx
1)5logx(
12
= 5logx
1 = 5log x
Syarat konvergen jika −1 < x < 1 ⇒ −1 < 5log x < 1 ⇒ 51 < x < 5
Dari (I) dan (II), maka 51 < x < 5 , x ≠ 1
6. Deret geometri 2log (x − 6) + 2log2(x − 6) + 2log3(x − 6) + ….konvergen pada
interval a. 6,5 < x < 8 c. 0 < ⏐x − 6⏐< 2 e. x > 6 b. 6,5 ≤ x ≤ 8 d. 0 ≤ ⏐x − 6⏐ ≤ 2
(matematika “90 Rayon C) Jawab : A Ratio = r = 2log (x − 6) ; konvergen bila −1 < r < 1 Akibatnya −1 < 2log (x − 6) < 1 ⇒
21 < x − 6 < 2 ⇒ 6
21 < x < 8
B A
D C
H
E
F
G
P
153
Barisan dan Deret
7. Jika Pn = 10log 2 + 10log2 2 + … + 10logn 2 dan
∞→nlim Pn = P maka 5P = …
a. 52 b. 5 c. 5log2 d. 2 e. 25 (Matematika ’90 Rayon C)
Jawab : D Untuk n → ~ P~ = S~ = r 1
a−
= log2 12log
− = 5log2log = 5log 2
Maka 5P = 2log55 = 2
8. Perhatikan deret 1 + log cos x + log2 cos x + log3 cos x + … Jumlah deret ini, yaitu s dapat mengambil setiap nilai … a.
21 < s ≤ 1 b.
21 < s < 2 c. s <
21 d. s >
21 e. s > 1
(Matematika ’91 Rayon A) Jawab : A S~ = s = r 1
a−
dengan a = U1 = 1 dan ratio = r = log cos x
s = logcosx 1a
− mempunyai nilai apabila konvergen, yaitu | r | < 1.
⏐r⏐ < 1 ⇒ −1 < r < 1 ⇒ −1 < log cos x < 1 ⇒ 101 < cos x < 10
Tetapi batas kurva cos x adalah −1 ≤cos x ≤ 1 ⇒ 101 < cos x ≤ 1
⇒ −1 < log cos x ≤ 0 ⇒ −1 < r ≤ 0
Untuk r = log cos x = −1 berlaku s = )1(1
1−−
= 21
Untuk r = log cos x = 0 berlaku s = 0 1
1−
= 1
Dengan demikian diperoleh 21 < s ≤ 1
9. Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan pembanding lebih besar
dari satu. Bila suku terakhir dikurangi 3, maka ketiga bilangan itu merupakan barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku ketiga dan suku pertama deret aritmetika ini adalah … a. 16 b. 14 c. 12 d. 10 e. 8
Jawab : C Misal : ketiga suku barisan geometri a, ar, ar2 Diketahui a, ar, ar2 − 3 barisan aritmetika ⇒ ar − a = ar2 − 3 − ar
⇒ ar2 − 2ar + a = 3 Diketahui juga a + ar + ar2 − 3 = 54 ⇒ ar2 + ar + a = 57
−3ar = 54 ⇒ a r = 18 ar2 − 2ar + a = 3 ⇒ 18 r − 2 . 18 + r
18 = 3 | kali r | ⇒ 18r2 − 39r + 18 = 0 ⇒ 6r2 − 13r + 6 = 0 ⇒ r1 = 3
2 ; r2 = 23
Untuk r = r1 = 32 ⇒ a = 27 ⇒ barisan aritmatika : 27, 18, 9 ⇒ U3 − U1 = − 18
Untuk r = r2 = 23 ⇒ a = 12 ⇒ barisan aritmatika : 12, 18, 24 ⇒ U3 − U1 = 12
154
Barisan dan Deret
10. Diketahui y = 1 + x + x2 + x3 + …, sin y > 0 dalam selang 0 < y < 2π untuk …
a. − 1 < x < 1 c. − 1 − π1 < x < 1 − π
1 e. x < π
b. − 1 < x < 1 − π1 d. x < 1 − π
1 (Matematika ’91 Rayon B)
Jawab : B Perhatikan y = S~ = r 1
a−
= x11−
I. Syarat barisan konvergen | r | < 1. Diperoleh −1 < x < 1
II. sin y > 0 ⇒ 0 < y < π
⇒ 0 < x 11− < π
⇒ 1 − x > π1 ⇒ −x > π
1 − 1 ⇒ x < 1 − π1
Dari (1) dan (2) − 1 < x < 1 − π
1
11. Jumlah tiga suku pertama deret aritmatika 21, sedangkan hasil kalinya 280. Jika semua suku deret aritmatika ini positif maka jumlah 10 suku pertama deret itu sama dengan …. a. 175 b. 170 c. 160 d. 155 e. 150
(Matematika ’91 Rayon B)
Jawab : A Misalkan tiga suku pertama deret aritmatika a − b, a, a + b Jumlahnya a − b + a + a + b = 21 ⇒ 3a = 21 ⇒ a = 7 Hasil kalinya (a − b) . (a) . (a + b) = 280 (7 − b) . 7 . (7 + b) = 280 (7 − b) . (7 + b) = 40 49 − b2 = 40 b2 = 9 ⇒ b = ± 3 Jumlah deret positif bila beda = b = 3 Deret yang dimaksud : 4, 7, 10 Maka S10 = 2
10 (2a + 9 b)
S10 = 5(2.4 + 9.3) = 175 12. Diketahui a + 1, a − 2, a + 3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku
membentuk barisan aritmatika, maka suku ketiga harus ditambah dengan … a. 8 b. 6 c. 5 d. −6 e. −8
(Matematika ’91 Rayon C) Jawab : E Diketahui barisan Geometri : a + 1, a − 2, a + 3
barisan aritmatika : a + 1, a − 2, a + 3 + x a + 1, a − 2, a + 3 + x barisan aritmatika ⇒ a − 2 − (a + 1) = a + 3 + x − (a − 2)
⇒ −3 = 5 + x ⇒ x = −8
-1 11 1−π
Sin y akan bernilai positif pada kuadran I dan kuadran II
155
Barisan dan Deret
13. Agar jumlah deret 64log(x − 2) + 64log2(x − 2) + 64log3(x − 2) + … terletak antara 1 dan 2, maka haruslah … a. 64
129 < x < 66 c. 64129 < x < 10 e. 10 < x < 18
b. 64129 < x < 18 d. 10 < x < 66
(Matematika ’91 Rayon C) Jawab : E misalkan 64log(x − 2) = p ⇒ a = p dan r = p I. Syarat logaritma x − 2 > 0 ⇒ x > 2 II. Syarat konvergen −1 < r < 1 ⇒ −1 < p < 1
III. Diketahui 1 < S~ = )2 xlog(64 1
)2 xlog(64
−−
− < 2 ⇒ 1 < p 1p− < 2
⇒ ( p 1p− −1)( p 1
p− − 2) < 0
⇒ 2)p1(
)2p3)(1p2(−
−− < 0
Diperoleh 21 < p < 3
2
Dari (II) dan (III) diperoleh 21 < p < 3
2 ⇒ 21 < 64log(x − 2) < 2
1
⇒ 8 < x − 2 < 16 ⇒ 10 < x < 18 Dari (I) dan 10 < x < 18 diperoleh 10 < x < 18
14. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 8, dan jumlah semua suku pada kedudukan (urutan) genap adalah
38 . Suku kelima deret tersebut adalah …
a. 2 b. 1 c. 21 d.
31 e.
41
(Matematika ’92 Rayon A) Jawab : E Diketahui S~ = a + a r + a r2 + a r3 + a r4 + a r5 + … = 8
SA = a r + a r3 + + a r5 + … = 38
SB = a + a r2 + a r4 + … = 3
16
Ratio deret r = BSAS =
31638
= 21
Dari S~ = 8 ⇒ r 1a−
= 8 ⇒ 21 1
a−
= 8 ⇒ a = 4
Dengan demikian u5 = ar4 = 4 . (21 )4 =
41
15. x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 − (2k + 4)x + (3k + 4) = 0. Kedua
akar itu bilangan bulat dan k konstan. Jika x1, k, x2 merupakan tiga suku pertama deret geometri maka suku ke-n deret tersebut adalah … a. −1 b. 2(−1)n c. −(−1)n d. 1 + (−1)n e. 1 − (−1)n
(Matematika ’92 Rayon A, Rayon B, Rayon C)
a < x < b ⇒ (x −a)(x −b) < 0
21
++ +
32 1
−
156
Barisan dan Deret
Jawab Dari deret geometri x1, k, x2 ⇒ r =
1xk = k
x2 ⇒ k2 = x1 . x2 ………. (1)
Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = 3k + 4 ………….…….. (2) Dari (1) dan (2) ⇒ k2 = 3k + 4 ⇒ k2 − 3k − 4 = 0 ⇒ (k − 4)(k + 1) = 0
⇒ k1 = 4 ; k2 = −1 Untuk k = 4 ⇒ Persamaan kuadratnya x2 − 12x + 16 = 0.
Akar-akarnya tidak bulat ( tidak memenuhi) Untuk k = −1 ⇒ Persamaan kuadratnya x2 −2x + 1 = 0.
Akar-akarnya adalah x1 = x2 = 1. Deret geometrinya adalah 1, −1, 1 Un = a r n −1 = 1 . (−1)n −1 = −(−1)n
16. Untuk k > 0, bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk tiga suku pertama suatu deret geometri. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah … a. 4
1 (1 – 3n) c. − 41 (1 – 3n) e. 4
1 (1 – (−3)n)
b. 21 (3n – 1) d. − 2
1 (1 – (−3)n)
(Matematika ’92 Rayon B) Jawab : E Ciri deret geometri : u2
2 = u1 . u3 (k – 6)2 = (k – 2)(2k + 3) k2 – 12k + 36 = 2k2 – k – 6 k2 + 11k – 42 = 0 (k + 4)(k – 3) = 0 k1 = −14, (tidak memenuhi) k2 = 3 maka deret geometri tersebut : 1, −3, 9, …
Sn = )3( 1)n)3( 1( 1 r 1
)nr 1( a−−−−
=−−
Sn = 41 (1 – (−3)n)
17. Tiga buah bilangan embentuk deret aritmatika. Jika suku kedua dikurangi 2 dan
suku ketiga ditambah dengan 2, maka diperoleh deret geometri. Jika suku pertama deret semula ditambah dengan 5, maka ia menjadi setengah suku ketiga. Jumlah deret aritmatika semula … a. 42 b. 44 c. 46 d. 48 e. 50
(Matematika ’92 Rayon C) Jawab : A Misal deret aritmatika : a – b, a, a + b. Diketahui : a − b + 5 =
21 ( a + b) ⇒ 2a – 2b + 10 = a + b ⇒ a = 3b − 10
Diketahui deret geometris : a – b, a – 2, a + b + 2. ⇒ (a – 2)2 = (a – b) . (a + b + 2) ⇒ (3b – 10 – 2)2 = (3b – 10 – b)(3b – 10 + b + 2) ⇒ (3b – 12)2 = (2b – 10)(4b – 8) ⇒ 9b2 – 72b + 144 = 8b2 – 56b + 80 ⇒ b2 – 16b + 64 = 0 ⇒ b1,2 = 8
Jika U1, U2, U3 barisan geometri, maka U2
2 = U1 . U3
157
Barisan dan Deret
sehingga a = 3b – 10 = 14. Jumlah deret aritmatika semula adalah a – b + a + a + b = 3a = 3 . 14 = 42
18. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 20x + (7k – 1) = 0, merupakan suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri dengan perbandingan yang lebih besar dari 1, jika kedua akar persamaan itu berbanding sebagai 2 dan 3, maka suku keempat deret geometri itu adalah a. 9 untuk k = 7 d. 15,5 untuk k sembarang b. 13,5 untuk k sembarang e. 15,5 untuk k = 7 c. 13,5 untuk k = 7
(Matematika ’94 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : C Dari persamaan kuadrat x1 + x2 = − a
b = 10 ⇒ 2x1 + 2x2 = 20 Diketahui x1 : x2 = 2 : 3 ⇒ 2x2 = 3x1 ⇒ 2x1 + 3x1 = 20 ⇒ x1 = 4 ratio deret : r =
12
UU =
12
xx =
23 > 1. Deret tersebut adalah 4, 6, 9,
227
Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = ac ⇒ 24 =
21k7 − ⇒ 48 = (7k – 1) ⇒ k = 7
Jadi U4 = 13,5 untuk k = 7
19. Sebuah ayunan matematika yang panjang talinya 60 cm mulai berayun dari posisi terjauh dari kedudukan seimbang sebesar
125π radian. Posisi terjauh yang
dicapainya setiap kali berkurang sebesar 51 posisi
terjauh sebelumnya. Panjang busur yang dijalani ujung ayunan itu sampai berhenti penuh adalah …radial a.
4125 π b.
4250 π c. 100π d. 125π e. 250π
(Matematika ’94 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : Busur P1S =
125π R =
125π . 60 = 25 π
Busur P2S = Busur P1S −51 Busur P1S =
54 . 25π = 20π
Busur P3S = Busur P2S −51 Busur P2S =
54 . 20π = 16π
Lintasan Seluruhnya = P1P2 + P2P3 + P2P3 + … = (25π + 20π) + (20π + 16π) + … = r1
a−
= 54 1
45−π = 225 π ( tidak ada jawaban )
20. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut (2), (4, 6), (8, 10,
12), (14, 16, 18, 20), …Bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke-15 adalah … a. 170 b. 198 c. 226 d. 258 e. 290
(Matematika ’95 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : C Perhatikan Banyak anggota tiap kelompok : 1, 2, 3, 4, …
Ujung kelompok ke-14 adalah bilangan ke
S
P1 P2 P3
Tengah-tengah dari 15 bilangan pada kelompok ke-15
158
Barisan dan Deret
1 + 2 + 3 … + 14 = S14 = 214 (2a + 13 b)
= 7 (2 + 13) = 105 Bilangan yang ditanyakan merupakan suku ke 105 + 2
115+ = 113
Barisan bilangannya adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, … Maka bilangan yang dicari adalah U113 = a + (113 – 1) b = 2 + 112 ⋅ 2 = 226
21. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar positif persamaan kuadrat x2 + ax + b = 0.
Jika 12, x1, x2 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan x1, x2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah … a. 6 b. 9 c. 15 d. 30 e. 54
(Matematika ’96 Rayon A, Rayon B, Rayon C)
Jawab : B 12, x1, x2 barisan aritmatika ⇒ 2x1 = 12 + x2
⇒ x2 = 2x1 − 12
x1, x2, 4 barisan geometri ⇒ x22 = 4x1
⇒ (2x1 – 12)2 = 4x1 ⇒ 4x1
2 – 48x1 + 144 = 4x1 ⇒ x1
2 – 13x1 + 36 = 0 ⇒ (x1 – 9)(x1 – 4) = 0 ⇔ x1 = 9, x1 = 4
untuk x1 = 9; diperoleh x2 = 2 . 9 − 12 = 6 Dari persamaan kuadrat x1 + x2 = −a ⇒ 9 + 6 = −a
⇒ a = −15 Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = b ⇒ 9 . 6 = b
⇒ b = 54 Jadi diskriminan D = a2 – 4b = (−15)2 – 4 . 54 = 9
Untuk x1 = 4; diperoleh x2 = 2 . 4 − 12 = −4 ( tidak memenuhi )
22. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmatika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih dari bilangan terbesar dan terkecil adalah … a. 15 b. 4 c. 8 d. 16 e. 30
(Matematika ’96 Rayon A) Jawab : D Barisan aritmatika : a – 2b, a – b, a, a + b, a + 2b a − 2b + a – b + a + a + b + a + 2b = 75 ⇒ 5a = 75 ⇒ a = 15 Dari (a – 2b)( a + 2b) = 161 ⇒ (15 – 2b)(15 + 2b) = 161 ⇒ 225 – 4b2 = 161
⇒ 4b2 = 64 ⇒ b1,2 = ± 4 untuk b = 4 berlaku U1 = 15 – 2 . 4 = 7
U5 = 15 + 2 . 4 = 23 ⇒ U5 – U1 = 23 – 7 = 16 23. Sebuah deret arotmatika terdiri dari n suku (n ganjil). Jumlah semua sukunya
adalah 90, besar suku tengahnya 10, serta beda deret tersebut adalah 2. Suku kedua dari deret ini adalah … a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10
(Matematika ’96 Rayon B)
U1, U2, U3 barisan aritmatika ⇒ 2 U2 = U1 + U3
U1, U2, U3 barisan geometri ⇒ U2
2 = U1 . U3
159
Barisan dan Deret
Jawab : B Pada deret aritmatika : Sn = n Ut ; Ut suku tengah ⇒ 90 = 10 . n ⇒ n = 9 Karena n = 9, maka suku tengah adalah suku ke
219+ = U5.
Dengan demikian U5 = 10. Diperoleh U2 = U5 – 3 . b = 10 – 3 . 2 = 4
24. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri berturut-turut 21
a dan 21x3
a+
sedang suku kesepuluh sama dengan 291
a , maka nilai x adalah … a. – 25 b. –5 c. 5 d. 10 e. 15
(Matematika ’96 Rayon C) Jawab : C
Ratio pada deret geometri : r3 = UU
1
4 = 21
21x3
a
a+
= x3a ⇒ r = ax
Karena U10 = a . r 9 ⇒ 291
a = 21
a . (ax)9
⇒ 290
a = a9x ⇒ a45 = a9x ⇒ x = 9
45 = 5
25. Jika x – 50, x – 14, x – 5 adalah tiga suku pertrama suatu deret geometri tak hingga. Maka jumlah semua suku-sukunya adalah … a. –96 b. –64 c. –36 d. –24 e. –12
(Matematika ’97 Rayon A) Jawab : B x – 50, x – 14, x – 5 deret geometri ⇒ (x – 14)2 = (x − 50)(x – 5) ⇒ x2 – 28x + 196 = x2 – 55x + 250 ⇒ 27x = 54 ⇒ x = 2 Diperoleh U1 = x – 50 = 2 – 50 = −48 Dengan demikian r =
1
2UU = 50 x
14 x−− = 50 2
14 2−− = 4
1
Maka S~ = r 1a− =
41 1
48−
− = −64
26. Diketahui deret geometri a1 + a2 + a3 + … Jika a6 = 162 dan log a2 + log a3 + log
a4 + log a5 = 4 log 2 + 6 log 3. Maka a3 = a. 2 b. 3 c. 6 d. 8 e. 9
(Matematika ’97 Rayon A) Jawab C Perhatikan log a2 + log a3 + log a4 + log a5 = 4 log 2 + 6 log 3
log (a2 ⋅ a3 ⋅ a4 ⋅ a5 ) = log 24 + log 36 log (ar ⋅ ar2 ⋅ ar3 ⋅ ar4 ) = log ( 24 ⋅ 36 ) a4 ⋅ r10 = 24 ⋅ 36 a2 ⋅ ( a r5 )2 = 24 ⋅ 36
Karena a6 = a . r5 = 162 ⇒ a2 ⋅ (81 . 2)2 = 24 ⋅ 36 ⇒ a2 = 82
64
3 23 2⋅⋅ = 22 ⋅ 3−2 = 9
4
⇒ a = ±32
Kasus untuk nilai a = −32
ar5 = 162 ⇒ r5 = − 243 ⇒ r = −3 ⇒ a3 = ar2 = −32 ⋅ (−3)2 = −6.
U1, U2, U3 barisan geometri ⇒ U2
2 = U1 U3
160
Barisan dan Deret
Tetapi, log a3 = log (−6) (tak terdefenisi) Kasus untuk nilai a = −
32
ar5 = 162 ⇒ r5 = 243 ⇒ r = 3 ⇒ a3 = ar2 = 32 ⋅ (3)2 = 6
27. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1, jika
suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmatika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan itu adalah … a. 64 b. 125 c. 216 d. 343 e. 1000
(Matematika ’97 Rayon B)
Jawab : C Barisan geometri : a, ar, ar2 untuk r > 1 Barisan aritmatika : a, ar + 4, ar2
⇒ a + ar2 = 2(ar + 4)
Diketahui a + ar + 4 + ar2 = 30 ⇒ a + ar2 = 26 − ar ⇒ 2(ar + 4) = 26 − ar ⇒ 3ar = 18 ⇒ ar = 6
Maka hasil kali ketiga bilangan a, ar dan ar2 adalah … a . ar . ar2 = a3 r3 = (ar)3 = 63 = 216
28. Diketahui barisan tak hingga 21 , ( ) t2sin
21 , ( ) t4sin
21 , ( ) t6sin
21 ,….Jika t = 3
π , maka hasil
kali semua suku barisan tersebut adalah …
a. 0 b. 161 c. ( ) 3
21
21 d. 2
1 e. ( )21
21
(Matematika ’97 Rayon B) Jawab : B
Hasil kali semua suku = 21 ⋅ ( ) t2sin
21 ⋅ ( ) t4sin
21 ⋅ ( ) t6sin
21 . …
= ( ) ... t6sin t4sin t2sin 1 2
1 ++++
= ( ) ~S 2
1
dimana 1 + sin2t + sin4t + sin6t + … = jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio r = sin2t. Untuk t = 3
π ⇒ r = ( )2 32
1 = 43 ⇒ S~ =
43 1
1−
= 4
Dengan demikian diperoleh ( ) ~S 2
1 = ( )4 2
1 = 161
29. Barisan (2k + 25), (−k + 9), (3k + 7), … merupakan suatu barisan aritmatika. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
(Matematika ’97 Rayon C) Jawab : E
U1, U2, U3 barisan aritmatika ⇒ U1 + U3 = 2 U2
161
Barisan dan Deret
Barisan aritmatika : 2U2 = U1 + U3 ⇒ 2(−k + 9) = 2k + 25 + 3k + 7 ⇒ −2k + 18 = 5k + 32 ⇒ −7k = 14 ⇒ k = −2
Akibatnya u1 = 2k + 25 = 21, u2 = −k + 9 = 11 didapat beda = u2 – u1 = −10 S5 = 2
5 (2a + 4b) =25 (2 ⋅ 21 + 4 ⋅ (−10)) =
25 (42 – 40) = 5
30. Perhatikan barisan
11 ,
3 1x2 1
++ ,
5 3 1x4 x2 1
++++ ,
7 5 3 1x6 x4 x2 1
++++++ , … Jika un menyatakan
suku ke-n barisan tersebut dan Vn = ∫ nu dx, maka ~n
lim→
Vn = …
a. 2x2
b. x2 c. x d. 1 e. 21
(Matematika ’97 Rayon C) Jawab : A Barisan pembilang suku ke-n, Pn = 1 + 2x + 4x + 6x + …
Pn = 1 + S(n – 1) (a = 2x, b = 2x) Pn = 1 +
21 (n – 1)(2a + (n – 1)b)
Pn = 1 + 21 (n – 1)(4x + (n – 1)2x)
Pn = 1 + n2x – nx Barisan penyebut suku ke-n, Qn = 1 + 3 + 5 + 7 + …
Qn = Sn = 21 n(2a + (n – 1)b)
Qn = 21 n(2 + 2n – 2) = n2
Jadi un = n
nQP =
2
2
nnx xn 1 −+ = xn
1 x n1
2 −+
Sehingga Vn = ∫ −+ dx x)n1 x
n1 (2
= 222 x n2
1 x 21 x
n1 −+
~nlim→
Vn = ~n
lim→
( 222 x n2
1 x 21 x
n1 −+ ) = 0 +
21 x2 – 0 =
21 x2
31. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama.
Bila keuntungan sampai bulan ke-4 Rp. 30.000,00, dan sampai bulan ke-8 Rp. 172.0000,00, maka keuntungan samapai bulan ke-18 adalah … a. 1.017 ribu rupiah c. 1.100 ribu rupiah e. 1.137 ribu rupiah b. 1.050 ribu rupiah d. 1.120 ribu rupiah
(Matematika ’98 Rayon A) Jawab : A Misal Un Keuntungan pada bulan ke-n. Karena Un − Un−1 = tetap, maka keuntungan sampai bulan ke-n adalah Sn deret aritmatika S4 = 2
4 (2a + 3b) = 30.000 ⇒ 2a + 3b = 15.000
S8 = 28 (2a + 7b) = 172.000 ⇒ 2a + 7b = 43.000
− 4b = −28.000 b = 7.000
Akibatnya 2a + 3 ⋅ 7.000 = 15.000 ⇒ 2a = −6.000 ⇒ a = −3.000 Jadi S18 = 2
18 (2a + 17 b) = 9(−6.000 + 119.000) = 1017.000
162
Barisan dan Deret
32. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan. Yang ditabungkan setiap bulan selalu lebih besar dari yang ditabungkan bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Bila jumlah seluruh tabungannya dalam 12 bulan pertama adalah 192 ribu rupiah dan dalam 20 bulan pertama adalah 480 ribu rupiah, maka besar yang ditabungkan dibulan ke-10 adalah … a. 97 ribu rupiah c. 23 ribu rupiah e. 2
23 ribu rupiah
b. 28 ribu rupiah d. 8117 ribu rupiah
(Matematika ‘98 Rayon B) Jawab : C Misalkan Un uang yang ditabungkan pada bulan ke n. Karena Un − Un−1 = tetap, maka jumlah seluruh tabungan pada bulan ke-n adalah Sn deret aritmatika S12 = 2
12 (2a + 11b) = 192.000 ⇒ 2a + 11b = 32.000
S20 = 2
20 (2a + 19b) = 480.000 ⇒ 2a + 19b = 48.000
− 8b = −16.000 b = 2.000
Akibatnya 2a + 22.000 = 32.000 ⇒ a = 5.000 Jadi U10 = a + 9b = 5.000 + 9 ⋅ 2.000 = 23 ribu rupiah
33. Pada sebuah kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar setiap bulan bertambah dengan jumlah yang sama. Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan murid baru yang mendaftar pada bulan ke-4 berjumlah 20 orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Jumlah semua murid kursus tersebut dalam 10 bulan pertama adalah … a. 220 orang b. 200 orang c. 198 orang d. 190 orang e. 180 orang
(Matematika ’98 Rayon C) Jawab : B Masalah diatas merupakan deret aritmatika dengan
U2 + U4 = 2a + 4b = 20 U5 + U6 = 2a + 9b = 40
− 5b = −20 b = 4 Akibatnya 2a + 16 = 20 ⇒ a = 2 Jadi S10 =
210 (2a + 9b) = 5(4 + 36) = 200
34. Diketahui segitiga OP1P2 dengan sudut siku-siku pada P2 dan sudut puncak 30o
pada O. Dengan OP2 sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan sudut puncak P2OP3 sebesar 30o. Selanjutnya dibuat pula segitiga siku-siku OP3P4 dengan OP3 sebagai sisi miring dan sudut puncak P3OP4 sebesar 30o. Proses ini dilanjutkan terus menerus. Jika OP1 = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah … a. 64 3 b. 128 c. 128 3 d. 256 e. 256 3
(Matematika ’99 Rayon A, Rayon B, Rayon C )
163
Barisan dan Deret
Jawab : C P1P2 = OP1 ⋅ sin300 = 16 ⋅ 2
1 = 8
OP2 = OP1 ⋅ cos300 = 16 ⋅ 21 3 = 8 3
P2P3 = OP2 ⋅ sin300 = 8 3 ⋅ 21 = 4 3
OP3 = OP2 ⋅ cos300 = 8 3 ⋅ 21 3 = 12
L1 = luas ∆OP1P2 = 21 OP2 ⋅ P1P2 = 32 3
L2 = luas ∆OP2P3 = 21 OP3 ⋅ P2P3 = 24 3
S = L1 + L2 + L3 + … = r 1a−
= 43 1332
− = 128 3
P2
O
P1
P3 P4
30o
164
Barisan dan Deret
Kumpulan Matematika Dasar Barisan Dan Deret
1. Dari deret aritmetika diketahui U6 + U9 + U12 + U15 = 20, maka S20 = …. (A) 50 (B) 80 (C) 100 (D) 200 (E) 400
(UMPTN 99 RY A) 2. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + a = 0. Jika p, q,
dan pq/2 merupakan deret geometri maka a sama dengan (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) −1 (E) −2
(UMPTN 99 RY A).
3. Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p dan U2 x U8 = p1 , maka U1 = ….
(A) p (B) p1 (C) p (D)
p1 (E) p p
(UMPTN 99 RY A) 4. Tiga bilangan membentuk barisan arimetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan
suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan arimetik ditambah 2 maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Maka beda barisan aritmetika adalah …. (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8
(UMPTN 99 RY A) 5. Jumlah deret tak hingga 1 – tan2 30o + tan4 30o – tan6 30o + … + (–1)n tan2n 30o + …
(A) 1 (B) 21 (C) 4
3 (D) 23 (E) 2
(UMPTN 99 RY A)
6. Jika r = rasio (pembanding) suatu deret geometri tak hingga yang konvergen dan S adalah jumlah deret geometri tak hingga r3
1+
+ 2)r3(
1+
+ 3)r3(1+
+ …
(A) 41 < S < 2
1 (C) 51 < S
34 (E) 4
3 < S <34
(B) 83 < S < 4
3 (D) 31 < S < 1
(UMPTN 98 Ry A, B, C) 7. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh rumus
Sn = 2n2 – 6n. Beda deret tersebut adalah … (A) –4 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8
(UMPTN 98 RY A) 8. Diketahui matriks A = ( )
4231
uuuu dan un adalah suku ke-n barisan aritmatika.
Jika u6 = 18 dan u10 = 30, maka determinan matriks A = … (A) –30 (B) –18 (C) –12 (D) 12 (E) 18
(UMPTN 98 RY A)
9. Setiap kali Ani membelanjakan 51 bagian uang yang masih dimilikinya dan tidak
memperoleh pemasukan lagi. Jika sisa uangnya kurang dari 31 uang semula,
berarti Ani paling sedikit sudah belanja … kali. (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
(UMPTN 98 Ry A)
165
Barisan dan Deret
10. Agar deret geometri 2log(x + 1) + 2log2(x + 1) + 2log3(x + 1) + … konvergen, maka batas-batas nilai x adalah … (A) –1 < x < 1 (C) –
21 < x < 1 (E) –3 < x < 0
(B) 0 < x < 1 (D) –2 < x < 0 (UMPTN 98 Ry B)
11. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 2n2 – n. Deret tersebut adalah … (A) deret aritmatika dengan beda 2 (B) deret aritmatika dengan beda 4 (C) deret geometri dengan rasio 2 (D) deret geometri dengan rasio 4 (E) bukan deret aritmatika dan bukan deret geometri.
(UMPTN 98 RY B)
12. Di suatu daerah pemukiman baru angka (tingkat) pertumbuhan penduduk adalah 10% per tahun. Kenaikan jumlah penduduk dalam waktu 4 tahun adalah … (A) 40,0% (B) 42,0% (C) 43,0% (D) 46,4% (E) 61,1%
(UMPTN 98 RY B)
13. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 2n2 – n. Maka suku ke-12 deret tersebut adalah … (A) 564 (B) 276 (C) 48 (D) 45 (E) 36
(UMPTN 98 RY C)
14. Log a + log(ab) + log(ab2) + log(ab3) + … adalah deret aritmatika. Maka jumlah 6 suku pertama sama dengan … (A) 6 log a + 15 logb (C) 6 log a + 18 logb (E) 7 log a + 12 logb (B) 6 log a + 12 logb (D) 7 log a + 15 logb
(UMPTN 98 RY C)
15. Selama 5 tahun berturut-turut jumlah penduduk kota A berbentuk suatu deret geometri. Pada tahun terakhir, jumlah penduduknya 4 juta. Sedangkan jumlah tahun pertama dan ketiga sama dengan 1 4
1 juta. Jumlah penduduk kota A, pada
tahun keempat adalah … (A) 1,50 juta (C) 2,00 juta (E) 2,50 juta (B) 1,75 juta (D) 2,25 juta
(UMPTN 98 Ry C) 16. Jika suku pertama dari deret aritmatika adalah 5, suku terakhir adalah 23 dan
selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10, maka banyak suku dalam deret itu adalah … (A) 16 (B) 14 (C)12 (D) 10 (E) 8
(UMPTN 97 Ry A ) 17. Jika deret geometri konvergen dengan limit – 3
8 dengan suku ke-2 dan suku ke-4
berturut-turut 2 dan 21 , maka suku pertamanya adalah …
(A) 4 (B) 1 (C) –4 (D) 21 (E) –8
(UMPTN 97 Ry A)
166
Barisan dan Deret
18. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, … disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru, Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah … (A) 78 (B) 81 (C) 84 (D) 87 (E) 91
(Umptn 97 RyB) 19. Jika Un adalah suku ke n suatu deret aritmatika dan
U1 + U2 + U3 = –9, U3 + U4 + U5 = 15. Maka jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah … (A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 15 (E) 24
(Umptn 97 Ry B)
20. Suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 6 n + 4. Disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru sehingga terbentuk deret aritmatika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah … (A) Sn = n2 + 9n (C) Sn = n2 + 8n (E) Sn = n2 + 6n (B) Sn = n2 − 9n (D) Sn = n2 − 6n
(Umptn 97 Ry C)
21. Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x2 – x. Jika deret tersebut konvergen, maka x memenuhi (A) 2
1 – 2 < x < 21 + 2 (D) 2
1 ( 1 – 5 ) < x < 21 ( 1 + 5 )
(B) 21 (1 – 3 ) < x < 2
1 (1 + 3 ) (E) 1 – 5 < x < 1 + 5
(C) 1– 3 < x < 1 + 3 (UMPTN 97 RY C)
22. Jika dalam deret aritmatika b adalah beda, s adalah jumlah n suku pertama, dan n adalah banyaknya suku, maka suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai (A) a = n
s2 – 21 (n + 1)b (C) a = n
s2 + 21 (n – 1)b (E) a = n
s2 – 21 (n – 1)b
(B) a = ns +
21 (n + 1)b (D) a =n
s – 21 (n – 1)b
(UMPTN 96 Ry A) 23. Suku-suku suatu barisan geometri tak hingga adalah positif ,
jumlah suku U1 + U2 = 45 dan U3 + U4 = 20, maka jumlah suku-suku barisan itu adalah (A) 65 (B) 81 (C) 90 (D) 135 (E) 150
(UMPTN 96, Ry A) 24. Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmatik.
Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 – Sn adalah … (A) 2 (a + nb) – 1 (C) 2a + b(2n + 1) (E) a + nb + 1 (B) 2a + nb + 1 (D) a + b (n + 1)
(UMPTN 96 Ry B) 25. Dalam suatu barisan geometri U1 + U3 = p, dan U2 + U4 = q, maka U4 = …
(A) 22
3
q pp+
(C) 22
33
q pq p
++ (E)
22
32
q pq p
++
(B) 22
3
q pq+
(D) 22
2
q pq+
(UMPTN 96 RY B)
167
Barisan dan Deret
26. Jumlah n suku pertama suatu deret ditentukan suatu rumus tn – tn–1, dengan tn = n2 – n. Suku ke sepuluh deret tersebut adalah … (A) 2
1 (B) 1 (C) 23 (D) 2 (E) 2
5 (UMPTN 96 Ry C)
27. Diketahui barisan aritmatik log 2, log 4, log 8,… Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah … (A) 8 log 2 (B) 20 log 2 (C) 28 log 2 (D) 36 log 2 (E) 40 log 2
(UMPTN 96 Ry C) 28. Dari sebuah deret aritmatika diketahui bahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17 dan
S8 = 58, maka suku pertama sama dengan … (A) 3 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 2
(UMPTN 96 Ry C) 29. Jika suku pertama deret geometri adalah m3 dengan m > 0, sedang suku ke-5
adalah m2, maka suku ke-21 adalah (A) m8 m 23 (C) m4 m 23 (E) m 23 (B) m6 m 23 (D) m2 m 23
(UMPTN 95, Ry A Ry B & Ry C) 30. Diketahui deret log 2 + log 4 + log 8 + …
(A) deret hitung dengan beda b = 2 (B) deret hitung dengan beda b = log 2 (C) deret ukur dengan pembanding p = 2 (D) deret ukur dengan pembanding p = log 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur
(UMPTN 95 Ry A)
31. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah (A) 60 m (B) 70 m (C) 80 m (D) 90 m (E) 100 m
(UMPTN 95 Rayon A) 32. Tiga bilangan merupakan barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36
dan hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 21 (E) 24
(UMPTN 95 Ry A) 33. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-1, ke-2 dan ke-6 merupakan
barisan geometri, sedangkan jumlah ketiga suku tersebut sama dengan 42. Maka beda barisan aritmatika itu adalah (A) 7 (B) 6 (C) 4 (D) 3 (E) 2
(UMPTN 95 Rayon B) 34. 3log 2, 3log 4, 3log 8, 3log 16, 3log 32, 3log 64. Bilangan-bilangan tersebut
membentuk (A) deret ukur dengan pembanding log 2 (B) deret hitung dengan beda 2 (C) deret hitung dengan beda log 2 (D) deret ukur dengan pembanding 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur
(UMPTN 95 Rayon B)
168
Barisan dan Deret
35. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 1 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jarak seluruh lintasan bola adalah (A) 6 m (B) 7 m (C) 8 m (D) 9 m (E) 10 m
(UMPTN 95 Rayon B)
36. Akar-akar dari x2 + bx + 8 = 0 adalah x1 dan x2 semuanya positif dan x2 > x1. supaya x1, x2, dan 3x1 berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret aritmatika, maka b = … (A) 6 (B) 4 (C) 2 (D) −4 (E) −6
(UMPTN 95 Rayon C)
37. Diketahui deret 3log 2 + 6log 2 + 12log 2 + … Deret ini (A) merupakan deret hitung dengan beda 3log 2 (B) merupakan deret hitung dengan beda log 3 (C) merupakan deret ukur dengan pembanding 3log 2 (D) deret ukur debgan pembanding 3log2 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur
(UMPTN 95 Rayon C)
38. Dari sebuah deret aritmatika diketahui bahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17 dan S8 = 58, maka suku pertama sama dengan (A) 3 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 2
(UMPTN 95 Rayon C)
39. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jarak seluruh lintasan bola adalah …….. (A) 5 m (B) 7,5 m (C) 9 m (D) 10 m (E) 12,5 m
(UMPTN 95 Rayon C)
40. Jika jumlah n suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai Sn = 12 n – n2, maka suku kelima deret tersebut adalah (A) – 1 (B) 1 (C) – 3 (D) 3 (E) 0
(UMPTN 94 Rayon A No 21) 41. Persamaan 2x2 + x + k = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1, x2.dan 1/2
(x1 . x2) merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu deret geometri, maka suku keempat deret tersebut (A) – 4 (B) – 4
1 (C) 81 (D) 1 (E) 8
(UMPTN 94 Ry A, Ry B, Ry C) 42. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku
yang bernomor ganjil = 2, maka jumlah deret dengan rasio yang positif adalah (A)
544−
(C)53
3−
(E) 32
2−
(B) 63
3−
(D) 22
2−
(UMPTN 94 Rayon A) 43. Suku pertama dan suku keempat suatu deret geometri berturut-turut adalah 2 dan
1/4. Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah (A) 4 64
63 (B) 4 3231 (C) 2 64
63 (D) 3263 (E) 16
63
(UMPTN 94 Rayon B)
169
Barisan dan Deret
44. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 5, maka (A) –5 < a < 0 (C) 0 < a < 8 (E) –8 < a < 10 (B) –8 < a < 0 (D) 0 < a < 10
(UMPTN 94 Rayon B) 45. Deret geometri tak hingga dengan ratio 2log(x – 3) adalah konvergen, apabila x
memenuhi (A) 3 < x < 5 (C) 31/2 < x < 5 (E) 4 < x < 51/2 (B) 3 < x < 31/2 (D) 31/4 < x < 4
(UMPTN 94 Rayon B) 46. Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan suku keduanya –5 1/3, maka
suku pertama deret tersebut adalah : (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
(UMPTN 94 Rayon C) 47. Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15, suku terakhir adalah 47 dan
jumlah deret sama dengan 285. Suku pertama deret ini adalah (A) – 9 (B) – 5 (C) 0 (D) 3 (E) 5
(UMPTN 94 Rayon C)
48. Pada segitiga sama sisi ABC yang mempunyai sisi a, digambarkan titik-titik A1, B1, C1 berturut-turut di tengah sisi BC, CA, dan AB sehingga terjadi segitiga A’B’C’. Proses semacam ini dikerjakan pada segitiga A”B”C”, dan seterusnya. Maka jumlah luas segitiga ABC, A’B’C’, A”B”C”, dan seterusnya adalah (A)
34 a2 3
(B) 43 a2 3
(C) 41 a2 3
(D) 31 a2 3
(E) 32 a2 3
(UMPTN 93 Ry A, Ry B, Ry C)
49. Jumlah bilangan bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 (A) 45692 (B) 66661 (C) 73775 (D) 80129 (E) 54396
(UMPTN 93 Ry A )
50. Jika 0 < x < 1 dan deret tak terhingga 1 + xlog 2 + ( xlog 2 )2 + … konvergen, maka (A) 0 < x < 4
1 (C) 41 < x < 2
1 (E) 41 < x < 1
(B) 0 < x < 21 (D) 2
1 < x < 1 (UMPTN 93 Rayon B)
51. Jika pada suatu deret aritmatika suku ke 7 dan suku ke 10 berturut-turut 13 dan 19,
maka jumlah 20 suku pertama adalah (A) 100 (B) 200 (C) 300 (D) 400 (E) 500
(UMPTN 93 Rayon B)
C
B’ C” A’
A” B”
A C’ B
170
Barisan dan Deret
52. Tiga bilangan membentuk deret aritmatik, jumlah ketiga bilangan itu 75, sedang selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama 700, maka ketiga bilangan itu adalah (A) 20, 25, 30 (C) 5, 25, 45 (E) 18, 25, 32 (B) 10, 25, 40 (D) 0, 25, 50
(UMPTN 93 Rayon C)
53. Sisi-sisi suatu barisan aritmatik. Jika sisi miringnya 40, maka sisi siku-siku yang terpendek adalah (A) 8 (B) 16 (C) 20 (D) 24 (E) 32
(UMPTN 92 Rayon A) 54. Jika jumlah tak hingga deret a + 1 +
a1 +
2a1 +
3a1 + …
adalah 4a, maka a = (A) 3
4 (B) 23
(C) 2 (D) 3 (E) 4
(UMPTN 92 RAYON A) 55. Suatu deret geometri dengan suku pertama a dan pembanding 2log(x−3). Deret ini
mempunyai limit bila x memenuhi (A) 3 < x < 4 (C) 2,5 < x < 5 (E) 4 < x < 5 (B) 3 < x < 5 (D) 3,5 < x < 5
(UMPTN 92 Rayon A) 56. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 2 + 1 +… (A) 4 2 (B) 2 − 2 (C) 2+ 2 (D) 4 −2 2 (E) 4+2 2
(UMPTN 92 Rayon B) 57. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatik. Jika sisi siku-siku
terpanjang 16 cm, maka sisi miring (A) 18 cm (B) 20 cm (C) 22 cm (D) 24 cm (E) 32 cm
(UMPTN 92 Rayon B) 58. Jumlah deret geometri 3 + 3 + 1 + …
(A) 9 3 (C) 23 (3 + 3 ) (E) 9( 3 + 3 )
(B) 3 + 3 (D) 3( 3 + 3 ) (Umptn 92 Rayon C)
59. Sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi terpendek
adalah 24 cm, maka sisi siku-siku yang lain adalah (A) 28 cm (B) 32 cm (C) 34 cm (D) 36 cm (E) 40 cm
(UMPTN 92 Rayon C) 60. Untuk 0 < α <
2π , maka deret tak hingga sin α + sinα cos2α + sinα cos4α + …
mempunyai jumlah : (A) cosα (B) sinα (C)
αsin1 (D) αcos
1 (E) tanα
(UMPTN 92 Rayon C ) 61. Penyelesaian yang bulat positif persamaan 1 3 5 2 1
2 4 6 2+ + + + −
+ + + +. . . ( )
. . .n
n = 1 1 5
1 1 6
(A) 58 (B) 115 (C) 116 (D) 230 (E) 231 (Umptn 91 Ryn A, Ryn B, Ry C)
171
Barisan dan Deret
62. Jumlah k suku pertama deret n
n− 1 + n
n− 2 + n
n− 3 + … dst adalah
(A) k { 2n – (k – 1) } (C) nk { 2n – (k – 1 ) }
(B) n21 { n – (k – 1) } (E) n k { n – (k – 1 ) }
(C) n2k { 2n – (k +1 ) }
(UMPTN 91 Rayon A)
63. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatatnya. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 80 + 20 n. Banyaknya jeruk yang dipetik selama 18 hari yang pertama adalah (A) 4840 hari (C) 4860 hari (E) 4880 hari (B) 4850 hari (D) 4870 hari
(UMPTN 91 Rayon A) 64. Jika tn adalah suku ke-n dari suatu deret geometri dan p > 3, maka tp-3 . t3p+5
sama dengan (A) ( 2 tp + 1 )2 (C) ( t2p )2 (E) tp – 1 (B) ( t2p+1 )2 (D) ( t2p–1 )2
(UMPTN 91 Rayon B) 65. Persentase pertambahan penduduk setiap tahun untuk suatu kota tidak berubah,
sejak 1980 sampai dengan tahun 1990. Penduduk kota itu pada tahun 1980 adalah A orang, dan pada tahun 1990 adalah B orang. Banyaknya penduduk pada tahun 1985 adalah (A) A B (B) A B (C) B A (D) AB (E) A AB
(UMPTN 91 Rayon B) 66. Jika diketahui p = log 5 + log2 5 + log3 5 +… maka nilai dari 2p adalah
(A) 2 (B) log 5 (C) 2log 5 (D) 5 (E) 5log 2 (UMPTN 91 Rayon B)
67. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk
barisan aritmatika. Bila tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang 108 cm, maka panjang tali semula adalah
(A)160 cm (B)180 cm (C)240 cm (D)280 cm (E)300 cm (Umptn 91 Rayon C No 18)
68. Diketahui bahwa A = 2 dan B = 1 + 9(0,1) + 9(0,1)2 + 9(0,1)3 + ... + 9 (0,1)6784 ,
maka (A) A<B (C) A=B (D) A=0,9 B (E) A = 2
B (B) A>B (UMPTN 91 Rayon C)
69. Diketahui sebuah deret geometri turun tak hingga dengan U1 – U3 = 8 dan 3log
U1 + 3log U2 + 3logU3 = 3, maka jumlah deret tersebut sama dengan (A) 2
1 (B) 2 21 (C) 9 2
1 (D) 10 21 (E) 13 2
1 (UMPTN 91 Rayon C)
172
Barisan dan Deret
70. Pertambahan penduduk tiap tahun suatu desa mengikuti aturan deret geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 1986 sebesar 24 orang, tahun 1988 sebesar 96 orang. Pertambahan penduduk tahun 1991 adalah … (A) 168 (B) 192 (C) 384 (D) 526 (E) 768
(UMPTN 90 Rayon A) 71. Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan
(A) n (n–1) (B) 2n (n – 1) (C) n(n+1) (D) 2
n (n+1) (E) n2 (Umptn 90 Rayon A)
72. Jika 0 < x <π/2 maka sin x + cos x + sin3x + cos3x + sin5x + cos5x = …
(A) 1 (C)xsin xcos
122
(E) xsin xcos
xcos22
(B) 2 (D)xsin xcosxsinxcos
22
33 +
(UMPTN 90 Rayon A) 73. Jumlah n bilangan positip genap pertama sama dengan 306. Dari bilangan genap
tersebut, jumlah 5 bilangan terakhir adalah (A) 180 (B) 170 (C) 160 (D) 150 (E) 140
(UMPTN 90 Ry A, Ry B, Ry C) 74. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah 2n + 5n. Jumlah suku ke 5, 6, 7 dan 8
adalah … (A) 148 (B) 260 (C) 276 (D) 290 (E) 296
(UMPTN 90 RAYON B) 75. Seorang produsen berhasil meningkatkan unit produksinya 10% setiap tahun.
Hasil / produksi pada awal tahun yang ke-5 adalah sebesar 14.641 unit. Hasil produksi awal tahun ke-3 adalah (A) 10.000 unit (C) 11.859 unit (E) 13.310 unit (B) 11.000 unit (D) 12.100 unit
(UMPTN 90 RAYON B) 76. Jika logx + log2x + log4x + log8x + … + log1024x = 22, maka x = …
(A) 5,5 (B) 3,125 (C) 2,75 (D) 1,375 (E) 0,625 (UMPTN 90 RAYON B)
77. Jika logx + logx2 + … + logx20 = 105, maka x = …
(A) 101 (B) 10 (C) 10 (D) 100 (E) 1000
(UMPTN 90 RAYON C)
78. Si A berhutang pada si B sebesar Rp 100.000. Si A berjanji untuk membayar kembali utangnya setiap bulan Rp 10.000 ditambah dengan bunga 2% per bulan dari sisa pinjamannya. Berapa jumlah bunga yang dibayarkan sampai hutangnya lunas … (A) Rp 10.000,00 (C) Rp 15.000,00 (E) Rp 22.000,00 (B) Rp 11.000,00 (D) Rp 20.000,00
(UMPTN 90 RAYON C)