BAB 6BARISAN, DERET,NOTASI SIGMA,DAN INDUKSI MATEMATIKA

Standar KompetensiMenggunakan konsep barisan dan deret dalam

pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri

Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematik dalam pembuktian

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya.

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA

Pola Bilangan dan Barisan

Deret

Notasi Sigma

Pola bilangan sering kali dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda

(diwakili dengan lambang noktah •)

Pola Bilangan

Contoh:

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu

bilangan dengan bilangan berikutnya.

Jika bilangan pertama u₁ , bilangan kedua u₂ , bilangan ketiga u₃ , dan bilangan ke n adalah un ,

maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai

u₁ , u₂ , u₃ , . . . uk . . . . un

Barisan Bilangan

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA

Pola Bilangan dan Barisan

Deret

Notasi Sigma

Misalkan u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku-suku barisan itu dinamakan sebagai deret dan dituliskan sebagai

u₁ + u₂ + u₃ + . . . + un

un juga dapat disebut sebagai suku penjumlahan yang ke-n. jika n merupakan bilangan asli berhingga maka deret itu dinamakan sebagai deret berhingga

Deret

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA

Pola Bilangan dan Barisan

Deret

Notasi Sigma

Notasi SigmaSuatu deret u₁ + u₂ + u₃ + . . . + ui + . . . + un dapat ditulis dengan menggunakan notasi sigma sebagai

Contoh:

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmetika

Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Suatu barisan u₁ , u₂ , u₃ , . . . un disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai n berlaku hubungan :

dengan b adalah suatu tetapan ( konstanta ) yang tidak tergantung pada n.

Definisi

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika itu ditentukan oleh

Rumus umum suku ke-n

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil ( 2k – 1 ), dengan k bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan aritmetika itu adalah suku ke-k atau uk dan rumus suku tengah uk ditentukan oleh hubungan :

Rumus suku tengah

Contoh:

Sisipan pada Barisan Aritmetika

Misalkan diantara dua bilanan real x dan y (dengan x ≠ y) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan(k ϵ bilangan asli ).

Nilai beda barisan aritmatika

dengan x dan y ϵ bilangan real (x ≠ y ) dan k ϵ bilangan asli

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmetika

Deret Aritmetika

Deret Aritmetika

Jika u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka u₁ + u₂ + u₃ + . . . + un

dinamakan sebagai deret aritmetika.

Definisi

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika u₁ + u₂ + u₃ + . . . + Un ₁ ₋ ditentukan dengan menggunakan hubungan

Dengan n = banyak suku , a = suku pertama , dan Un = suku ke-n

Rumus jumlah n suku pertama

Sifat-sifat Sn pada deret aritmetika

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Deret Geometri

Barisan Geometri

Suatu barisan u₁ , u₂ , u₃ , . . . um disebut barisan geometri jika untuk sebarang nilai

n ϵ bilangan asli kurang dari m berlaku hubungan :

dengan r adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n.

Definisi

Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. rumus umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh

Rumus umum suku ke-n

Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil ( 2k – 1 ), dengan k ϵ bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k atau uk dan rumus suku tengah uk ditentukan oleh hubungan

Rumus suku tengah

Contoh:

Sisipan pada Barisan Geometri

Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

Untuk k genap Untuk k ganjil

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Deret Geometri

Deret Geometri

Jika u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan barisan geometri , maka u₁ + u₂ + u₃ + . . . + un

dinamakan sebagai deret geometri.

Definisi

Jumlah n suku pertama deret geometri u₁ + u₂ + u₃ + . . . + un ₂ + u₋ n ₁ + . . . ₋ un

ditentukan dengan menggunakan hubungan

dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama, dan r = rasio

Rumus jumlah n suku pertama

Deret Geometri Tak Hingga

1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen , jika dan hanya | r | < 1.limit jumlah itu ditentukan oleh

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r | > 1

Deret geometri tak hingga a + ar + ar² + . . . + arⁿ ¹ + . . .⁻ dikatakan

Contoh:

MENGGUNAKAN INDUKSI MATEMATIKA

DALAM PEMBUKTIAN

Algoritma Pembuktian dengan induksi

matematika

Contoh

Algoritma

Langkah 1

Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1

Langkah 2

Tunjukkan bahwa jika rumus S(n) benar untuk

n = k, maka rumus S(n) juga benar untuk nilai

n = k + 1

MENGGUNAKAN INDUKSI MATEMATIKA

DALAM PEMBUKTIAN

Algoritma Pembuktian dengan induksi

matematika

Contoh

Contoh:

Pembuktian

Langkah 1

Langkah 2