barisan dan deret - · pdf file2 1 2 2 1 3 u 2 3 1 2 2 1 2 2 1 u r u 33 u ar ... jika hasil...

1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017

BARISAN DAN DERET

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan

membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap

24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyak nya virus setelah 1

minggu pertama adalah ....

A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 E. 72

Solusi: [E]


Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut:

1 , 3,5 , 7,9,11 , 13,15,17,19 ,... , maka suku tengah dari kelompok ke-17 adalah....

A. 9 B.81 C. 136 D.145 E. 289

Solusi: [E]

Banyak bilangan pada kelompok ke-17 adalah 17. Jadi, suku tengahnya = 1

17 1 92

Banyak bilangan tiap kelompok merupakan barisan aritmetika dengan beda 1: 1, 2, 3, 4, ...

Jumlah n suku pertama deret aritmetika: 2 12

n

nS a n b

Banyak bilangan sampai kelompok ke-16 adalah 16

162 1 16 1 1 8 2 15 136

2S

Letak suku tengah pada kelompok ke-17 adalah suku ke-(136 + 9) = 145 yang nilainya adalah

1nu a n b

145 1 145 1 2 289u


Jumlah n suku pertama suat deret geometri adalah 2 1n

nS . Persamaan kuadrat yang akar-

akarnya suku ke-4 dan rasio deret tersebut adalah...

Pengamatan Jumlah Virus

Pada hari ke-1 2

Pada hari ke-2 2 2 4


Pada hari ke-4 1

16 16 124

(seperempat virus dibunuh)



Pada hari ke-7 1

96 96 724

(seperempat virus dibunuh)


A. 2 10 16 0x x C.

2 10 16 0x x E. 2 6 16 0x x

B. 2 10 16 0x x D.

2 6 16 0x x

Solusi: [B]

2 1n

nS

1 2 1 1u

2

2 1 2 2 1 3S u u

2 3 1 2u

2

1

22

1

ur

u

3 3

4 1 2 8u ar

Persamaan kuadratnya adalah

8 2 0x x

2 10 16 0x x


Banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7

tetapi tidak keduanya adalah ...

A. 469 B. 471 C. 513 D. 514 E. 557

Solusi: [D]

Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6: 204, 210, ..., 1998.

1nu a n b

1998 204 1 6n

300n

Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 7: 203, 210, ..., 1995.

1nu a n b

1995 203 1 7n

257n

Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 dan 7 atau 42: 210,

252, ..., 1974.

1nu a n b

1974 210 1 42n

43n

Jadi, banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7

tetapi tidak keduanya adalah 300 + 257 – 43 = 514.


Jika diketahui barisan 1, 1 2 , 1 2 3 , 1 2 3 4 , 1 2 3 4 5 ,... , maka suku ke-

100 dari barisan di atas adalah ....

A. 5550 B. 5500 C. 5055 D. 5050 E. 5005

Solusi: [D]

Barisan 1, 1 2 , 1 2 3 , 1 2 3 4 , 1 2 3 4 5 ,...


Barisan: 1001,3,6,10,15,...,u , sehingga

100

1001 2 3 ... 100 1 100 5050

2u


Diberikan barisan bilangan berikut: 2 2 2log log2 log44 ,4 ,4 ,...x x x

Jika hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1, maka suku

kelima dari barisan tersebut adalah ...

A. 256 B. 128 C. 64 D. 32 E. 16

Solusi: [D]

2 2 2log log2 log44 ,4 ,4 ,...x x x 2 2 22 2 2

log log2 log42 , 2 , 2 ,...x x x2 2 2, 4 ,16 ,...x x x

Hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1. 2 2 24 16 1x x x

664 1x

6 1

64x

2 1

8x

2

5

1256 256 32

8u x


Seekor semut merayap pada suatu koordinat Cartesius dimulai dari titik asal 0,0 , kemudian

naik 2 unit terus bergerak 1 unit ke kanan, turun 1

2 unit,

1

4 unit ke kiri,

1

8 unit ke atas, ...

sampai berhenti pada suatu koordinat tertentu. Koordinat tersebut adalah ....

A. 8 4

,5 5

B. 4 8

,5 5

C. 4,8 D. 8, 4 E. tidak dapat ditentukan

Solusi: [B]

Rumus jumlah deret geometri tak hingga 1

aS

r

Pergerakan semut yang searah sumbu X:

1 1 1 41 ...

14 16 51

4

Pergerakan semut yang searah sumbu Y:

1 1 2 82 ...

12 8 51

4

Koordinat tersebut adalah 4 8

,5 5

.


Misalkan diberikan 1 2 3 4 5, , , ,u u u u u adalah lima suku pertama deret geometri. Jika

1 2 3 4 5log log log log log 5log3u u u u u , maka 3 ....u

2 1

1

2

1

4

X

Y

O


A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

3

Solusi: [C]

1 2 3 4 5log log log log log 5log3u u u u u

5

1 2 3 4 5log log3u u u u u

5

1 2 3 4 5 3u u u u u

5 10 53a r 2 3ar

3 3u


Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar

ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari

ketiga bilangan tersebut adalah ....

A. 9 B. 3 C. 6 D. 9 E. 15

Solusi: [B]

Misalnya ketiga bilangan yang membentuk deret aritmetika adalah a b a a b .

Jumlahnya: 27a b a a b

3 27a

9a

Deret geometri: 9 9 9 12b b

9 21

9 9

b

b

281 189 12b b 2 12 108 0b b

18 6 0b b

18 6b b

Bilangan terkecil adalah 9 – 6 = 3.


Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10, maka ....

A. 0 10a C. 0 20a E. 0a atau 20a

B. 0 18a D. 0 20a

Solusi: [C]

Rasio deret geometri tak hingga adalah 1r .

1

aS

r

101

a

r

10 10r a

10 10r a

10

10

ar


101

10

a

101 1

10

a

10 10 10a

20 0a

20 0a


Jika , ,k l dan m membentuk barisan geometri, maka log ,k log ,l dan log m adalah ....

A. Barisan geometri dengan rasio log logl k

B. Barisan aritmatika dengan beda log logl k

C. Barisan geometri dengan rasio l

k

D. Barisan aritmatika dengan beda l

k

E. Bukan barisan aritmatika maupun geometri

Solusi: [B]

Barisan geometri , ,k l m berarti 2, ,k a l ar m ar , sehingga

log ,k log ,l log m = 2log , log , loga ar ar

Beda 2log log log log logar a ar ar r

Jadi, log ,k log ,l dan log m adalah barisan aritmatika dengan beda log logl k .

12. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009

Misalkan 1x dan 2x bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat

2 2 4 3 4 0x k x k . Jika 1 2, ,x k x merupakan tiga suku pertama dari suatu deret

geometri, maka rumus suku ke- n deret tersebut adalah ...

A. 1 1n

B. 1 1n

C. 1n

D. 2 1n

E. 1

Solusi: [C]

Akar-akar persamaan 2 2 4 3 4 0x k x k adalah 1x dan 2x yang merupakan bilangan

bulat.

1 2 2 4x x k

1 2 3 4x x k

Deret geometri: 1 2, ,x k x

2

1

xk

x k

2

1 2k x x

2 3 4k k 2 3 4 0k k

4 1 0k k

4atau 1k k


Persamaan kuadrat menjadi:

Jika 4k , maka 2 12 16 0x x dengan akar-akarnya bukan bilangan bulat

Jika 1k , maka 2 2 1 0x x dengan akar-akarnya

1 2 1x x

1n

nu ar

1 1

1 1 11

n

n n

nu


Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama 2, , . Jika dan adalah akar-akar

dari persamaan kuadrat 22 6 0x kx , maka suku keempat dari barisan dan nilai k masing-

masing adalah ...

A. 27 dan 8 C. 24 dan 8 E. 24 dan 4

B. 27 dan 8 D. 24 dan 4

Solusi: [A]

dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 22 6 0x kx , sehingga

2

k

3

Barisan geometri:2, , .

2

1

1 3

3

Barisan geometri menjadi: 1,3,9 , dengan rasio 3r

3 3

4 1 3 27u ar

1 32

k

8k


1x dan 2x adalah bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat

2 2 4 3 4 0x p x p , dimana p adalah suatu konstanta. Jika 1 2, ,x p x merupakan tiga

suku pertama dari suatu deret geometri, maka suku ke-12 dari deret geometri tersebut adalah ...

A. 1 B. 1 C. 6 2 5 D. 6 2 5 E. 4

Solusi: [A]

1x dan 2x adalah bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat

2 2 4 3 4 0x p x p , sehingga

1 2 2 4x x p

1 2 3 4x x p

Deret geometri: 1 2, ,x p x


Rasio 2

1

xpr

x p

2

1 2p x x

2 3 4p p

2 3 4 0p p

4 1 0p p

4atau 1p p

Persamaan kuadrat menjadi:

Jika 4p , maka 2 12 16 0x x , dengan akar-akarnya bukan bilangan bulat

Jika 1p , maka 2 2 1 0x x dengan akar-akarnya

1 2 1x x , dengan akar-akarnya

bilangan bulat. 1n

nu ar

12 1 11

12 1 1 1 1u


Untuk 02

x

, nilai 32sin sin 2 cos sin 2 cos .... ....x x x x x

A. sin x B. cos x C. 2sin x D. 2sec x E. 2csc x

Solusi: [E]

Rasio 2sin 2 cos 2sin cos cos

cos2sin 2sin

x x x x xr x

x x

Jumlah suku-suku pada deret geometri konvergen, dengan 1r adalah 1

aS

r

, sehingga

2 2

2sin 2sin 22csc

1 cos sin sin

x xS x

x x x


Jika jumlah 100 suku pertama suatu deret geometri adalah , dan jumlah 200 suku pertamanya

adalah 3 , maka jumlah 700 suku pertamanya adalah ...

A. 8 B. 10 C.15 D. 63 E. 127

Solusi: [E]

Jumlah n suku pertama deret geometri adalah 1

1

n

n

a rS

r

100

100

1

1

a rS

r

.... (1)

200

200

13

1

a rS

r

.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

200 1001 13

1 1

a r a r

r r

200 1001 3 1r r


200 1001 3 1r r

100 100 1001 1 3 1r r r

100 1 3r 100 2r .... (3)

Dari persamaan (1) diperoleh 1001 1

a

r r

.... (4)

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) diperoleh

700

700

1

1

a rS

r

700 7

100

1 2 1127

1 2 1

r

r


Diketahui sebuah barisan mempunyai urutan suku sebagai berikut:

120, 60, 40, 30, ... Suku berikutnya adalah ....

A. 24 B. 25 C. 30 D. 35 E. 36

Solusi: [A]

Perhatikan pola bilangannya!

Jadi, suku berikutnya adalah 24.


Diketahui sebuah barisan 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, ... Jumlah 3n suku pertama, untuk

1,2,3,4,n ... , dari barisan di atas adalah ....

A. 3 9 92

n

nS n C. 3

39 9

2n

nS n E. 3 3 3

2n

nS n

B. 3 9 92

n

nS n D. 3 9 9

6n

nS n

Solusi 1: [B]

Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 2 12

n

nS a n b


Barisan 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, ... dapat dibagi menjadi 3 kelompok:

Kelompok 1: 2, 6, 10, 14, ...

2 2 1 4 42 2

n

n nS n n

Kelompok 2: 3, 6, 9, 12, ...

2 3 1 3 3 32 2

n

n nS n n

Kelompok 3: 4, 6, 8, 10, ...

2 4 1 2 2 62 2

n

n nS n n

Jumlah dari ketiga kelompok tersebut adalah

3 4 3 3 2 6 9 92 2

n

n nS n n n n

Solusi 2: []


120, 60, 40, 30, ,24 ...

1

2

2

3

3

4

4

5


3 2 9 1 9 9 92 2

n

n nS n n


Pernyataan berikut yang BENAR berkaitan dengan deret

2 3

1 1 11 ...

2 3 2 3 2 3

adalah ....

(1) Deret tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2 3

(2) Deret tersebut merupakan deret turun

(3) Suku ke-5 nilainya sama dengan 97 56 3

(4) Jumlah semua sukunya sama dengan 3

2

Solusi: [B]

(1) Rasio 2

1

1

1 2 32 32 3

1 2 3 2 3

ur

u

Deret tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2 3 . (Benar)

(2) Karena r > 0, maka deret tersebut merupakan deret naik.

(3) 4 2

4

5 1 2 3 7 4 3 97 56 3u ar

Suku ke-5 nilainya sama dengan 97 56 3 (Benar)

(4) Karena r > 1, maka deret ini adalah divergen, sehingga deret ini tidak mempunyai jumlah.

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3)


Suatu koloni bakteri membelah diri menjadi dua setiap 6 jam dan pada setiap 12 jam seperempat

bagian dari koloni tidak bertahan hidup. Jika pada awal pengamatan terdapat x bakteri, maka

setelah 36 jam, jumlah bakteri dalam koloni tersebut adalah ....

A. 6x B. 24x C. 27x D. 48x E. 64x

Solusi: []

Jadi, jumlah bakteri dalam koloni setelah 36 jam adalah 1

36 36 274

x x x

2, 3, 4 6, 6, 6 10, 9, 8

9 18 27

Pengamatan Jumlah Virus

Pada jam ke-1 x

Paka 6 jam ke-2 2 2x x

Paka 6 jam ke-3 2 2 4x x

Paka 6 jam ke-4 1

4 4 2 64

x x x

(seperempat virus mati)

Paka 6 jam ke-5 6 2 12x x

Pada 6 jam ke-6 1

12 12 2 184

x x x

(seperempat virus mati)

Pada 6 jam ke-7 18 2 36x x



Jika cos ,sin ,x x dan 3

2 membentuk barisan geometri, maka suku ke-5 dari barisan tersebut

adalah ....

A. 1

318

B. 1

2 C.

13

3 D. 3 E.

9

2

Solusi: [E]

Barisan geometri: 3

cos ,sin ,2

x x

3sin 2

cos sin

xr

x x

2 3sin cos

2x x

2 31 cos cos

2x x

22 2cos 3cosx x 22cos 3cos 2 0x x

2cos 1 cos 2 0x x

1cos cos 2(ditolak)

2x x

3

2 3sin 60

r

Barisan geometri: 1 1 3

, 3,2 2 2

4

4

5

1 93

2 2u ar


Diketahui sebuah barisan mempunyai urutan sebagai berikut: 32,14,16,12,8,10,... suku ke-21

barisan tersebut adalah....

A. 6 B. 2 C. 1

32 D.

1

2 E. 2

Solusi: []

Barisan 32,14,16,12,8,10,... terdiri dari barisan 32,16,8,...dan 14,12,10,...

Suku ke-21 dari barisan 32,14,16,12,8,10,... letak sama dengan suku ke-11 dari barisan

32,16,8,...

1n

nu ar

10

21 11 5

1 1 132

2 2 32u u


Jumlah p suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah

p . Maka jumlah p q suku pertama dari barisan tersebut adalah....


A. p q B.

2

p q C. 1p q D. p q E. 1p q

Solusi: [D]


n

nS a n b

Jumlah p suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah q .

2 12

p

pS a p b q

2

2 1q

a p bp

.... (1)

Jumlah q suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah p .

2 12

q

qS a q b p

2

2 1p

a q bq

.... (2)

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan

2 2

1 1q p

p b q bp q

2 2q ppb b bq b

p q

2 22 2q ppb bq

pq

2 22 p qb

pq p q

2 p q

pq

.... (3)

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) diperoleh

2 2

2 1p q p

a qpq q

1p q p

a qpq q

2 2pq q p q p

pq

2

p q p q pq

pq

.... (4)

Jumlah p q suku pertama dari barisan tersebut adalah

2 12

p q

p qS a p q b

.... (5)

Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh

2

22 1

2p q

p q p q pq p qp qS p q

pq pq

2 2

2 2 2 2 2

2p q

p q p q pq p q p qp qS

pq pq

2

2p q

p q pqS p q

pq



Tiga bilangan , ,dana b c yang masing-masing di antara 2 dan 18 memenuhi hal-hal berikut.

(i) Jumlah 3 bilangan tersebut = 25;

(ii) 2, ,a b adalah suku-suku suatu bilangan aritmetika;

(iii) , ,18b c adalah suku-suku barisan geometri;

maka 3 2a b c adalah....

A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 E. 48

Solusi: [D]

25a b c .... (1)

Barisan aritmetika: 2, ,a b , sehingga

Beda 2a b a

2 2a b .... (2)

Barisan geometri: , ,18b c , sehingga

Rasio 18c

b c

2 18c b .... (3)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 25 2b c b

50 2 2 2b c b

3 2 48b c .... (4)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh 2

3 2 4818

cc

2 12 288c c 2 12 288 0c c

24 12 0c c

24(ditolak)atau 12(diterima)c c

Substitusikan 12c ke persamaan (3) diperoleh 212 18b

8b

Substitusikan 8b dan 12c ke persamaan (1) diperoleh

8 12 25a

5a

3 2 3 5 2 8 12 43a b c


Nilai dari 1

cos cos ...cos cos2 4 2 2n n

adalah....

(1) 1 sin

2sin

2

n

n

(2)

1 sin

2sin

2

n

(3)

1 tan cos

2sin

2

n

n

(4)

1 cos 2

2 cosn

Solusi: [B]


1cos cos ...cos cos

2 4 2 2n np

12 sin cos cos ...cos 2cos sin

2 2 4 2 2 2n n n np

2

1 12 sin cos sin ... 2cos sin

4 2 2 2 2n np

...

2 sin sin2

n

np

1 sin

2sin

2

n

n

p

1

1 sincos cos ...cos cos

2 4 2 2 2sin

2

n n n

n

Selanjutnya,

1

1 sincos cos ...cos cos

2 4 2 2 2sin

2

n n n

n

1 tan cos

2sin

2

n

n

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).


Diketahui 2 buah deret A dan B sampai suku ke- n adalah sebagai berikut:

:1 3 5 ... 2 1 ,

:1 4 7 ... 3 2 .

A n

B n

Di bawah ini yang benar untuk deret B A adalah...

(1) 12 66s (2) 13 91s (3) 14 91s (4) 15 120s

Solusi: [B]

2: 1 3 5 ... 2 1 1 2 12

n

nA S n n n

23: 1 4 7 ... 3 2 1 3 2

2 2 2n

n nB S n n n

2 2 23 1

2 2 2

nB A n n n n

(1) 2

12

112 12 66

2S

(2) 2

13

113 13 78

2S

(3) 2

14

114 14 91

2S

(4) 2

15

115 15 105

2S




1 3 5 7 9 11 13 15 17 ... 193 195 197 ...

A. 3399 B. 3366 C. 3333 D. 3267 E. 3266

Solusi: [D]

1 3 5 7 9 11 13 15 17 ... 193 195 197 3 9 15 ... 195

Ini adalah deret aritmetika dengan a = 3, b = 6, 1 197 1

333 2

n

, dan 33 195nu u

33

333 195 3267

2S


Jika diketahui 4 suku pertama dari barisan aritmetika adalah , , ,2x y w y , maka nilai ....y

x

A. 1

4 B.

1

3 C.

1

2 D. 2 E. 3

Solusi: [D]

Beda 2y x w y y w k

y x k .... (1)

w y k ....(2)

2y w k ....(3)

Jumlah persamaan (2) dan persamaan (3) menghasilkan

2y k

Substitusikan 2y k ke persamaan (1) diperoleh

2k x k

x k

22

y k

x k


3 7 5 12 8 15log , log , loga b a b a b adalah tiga suku pertama dari barisan aritmatika. Jika

diketahui suku ke-12 dari barisan tersebut adalah log nb , maka n adalah...

A. 40 B. 56 C. 76 D. 112 E. 143

Solusi: [D]

Beda 5 12 3 7 8 15 5 12log log log logd a b a b a b a b

Beda

5 12 8 15

3 7 5 12log log

a b a bd

a b a b

Beda 2 5 3 3log logd a b a b

2 5 3 3a b a b 2a b

12 11u a d

3 7 2 5log log 11lognb a b a b 11

3 7 2 5log a b a b 25 62log a b

25 62nb a b


25

2 62 112nb b b b

112n


Pada suatu barisan geometri dengan 1,r diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah

tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat

bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku

ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda

r . Jumlah bilangan yang disisipkan adalah....

A. 14 B. 24 C. 28 D. 32 E. 42

Solusi: [E]

1 2 3 4 2 42 3u u u u u u

2 3 32 3a ar ar ar ar ar

2 3 32 2 2 2 3 3r r r r r 3 22 2 0r r r

2 2 2 0r r r

2 1 2 0r r

2r Barisan aritmetika: 1 2 3 4u u p u q r s u , dengan beda r

Beda 2 1r u u

r ar a

2 2a a

2a

Barisan aritmetika menjadi: 1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 14 16u u p u q r s u

6 10 12 14 42p q r s

jumlah bilangan yang disisipkan adalah 42.


Misalkan f x adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan

aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya

sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian 6f x oleh 2 1x adalah ....

A. 7 6x B. 6x C. 6 7x D. 6x E. 1x

Solusi: [A]

Misalnya polinomial berderajat tiga 3 2f x ax bx cx d , dengan akar-akarnya

1 2 3, ,danx x x .

Akar-akar polinomial f x membentuk barisan aritmetika: 1 2 3, ,x x x

Beda 2 1 3 2b x x x x , sehingga diperoleh

2 1 32x x x .... (1)

Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, sehingga

3 13x x .... (2)

Jumlah akar-akarnya sama dengan 12, sehingga

1 2 3 12x x x .... (3)


Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh

2 1 12 3x x x

2 12 4x x

2 12x x .... (4)

Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan (3) sehingga diperoleh

1 1 12 3 12x x x

16 12x

1 2x

2 12 2 2 4x x

3 13 3 2 6x x

Polinomial tersebut menjadi 2 4 6f x x x x .

6 6 2 6 4 6 6f x x x x 3 24 2 6 8x x x x x x

Untuk menentukan sisa pembagian 6f x oleh 2 1x , substitusikan

2 1x ke polynomial

6f x , sehingga diperoleh sisa pembagian 6f x oleh 2 1x adalah

2 26 8 1 6 1 8 7 6x x x x x x x .

Kita dapat menentukan sisa pembagian 6f x oleh 2 1x , sebagai berikut.


Misalkan f x adalah suatu polinominal derajat tiga, yang akar-akarnya membentuk barisan

aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya

sama dengan 12. Maka jumlah akar-akar dari 1f x adalah ....

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

Solusi: [B]


1 2 3, ,danx x x .



2 1 32x x x .... (1)


3 13x x .... (2)


1 2 3 12x x x .... (3)

2 3 2

3

2

2

6

1 6 8

6 7

6 6

7 6

x

x x x x

x x

x x

x

x



2 1 12 3x x x

2 12 4x x

2 12x x .... (4)


1 1 12 3 12x x x

16 12x

1 2x

2 12 2 2 4x x

3 13 3 2 6x x


1 1 2 1 4 1 6f x x x x 1 3 5x x x

Jumlah akar-akar 1f x adalah 1 + 3 + 5 = 9.


Pada suatu barisan geometri dengan rasio, 1r diketahui jumlah empat suku pertama adalah

tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat

bilangan, dengan cara: antara sku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku

ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmatika dengan beda

.r Maka jumlah empat suku pertama dari barisan geometri semula adalah ...

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50

Solusi: [C]

1 2 3 4 2 42 3u u u u u u

2 3 32 3a ar ar ar ar ar 2 3 32 2 2 2 3 3r r r r r

3 22 2 0r r r

2 2 2 0r r r

2 1 2 0r r

2r Barisan aritmetika: 1 2 3 4u u p u q r s u , dengan beda r

Beda 2 1r u u

r ar a

2 2a a

2a

Barisan geometri semula: 2, 4, 8, 16

Jadi, jumlah empat suku pertama dari barisan geometri semula adalah 2 + 4 + 8 + 16 = 30.


Diberikan dua buah barisan aritmatika ( )nA dan ( ).nB Diketahui jumlah 100 suku pertama dari

( )nA dengan beda bernilai satu adalah 5850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku

terakhir barisan ( )nB sama dengan suku kedua terakhir barisan ( ).nA Jika beda barisan ( )nB

adalah 2, maka jumlah barisan ( )nB adalah ...

A. 2385 B. 2470 C. 2725 D. 2900 E. 2925


Solusi: [D]

Jumlah 100 suku pertama dari ( )nA dengan beda bernilai satu adalah 5850:

100( ) 5850AS dan

1Ab

Suku pertama kedua barisan adalah sama: 1( ) 1( )A Bu u a

Suku terakhir barisan ( )nB sama dengan suku kedua terakhir barisan ( )nA : ( ) 99( )n B Au u

Beda barisan ( )nB adalah 2: 2Bb

2 12

n

nS a n b

100( )

1002 100 1 1 5850

2AS a

50 2 99 5850a

2 99 117a

2 18a

9a

( ) 99( ) 99 9 98 1 107n B Au u a b

( ) 1n B Bu a n b

107 9 1 2n

98 1 2n

49 1n

50n

50( )

502 9 50 1 2 25 18 98 2900

2BS


Misalkan ( )f x adalah suatu polinominal derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan

aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya

adalah 12. Maka akar-akar dari ( 1)f x adalah ....

(1) 1 dan 3 (2) 1 dan 5 (3) 3 dan 5 (4) 2 dan 4

Solusi: [A]


1 2 3, ,danx x x .



2 1 32x x x .... (1)


3 13x x .... (2)


1 2 3 12x x x .... (3)



2 1 12 3x x x

2 12 4x x

2 12x x .... (4)


1 1 12 3 12x x x

16 12x

1 2x

2 12 2 2 4x x

3 13 3 2 6x x


1 1 2 1 4 1 6f x x x x 1 3 5x x x

Akar-akarnya adalah 1, 3, atau 5.

Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).


Diketahui suatu deret bilangan ganjil yakni

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ... (berganti tanda setiap 3 suku). Jumlah dari

300 suku pertama dari deret bilangan tersebut adalah ....

A. 960 B. 360 C. 300 D. 450 E. 900

Solusi: [E]

Deret bilanga ganjil: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ...

Deret bilangan ganjil ini dapat ditulis sebagai: 9 27 45 63 81 99 ... yang dapat

dikelompokkan menjadi deret bilangan ganjil: 9 45 81 ... dan 27 63 99 ... , dengan

banyak suku masing-masing 300 1

503 2

.


n

nS a n b

300

50 502 9 50 1 36 2 27 50 1 36

2 2S 44550 45450 900


Diketahui sebuah barisan 3 3 9 15

, , , ,...2 4 8 16

. Jumlah sepuluh suku pertama dari barisan tersebut

adalah ....

A.

101 210

3

C.

102 110

3

E. 10

B.

102 110

3

D.

102 1

3

Solusi: [A]

Barisan 3 3 9 15

, , , ,...2 4 8 16

bukan barisan aritmetika atau barisan geometri.

Pada barisan ini kita lakukan rekayasa sebagai berikut.


1 1 1 11 , 1 , 1 , 1 ,...

2 4 8 16

Barisan ini dapat dikelompokkan menjadi 1 1 1 ... dan 1 1 1 1

...2 4 8 16

10

10

1 11

2 210 1

11

2

S

102 110

3

101 210

3


Jika diketahui

22 3 1

2 1, , 13

y yy y y

adalah tiga suku barisan aritmetika, maka nilai

suku kedua yang memenuhi adalah ...

(1) 1 (2) 2 (3) 1 (4) 2

Solusi: [B]

Beda:

2 223 1 3 1

2 1 13 3

y y y yy y y

2

22 6 21 2 1

3

y yy y y

22 6 2 3 31

3

y y yy

22 3 1 3 1y y y

22 3 1 3 3y y y

22 2y

2 1y

1y

22 3 1 3 3y y y

22 6 4 0y y

2 3 2 0y y

1 2 0y y

1atau 2y y

Jika 1y , maka

22 1 3 1 13 11

3 3

y y

Jika 1y , maka

2 23 1 1 3 1 11

3 3

y y

Jika 2y , maka

22 2 3 2 13 11

3 3

y y



Misalkan 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 22 1 3 4 0x k k x k dan

kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika 1 2, ,x k x merupakan 3 suku pertama

barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah ....


A. 1 1

12 2

n C.

1 11

2 2

n E.

1 11

2 2

n

B. 1 1

12 2

n D. 1

n

Solusi: [A]

Karena 1x dan

2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 22 1 3 4 0x k k x k ,

maka 2

1 2 2 1x x k k dan 1 2 3 4x x k .

Barisan geometri: 1 2, ,x k x

Rasio 2

1

xkr

x k

2

1 2k x x

2 3 4k k 2 3 4 0k k

1 4 0k k

1atau 4k k

Jika 1k , maka persamaan kuadrat menjadi 2 2 1 1 3 4 0x x atau

2 2 1 0x x , dengan akar-akarnya kembar 1x .

Jika 4k , maka persamaan kuadrat menjadi 2 32 4 1 12 4 0x x atau

2 27 16 0x x , dengan akar-akarnya tidak bulat.

Barisan geometri menjadi: 1, 1,1

Jumlah n suku pertama dari barisan geometri adalah 1

1

n

n

a rS

r

1 1 1

1 1

n

nS

1 1

12 2

n


Jika diketahui bahwa 1 2 3 4 2012

... ,2013 2013 2013 2013 2013

x nilai x yang memenuhi

adalah ....

A. 1007

2013 B.

1006

2013 C.

1

2013 D.

1006

2013 E.

1007

2013

Solusi: [B]

1 2 3 4 2012...

2013 2013 2013 2013 2013x

11 2 3 4 ... 2012

2013

2012

2

1 10061 1 1 1 ... 1

2013 2013


Diketahui bahwa 1 2 3, , , ,x a a a y dan 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y dengan x y adalah dua buah barisan

aritmetika, maka 3 2

5 3

....a a

b b


A. 2

3 B.

5

7 C.

3

4 D.

5

6 E.

4

3

Solusi 1: []

Dari barisan aritmetika 1 2 3, , , ,x a a a y diperoleh

Beda 1 1 2 1 3 2 3d a x a a a a y a

1 1 2 1 3 2 34d a x a a a a y a

14d y x

14

y xd

Dari barisan aritmetika 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y diperoleh

Beda 2 1 2 1 3 2 4 3 5 4 5d b x b b b b b b b b y b

2 1 2 1 3 2 4 3 5 4 56d b x b b b b b b b b y b

26d y x

26

y xd

3 2 1 1

5 3 2 2

2

4 2

a a x d x d

b b x d x d

1

2

34

2 42

6

y xd

y xd

Solusi 2: []

Kita menggunkan konsep sisipan pada barisan aritmetika '1

bb

k

, dengan 'b beda baru, b

beda lama, dan k banyak suku yang disisipkan.

Dari barisan aritmetika 1 2 3, , , ,x a a a y , dengan b y x dan banyak suku 1 3 1 4k ,

sehingga diperoleh

'4

y xb

Dari barisan aritmetika 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y 1 2 3, , , ,x a a a y , dengan b y x dan banyak suku

1 5 1 6k , sehingga diperoleh

"6

y xb

3 2

5 3

2 ' '

4 " 2 "

a a x b x b

b b x b x b

' 34

2 " 42

6

y xb

y xb


Diketahui bahwa n adalah bilangan asli. Misalkan ( )S n menyatakan jumlah setiap digit dari n

(sebagai contoh: 1234n , (1234) 1 2 3 4 10S ), maka nilai ( )S S n yang memenuhi

persamaan ( ) 2013n S n S S n adalah ....

(1) 2 (2) 5 (3) 8 (4) 20

Solusi: [A]


( ) 2013n S n S S n

Jika 99 10n , maka max

99 9 9 18S n S

Jika 1999 1000n , maka max

1999 1 9 9 9 28S n S

( ) 18 28n S n S S n n

2013 46n

1967n

Tes nilai n yang memenuhi hubungan ( ) 2013n S n S S n

Nilai n yang memenuhi adalah 1979, 1985, 1991, dan 2003.

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3)

43. Solusi: []SIMAK UI Matematika Dasar 333, 2013

Diketahui bilangan , ,a b c membentuk barisan geometri. Bilangan , , 2a b c membentuk barisan

aritmetika dan bilangan , 2, 10a b c membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang

mungkin untuk b adalah ....

A. 14

9 B.

20

9 C.

32

9 D.

40

9 E.

80

9

n S n ( )S S n n S n ( )S S n

1967 1 + 9 + 6 + 7 = 23 2 + 3 = 5 1990 1 + 9 + 9 + 0 = 19 1 + 9 = 10

1968 1 + 9 + 6 + 8 = 24 2 + 4 = 6 1991 1 + 9 + 9 + 1 = 20 2 + 0 = 2

1969 1 + 9 + 6 + 9 = 25 2 + 5 = 7 1992 1 + 9 + 9 + 2 = 21 2 + 1 = 3

1970 1 + 9 + 7 + 0 = 17 1 + 7 = 8 1993 1 + 9 + 9 + 3 = 22 2 + 2 = 4

1971 1 + 9 + 7+ 1 = 18 1 + 8 = 9 1994 1 + 9 + 9 + 4 = 23 2 + 3 = 5

1972 1 + 9 + 7 + 2 = 19 1 + 9 = 10 1995 1 + 9 + 9 + 5 = 24 2 + 4 = 6

1973 1 + 9 + 7 + 3 = 20 2 + 0 = 2 1996 1 + 9 + 9 + 6 = 25 2 + 5 = 7

1974 1 + 9 + 7 + 4 = 21 2 + 1 = 3 1997 1 + 9 + 9 + 7 = 26 2 + 6 = 8

1975 1 + 9 + 7 + 5 = 22 2 + 2 = 4 1998 1 + 9 + 9 + 8 = 27 2 + 7 = 9

1976 1 + 9 + 7 + 6 = 23 2 + 3 = 5 1999 1 + 9 + 9 + 9 = 28 2 + 8 = 10

1977 1 + 9 + 7 + 7 = 24 2 + 4 = 6 2000 2 + 0 + 0 + 0 = 2 2

1978 1 + 9 + 7 + 8 = 25 2 + 5 = 7 2001 2 + 0 + 0 + 1 = 3 3

1979 1 + 9 + 7 + 9 = 26 2 + 6 = 8 2002 2 + 0 + 0 + 2 = 4 4

1980 1 + 9 + 8 + 0 = 18 1 + 8 = 9 2003 2 + 0 + 0 + 3 = 5 5

1981 1 + 9 + 8 + 1 = 19 1 + 9 = 10 2004 2 + 0 + 0 + 4 = 6 6

1982 1 + 9 + 8 + 2 = 20 2 + 0 = 2 2005 2 + 0 + 0 + 5 = 7 7

1983 1 + 9 + 8 + 3 = 21 2 + 1 = 3 2006 2 + 0 + 0 + 6 = 8 8

1984 1 + 9 + 8 + 4 = 22 2 + 2 = 4 2007 2 + 0 + 0 + 7 = 9 9

1985 1 + 9 + 8 + 5 = 23 2 + 3 = 5 2008 2 + 0 + 0 + 8 = 10 1 + 0 = 1

1986 1 + 9 + 8 + 6 = 24 2 + 4 = 6 2009 2 + 0 + 0 + 9 = 11 1 + 1 = 2

1987 1 + 9 + 8 + 7 = 25 2 + 5 = 7 2010 2 + 0 + 1 + 0 = 3 3

1988 1 + 9 + 8 + 8 = 26 2 + 6 = 8 2011 2 + 0 + 1 + 1 = 4 4

1989 1 + 9 + 8 + 9 = 27 2 + 7 = 9 2012 2 + 0 + 1 + 2 = 5 5


Solusi: [C]

Barisan geometri: , ,a b c , sehingga

Rasio: b c

a b

2b ac .... (1)

Barisan aritmetika: , , 2a b c , sehingga

Beda: 2b a c b

2 2a c b .... (2)

Barisan geometri: , 2, 10a b c , sehingga

Rasio: 2 10

2

b c

a b

2

2 10b ac a .... (3)

Dari persamaan dan (1) dan (3) diperoleh

2 22 10b b a

2 24 4 10b b b a

4 4 10b a

2 2

5

ba

.... (4)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2

2 2b

a ba

2 22 2 0a b a b .... (5)


2

22 2 2 22 2 0

5 5

b bb b

2 2 22 2 5 2 2 25 0b b b

29 32 16 0b b

1 2

32

9b b

44. Solusi: []SIMAK UI Matematika Dasar 334, 2013

Jika diketahui bahwa 1 2

10 10 10 ... 403 3

, nilai x yang memenuhi adalah ....

A. 1150 B. 1125 C. 690 D. 45 E. 25

Solusi 1: [E]

1 210 10 10 ... 40

3 3

130 31 32 ... 120

3

130 31 32 ... 120

3

120 30 :2

11 1 1 ... 120

3

1 1

45 120 75 253 3

Solusi 1: [E]

1 210 10 10 ... 40

3 3

911

1

11 29 25

3

n

n

n


Diketahui jumlah 50 suku pertama dari deret aritmetika adalah 200 dan jumlah 50 suku

berikutnya adalah 2700. Suku pertama dari barisan tersebut adalah ....

A. 1221 B. 21,5 C. 20,5 D. 3 E. 3,5

Solusi: [C]


2

n n

nS a u

Jumlah 50 suku pertama dari deret aritmetika adalah 200

50 50

50

2S a u

200 25 49a a b

2 49 8a b .... (1)

Jumlah 50 suku berikutnya adalah 2700

50 51 100

50

2S u u

2700 25 50 99a b a b

2 149 108a b .... (2)

Persamaan (2) – Persamaan (1) menghasilkan:

100 100b

1b

2 49 1 8a

2 41a

20,5a


Barisan bilangan 2 4 3 12 5 81 1log , log , log

4 2n m n m n m merupakan tiga suku pertama dari

barisan aritmetika. Jika suku ke-2013 adalah log an , maka nilai a adalah ....

A. 493 B. 503 C. 505 D. 2012 E. 2027

Solusi: [A]

Beda 3 12 2 4 5 8 3 121 1 1log log log log

4 2 4b n m n m n m n m

3 12 2 4 5 8 3 12log 4log 2log logn m n m n m n m

4 2

3 12 2 4 5 8 3 12log logn m n m n m n m

11 4 13 4log logn m n m

11 4 13 4log logn m n m

11 4 13 4n m n m

8 24m n

3m n

2013 log au n

2012 log aa b n

2 4 5 8 3 121 1log 2012 log log log

2 4

an m n m n m n

2 12 5 24 3 36log 1006log 503log log an n n n n n n

10 19 1006 39 503log log log log an n n n

10 19 1006 39 503log log an n

10 19 1006 39 503 493a



Diberikan deret bilangan sebagai berikut.

1540 3080 6160 12320 24640 ... Jika r adalah rasio dari deret tersebut, berapakah suku yang

diperlukan sehingga jumlahnya sama dengan 2 2556nr ?

(1) 2 (2) 3 (3) 9 (4) 10

Solusi: [-]

Deret bilangan: 1540 3080 6160 12320 24640 ... mempunyai suku pertama 1540a dan rasio

30802

1540r

Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah 1

1

n

n

a rS

r

1540 2 1

2 1

n

nS

1540 1 2

3

n

Jumlahnya sama dengan 2 2556nr

2

1540 1 22556

3

n

nr

21540 1 2

2 25563

n

n

1540 1 24 2556

3

n

n

Silahkan sumbstitusikan nilai n = 2, 3, 9, dan 10. Sejauh ini tidak ada nilai n yang memenuhi.


Diketahui 2 2 2 2 2010a b c d dan 2010a b c d . Jika a, b, c, d adalah empat suku

pertama dari suatu barisan aritmetika, maka ....a

A. 1008 B. 898 C. 788 D. 604 E. 504

Solusi: [E]

Suku pertama = a dan beda = D 2 2 2 2 2010a b c d

2010a b a b c d c d

2 3 2 3 2010a a D a a D a D a D a D a D

2 2 5 2010a D D a D D

4 6 2010D a D .... (1)

2010a b c d 4 6 2010a D .... (2)


2010 2010D

1D

4 6 1 2010a

4 2016a

2016

5044

a


49. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014

Diketahui untuk 1n , berlaku 1 1 1

...2 3 4

n n n nS , maka 2 3 4 ... ....S S S

A. 1 B. 2 C. D. 2 E.

Solusi: [A]

1 1 1...

2 3 4n n n n

S

2 3 4 2 2 2 3 3 3 4 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ... ...

2 3 4 2 3 4 2 3 4S S S

2 3 4 2 3 4 2 3 3 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ... ...

2 2 2 3 3 3 4 4 4S S S

Jumlah suku-suku dari deret geometri tak hingga konvergen dengan 1r adalah 1

aS

r

.

Selanjutnya,

22 2

2 3 4

11 1

32 4... ...1 1 1

1 1 12 3 4

S S S

2 3 4

1 1 1... ...

2 6 12S S S

Ingat konsep:

1 1 1

1 1n n n n

Sehingga

2 3 4

1 1 1 1 1... 1 ... 1

2 2 3 3 4S S S


Dikethaui deret aritmetika terdiri dari n suku. Suku awal deret tersebut merupakan jumlah n suku

pertama bilangan genap dan bedanya n, maka jumlah deret aritmetika tersebut adalah ....

A. 3n B. 3

3

n C.

3 23

2 2

n n D.

3 23

2 2

n n E. 2n

Solusi: [C]

22 22

na n n n

b n

2 12

n

nS a n b 22 1

2

nn n n n

2 22 22

nn n n n

3 23

2 2

n n


Didefinisikan sebuah barisan sebagai berikut. 2014

1 2S dan untuk 1n

2

1

log , jika 0

0, lainnya

n nn

S SS

Nilai terkecil n sedemikian sehingga 1nS adalah ....

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2

Solusi: [A]


52. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014

Diketahui suatu barisan aritmetika na memiliki suku awal 0a dan 10 152 5a a . Nilai n yang

memenuhi agar jumlah n suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah ....

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20

Solusi: []

10 152 5a a

2 9 5 14a b a b

3 52 0a b

52

3

ba

.... (1)

Jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah 2 12

n

nS a n b .... (2)


2104 107

2 3 2 6n

n bS b nb b n bn

1070

6

nSbn b

dn

107 517 18

6 6n

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 18.


Misalkan x, y, dan z memenuhi system persamaan.

2 2

2 2 5

2 4

x y z x y z xz

x z

Jika x, y, z adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmetika, maka nilai ....y

(1) 12 8

4

(2)

12 6

4

(3)

12 8

4

(4)

3 6

2

Solusi: [B]

2 2 5x y z x y z xz .... (1)

2 22 4x z .... (2)

Beda b y x z y , sehingga 2y x z .... (3)


2 2 5x z y x z y xz

2 2 2 2 5y y y y xz

4 2 5y y xz

24 2 5y xz ....(4)

Dari persamaan (3) diperoleh

2 2

2y x z

2 2 24 2y x z xz .... (5)


2 2 2 2 5x z xz xz

2 2 5x z .... (6)


Penjumlahan persamaan (2) dan persamaan (6) menghasilkan

23 9x

2 3x .... (7)


23 5z

2 2z ....(8)

Substitusikan persamaan (7) dan (8) ke (3) diperoleh

2 3 2y

12 8

4y

12 8 12 8

4 4y y



A dan B berdiri saling berhadapan dengan jarak 100 m. Seekor kucing berdiri di samping A dan

mulai berlari menuju B dengan kecepatan 2m/s. Pada saat yang sama, A berjalan menuju B

dengan kecepatan 1 m/s dan berhenti ketika kucing tiba di B. Kucing lalu berbalik arah dan

berlari menuju A dengan kecepatan yang sama. B tidak bergerak dari posisi awal. Kemudian,

kucing dan A kembali menuju B dengan kecepatannya masing-masing. Jika proses ini berlanjut

terus menerus, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah ... m.

A. 500 B. 400 C. 300 D. 350 E. 200

Solusi: [C]

Visualisasi dari soal:

25 25100 50 50 25 25 ...

2 2S

25100 2 50 25 ...

2

50

100 2 100 2 100 100 200 3001

12

Jadi, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah 300 m


Misalkan tiga suku dari barisan aritmetika adalah 3 7log a b , 5 12log a b , 8 15loga b dan suku ke-12

adalah log m na b . Nilai 2m n adalah ....

A. 40 B. 56 C. 76 D. 112 E. 143

Solusi: [C]


A

K

B

100

A1

K1

50

50

K2

A2

K3

Peristiwa 1

Peristiwa 2

K4

25

25

Demikian seterusnya

100

50


Beda

5 12 8 15

3 7 5 12log log

a b a bd

a b a b


3 7 2 5log log 11logm na b a b a b 11

3 7 2 5log a b a b 25 62log a b

25dan 62m n

2 2 25 62 112m n


Diketahui nu dan nv adalah barisan aritmetika dengan 0n . Jumlah n suku pertama dari

masing-masing barisan ini adalah ( )uS n dan ( )vS n . Jika ( ) 2 8

( ) 5 9

v

u

S n n

S n n

dan 2

7

3v , maka

4 ....u

A. 22

3 B.

17

3 C. 4 D.

11

3 E. 3

Solusi: [A]

( ) 2 8

( ) 5 9

v

u

S n n

S n n

Jika 1n , maka 2 8 10 5

5 9 14 7

v

u

a

a

5

7v ua a .... (1)

2

7

3v vv a b

7

3v vb a .... (2)


7 5

3 7v ub a .... (3)

Jumlan suku pertama suku-suku barisan aritmetika adalah 2 12

n

nS a n b

( ) 2 8

( ) 5 9

v

u

S n n

S n n

2 12 82

5 92 1

2

v v

u u

na n b

n

n na n b

2 1 2 8

2 1 5 9

v v

u u

a n b n

a n b n

.... (4)

Jika 2n , maka persamaan (4) menjadi

2 2 1 2 2 8

2 2 1 5 2 9

v v

u u

a b

a b

2 12

2 19

v v

u u

a b

a b

....(5)

Jika 3n , maka persamaan (4) menjadi

2 3 1 2 3 8

2 3 1 5 3 9

v v

u u

a b

a b


2 2 14

2 2 24

v v

u u

a b

a b

7

12

v v

u u

a b

a b

.... (6)


7

73

12

v v

u u

a a

a b

7

73

12u ua b

4u ua b

4u ub a .... (7)

Substitusikan persamaan (1), (3), dan (7) ke persamaan (5) sehingga diperoleh

2 12

2 19

v v

u u

a b

a b

5 7 52

127 3 7

2 4 19

u u

u u

a a

a a

30 49 15 12

42 84 21 19

u u

u u

a a

a a

15 49 12

21 84 19

u

u

a

a

285 931 252 1008u ua a

33 77ua

77 7

33 3ua ....(8)


7 54 4

3 3u ub a

4

7 5 223 3

3 3 3u uu a b


Jika bilangan 3 7log a b , 5 12log a b , dan 8 15log a b merupakan tiga suku pertama dari barisan

aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah log nb , maka nilai n adalah ....

A. 82 B. 108 C. 112 D. 146 E. 152

Solusi: [C]


Beda

5 12 8 15

3 7 5 12log log

a b a bd

a b a b


2 5 3 3a b a b


2a b

12 11u a d

3 7 2 5log log 11lognb a b a b 11

3 7 2 5log a b a b 25 62log a b

25 62nb a b

25

2 62 112nb b b b

112n


na didefinisikan sebagai 1 3n na a n , 1 4, 1a n . Jika 9484na , maka ....n

A. 65 B. 80 C. 96 D. 100 E. 120

Solusi: [C]


Nilai c yang memenuhi persamaan 2 1

1 ...1

c x c xx

adalah....

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

Solusi: [E]

Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1

aS

r

2 1

1 ...1

c x c xx

1r

1c x

1 1c x 1 1c x c

1 1c x c

1 1

1 1c x x

1 1x c x

1 1x c x 0c


Diketahui bahwa banyak suku pada barisan aritmetika adalah genap. Jumlah suku dengan urutan

ganjil dan suku dengan urutan genap masing-masing adalah 36 dan 48. Jika suku terakhir lebih

besar 1

222

dibandingkan suku pertama, maka banyak suku barisan tersebut adalah ....

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 E. 20

Solusi: [C]

Barisan aritmetika: 1 2 3 2, , ,..., nu u u u

1 3 5 ... 36nu u u u

2 4 6 1... 48nu u u u

1 2 3 ... 36 48 84nu u u u

1 842

n

nu u


1 168nn u u

1

122

2nu u

1 1

122 168

2n u u

14 45 336n u

14 45 12 28 14 24 16 21n u

Nilai 116dan 6n u


Jika 2 3

... 5a a a

b b b , maka

2 3

... ....a a a

a b a b a b

erupakan tiga suku pertama dari

barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah log nb , maka nilai n adalah ....

A. 3

4 B.

4

5 C.

5

6 D.

6

7 E.

7

8

Solusi: [C]


aS

r

2 3... 5

a a a

b b b

2 3

1 1 1... 5a

b b b

51

1

a

b

b

51

a

b

15

ab

2 3

5...

1 1 61

5

a

a a a a aa baa b a ba b a b a

a b


Jika 1 2k kx x , untuk 1,2,3,..., 1k n dan 1 1x , maka nilai

1 3 1

2 4

...

...

n

n

x x x

x x x

untuk n genap

adalah ....

A. 12 B. 12n C. 22n D. 2 E. 22

Solusi: [A]

1x

2 12 2 1 2x x

3 22 2 2 4x x

4 32 2 4 8x x

5 42 2 8 16x x


6 52 2 16 32x x

...

1 3 1 1

2 4

... 1 4 16 ... 1 4 16 ... 12

... 2 8 32 ... 2 1 4 16 ... 2

n

n

x x x

x x x


Jika 1,2 2,7 1,...,72x x x merupakan barisan aritmetika, maka suku tengahnya adalah ....

A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 E. 38

Solusi: [D]

Beda 2 2 1 7 1 2 2b x x x x 3 5 1x x

4 4x 1x

3 1 3 4b x

1nu a n b

72 0 1 4n

19n Suku tengah 19 1 10

2

9 0 9 4 36tu u u a b


Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlash 2016. Sebuah deret geometri baru dihasilkan

dengan cara menguadratkan setiap suku dari deret geometri awal, di mana deret geometri baru

memiliki jumlah tak hingga sama dengan 10 kali jumlah tak hingga deret geometri awal. Jika

rasio deret geometri awal adalah

, maka ....

A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24

Solusi: [C]


aS

r

Deret geometri awal: 2 3 ...a ar ar ar

awal 2016S

awal 20161

aS

r

2016 1a r .... (1)

Deret geometri baru: 2 2 2 2 4 2 6 ...a a r a r a r

baru wal10 20160aS S 2

220160

1

a

r

222016 120160

1 1

r

r r

2016 110

1

r

r

2016 2016 10 10r r 2006 2026r


2006

2026r

2026 2006 20


Jika suatu deret dinyatakan oleh bilangan 0,2581818181... , maka jumlah 1n suku pertama

adalah ....

A. 0,001 25 99 1 0,001n C. 0,01 25 99 1 0,01n E. 0,1 25 99 1 0,0001n

B. 0,1 25 99 1 0,001n D. 0,1 25 99 1 0,001n

Solusi: [-]

0,2581818181...nS

100 25,81818181...nS

100 25 0,81818181...nS

25 0,81818181...

100 100nS

81 81...

25 100 10000

100 100nS

81 11

100 10025 1

1100 1001

100

n

25 81 11

100 9900 100

n

1 81 81 125

100 99 99 100

n

1

1

1 81 81 125

100 99 99 100

n

nS

1 81 81 125

100 99 9900 100

n


Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan 2 1

1 2 1 2 1 ...5

x xx

adalah ....

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. Tidak ada

Solusi: [E]


aS

r

2 1

1 2 1 2 1 ...5

x xx

1r

2 1 1x

1 2 1 1x 0 2 2x

0 1x .... (1)

1 1

1 2 1 5x x

1 1

2 5x x

5 2x x


5

3x

Dari (1) dan (2) tidak ada nilai x yang memenuhi.


Misalkan , ,a b c berturut-turut adalah tiga bilangan asli yang membentuk barisan geometri dengan

a

b bilangan bulat. Jika rata-rata , ,a b c adalah 1b , maka

2

4 1 ....a b

ab a

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2

Solusi: [D]

Barisan geometri: , ,a b c berturut-turut adalah tiga bilangan asli

Rata-rata , ,a b c adalah 1b , sehingga

13

a b cb

3 3a b c b 2 3 3a ar ar ar

22 3a ar ar

2

1 3a r

Karena a bilangan asli, maka kemungkinannya adalah

1a dan 2

1 3r , di sini r tidak bulat

3a dan 2

1 1r , sehingga 2r

Barisan geometri tersebut adalah 3, 6, 12. 2 2

3 6 14 1 4 3 1 4 2 3 1 1

6 3 4

a ba

b a

68. SIMAK UI, 2017

Nilai x yang memenuhi 3 5

1 , 1 , 1 ... 1x x x adalah ....

A. 1 5 3

2

B.

1 5

2

C.

1 5 3

2

D.

1 3 5

2

E.

1 5

2

Solusi: [B]


aS

r

2

11

1 1

x

x

2

1 1 1x x 21 2 1 1x x x

2 1 0x x

21 1 4 1 1 1 5

2 1 2x

1 5

2x

Semoga bermanfaat...

barisan dan deret - · pdf file2 1 2 2 1 3 u 2 3 1 2 2 1 2 2 1 u r u 33 u ar ... jika hasil...

Documents