ANALISIS RIIL

BARISAN BILANGAN REAL

DISUSUN OLEH :

TRI DECCY

LEO NARDO SIHOMBING

HARNY GRISHELDIS SITINJAK

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS KRISTEN INDONESIA

JAKARTA 2015

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangDalam mata kuliah analisis riil I, mata kuliah yang mempelajari dan mengasah intelektual mahasiswa matematika, terdapat sub bab yang bertemakan Barisan Bilangan Real, Teori limit, Barisan monoton, Sub Barisan dan teorema Bolzano Weierstrass. Apa itu Barisan bilangan real, apa yang menjadi bagian dalam teori limit, apa itu Barisan monoton dan Sub Barisan, apa yang menjadi teorema Bolzano Weierstrass, kriteria Cauchy, dan sifat barisan divergen dan apa saja yang dipelajari dalam bab ini, akan menjadi topik pembahasan yang akan kita angkat.

1.2 Pembatasan MasalahDari sekian permasalahan yang ada tidak mungkin penulis dapat membahasnya secara keseluruhan, karena mengingat kemampuan yang ada baik intelektual, biaya dan waktu yang dimiliki penulis sangat terbatas. Maka penulis perlu memberikan batasan-batasan masalah. Pembatasan masalah diperlukan untuk memperjelas permasalahan yang ingin dipecahkan. Oleh karena itu, penulis memberikan batasan sebagai berikut :

1. Apa pengertian barisan bilangan real

2. Apa sifat sifat barisan bilangan real

3. Apa pengertian barisan Monoton ?4. Apa pengertian Sub Barisan?5. Bagaimana teorema Bolzano Weierstrass ?

6. Bagaimana kriteria Cauchy?

7. Bagaimana sifat barisan divergen ?

1.3 PERUMUSAN MASALAH

Perumusan masalah yang akan dijabarkan adalah sebagai berikut :

1. Barisan bilangan real

2. Sifat sifat barisan bilangan real

3. Barisan Monoton (definisi dan contoh soal)

4. Sub Barisan (definisi dan contoh soal)

5. teorema Bolzano Weierstrass6. Kriteria Cauchy7. Sifat barisan Divergen1.4 TUJUAN PENULISAN

1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti barisan bilangan real, sifat barisan bilangan real, sub bab tentang barisan monoton dan sub barisan, kriteria cauchy, dan sifat barisan divergen.

2. Dan tujuan lainnya adalah agar mahasiswa lainnya yang membutuhkan data tentang materi ini dapat terbantu.

1.5 MANFAAT PENULISANSemoga penulisan makalah yang bertemakan barisan bilangan real, barisan monoton ini dapat membantu dan bermanfaat bagi teman-teman mahasiswa, dan yang lainnya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Definisi Barisan Bilangan RealDefinisi 2.1. Barisan bilangan real adalah fungsi .

Jika adalah barisan bilangan real maka nilai fungsi di dinotasikan sebagai . Nilai ini disebut suku ke- dari barisan bilangan real . Barisan bilangan real dapat pula dituliskan sebagai . Dalam literatur lain, barisan bilangan real ini biasa dituliskan dalam notasi .

Barisan bilangan real dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. Barisan bilangan real dapat dinyatakan dengan dengan atau dengan . Hubungan dengan ini disebut sebagai hubungan rekursif.

Selanjutnya, perhatikan kembali barisan bilangan real . Jika semakin besar maka semakin besar, tanpa batas. Tetapi, kalau kita perhatikan barisan , maka jika semakin besar maka semakin kecil, menuju angka nol. Barisan bilangan real ini dikatakan sebagai barisan yang mempunyai limit atau barisan yang konvergen. Sedangkan barisan bilangan real dikatakan sebagai barisan yang tidak memiliki limit atau barisan yang tidak konvergen atau divergen.Definisi 2.2. Barisan bilangan real dikatakan konvergen ke , limit dari dari , jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap , .

Misalkan barisan bilangan real konvergen. Diberikan cukup besar. Karena adalah ujung dari barisan bilangan real , tentunya yang cukup besar dapat dipenuhi oleh semua , dengan yang kecil. Sebaliknya, jika cukup kecil maka yang cukup kecil dapat dipenuhi oleh setiap , dengan yang besar. Penjelasan tersebut mengandung arti bahwa semakin besar maka semakin kecil atau dengan akan semakin dekat ke limitnya, yaitu . Pernyataan barisan bilangan real konvergen atau menuju ke dapat dinyatakan sebagai

atau atau atau .

Berdasarkan Definisi 2.2, kita bisa mendapatkan fakta bahwa jika dan hanya jika untuk setiap , himpunan adalah himpunan yang berhingga. Bukti fakta ini ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.

Contoh 2.3. Perhatikan lagi barisan bilangan real . Diberikan . Selanjutnya, lihat bahwa . Jika dengan maka atau. Akibatnya, untuk setiap . Yang demikian berlaku untuk setiap . Ini artinya bahwa barisan bilangan real konvergen ke nol.

Sekarang, kita perhatikan lagi barisan bilangan real. Kemudian pandang barisan bilangan real . Suku-suku pada merupakan suku-suku yang menempati urutan genap pada . Barisan ini disebut sebagai sub barisan dari . Berikut ini adalah definisi formal dari sub barisan.

Definisi 2.4. Misalkan adalah barisan bilangan real dan dengan untuk semua . Barisan bilangan real disebut sebagai sub barisan dari .

Bagaimana dengan limit sub barisan dari suatu sub barisan ? Teorema berikut menjelaskan hal ini.

Teorema 2.5. Jika adalah sub barisan dari barisan yang konvergen ke maka sub barisan juga konvergen ke .

Bukti. Karena adalah barisan yang konvergen ke , maka jika diberikan terdapat sedemikian sehingga untuk semua berlaku .

Selanjutnya, dengan menggunakan induksi matematika, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap . Diketahui bahwa . Untuk jelas bahwa . Misalkan untuk berlaku . Kita akan tunjukkan bahwa untuk berlaku . Karena maka atau dengan kata lain . Dengan demikian untuk setiap .

Jika maka . Untuk semua berlaku . Yang demikian berarti sub barisan juga konvergen ke.

Apakah kebalikan dari Teorema 2.5 berlaku ? Untuk menjawabnya kita lihat penjelasan berikut ini. Perhatikan bahwa barisan adalah sub barisan dari barisan . Barisan adalah barisan yang konvergen ke 1, tetapi barisan adalah barisan yang tidak konvergen. Tetapi jika setiap sub barisan dari suatu barisan bilangan real adalah barisan yang konvergen maka adalah barisan yang konvergen karena sendiri adalah sub barisan dari dirinya sendiri.

Bagaimana halnya dengan limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen, apakah tunggal atau tidak ? Misalkan dan adalah limit dari barisan bilangan real yang konvergen . Jika diberikan terdapat sehingga untuk setiap dan , berlaku, masing-masing secara berurutan, dan . Misalkan . Selanjutnya, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,

untuk semua Karena yang diberikan sembarang, maka atau . Yang demikian berarti bahwa limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen adalah tunggal.

Teorema 2.6. Limit dari satu barisan bilangan real yang konvergen adalah tunggal.2.2. Sifat Sifat Barisan Bilangan RealDefinisi 2.6. Barisan bilangan real dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real sedemikan sehingga untuk setiap .Berkaitan dengan sifat keterbatasan barisan bilangan real tersebut kita memiliki teorema berikut ini.

Teorema 2.7. Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.

Bukti. Misalkan barisan bilangan real adalah barisan yang konvergen ke . Itu berarti bahwa jika kita ambil maka terdapat bilangan real sehingga untuk semua .

Selanjutnya, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,

untuk semua .

Berikutnya, pilih . Jelas bahwa untuk setiap berlaku atau dengan kata lain barisan bilangan real adalah barisan yang terbatas.Sekarang, Misalkan dan adalah dua buah barisan bilangan real yang konvergen. Apakah , dengan, , dan juga barisan yang konvergen ? Teorema-teorema berikut ini menjelaskan hal tersebut.

Teorema 2.8. Jika dan adalah barisan yang konvergen ke dan , secara berurutan, dan maka barisan , , dan adalah juiga barisan yang konvergen, masing-masing secara berurutan, ke , , dan .

Bukti. Misalkan dan . Perhatikan bahwa, bedasarkan pertidaksamaan segitiga,

.

dan adalah barisan yang konvergen ke dan , maka jika diberikan maka terdapat bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap dan , masing-masing secara berurutan, berlaku dan . Misalkan . Jika maka

.

Karena yang diberikan sembarang, maka konvergen ke .

Berikutnya, perhatikan bahwa

.

Misalkan . Jika diberikan maka dengan memilih berapa pun bilangan real , selalu berlaku untuk setiap . Sekarang misalkan . Karena adalah barisan yang konvergen ke maka jika diberikan maka terdapat bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap , berlaku . Akibatnya, untuk setiap ,

.

Karena yang diberikan sembarang, maka konvergen ke .

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa barisan konvergen ke . Pertama, perhatikan bahwa

Menurut Teorema 2.7, adalah barisan yang terbatas. Itu artinya terdapat bilangan real sehingga untuk setiap . Misalkan . Jika diberikan maka terdapat bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap dan , masing-masing secara berurutan, berlaku dan . Misalkan . Jika maka,

.

Karena yang diberikan sembarang, maka konvergen ke . Pembahasan berikutnya kita akan menunjukkan bahwa akan konvergen ke jika . Tetapi sebelumnya, kita lihat terlebih dahulu teorema berikut iini.

Teorema 2.9. Jika adalah barisan tak nol ( untuk setiap ) yang konvergen ke maka barisan juga konvergen ke .Bukti. Jika kita peroleh bahwa . Karena adalah barisan yang konvergen ke , maka terdapat sehingga untuk setiap , berlaku . Karena

atau

maka atau untuk setiap .

Selanjutnya, jika diberikan maka terdapat sehingga untuk setiap , berlaku . Kemudian, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,

.

Jika maka untuk setiap , berlaku

.

Karena yang diberikan sembarang, maka konvergen ke . Berdasarkan Teorema 2.8 dan Teorema 2.9, jika adalah barisan bilangan real yang konvergen ke dan adalah barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke maka barisan bilangan real juga konvergen ke .

Teorema 2.10 (Teorema Apit). Misalkan , , dan adalah barisan-barisan bilangan real yang memenuhi untuk setiap . Jika maka .

Bukti. Jika diberikan maka terdapat bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap dan , masing-masing secara berurutan, berlaku dan (mengapa demikian ?). . Akibatnya, jika maka,

.

Kita peroleh bahwa atau untuk setiap . Karena yang diberikan sembarang, maka .

Contoh berikut ini memperlihatkan bagaimana Teorema Apit diaplikasikan untuk menghitung limit suatu barisan.

Contoh 2.11. Kita akan menghitung limit dari barisan . Secara langsung, mungkin kita agak susah untuk menentukan limitnya. Perhatikan bahwa untuk setiap . Karenanya, kita bisa memperoleh

untuk setiap .

Akibatnya, .

atau .

Barisan bilangan real yang terbatas belum tentu konvergen. Sebagai contoh, barisan bilangan real adalah barisan yang terbatas tetapi tidak konvergen. Syarat cukup lain apa yang diperlukan sehingga barisan yang terbatas merupakan barisan yang konvergen ? Pembahasan berikut akan menjelaskannya.

Definisi 2.12. Misalkan adalah barisan bilangan real. Barisan dikatakan naik jika dan dikatakan turun jika . Barisan bilangan real yang naik atau turun disebut sebagai barisan yang monoton.

2.3. Barisan Monoton

Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun monoton.

Definisi 2.3.1. Diberikan barisan bilangan real X = (xn)

(i) Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn xn+1, untuk semua n

(ii) Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn xn+1 , untuk semua n

(iii) Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn xn+1 , untuk semua n

(iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn xn+1 , untuk semua nDefinisi 2.3.2. Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun.

Contoh 2.3.2.

a. Barisan berikut ini naik (monoton).

b. Barisan berikut ini turun (monoton).

c. Barisan berikut ini tidak monoton.

Definisi 2.3.3. Teorema Konvergensi Monotona. Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn) konvergen dengan

b. Jika X = () Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn) konvergen dengan

Bukti.

a) Karena X = () terbatas ke atas, maka terdapat sedemikian hingga untuk semua . Namakan A =, makaR, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil , maka terdapat sedemikian hingga .

Karena X naik monoton, maka untuk berlaku

atau

Jadi, terbukti bahwa X = () konvergen ke x = lim() = b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).

Contoh 2.3.3 Diketahui barisan dengan dan Apakah

konvergen? Jika ya, tentukan limJawab. Akan ditunjukkan menggunakan induksi bahwa naik monoton. Untuk n 1, diperoleh (benar). Misalkan benar untuk n k , yaitu , akan dibuktikan benar untuk n k 1, yaitu

Berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi naik monoton. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa terbatas ke atas (oleh 3), yaitu untuk semua .

Untuk n 1 benar, sebab 13. Misalkan benar untuk n k , yaitu Maka yang berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi terbukti bahwa , untuk semua . Karena naik monoton dan terbatas ke atas, maka menurut Teorema 2.3.4 barisan konvergen. Misalkan , maka diperoleh

Diperoleh y 2 atau y 1. Untuk y 1 jelas tidak mungkin, sebab

untuk semua . Jadi, terbukti bahwa konvergen dan lim 22.4. Barisan BagianPada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences) dari suatu barisan bilangan real.Definisi 2.4.1. Diberikan barisan bilangan real X = () dan bilangan asli naik tegas n1< n2