barisan – bagian ii

Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II

ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗Dosen FMIPA - ITBE-mail: [email protected].

September 12, 2011

Hendra Gunawan ANALISIS REAL


4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke ±∞




Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidikikekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui limitnya.Persisnya, jika kita dihadapkan pada sebuah barisan yang monotondan terbatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ia konvergen.

Namun bagaimana bila barisan tersebut bukan barisan monotondan limitnya tak dapat diterka? Upaya yang dapat kita lakukandalam hal ini adalah mengamati jarak antara satu suku dengansuku lainnya.




Barisan 〈xn〉 disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap ε > 0terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk m, n ≥ N berlaku

|xm − xn| < ε.

Secara intuitif, suku-suku pada barisan Cauchy dapat sangatberdekatan satu sama lain, dan ini terjadi tidak hanya pada duaatau beberapa suku berturutan tetapi semua suku setelah indekstertentu.




Proposisi 10

Jika 〈xn〉 konvergen, maka 〈xn〉 merupakan barisan Cauchy.

Bukti. Misalkan 〈xn〉 konvergen ke L. Diberikan ε > 0, pilih N ∈ Nsedemikian sehingga untuk tiap n ≥ N berlaku |xn − L| < ε

2 .Maka, untuk m, n ≥ N, kita peroleh

|xm − xn| ≤ |xm − L|+ |L− xn| <ε

2+

ε

2= ε.

Ini membuktikan bahwa 〈xn〉 Cauchy.




Sifat Interval Bersarang

Kebalikan dari Proposisi 10 juga berlaku, namun untukmembuktikannya kita memerlukan lemma berikut.

Lemma 11 (Sifat Interval Bersarang)

(i) Misal In := [an, bn] dengan an < bn sedemikian sehinggaIn+1 ⊆ In untuk tiap n ∈ N. Maka ∩∞n=1In 6= ∅.(ii) Jika, sebagai tambahan, |In| := bn − an → 0 bila n →∞, maka∩∞n=1In merupakan himpunan singelton (hanya mempunyai sebuahanggota).




Bukti. (i) Untuk tiap n ∈ N berlaku

a1 ≤ an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn ≤ b1.

Jadi 〈an〉 naik dan terbatas di atas (sementara 〈bn〉 turun danterbatas di bawah). Akibatnya, an ↑ a := sup{an : n ∈ N} bilan →∞. Lebih jauh, an ≤ a ≤ bn untuk tiap n ∈ N, sehinggaa ∈ ∩∞n=1In.

(ii) Jika x , y ∈ ∩∞n=1In, maka |x − y | ≤ bn − an untuk tiap n ∈ N.Karena bn − an → 0 bila n →∞, maka haruslah |x − y | = 0 ataux = y .




Catatan. Ketertutupan interval In pada Sifat Interval Bersarangmerupakan hipotesis yang penting. Periksa bahwa bukti bagian (i)tidak sah bila In := (an, bn).




Teorema 12

Jika 〈xn〉 Cauchy, maka 〈xn〉 konvergen.

Bukti. Misalkan 〈xn〉 Cauchy. Kita definisikan secara induktifbarisan bilangan asli 〈nk〉 sebagai berikut: Tetapkan n1 := 1 danuntuk tiap k ∈ N pilih nk+1 bilangan asli terkecil sedemikiansehingga nk+1 > nk dan jika i , j ≥ nk+1, maka |xi − xj | < 1

2k+2 .Tinjau

Ik :=

[xnk

− 1

2k, xnk

+1

2k

], k ∈ N.

Maka Ik+1 ⊆ Ik untuk tiap k ∈ N. (Jika x ∈ Ik+1, maka x ∈ Ikkarena |x − xnk

| ≤ |x − xnk+1|+ |xnk+1

− xnk| < 1

2k+1 + 12k+1 = 1

2k .)




Selanjutnya, |Ik | = 22k → 0 bila k →∞. Akibatnya, ∩∞n=1Ik := {x}

untuk suatu x ∈ R. Kita klaim bahwa xn → x bila n →∞. Ambilε > 0. Pilih K ∈ N sedemikian sehingga 1

2K < ε. Jika n ≥ nK+1,maka

|xn − xnK+1| < 1

2K+2.

Sementara itu, x ∈ IK+1 mengakibatkan

|x − xnK+1| < 1

2K+1.

Karena itu,

|xn − x | ≤ 1

2K+2+

1

2K+1<

1

2K< ε.

Dengan demikian klaim kita terbukti.




Contoh 13

Diketahui barisan 〈xn〉 dengan x1 = 1, x2 = 2, dan

xn+2 =1

2(xn+1 + xn), n ∈ N.

Maka, dapat diperiksa bahwa untuk tiap n ∈ N kita mempunyai

|xn+2 − xn+1| =1

2n.

Dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga, kita peroleh untukm > n

|xm − xn| ≤ |xm − xm−1|+ · · ·+ |xn+1 − xn| ≤1

2n−2.

Diberikan ε > 0, kita dapat memilih N ∈ N sedemikian sehingga1

2N−2 < ε. Maka, untuk m, n ≥ N, kita peroleh

|xm − xn| ≤ 12N−2 < ε. Ini menunjukkan bahwa 〈xn〉 Cauchy, dan

karenanya konvergen.Hendra Gunawan ANALISIS REAL



Soal Latihan

1 Buktikan secara langsung bahwa jika 〈xn〉 Cauchy, maka 〈xn〉terbatas (tanpa melalui fakta bahwa 〈xn〉 konvergen) .

2 Tentukan limit barisan 〈xn〉 pada Contoh 13.

3 Barisan 〈xn〉 dikatakan kontraktif apabila terdapat 0 < K < 1sedemikian sehingga |xn+2 − xn+1| ≤ K |xn+1 − xn| untuk tiapn ∈ N. Buktikan bahwa barisan kontraktif merupakan barisanCauchy, dan karenanya konvergen.

4 Diketahui barisan 〈xn〉 dengan x1 = 1, x2 = 2, dan

xn+2 =√

xn+1xn, n ∈ N.

Buktikan bahwa 〈xn〉 merupakan barisan Cauchy.

5 Selidiki apakah barisan 〈 1n 〉 kontraktif.




Misalkan 〈xn〉 barisan dan 〈nk〉 barisan naik murni dengan nk ∈ Nuntuk tiap k ∈ N. Maka, barisan

〈xnk〉

disebut sebagai sub-barisan dari 〈xn〉.

Catatan. Pada pembuktian Teorema 12, kita mengkonstruksisubbarisan 〈xnk

〉 yang konvergen ke suatu x ∈ R. Secara umum,dapat ditunjukkan bahwa setiap barisan terbatas selalu mempunyaisubbarisan yang konvergen.




Contoh 1

(i) Diketahui barisan 〈(−1)n〉. Maka,

〈(−1)2k−1〉 = 〈−1〉 dan 〈(−1)2k〉 = 〈1〉

merupakan sub-barisan dari 〈(−1)n〉. (Pada sub-barisan pertamank = 2k − 1, sedangkan pada sub-barisan kedua nk = 2k.)(ii) Misalkan 〈rn〉 adalah barisan 1, 2, 3

2 , 53 , 8

5 , 138 , . . . . Maka

1,3

2,8

5, . . . dan 2,

5

3,13

8, . . .

merupakan sub-barisan dari 〈rn〉. (Pada sub-barisan kedua,nk = k + 1.




Hipotesis 〈nk〉 naik murni merupakan bagian penting dalam definisisub-barisan. Salah satu akibat dari hipotesis ini, kita mempunyai

nk ≥ k

untuk tiap k ∈ N. Fakta ini dapat dibuktikan dengan PrinsipInduksi Matematika. (Jelas bahwa n1 ≥ 1. Selanjutnya, jikank ≥ k, maka nk+1 > nk ≥ k dan karenanya nk+1 ≥ k + 1.)

Catat bahwa setiap sub-barisan dari barisan terbatas juga bersifatterbatas. Selanjutnya, kita mempunyai teorema berikut.




Teorema 2

Jika 〈xn〉 konvergen ke L, maka setiap sub-barisan dari 〈xn〉konvergen ke L.

Bukti. Misalkan 〈xnk〉 adalah sub-barisan dari 〈xn〉. Diberikan

ε > 0, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ Nberlaku |xn − L| < ε. Maka, untuk setiap k ≥ N, kita mempunyaink ≥ k ≥ N, dan karenanya |xnk

− L| < ε. Dengan demikian 〈xnk〉

konvergen ke L.




Contoh 3

Kita telah membahas kedivergenan barisan 〈(−1)n〉. Buktialternatif yang lebih sederhana dapat diberikan denganmenggunakan Teorema 2. Karena terdapat sub-barisan 〈−1〉 yangkonvergen ke -1 dan sub-barisan 〈1〉 yang konvergen ke 1, makabarisan 〈(−1)n〉 tidak mungkin konvergen. (Jika ia konvergen,maka menurut Teorema 2 kedua sub-barisan di atas seharusnyakonvergen ke bilangan yang sama.)




Contoh 4

Pada Soal Latihan 3.4 No. 3, anda diminta menunjukkan bahwa〈xn〉 konvergen untuk 0 < x < 1. Sekarang kita dapat menentukanlimitnya dengan menggunakan Teorema 2 sebagai berikut.Misalkan 〈xn〉 konvergen ke L. Maka, sub-barisan 〈x2k〉 akankonvergen ke L juga. Namun,

x2k = (xk)2 → L2 untuk k →∞.

Karena itu L = L2, sehingga kita dapatkan L = 0 atau L = 1.Mengingat 0 < x < 1 dan 〈xn〉 turun, kita simpulkan bahwa L = 0.Hasil ini sesuai dengan Soal Latihan 3.3 No. 5.




Contoh 5

Pada Sub-bab 3.4, Contoh 13, kita telah menunjukkan bahwabarisan 〈xn〉 yang didefinisikan secara induktif dengan

xn+1 =1

2

(xn +

2

xn

), n ∈ N,

konvergen. Sekarang misalkan limitnya adalah L. Maka, menurutTeorema 2, 〈xn+1〉 juga konvergen ke L. Akibatnya

L =1

2

(L +

2

L

),

sehingga L2 = 2. Namun x1 > 0 mengakibatkan xn > 0 untuk tiapn ∈ N. Karena itu mestilah L =

√2.




Soal Latihan

1 Diketahui barisan 〈xn〉. Tunjukkan jika 〈x2k−1〉 dan 〈x2k〉konvergen ke bilangan yang sama, maka 〈xn〉 konvergen.

2 Buktikan jika 〈xn〉 Cauchy dan mempunyai subbarisan yangkonvergen ke x , maka xn → x bila n →∞.

3 Diketahui barisan 〈xn〉 didefinisikan secara induktif denganx1 = 1 dan

xn+1 = xn +1

xn, n ∈ N.

Mungkinkah 〈xn〉 konvergen?4 Diketahui barisan 〈rn〉 didefinisikan secara induktif dengan

r1 = 1 dan

rn+1 = 1 +1

rn, n ∈ N.

Tunjukkan jika 〈rn〉 konvergen, maka ia akan konvergen ke(1 +

√5)/2.




Barisan 〈xn〉 dikatakan konvergen ke +∞ dan kita tuliskan

xn → +∞ bila n →∞

apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehinggauntuk setiap n ≥ N berlaku xn > M.

Serupa dengan itu, barisan 〈xn〉 dikatakan konvergen ke −∞ dankita tuliskan

xn → −∞ bila n →∞

apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehinggauntuk setiap n ≥ N berlaku xn < −M.




Catatan. Walaupun di sini kita menggunakan istilah konvergendan notasi yang mirip dengan notasi untuk barisan konvergen,barisan yang kita bahas sebetulnya merupakan barisan divergen diR. Proposisi 5 pada Bab 3 tidak berlaku untuk barisan yangkonvergen ke ±∞ mengingat ±∞ /∈ R.




Contoh 16

(i) Barisan 〈n〉 konvergen ke +∞; sementara barisan 〈−n〉konvergen ke −∞.

(ii) Barisan⟨1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

⟩pada Soal Latihan 3.4 no. 5

merupakan barisan yang konvergen ke +∞.(iii) Barisan 〈(−1)nn〉 bukan merupakan barisan yang konvergen ke+∞ ataupun konvergen ke −∞.

Catatan. Barisan 〈xn〉 yang divergen dan bukan merupakanbarisan yang konvergen ke ±∞ dikatakan berosilasi.




Teorema 17

(i) Jika 〈xn〉 naik dan tak terbatas (di atas), maka ia konvergen ke+∞.(ii) Jika 〈xn〉 dan tak terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke−∞.

Catatan. Teorema 17 merupakan perluasan dari Teorema 11 padaBab 3. Sebagai akibatnya, pada sistem bilangan real yangdiperluas, barisan monoton selalu konvergen.




Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 17.

2 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r > 0, barisan〈nr 〉 konvergen ke +∞.

3 Misalkan xn > 0 untuk tiap n ∈ N. Buktikan bahwa 〈xn〉konvergen ke 0 jika dan hanya jika

⟨1xn

⟩konvergen ke +∞.


barisan – bagian ii

Documents