bab2. barisan dan deret (2)
TRANSCRIPT
1
Barisan dan Deret
mat2-unpad
2
Barisan Tak Hingga
Definisi
Barisan Tak Hingga didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal bilangan asli(N).
Notasi: f : N R
Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real. Biasa ditulis {an} dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan :
1. bentuk eksplisit suku ke-n :
2. ditulis sejumlah berhingga suku awalnya.
3. bentuk rekursi
...,4
1,
3
1,
2
1,1
n
nn a
aaa
1
,1 11
nan
1
nanfn
mat2-unpad
3
Kekonvergenan Barisan
Definisi:Barisan { an } dikatakan konvergen ke L ditulis
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang berhingga, maka barisan dikatakan divergen (dalam hal ini mungkin atau beroksilasi)
Lann
lim
LaNn n
Naslibilangan,0Jika
,
mat2-unpad
4
Sifat Barisan Konvergen
Jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka
1. MLblimalimbalim nn
nn
nnn
2. M.Lblim.alimb.alim nn
nn
nnn
3. M
L
blim
alim
b
alim
nn
nn
n
n
n
, untuk M0
Barisan {an} dikatakana. Monoton naik jika an+1 > an
b. Monoton turun jika an+1 < an mat2-unpad
5
Catatan Akan dijumpai banyak persoalan konvergensi barisan
yang tidak bisa langsung dicari limit tak hingga suku ke – nnya. Untuk itu kita dapat menghitung limit di tak hingga dari fungsi yang sesuai.
Fakta ini digunakan sebagai penyederhanaan karena kita dapat memakai kaidah L’Hopital untuk soal peubah kontinu.
Lxfx
)(limJika Lann
lim, maka
Teorema: Misalkan memenuhi1),( xxfy nanf )(
mat2-unpad
6
Contoh
Periksa kekonvergenan barisan berikut:
1n2
na n
1.
2
1
12lim)(lim
x
xxf
xx
artinya barisan an konvergen ke ½.
Jawab:Ambil
12)(
x
xxf
Dengan menggunakan L’Hopital,
2
1
12lim
n
nn
Jadi,
mat2-unpad
7
Contoh
eex
xx
1
1limexp
2.n
n n
11a
Jawab:Ambil
x
xxf
11)( , sehingga
artinya barisan an konvergen menuju e.
en
n
n
11limJadi,
xx
x
11ln.limexp
x
xx /1
))/1(1ln(limexp
x
x x
11lim
)1
(
)1
(1limexp
2
2
x
xxx
x
mat2-unpad
8
Latihan
3n2n
1n4a
2
2
n
1n
2n3a
2
n
1n
na n
n
nan
)ln(
...5
4,
4
3,
3
2,
2
11.
2.
8.
7.
6.
5.
4.
3.
Periksa kekonvergenan dari barisan berikut:
nnan
sin
n
n
na4
nnan 2
nn
nan
sin
12
2
9.
mat2-unpad
9
Deret Tak Hingga (deret)
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:
dengan an adalah suku ke-n.
Kekonvergenan suatu deret ditentukan dari barisan jumlah parsialnya
......3211
n
ii aaaaa
mat2-unpad
10
Barisan Jumlah Parsial
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret
, maka
1iia
Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret
1iia
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
.
.
.Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =
n
iia
1
mat2-unpad
11
Kekonvergenan Deret Tak Hingga
Deret tak hingga
1nna konvergen dan mempunyai
jumlah S jika barisan jumlah parsialnya {Sn}
konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}
divergen maka deret divergen.
mat2-unpad
12
Contoh
1i )1i(i
1
Jawab: Kalau kita perhatikan
Dan
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen dengan jumlah 1.
Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya
Sn =
1n
1
n
1...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11 =
1n
11
nn
Slim
=n
lim
1n
11 = 1
(Deret Kolaps)1. Selidi kekonvergenan deret
1 1 1
11
)1(
1
i i iiii
mat2-unpad
13
2.2.
Jawab: Dari sini kita dapatkan
Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga.Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.
1
1
i i
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 + n
1...
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
= 1 + n
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
(Deret Harmonik)
13mat2-unpad
14
Deret Geometri
Bentuk umum deret geometri :
dengan a 0. Jumlah parsial deret ini adalah
Sn =
n
1i
1iar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1
Sehingga
nn ararararrS ...32
nn araSr )1(
r
araS
n
n
1
132
1
1 ...
i
i
i ararararaar
mat2-unpad
15
1;
1;1
1limlim
r
rr
a
r
araS
n
nn
n
Jadi, deret geometri konvergen jika 1r
dengan jumlah r
aaratau
r
aS
i
i
11 1
1
mat2-unpad
16
Contoh Selidiki kekonvergenan deret
...32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Jawab: Kalau kita perhatikan, deret ini adalah deret geometri Dengan rasio ½ ( r<1).
Sehingga deret ini konvergen dengan jumlah
12/11
2/1
S
mat2-unpad
17
Sifat-sifat deret tak hingga
1nna konvergen maka 0lim
nn
a
0lim n
na maka deret divergen ).
Contoh: Buktikan bahwa
1n2
2
4n3n3
n divergen.
Bukti:
433
lim2
2
nn
nn
03
143
3
1lim
2
nn
n
Jadi terbukti bahwa divergen.
1n2
2
4n3n3
n
Jika
(jika
1. Uji kedivergenan suku ke-n
mat2-unpad
18
2. Sifat linear
Jika nn bdana konvergen dan c konstanta, maka
)( nnn badanca Konvergen, dan
nnnn
nn
babaii
accai
)(
)(
3. Jika na divergen dan c konstanta, maka
nca divergen.
mat2-unpad
19
Uji Kekonvergenan Deret Positif
Misalkan fungsi f kontinu, positif dan monoton turun
pada selang [1,). Andaikan
1)( dxxf
1n
na konvergen
1. Uji Integral
Nnnfan ),(
maka
konvergen
mat2-unpad
Contoh
1. Selidiki kekonvergenan dari
1n
n2
en
Jawab. ambil .)(2xexxf
dxex x2
1
dxex xb
b
2
1lim
b x
bxde
1
2 )(lim2
1 2
bx
be
1
2
lim2
1
)
11(lim
2
12
eebb
e2
1
Jadi karena dxex x2
1
konvergen, maka
1
2
n
nen juga konvergen.
f kontinu, positif , turun di
maka
),1[
20mat2-unpad
21
Contoh
2. Selidiki kekonvergenan dari
Jawab. ambil , kontinu,positif,turun di
Jadi karena divergen, maka
juga divergen.
2 ln
1
n nn
xxxf
ln
1)(
b
b xx
dx
xx
dx22 ln
limln
b
b x
xd2 ln
)(lnlim
2lnlnlnlnlimlnlnlim bxbb
2 ln xx
dx
2nnlnn
1
),2[
mat2-unpad
22
Latihan I
2n2 nlnn
1
1n 1n2
1
1n2 1n4
1
1n 2
3n34
1
2.
4.
5.
3.
1.
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
3n22n
1
mat2-unpad
Latihan II
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
1.
mat2-unpad 23
24
Uji Deret Positif
2. Uji Deret -p
Deret-p atau deret hiperharmonik berbentuk .1
1
npn
1. Konvergen jika p>1
1p
Maka .1
1
npn
2. Divergen jika
mat2-unpad
25
Contoh
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?
1.
1001,1
1
n n
Berdasarkan uji deret-p, deret
1001,1
1
n n konvergen
karena p=1,001 > 1
2.
Berdasarkan uji deret-p, deret divergen
karena p= ½ < 1
1 21
1
n n
1 21
1
n n
mat2-unpad
26
Uji Deret Positif
3. Uji banding biasa
Andaikan
`1nna
`1nnbdan deret positif, dan an bn
1. Jika konvergen, maka
`1nnb
`1nnb
`1nna
`1nna konvergen
2. Jika divergen, maka divergen
maka
mat2-unpad
27
Contoh
32 5
.1n n
n
Jawab:
Bandingkan dengan 52
n
nan
Perhatikan bahwa .1
5 22 nn
n
n
n
Karena
1nn
1
32 5n n
n
deret divergen(harmonik), maka
deret yang divergen.
nbn
1
Selidiki kekonvergenan deret
mat2-unpad
28
Contoh
Jawab:
Bandingkan dengan
konvergen.
12 53
1.2
n n
21
1
3 5n n
5
11.
3
1
3
1222
nnn
53
12 n 2n
1
1n2n
1
Perhatikan bahwa
Karena konvergen dengan uji-p (p=2)
maka
mat2-unpad
29
Latihan
Selidiki kekonvergenan deret berikut :
1n2 5n
n
3n2 5n
1
1nn 12
1
3n22n
1
1n 1n2
12.
4.
5.
3.
1.
mat2-unpad
30
4. Uji Banding limit
Andaikan an dan bn deret positif dan Lb
a
n
n
n
lim
Uji Deret Positif
1. Jika 0 < L < maka
`1nna
`1nnb dan sama-sama
konvergen atau divergen
2. Jika L = 0 dan
`1nnb
`1nna
konvergen maka
konvergen.
mat2-unpad
31
ContohSelidiki kekonvergenan dari deret berikut :
123 75
32.1
n nn
n
Gunakan Uji Banding Limit.
sehingga
Suku umum deret mirip dengan
n
n
n b
alim
1n23 7n5n
3n2 konvergen.
= 1
Karena L=1 dan
Jawab:
21
2
n n
2
2
nbn
2
23
275
32lim
n
nnn
n
14102
32lim
23
23
nn
nnn
konvergen dengan uji deret-p,
makamat2-unpad
32
Contoh
Gunakan Uji Banding Limit.
sehingga Pilih
n
n
n b
alim
divergen.
Karena L=1 dan
Jawab:
divergen, maka deret
12 4
1.2
n n
1n2 4n
1
nbn
1
n1
4n1
lim2
n
14
lim2
2
n
nn=
1
1
n n
mat2-unpad
33
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
1n2 3n2n
n
1n3 4n
1n3
1n 1nn
1
1n2n
3n2
1n2n
nln2.
4.
5.
3.
1.
mat2-unpad
34
5. Uji Hasil Bagi
Uji Deret Positif
1nna
n
n
n a
a 1lim
Diketahui merupakan suatu deret dengan
1nna1. Jika < 1 maka deret konvergen
suku-suku yang positif, dan
1nna divergen 2. Jika > 1 maka deret
= 1 maka tidak dapat diambil kesimpulan3. Jika
mat2-unpad
35
Contoh
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
1.
1 !
3
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah !
3
na
n
n , maka suku ke-(n+1)
adalah !1
3 1
1
na
n
n sehingga
Karena
1 !
3
n
n
n konvergen
Jawab:
13
lim
nn
0 !13!3
lim1
nn
n
n
n
!3
!13
lim
1
n
nn
n
n
n
n
n a
a 1lim
10 , maka
mat2-unpad
36
Contoh
2.
12
3
n
n
n
Misalkan 2
3
na
n
n dan 21
11
3
n
an
n
sehingga
Karena
12
3
n
n
ndivergen
Jawab:
3 2
2
1
3lim
n
nn 2
21
13
3lim
n
nn
n
n
2
2
1
31
3
lim
n
nn
n
n
n
n
n a
a 1lim
3 maka
mat2-unpad
37
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
1
!
nnn
n
1 !
5
n n
n
1 !2n
n
n
n
1 !
4
n
n
n
n
1
3
!2n n
n2.
4.
5.
3.
1.
mat2-unpad
38
Uji Deret Positif6. Uji Akar
1nnaDiketahui merupakan suatu deret dengan
1. Jika a <1, maka deret konvergen
suku-suku yang positif, misalkan
2. Jika a > 1, maka deret divergen
3. Jika a = 1, maka uji tidak memberi kesimpulan
nn
naa
lim
mat2-unpad
39
ContohSelidiki kekonvergenan deret
1.
1 1
22
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan
n
n n
na
1
22, maka
21
22limlim
n
naa
n
nn
n
Karena a=2(a>1), maka deret
1 1
22
n
n
n
n divergen
mat2-unpad
40
Contoh
2.
1 12
2
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan
n
n n
na
12
2, maka
2
1
12
2limlim
n
naa
n
nn
n
Karena a = ½ (a<1), maka deret
1 1
22
n
n
n
n
Konvergen.
mat2-unpad
41
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
1 ln
1
n
n
n
1 12
23
n
n
n
n
1 23n
n
n
n
1
1
2
1
n
n
n
2. 4.
3.1.
mat2-unpad
42
Kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan deret na perhatikan ;na
1. Jika
2. Jika an memuat bentuk
nn
naa 0lim Divergen
nn nrn ,,! , gunakan uji hasil bagi
3. Jika an hanya memuat bentuk pangkat n yang konstan,
gunakan uji banding limit.
4. Usaha terakhir, cobakan uji banding biasa, uji akar,
atau uji integral.
mat2-unpad
43
Deret Ganti Tanda (DGT)dan Kekonvergenan Mutlak Deret Ganti Tanda
...aaaaa1 43211n
n1n
dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh :deret harmonik berganti tanda,
...4
1
3
1
2
11
n
11
1n
1n
Bentuk umum :
mat2-unpad
44
Uji Deret Ganti Tanda
Deret ganti tanda dikatakan konvergen jika
0lim.2 n
na
Contoh
Periksa kekonvergenan deret ganti tanda berikut
...4
1
3
1
2
11 1.
nn aa 1.1 (an monoton turun)
mat2-unpad
45
nan
1
1
11 n
an
a. Karena 11
11
11
1
1
nn
n
n
na
a
n
n
01
limlim. n
abn
nn
Karena kedua syarat terpenuhi maka deret tersebut
konvergen.
Jawab :
dan
maka nn aa 1
mat2-unpad
46
Dari soal ini kita punya
!
1
nan , dan !1
11
nan
a.
11
!11
!1
1
n
n
n
a
a
n
n an >an+1
b. 0!
1limlim
na
nn
n
Karena kedua syarat terpenuhi maka deret di atas konvergen.
...!4
1
!3
1
!2
11.2
mat2-unpad
47
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:
1
1
13
21
n
n
n
1 3
1n
nn n
1
2
31
n
n
nn
n
1
1
!1
n
nn
n
n
1 )1(
11
n
n
nn2.
4.
5.
3.
1.
1
1 ln)1(
n
n
n
n6.
mat2-unpad
48
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
1nnU
1nnU
1nnU konvergen.
1nnU
konvergen,
1nnU
Misalkan deret dengan suku-suku tak nol, maka
(i) disebut konvergen mutlak jika
(ii) disebut konvergen bersyarat jika
1nnU
tapi divergen.
mat2-unpad
49
Pengujian Kekonvergenan Mutlak
1
||n
nU
Karena
1nnU semua sukunya positif, maka gunakan
Uji deret positif.
Langkah pengujian :
UjiKonv deret konvergen mutlak
Div Uji nU
Konv deret konvergen bersyarat
Div deret divergen(dgn DGT)
(uji deret pos)
mat2-unpad
50
Contoh
1.
1
1
!
21
n
nn
n
Jawab:
n
n
n
n
n 2
!
)!1(
2lim
1
1
2lim
nn
Dari soal diatas kita punya !
21 1
nU
nn
n , dan !
2||
nU
n
n
Menurut uji hasilbagi,
Sehingga dengan uji hasil bagi,
0n
n
n U
U 1lim
1nnU konvergen, maka
1
1
!
21
n
nn
nkonvergen mutlak.
Selidiki, apakah deret konvergen mutlak, bersyarat atau
divergen.
mat2-unpad
51
2.
1
1 11
n
n
n
Jawab:
1
1 11
n
n
n
Dengan uji DGT,
1
1 11
n
n
n
1 1
1
n nn
nU
Jadi deret konvergen bersyarat.
divergen dengan uji deret-p.
(i) nn aa 1
(ii) 01
limlim n
an
nn
dari (i) dan (ii) DGT konvergen,
mat2-unpad
52
Latihan
1 5
1n
nn n
12
)4(
n
n
n
1 23
)1(
n
n
n
1 1
11
n
n
nn1.
2.
3.
4.
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergenbersyarat atau divergen:
mat2-unpad
53
Deret Pangkat / deret kuasa
2. Deret kuasa dalam (x – b) (pusat x = b)
Selanjutnya kita akan mencari himpunan konvergenan(HK).
Bentuk Umum deret kuasa:
1. Deret kuasa dalam x (pusat x = 0)
0
33
2210 ...
n
nn xaxaxaaxa
0
33
2210 ...)()()()(
n
nn bxabxabxaabxa
Yaitu himpunan semua bilangan real x sehingga deret kuasa konvergen
mat2-unpad
54
Himpunan Kekonvergenan (HK)
Misalkan
00 n
nn
nn Uxa dan
1. Jika , maka deret konvergen mutlak.
2. Jika , maka deret divergen
3. Jika , tidak dapat diambil kesimpulan gunakan
uji deret sebelumnya.
n
n
n U
U 1lim
1
1
Maka
1
mat2-unpad
55
Soal
0 2)1(nn
n
n
x
0 !n
n
n
x
0
!n
nnx
1.
2.
3.
0
1
2
)1(.4
nn
nx
Tentukan Himpunan kekonvergenan dari
mat2-unpad
56
Jawab :
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila , yaitu
Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu
x = 2 atau x = -2 .
n
n
n
n
n n
x
n
x
2)1(:
)2(2lim
1
1
2x
)2()1(
2lim
n
nxn
11 11
212
nnn
n
nn
deret ini adalah deret harmonik yang divergen
n
n
n U
U 1lim
1
2212
xx
Untuk x = 2
HK2
0 2)1(.1
nn
n
n
x
mat2-unpad
57
Pada x = –2
Sehingga selang kekonvergenannya adalah [-2,2)
deret ini adalah deret ganti tanda yang konvergen, karena
11 11
212
n
n
nn
n
nn
(i) an monoton turun
(ii) 01
1limlim
na
nn
n
mat2-unpad
58
Jawab :
Karena , maka deret selalu konvergen untuk
semua nilai x.
Gunanakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
!:
!1lim
1
n
x
n
x nn
n
1lim
n
xn
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)=R.
0 !.2
n
n
n
x
n
n
n U
U 1lim
1
1lim||
nx
n0
10
mat2-unpad
59
Jawab
Gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.
!
)!1(lim
1
nx
nxn
n
n
xn
n1lim
0,
0,0
xjika
xjika
0
!.3n
nnx
n
n
n U
U 1lim
)1(lim||
nx
n
Sehingga HK={0}.mat2-unpad
60
Jawab
0
1
2
)1(.4
nn
nx
n
n
n U
U 1lim
11
2
)1(
2.
2
)1(lim
n
n
n
n
n x
x
2
)1(lim
xn 2
1
x
* Deret konvergen jika 1321212
1
xx
x
* Uji x=-3
0
1
0
11
0
1
2.)1(2
2)1(
2
)2(
n
n
nn
nn
nn
n
Ini DGT, 02lim n
na jadi DGT divergen.
* Untuk x = 1 .22
)2(
00
1
nn
n
n
Deret ini divergen dengan uji
kedivergenan suku ke-n. Jadi HK = (-3,1).
mat2-unpad
61
Teorema 1
Himpunan kekonvergenan deret kuasa
0n
nn xa
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 0 (jari-jari ; r = 0)2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau kedua
titik ujungnya. (jari-jari ; r = c)3. seluruh himpunan bilangan real ( jar-jari ; r = )
berbentuk
mat2-unpad
62
Teorema 2 Himpunan kekonvergenan deret kuasa
0
)(n
nn bxa
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :
1. satu titik x = b (jari-jari; r = 0)2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau
kedua titik ujungnya (jari-jari; r = c)3. seluruh himpunan bilangan real (jari-jari; r = ) Dari contoh sebelumnya;
1. HK=[-2,2); r = 2; pusat x = 0
2. HK=R ; r = ; pusat x = 0
3. HK={0} ; r = 0 ; pusat x = 0
4. HK=(-3,1) ; r = 2 ; pusat x =-1
mat2-unpad
63
Latihan
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
021
)1(.1
n
n
n
x
...
!3
2
!2
22.2
32
xx
x1.
mat2-unpad
64
Operasi pada Deret Kuasa
0
)(n
nn xaxS
0
)(')(n
nnx xaDxSi
1
1
n
nn xna
x
dttSii0
)()(
0
0n
x nn dtta
0
1
1n
nn xn
a
= D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x
3+ . . .]
Misal
maka
mat2-unpad
21
1
x 21
1
1
1
xxDx
1
1
n
n
xn
(i) Perhatikan, ...1 32
0
xxxxn
n merupakan deret geometri
dengan a = 1 ; r = x, maka
1||;1
1
0
xx
xn
n
(ii)
2 3
0 0
11 ...
1
x x
dt t t t dtt
...4
1
3
1
2
1)1ln( 432 xxxxx
...4
1
3
1
2
1...
4
1
3
1
2
1)1ln( 432
0
432 xxxxttttxx
1||;1
)1(...3
1
2
1)1ln(
1
132
xxn
xxxx n
n
n
(iii)
65mat2-unpad
04/19/23 [MA 1124]KALKULUS II
66
Latihan
xxf
1
1)(
xx
x
xxf
1
1
1)( 2
2
x
xxf
1
1ln)(
21
1)(
xxf
1.
3.
6.2.
5. f(x)=tan-1(x)
xxf
32
1)(
7.
21
1)(
xxf
4.
Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)