92

BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI

8.1. Integral dengan Substitusi

Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku

maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang akan

mengubahnya ke dalam bentuk baku. Jika substitusi pertama yang anda coba tidak

berhasil, cobalah yang lain. Keterampilan dalam hal ini akan terlatih bila anda

banyak latihan.

Contoh 1:

Carilah ∫ dxx

x

)(cos 22

Jawab:

Perhatikan integral tersebut sejenak, karena )(sec)(cos

1 2

2x

x= maka anda

diingatkan pada bentuk baku ∫ duu)(sec2 .

Andaikan u = x2 maka du = 2x dx

∫ dxx

x

)(cos 22= ∫ duu)(sec

2

1 2 = CxCu +=+ )tan(2

1)tan(

2

1 2

Dengan Derive:

Int_subst(y(x), x, u(x)) adalah integrasi substitusi y = f(x) dengan

mensubstitusikan x oleh u(x)..

Tulislah: Int_subst()(cos 22

x

x, x, x

2 ) enter, sama dengan.

Klik f4, lalu tulis: + C enter.

93

Contoh 2:

Carilah ∫−

dxx 295

3

Jawab:

Ingatlah bentuk ∫−

duua

du

22

Andaikan u = 3x maka du = 3 dx

∫−

dxx 295

3= C

xC

u

u

du+=+=

−

−−

∫ )5

3(sin)

5(sin

5

11

2

Dengan Derive:

Tulislah: Int_subst( xxx

3,,95

3

2−) enter, sama dengan.

Klik f4, lalu tulis: +C enter

94

Contoh 3:

Hitunglah dttt∫ −5

2

2 4

Jawab:

Andaikan u = t2-4 maka du = t dt

Perhatikan untuk t = 2 maka u = 0 dan t = 5 maka u = 21

dttt∫ −5

2

2 4 = 08,32)21(3

1)

3

2(

2

1

2

1 2/321

0

2/3

21

0

][ ===∫ uduu

Dengan Derve:

Tulislah: 42 −tt enter,

95

Klik icon integral, aktifkan definite, masukkan lower limitnya 2 dan upper

limitnya 5, lalu klik OK.

Soal-Soal Latihan

Hitunglah integral yang ditunjukkan.

1. ∫ + dxx 5)2(

2. ∫ + dxxx 52 )1(

3. ∫ + 42x

dx

4. ∫ + dzzz246

5. dxy

y∫

− 4916

96

6. dte

e

t

t

∫− 6

3

4

7. dxx

exx

∫+

)sec(

)(sec )sin(3

8. dxz

z∫ )(cos

)tan(2

9. dtt

t∫

)sin(

10. dxx

xx∫ +

+

1

23 2

11. dxx

x∫

))4sin(ln( 2

12. dxe

e

x

x

∫− 21

6

13. ∫ +

4/3

0

2 )(sin1

)cos(dx

x

x

14. ∫1

0

23. dttt

15. ∫6/

0

)cos(2

π

dxx

16. ∫ +

2/

0

2 )(cos16

)sin(π

dxx

x

17. ∫ −

−

+

−1

0

22

22

dxee

eexx

xx

97

8.2. Beberapa Intergral Trigonometri

Bila kita mengkombinasikan metode substitusi dengan pemakaian esamaan

trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk

trigonometri. Tinjaulah jenis integral berikut.

1. dxxdandxxnn

∫∫ )(cos)(sin

2. dxxx nm

∫ )(sin)(sin

3. dxnxmxdandxnxmxdxnxmx ∫∫∫ )cos()cos(,)sin()sin(,)cos()sin(

Contoh 4:

Carilah ∫ dxx)(sin 5

Jawab:

∫ dxx)(sin 5 = ∫∫ −= dxxxdxxx )sin())(cos1()sin()(sin 224

= ∫ +− dxxxx )sin())(cos)(cos21( 42

Misalkan u = cos(x) maka du = -sin(x) dx

∫ dxx)(sin 5 = ∫ +− dxxxx )sin())(cos)(cos21( 42 = ∫ +−− duuu )21( 4

2

= CxxxCuuu +−+−=+−+− )(cos5

1)(cos

3

2)cos(

5

1

3

2 5353

Dengan Derive: Int_subst(sin5(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

98

Contoh 5:

Carilah ∫ dxx)(sin 4

Jawab:

∫ dxx)(sin 4 = ∫∫ ++=

−dxxxdx

x))2(cos)2cos(21(

4

1

2

)2cos(1 2

2

= ∫ ∫ ∫ +++ dxxdxxdx ))4cos(1(8

1)2cos(2

4

1

4

1

= ∫ ∫ ∫++ dxxdxxdx ))4cos(432

1)2cos(2

4

1

8

3

= Cxxx +++ )4sin(32

1)2sin(

4

1

8

3

Dengan Derive: Int_subst(sin4(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

99

Contoh 6:

Carilah ∫ dxxx )(cos)(sin 42

Jawab:

∫ dxxx )(cos)(sin 42 =

∫∫ −−+=

++

−dxxxxdx

xx))2(cos)2(cos)2cos(1(

8

1

2

)2cos(1

2

)2cos(1 32

22

∫ −−+−+= dxxxxx ))2cos())2(sin1())4cos(1(2

1)2cos(21(

8

1 2

∫ +−= dxxxx ))2cos()2(sin)4cos(2

1

2

1

8

1 2

Cxxx +

+−= )2(sin

6

1)4sin(

8

1

2

1

8

1 3

100

Dengan Derive:Int(sin2(x)cos

4(x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Tunjukkan bahwa

1.

+−−=−+−

3

1

3

)(sin2)cos(

5

)(cos)(cos

5

1)(cos

3

2)cos(

2553 x

xx

xxx

2. )4sin(32

1)2sin(

4

1

8

3xxx ++ =

8

3

8

)cos()sin(3

4

)(cos)sin( 3xxxxx

++

3.

+− )2(sin

6

1)4sin(

8

1

2

1

8

1 3xxx =

1616

)cos()sin(

24

)(cos)sin(

6

)(cos)sin( 35xxxxxxx

+++−

101

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-8, hitunglah integral yang ditunjukkan.

1. ∫ dxx)(sin 2

2. ∫ dxx)(sin 3

3. ∫2/

0

)cos(

π

θθ d

4. ∫−

10

10

)10

2sin()

10

3sin( dx

xx ππ

5. ∫ dxxx )4(cos)4(sin 25

6. ∫− θθθ d)3(sin)3(cos 23

7. ∫ dyyy )5cos()4sin(

8. ∫ dwww

)2

(cos)2

(sin 24

Dalam soal-soal 9-10, Carilah volume benda putar bila,

9. y = x + sin(x), y = 0, x = π diputar mengelilingi sumbu-x

10. y = sin2(x

2), y = 0, x =

2

π diputar menglilingi sumbu-y

102

8.3. Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita

berusaha menghindarinya, seringkali substitusi yang tepat akan merasionalka

integran tersebut.

Integral yang Melibatkan n bax +

Contoh 7:

Carilah ∫− xx

dx

Jawab:

Misalkan u = √x maka u2 = x dan 2u du = dx

∫− xx

dx= ∫ −

duuu

u2

2= 2ln(u-1) + C = 2ln(√x + 1) + C

Dengan Derive: Int( cxxx

,,1

−) enter, lalu klik tanda sama dengan.

103

Integral yang melibatkan 22xa − , 22

xa + , dan 22ax −

1. jika bentuknya 22xa − maka substitusi x = a sin(t)

2. jika bentuknya 22xa + maka substitusi x = a tan(x)

3. jika bentuknya 22ax − maka substitusi x = a sec(t)

Contoh 8:

Carilah dxx∫−

−2

2

22

Jawab:

Misalkan x = √2 sin(t) maka dx = √2 cos(t) dt

dxx∫−

−2

2

22 = dttt∫−

−2

2

2 )cos(2.)(sin22 = dtt∫−

2

2

2 )(cos2

= 2

2

2

2

2

2

)]cos()sin([)]2sin(2

1[)2cos(1(

−−

−

+=+=+∫ tttttdtt

Dari pemisalan dipeoleh t = sin-1

(2

x) sehingga

cos(t) = cos(sin-1

(2

x)) = 2)

2(1

x− = 22

2

1x−

Jadi:

dxx∫−

−2

2

22 = 2

2

212

2

21 ]22

)2

([sin]22

1.

2)

2([sin

−

−

−

− −+=−+ xxx

xxx

= sin-1

(1) - sin-1

(-1) = πππ

=+22

104

Dengan Derive: Int( 22 x− , x, √-2, √2) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Untuk gambar: Plotint( 22 x− , x, √-2, √2)

Contoh 9:

Carilah ∫+ 29 x

dx

Jawab:

Misalkan x = 3 tan(t) maka dx = 3 sec2(t) dt

dtt

x∫ )sec(

)(sec2

= dtt

x∫

+ )(tan99

)(sec3

2

2

= dtt

x∫ )sec(

)(sec2

= dtt∫ )sec(

= ln(sec(t) + tan(t)) + C

105

Dari pemisalan dipeoleh tan(t) =x/3 sehingga sec(t) = 3

9 2x+

Jadi,

dtt

x∫ )sec(

)(sec2

= ln (33

9 2xx

++

) + C = ln ( xx ++ 29 ) - ln(3) + C

= ln ( xx ++ 29 ) + K

Dengan Derive: Int(29

1

x+, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.

106

Contoh 10:

Carilah dxx

x∫

−4

2

2 4

Jawab:

Misalkan x = 2sec(t) maka dx = 2sec(t)tan(t) dt

Untuk x = 2 maka t = 0 dan untuk x = 4 maka t = π/3

dxx

x∫

−4

2

2 4 = dxtt

t

t∫

3/

0

)tan()sec(2.)sec(2

)tan(2π

= dxt∫3/

0

2 )(tan2

π

= dxt∫3/

0

2 )(tan2

π

= dxt∫ −3/

0

2 1)(sec2

π

= 3/

0])[tan(2 πtt − = 2√3 -

3

2π≈ 1,37

Dengan Derive:

Dengan Derive: Int(x

x 42 −, x, 2, 4) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Untuk gambar: Plotint(x

x 42 −, x, 2, 4)

107

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-10, hitunglah integral tak-tentu yang ditunjukkan.

1. ∫ + dxxx 1

2. ∫+

dtt

t

43

3. ∫+ 4t

dt

4. ∫ + dxtt 2/3)23(

5. ∫−

dxx

x24

6. ∫ + 2/32 )4(x

dt

7. ∫−

dtt

t3

2 1

8. ∫−

−dz

z

z

21

32

9. ∫−

dxx

x

2

2

16

10. ∫−

dtt

t

21

Dalam soal-soal 11 -15, hitunglah integral tentu yang ditunjukkan.

11. ∫+

2

1 4t

dt

108

12. ∫ +

1

01

dtt

t

13. ∫−

3

222 1tt

dt

14. dtt

t∫−

−

−3

2

3

2 1

15. dxx

x∫

+

−π

π

π

022

1

109

8.4. Integrasi Parsial

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan

substitusi ganda, yang disebut dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada

integrasi rumus untuk turunan hasilkali dua fungsi.

Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka

Dx[u(x).v(x)] = u(x).v’(x) + u’(x).v(x), atau

u(x)v’(x) = Dx[u(x).v(x)] - u’(x).v(x)

dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan diperoleh:

∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, maka dapat ditulis,

∫∫ −= duvvudvu . (integral tak tentu)

∫∫ −=b

a

b

a

b

a

duvvudvu ].[ (integral tertentu)

Contoh 1:

Carilah ∫ dxxx )cos(

Jawab:

Misalkan, u = x, maka du = dx

dv = cos(x) dx, maka v = sin(x)

sehingga,

∫ dxxx )cos( = x.sin(x) - ∫ dxx)sin( = x.sin(x) + cos(x) +C

110

Dengan Derive:

Int_parts(u(x), v(x), x) adalah integrasi parsial u = u(x) dan v = v(x) yang

mengandung variabel x.

1. Tulislah: Int_parts(x, cos(x), x) enter, sama dengan.

2. Klik F4, tulis + c enter.

Jadi, ∫ dxxx )cos( = cos(x) + x.sin(x) + C

Contoh 2:

Carilah ∫ dxxx )sin(2

Jawab:

Misalkan, u = x2, maka du = 2x dx

dv = sin(x) dx, maka v = -cos(x)

111

sehingga,

∫ dxxx )sin(2 = -x2.cos(x) - 2 ∫ dxx cos

= -x2.cos(x) – 2(x.sin(x) +cos(x) +C)

= -x2.cos(x) – 2x.sin(x) + 2cos(x) + K

Pengerjaan dengan Derive:

1. Tulislah: Int_parts(x2, sin(x), x) enter, sama dengan.

2. Klik F4, tulis + c enter.

Jadi, ∫ dxxx )sin(2 = (2 -x2).cos(x) – 2x.sin(x) + K

112

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-5, Gunakan integrasi parsial untuk menentukan integral

berikut.

1. ∫ dxxe x

2. ∫ dxxx )cos(

3. ∫ + dttt 1

4. ∫ dxx)arctan(

5. ∫ dxx

x2

)ln(

Dalam soal-soal 6-8, Hitunglah integral tentu berikut.

6. dttt

e

)ln(1

∫

7. dxxecx∫2/

6/

2 )(cos

π

π

8. dxxx∫4/

6/

2 )(sec

π

π

Dalam soal-soal 9-12, Gunakanlah integrasi parsial dua kali untuk menghitung

integral berikut.

9. ∫ dxex x2

10. ∫ dtte t )cos(

11. ∫ dxxex x))sin(ln(

12. ∫ dxx 3))(ln(

113

DAFTAR PUSTAKA

Dudley, U. (1993). Reading for Calculus: Resources for Calculus collection

volume 5. USA: MAA

Freese, S.F; Stegenga, D.A (1999). Calculus Concepts Using Derive for Windows.

University of HawaiiL R & D Publishing.

Kutzler, B. (2003). Introduction for Derive 6.0. Texas USA: Texas Instruments.

Sanchis, G.R. (2004). A Calculus Laboratory Manual Using Derve. Eric Digest

Schiavone, P. (1997. Calculus Solutions. Scarborough, Ontario: Prentice Canada

Inc.

Schoenfeld, A.H. (1995). Student Assessment in Calculus: A Report of the NSF

orking Group on Assessment in Calculus. USA: MAA

Thomas, G.B. (1985). Calculus and Analytic Geometri (terjemahan oleh Akhmad

Sundjaya). Bandung: M2S.

Varberg, D; Purcell, E,J; Rigdon, S.E. (2003). Calculus 8th

Edition (Terjemahan

oleh I Nyoman Susila). Erlangga Bandung.