BAB II TEORI DASAR

2.1. Metode Elemen Hingga

Analisa kekuatan sebuah struktur telah menjadi bagian penting dalam alur kerja pengembangan

desain dan produk. Pada awalnya analisa kekuatan dilakukan dengan menggunakan rumusan-rumusan

teoritis yang telah banyak tercantum pada buku-buku panduan mekanika struktur dan teknik. Tetapi hal

tersebut memiliki banyak kekurangan, salah satunya adalah harusnya dilakukan penyederhanaan-

penyederhanaan serta pengidealisasian kondisi-kondisi yang akan dianalisa agar dapat dimasukkan ke

dalam rumusan teoritis tersebut. Hal ini dapat menyebabkan berkurangnya akurasi dan ketepatan hasil

analisa yang dihasilkan serta akan sangat sulit diaplikasikan pada bentuk struktur yang kompleks.

Untuk mengatasi hal tersebut dikembangkanlah berbagai macam metode analisa yang dapat

mengatasi hal tersebut. Salah satu metode tersebut adalah metode elemen hingga. Metode elemen hingga

adalah sebuah metode yang menggunakan pendekatan numerik untuk menganalisa sebuah struktur untuk

mendapatkan solusi pendekatan dari suatu permasalahan.

2.1.1. Konsep Dasar

Untuk dapat memahami dengan mudah konsep dasar dari metode elemen hingga dapat diambil

contoh sederhana dari salah satu bentuk struktur mekanika sebagaimana terlihat pada Gambar 2.1. Seperti

yang sudah diketahui, banyak struktur mekanika terbuat dari beberapa batang yang terhubung dengan

menggunakan sambungan-sambungan sehingga membentuk sebuah struktur. Setiap titik penghubung

batang-batang tersebut adalah yang disebut sebagai titik nodal.

Gambar 2.1 Tipikal struktur mekanika (a) struktur batang (b) struktur bertingkat [2]

Metode elemen hingga menggunakan prinsip yang sama dengan struktur sederhana tersebut

dimana setiap struktur yang akan dianalisa dibagi terlebih dahulu menjadi elemen-elemen kecil seperti

layaknya struktur yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Analisa untuk struktur tersebut dapat dilakukan

dengan mengetahui terlebih dahulu bagaimana perilaku setiap elemen individual tersebut, kemudian

elemen-elemen tersebut dihubungkan sedemikian rupa sehingga gaya-gaya kesetimbangannya dan

kompabilitas dari perubahan posisi-posisi struktur tersebut sesuai pada setiap nodalnya.

Setelah kedua hal tersebut dipenuhi, baru analisa dapat dilakukan dengan menerapkan

perhitungan-perhitungan numerik yang berdasarkan analisa struktur sederhana pada setiap elemen-elemen

struktur tersebut. Perhitungan-perhitungan numerik tersebut di representasikan dengan menggunakan

metode matriks untuk menganalisis struktur secara kesinambungan. Karena analisis dilakukan pada setiap

elemen maka kedekatan hasil analisis terhadap kondisi sebenarnya sangat bergantung pada jumlah elemen

yang dibagi pada struktur yang dianalisa tersebut. Gambar 2.2 menunjukkan contoh model elemen hingga

yang diterapkan pada sebuah struktur konstruksi sederhana.

Gambar 2.2 Contoh idealisasi metode elemen hingga pada stuktur (a)

Tembok Dam (b) Plat terlipat [2]

2.1.2. Pemodelan Elemen Hingga

Setelah mengetahui kondisi-kondisi dasar yang perlu diketahui dalam melakukan analisa struktur,

hal lain yang perlu dilakukan kemudian adalah pembuatan model itu sendiri. Pada saat ini pemodelan

elemen hingga telah dilakukan dengan bantuan perangkat lunak dan komputer. Walaupun telah

dimudahkan dengan piranti lunak tersebut tetapi tetap ada beberapa langkah yang harus dilakukan dalam

melakukan pembuatan model untuk dianalisa dengan menggunakan elemen hingga.

Tahapan langkah tersebut dapat dijabarkan secara garis besar menjadi sebagai berikut :

1. Pembuatan geometri awal struktur yang akan dianalisis

2. Penentuan jumlah elemen yang akan diberikan pada model geometri tersebut

3. Pembuatan elemen dari hasil pemodelan geometri struktur yang akan dianalisa (mesh

generation )

4. Pemberian kondisi batas ( constraint/boundary condition ) Kondisi batas diperlukan untuk menentukan bagaimana model tersebut tertumpu pada

dudukannya dalam kondisi nyata. Hal ini sangat menentukan bagaimana hasil dari analisa

model geometri tersebut. Berbagai macam kondisi batas yang biasa digunakan antara lain

fixed-fixed, fixed-free, free, dsb.

5. Penentuan jenis material dan properti dari material yang digunakan, hal ini berkenaan dengan

massa jenis dari material tersebut, modulus elastisitas (young modulus, E ), poisson’s ratio,

dll.

6. Pemberian kondisi pembebanan ( loading condition ). Kondisi pembebanan yang diberikan

pada model struktur bergantung dengan kondisi nyatanya. Hal ini dilakukan untuk

mendapatkan hasil yang sedekat mungkin dengan kondisi kenyataanya. Beban yang biasa

digunakan antara lain beban gaya, momen, atau tekanan baik statik maupun dinamik.

7. Analisa

Langkah ini merupakan langkah terakhir dalam tahapan analisa metode elemen hingga.

Analisa dilakukan dengan bantuan perangkat lunak FEM ( Finite Element Method ). Jenis

analisa yang dapat dilakukan juga bervariasi dari jenis analisa statik, dinamik, buckling,

maupun analisa perpindahan panas.

2.2. Analisa Struktur Statis

Analisa statis digunakan untuk mengetahui kekuatan serta kondisi kritis yang dimiliki oleh

struktur yang dianalisa tersebut. Kondisi kritis merupakan kondisi dimana kegagalan dari struktur paling

mungkin terjadi dan dapat tercapai karena pada kondisi tersebut terdapat tegangan maksimum yang

dialami oleh struktur tersebut.

Tegangan maksimum dapat dijelaskan dengan lebih mudah melalui Gambar B.3 dibawah. Pada

gambar tersebut digambarkan sebuah batang yang tidak bermassa yang memiliki dua gaya P yang sama

besar dan berlawanan arah yang terletak di setiap ujung batang tersebut. Pada batang tersebut diberikan

potongan imajiner pada bidang x-x. Dalam analisa struktur diutamakan keseimbangan gaya-gaya yang

bekerja sesuai dengan metode irisan yang menyebutkan hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda

mengimbangi gaya-gaya luar terpakai. Sehingga pada potongan imajiner tersebut perlu gaya yang setara

seperti yang terlihat pada Gambar 2.3 (b) dan (c).

Gambar 2.3 Urutan langkah analisis tegangan sebuah batang tak bermassa [6]

Kemudian berdasarkan definisi tegangan normal, maka tegangan yang berlaku tegak lurus pada

potongan tersebut dapat diterjemahkan menjadi persamaan b-1 sebagai berikut,

(2-1)

Pada umumnya gaya P adalah gaya resultan sejumlah gaya pada suatu sisi atau sisi yang satunya lagi dari

potongan tersebut. Aplikasi analisa pada batang ini kemudian diaplikasikan pada analisa struktur secara

keseluruhan terutama pada struktur yang terdiri dari banyak batang yang membentuk kerangka seperti

terlihat pada contoh Gambar 2.4. Agar semua bagian dari kerangka tersebut dapat dianalisis, maka gaya-

gaya yang bekerja di setiap batang pada kerangka tersebut haruslah dihitung dan dianalisa. Dengan

dianalisanya semua bagian maka dapat diambil gambaran secara menyeluruh kondisi yang terjadi pada

saat kerangka struktur tersebut mengalami pembebanan.

Untuk dapat dianalisa di setiap bagian kerangka struktur tersebut maka perlu dilakukan

pemotongan imajiner pada struktur kerangka batang tersebut seperti yang dilakukan pada batang individu.

Hal ini dimaksudkan agar di setiap batang dapat di analisis gaya-gaya yang bekerja dan bagaimana

dampaknya pada keseluruhan kerangka batang seperti terlihat pada Gambar 2.5 sebagai berikut,

Gambar 2.4. Contoh kerangka struktur yang mengalami pembebanan [6]

\

Gambar 2.5. Contoh kerangka struktur yang mengalami pembebanan dan telah dipotong secara imajiner [6]

Pada Gambar 2.5 (c) digambarkan diagram benda bebas kerangka batang dan bagaimana gaya yang

bekerja pada batang FC dan AB, sedangkan gaya-gaya yang bekerja pada batang CG dan AB

digambarkan pada diagram benda bebas pada Gambar 2.5 (d).

Untuk kerangka struktur yang sederhana analisa dengan cara seperti ini masih dapat dilakukan

secara manual. Tetapi pada kerangka struktur yang kompleks hal ini dapat sangat sulit untuk dilakukan.

Oleh karena itu pada kerangka struktur yang kompleks digunakan bantuan perangkat lunak komputer

untuk dilakukan analisa. Cara analisa dengan menggunakan metode elemen hingga didasari oleh cara

analisa kerangka struktur seperti ini.

2.3. Hukum Hooke

Hukum Hooke merupakan hubungan antara tegangan dan regangan yang dapat dikatakan

berbentuk linier untuk semua bahan, yang menuju kepada idealisasi dan generalisasi yang berlaku pada

semua bahan atau material berdasarkan pustaka [1]. Dalam bentuk lambang hukum Hooke dapat

diterjemahkan menjadi persamaan dimana tegangan berbanding lurus dengan regangan seperti berikut,

(2-2)

Tetapan E merupakan tetapan pembanding tegangan dan regangan yang disebut sebagai modulus

elastisitas atau disebut juga sebagai modulus Young. Sedangkan σ pada persamaan (b-2) merupakan

tegangan dan ε adalah regangan. Secara grafis tetapan E adalah kemiringan dari garis lurus yang ditarik

dari titik asal ke titik A pada diagram regangan dan tegangan seperti yang terlihat pada Gambar 2.6

sebagai berikut,

(a) (b)

Gambar 2.6 Diagram tegangan dan regangan untuk baja lunak (a) dan bahan rapuh (b) [6]

Penjelasan tersebut menekankan bahwa hukum Hooke hanya berlaku pada batas proporsional dari

bahan yang ditunjukkan pada titik A pada diagram regangan dan tegangan tersebut. Oleh karena itu secara

fisis nilai modulus Young menunjukkan nilai kekakuan bahan terhadap beban yang diberikan, dan

merupakan suatu sifat yang pasti dari bahan. Pada baja nilai E berharga antara 200 sampai 210 x 109

N/m2.

2.4. Perbandingan Poisson (Poisson’s Ratio)

Salah satu karakteristik penting yang perlu diperhatikan dalam melakukan analisa menggunakan

metode elemen hingga adalah diketahuinya perbandingan Poisson dari material tersebut. Perbandingan

Poisson menunjukkan perbandingan antara regangan lateral dan aksial dari suatu bahan material. Dari hal

tersebut dapat diperlihatkan bahwa pada suatu benda padat jika dihadapkan pada suatu gaya tarik aksial

maka benda tersebut akan menyusut secara lateral dan sebaliknya saat ditekan benda padat tersebut akan

menuai ke samping seperti yang terlihat pada Gambar 2.7 berikut ini,

Gambar 2.7 Penyusutan dan pemuaian lateral dari benda-benda yang mengalami efek dari

Poisson [6]

Seperti layaknya modulus Young, perbandingan Poisson juga termasuk sebagai konstanta yang

menjadi sifat tertentu dari suatu bahan. Perbandingan Poisson ditunjukkan sebagai ν (nu) dan

didefinisikan dalam persamaan menjadi sebagai berikut,

(2-3)

Harga dari ν tersebut berubah-berubah untuk bahan yang berbeda tetapi masih dalam ruang yang

cukup sempit. Pada umumnya harga ν berkisar dari 0,25 sampai 0,35 dengan harga ekstrim mencapai 0,1

pada material getas seperti beton dan maksimum 0,5 untuk material ulet seperti karet. Selain itu efek

Poisson tidak akan menambahkan tegangan apapun kepada benda tersebut kecuali bila deformasi

melintang dihalangi atau dicegah.

2.5 Buckling

Buckling atau penekukan dapat didefinisikan sebagai sebuah fenomena kegagalan yang terjadi

akibat tekanan kompresif yang terjadi pada sebuah struktur sehingga menyebabkan terjadinya perubahan

bentuk struktur tersebut berupa defleksi lateral ke bentuk kesetimbangannya yang lain berdasarkan

pustaka [3].

2.5.1 Beban Kritis

Beban aksial maksimum yang dapat diterima sebuah kolom atau struktur sebelum mencapai

buckling disebut sebagai beban kritis (Pcr ). Penambahan beban yang melebihi beban kritis tersebut akan

menyebabkan kegagalan pada struktur tersebut.

Gambar 2.8 Ilustrasi Pembebanan pada Batang Kolom [10]

Terlihat pada Gambar 2.8 Saat P < Pcr maka batang kolom masih akan tetap berada dalam

keadaan lurus tanpa terjadi defleksi. Tetapi saat P > Pcr maka batang kolom akan mengalami defleksi.

Fenomena ini akan dapat diperjelas dengan mengasumsikan terdapat sebuah mekanisme dua batang yang

memiliki massa yang dapat diabaikan dan dihubungkan dengan pin di tiap ujungnya. Seperti terlihat pada

Gambar 2.9

(a) (b)

Gambar 2.9 Ilustrasi Mekanisme 2 Batang dengan Menggunakan Pegas [10] Pada Gambar 2.9 (a) terlihat batang berada pada posisi vertikal dengan diberi tahanan pegas pada

titik B. Diasumsikan pegas tersebut memiliki tahanan k tanpa regangan dan pada mekanisme tersebut

diberi beban vertikal P. Dengan memberikan sedikit defleksi Δ pada mekanisme tersebut, maka posisi

mekanisme tersebut akan berubah dari posisi kesetimbangannya menjadi posisi seperti pada Gambar 2.9

(b). Pada posisi ini pegas akan memberikan gaya yang berlawanan sebesar F = k Δ. Dan gaya P akan

memberikan gaya horizontal sebesar Px = P tan θ yang memiliki kecenderungan untuk semakin

mendorong batang menjauh dari titik kesetimbangannya melawan gaya pulih pegas.

Karena θ diasumsikan sangat kecil maka dapat diperoleh tan θ ≈ θ dan Δ = θ(L/2). Sehingga gaya

pulih pegas dapat menjadi F = k θ(L/2), dan gaya pendorong menjadi 2 Px=2 P θ.

Dari persamaan-persamaan tersebut dapat terlihat jika gaya pulih pegas lebih besar daripada gaya

pendorong yaitu saat k θ(L/2) > 2 P θ, maka akan diperoleh

(2-4)

dimana mekanisme berada dalam keadaan stabil setimbang dalam arti gaya pulih pegas dapat

mengembalikan mekanisme tersebut dalam kondisi vertikal semula.

Sebaliknya jika gaya pulih pegas lebih kecil daripada gaya pendorong pada mekanisme tersebut

dimana k θ(L/2) < 2 P θ, maka akan diperoleh

(2-5)

Dimana mekanisme tersebut tidak berada dalam keadaan stabil setimbang, sehingga mekanisme

tersebut akan mengalami defleksi dan tidak dapat dikembalikan ke posisi semula.

Nilai P yang diperoleh dengan memenuhi persamaan k θ(L/2) = 2 P θ adalah yang disebut sebagai beban

kritis, dimana

(2-6)

Pembebanan ini menunjukkan sistem berada dalam kondisi kesetimbangan netral. Pada kondisi

ini gangguan yang terjadi tidak akan membuat mekanisme tersebut semakin menjauh dari titik

kesetimbangan tetapi juga tidak akan mengembalikan ke posisi semula pada posisi stabil setimbang.

Mekanisme akan tetap berada dalam posisi terdefleksi.

Titik transisi atas ketiga kondisi kesetimbangan tersebut disebut sebagai titik percabangan dua

(bifurcation point) dimana beban .

2.5.2 Rumus Euler pada Kolom Ideal

Untuk menyederhanakan perhitungan dan analisis pada fenomena buckling maka kolom dan

batang di asumsikan sebagai kolom ideal. Yang disebut sebagai kolom ideal pada hal ini adalah yang

memenuhi syarat berikut antara lain, kolom yang memiliki profil lurus sempurna sebelum pembebanan,

terdiri atas material yang homogen serta bersifat elastis linier, dan beban yang diaplikasikan pada kolom

melalui centroid penampang dari batang tersebut.

Untuk menentukan beban kritikal dan bentuk penekukan pada kolom ideal, dapat didekati melalui

persamaan momen internal pada kolom yakni,

(2-7)

Untuk menggunakan persamaan ini perubahan defleksi pada batang haruslah diasumsikan sangat kecil.

(a) (b)

Gambar 2.10 Diagram Benda Bebas pada Batang Kolom [10]

Dari Gambar 2.10 dapat terlihat Diagram Benda Bebas dari perubahan defleksi yang terjadi pada

kolom. Dari DBB tersebut dapat terlihat perubahan defleksi dan momen internal M menunjukkan arah

positif. Sehingga dapat diperoleh besar momen internal dari batang tersebut adalah .

Sehingga persamaan 2-7 dapat menjadi,

(2-8)

Dengan menggunakan metode persamaan diferensial, solusi umum dari persamaan tersebut adalah,

(2-9)

Dua konstanta tersebut ditentukan dari kondisi batas pada ujung-ujung batang, karena pada

sehingga . Dan karena saat , maka

Persamaan ini dapat diselesaikan jika tetapi solusi tersebut hanyalah akan menjadi solusi yang

tidak berarti karena . Solusi lain adalah,

Yang dipenuhi jika,

(2-10)

dimana

Untuk mendapatkan nilai P terkecil maka , sehingga diperoleh rumus untuk mencari beban kritis

dari sebuah kolom,

(2-11)

Yang biasa disebut sebagai rumus Euler.

2.5.3 Rumus Euler pada Kolom Ideal dengan Berbagai Macam Tumpuan

Rumus Euler yang telah diperoleh pada persamaan 2-11 hanya berlaku pada batang atau kolom

yang memiliki tumpuan pin pada ujung-ujungnya atau dapat disebut juga dapat berotasi pada ujung-

ujungnya. Tetapi pada prakteknya sebuah batang dapat ditumpu dengan berbagai macam tumpuan lain

seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.11

.

K=1 K=0,7 K=0.5 K=2 Gambar 2.11 Ilustrasi Berbagai Macam Tumpuan pada Batang Kolom [10]

Dalam hal ini panjang L dalam persamaan menggambarkan jarak tumpuan antara titik dimana

terdapat momen nol. Jarak ini disebut sebagai Panjang Efektif, Dan menurut ketentuan dalam desain

panjang efektif telah memiliki formula,

Dimana K merupakan konstanta yang disebut koefisien panjang efektif. Nilai spesifik K telah

tercantum pada Gambar 2.11. Sehingga persamaan Euler untuk kolom dengan berbagai tumpuan menjadi,

(2-12)

2.5.4 Analisa Buckling pada Perangkat Lunak MSC Nastran 4.5

Pada perangkat lunak MSC Nastran 4.5, analisa buckling dibuat berdasarkan teori-teori yang

telah disebutkan di atas. Tetapi pada perangkat lunak MSC Nastran 4.5 hasil dari proses akhir tidaklah

langsung berupa nilai beban kritis dari struktur yang dianalisa melainkan berupa nilai eigen. Sehingga

untuk mendapatkan nilai beban kritis nilai eigen tersebut harus dimasukkan ke dalam persamaan

sederhana yakni,

(2-13)

Oleh karena itu pada analisa dengan menggunakan perangkat lunak MSC Nastran 4.5 nilai eigen

yang dihasilkan dapat juga diartikan sebagai besarnya faktor keamanan yang dimiliki oleh struktur

tersebut. Semakin kecil nilai eigen yang dihasilkan semakin besar kemungkinan terjadinya kegagalan

akibat terjadinya buckling. Oleh karena itu nilai eigen yang besar cukup diharapkan pada analisa sebuah

struktur untuk menunjukkan tingkat keamanan yang besar dari struktur tersebut dari kemungkinan

terjadinya gagal akibat buckling.

2.6 Gaya Impuls

Gaya Impuls merupakan gaya yang bekerja pada selang waktu yang pendek seperti yang biasa

terjadi pada peristiwa tumbukan berdasarkan pustaka [7]. Sebagai contoh gaya yang bekerja pada

tumbukan sebuah bola dengan tembok, serta tendangan pada bola. Pada peristiwa tersebut gaya yang

bekerja merupakan gaya impuls. Agar dapat dapat dipandang dengan lebih jelas bagaimana gaya impuls

bekerja, diumpamakan bola tersebut sebagai suatu partikel atau benda titik yang dipukul hingga terpental.

Kemudian supaya gaya pukulan yang bekerja dapat dihubungkan dengan gerak partikel, dapat digunakan

hukum II Newton, sebagai berikut,

(2-14)

Dari persamaan (2-14) diintegralkan hingga diperoleh,

 Dengan memisalkan massa partikel tidak berubah terhadap kecepatan atau waktu maka dapat diperoleh,

(2-15)

Untuk gerak satu dimensi persamaan (2-15) dapat ditulis menjadi,

(2-16)

Hal ini menunjukkan jika fungsi F(t) diketahui maka perubahan mv dapat diketahui dengan menghitung

integral . Integral ini disebut sebagai impuls dan dinyatakan dalam I.