- II-1 -

BAB II

STUDI LITERATUR

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendasari penelitian

ini. Teori dasar yang akan dibahas meliputi : tomography dua dimensi, dan

tomography tiga dimensi. Literatur utama yang digunakan diambil untuk

memperlajari kedua topik ini adalah buku yang ditulis olek Malcom Slaney dan

Avinash Kak [1], Buku disertasi yang ditulis oleh Henrik Turbell [11], dan Diktat

Kuliah Mengenai Rekonstruksi Citra [6].

2.1. Tomography Dua Dimensi

Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai konsep integral garis dan proyeksi,

teorema irisan Fourier, dan algoritma rekonstruksi filtered backprojection untuk

proyeksi parallel-beam, dan untuk proyeksi fan-beam. Berdasarkan bentuk

detektornya proyeksi fan-beam dibagi menjadi dua jenis:

1. Equiangular (detektor berbentuk busur)

2. Equally Spaced (detektor berbentuk planar)

Algoritma rekonstruksi fan-beam yang dibahas dibatasi untuk fan-beam dengan

detektor berbentuk planar, seperti yang dikerjakan dalan tesis ini.

2.1.1. Integral Garis dan Proyeksi Proses pemindaian pada hakikatnya adalah pengambilan proyeksi dari obyek.

Proyeksi itu sendiri merupakan suatu “gambaran bayangan” yang diperoleh dari

penyinaran objek oleh radiasi penetrasi. Dengan batasan yang lebih ketat, disebutkan

bahwa sebuah proyeksi pada sudut tertentu adalah integral dari penampang melintang

objek tersebut pada arah yang ditentukan oleh sudut tersebut. Meskipun demikan,

proyeksi dapat pula diartikan sebagai informasi yang diperoleh dari turunan transmisi

energi ketika sebuah objek disinari pada sudut tertentu, tergantung dari metode yang

dipakai. Integral garis merepresentasikan integral dari suatu parameter obyek yang

- II-2 -

ditinjau sepanjang garis. Karena lintasan yang dilalui oleh sinar-X gelombang berupa

garis lurus, integral garis dalam hal ini merupakan integral dari interaksi yang terjadi

antara gelombang dengan substansi yang dikandung oleh obyek sepanjang lintasan

tersebut. Dalam kasus tomography sinar-X, interaksi yang terjadi antara sinar-X

dengan obyek dapat berupa redaman, absorpsi atau hamburan intensitas sinar-X.

Dalam tesis ini digunakan parameter redaman intensitas sinar-X. . Dengan kata lain

integral garis merepresentasikan redaman total dari berkas sinar-x yang berjaan lurus

melalui obyek. Parameter interaksi sinar-X dengan obyek inilah yang membawa

informasi tentang obyek tersebut.

Gambar 2.1. Obyek f(x,y) dan proyeksinya g(s,θ)

Masing-masing proyeksi merupakan integral garis dari parameter objek

sepanjang garis lurus yang dilalui sinar-X media akuisisi.

Integral sepanjang lintasan garis dinyatakn sebagai berikut:

( , ) ( , )l

g s f x y dlθ = ∫ (2-1)

dengan l adalah garis yang diintegralkan

Semua titik pada garis ini memenuhi persamaan berikut :

- II-3 -

cos sins x yθ θ= + (2-2)

dan

sin cosu x yθ θ= − + (2-3)

atau

cos sinx s uθ θ= − (2-4)

dan

sin cosy s uθ θ= + (2-5)

Dengan menggunakan fungsi delta, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi:

( , ) ( , ) ( cos sin )g s f x y x y s dxdyθ δ θ θ+∞ +∞

−∞ −∞

= + −∫ ∫ (2-6)

,0s θ π−∞ < < ∞ ≤ <

dimana ( cos sin )x y sδ θ θ+ − merupakan fungsi delta Dirac. Persamaan ini disebut

sebagai Transformasi Radon. Proyeksi ditunjukkan dengan g(s,θ) untuk suatu θ yang

tetap. Transformasi Radon dari f(x,y) dapat pula dituliskan sebagai

( , ) ( cos sin , sin cos )g s f s u s u duθ θ θ θ θ+∞

−∞

= − +∫ (2-7)

,0s θ π−∞ < < ∞ ≤ < .

Di mana s adalah jarak terdekat garis terhadap titik asal dan θ adalah sudut

yang dibentuk oleh garis dengan sumbu y. Transformasi Radon merepresentasikan

suatu citra sebagai kumpulan proyeksi pada berbagai sudut.

Gambar di bawah adalah contoh sederhana integral garis dari f(x,y) pada arah

vertikal adalah proyeksi dari f(x,y) pada sumbu x. Integral garis pada arah horizontal

adalah proyeksi dari f(x,y) pada sumbu y.

- II-4 -

Gambar 2.2 Proyeksi horizontal dan vertikal dari suatu fungsi sederhana

Dalam tomography terdapat dua jenis proyeksi dua dimensi yaitu proyeksi

parallel-beam dan proyeksi fan-beam.

Gambar 2.3 Proyeksi paralel dapat diambil dengan mengukur sekumpulan

parallel-beam dari berbagai arah [1]

- II-5 -

Gambar 2.4 Proyeksi fan-beam diperoleh jika berkas bertemu di satu titik

(membentuk kipas) [1]

2.1.2. Teorema Irisan Fourier Permasalahan utama dalam tomography adalah bagaimana untuk

merekonstruksi kembali sebuah fungsi f(x,y) dari proyeksi ( , )g s θ . Algoritma yang

digunakan pada hampir seluruh aplikasi tomography adalah algoritma filtered

backprojection. Pada algoritma ini diketahui tinjauan secara matematis bagaimana

fungsi f(x,y) didapatkan melalui proyeksinya. Teorema irisan Fourier (Fourier Slice Theorem) adalah dasar dari algoritma

proyeksi balik yang di-filter. Teorema ini mengaitkan hubungan antara transformasi

Fourier dua dimensi fungsi f(x,y) dengan transformasi Fourier satu dimensi

proyeksinya.

- II-6 -

Gambar 2.5 Teorema Irisan Fourier [1]

Sebagaimana diperlihatkan pada gambar 2.4, transformasi Fourier satu

dimensi proyeksi paralel dari suatu objek f(x,y) pada sudut θ merupakan irisan dari

transformasi Fourier dua dimensi dari objek, F(u,v) sepanjang garis yang melalui titik

pusat koordinat yang membentuk sudut sebesar θ dengan sumbu u. Secara matematis

Teorema Irisan Fourier dapat dituliskan sebagai

( ) ( , ) ( cos , sin )S w F w F w wθ θ θ θ= = (2-8)

Persamaan (2-8) merupakan inti dari tomography dengan lintasan gelombang berupa

garis lurus dan paralel.

Persamaan (2-8) menyatakan bahwa dengan mengambil proyeksi pada sudut

θ1, θ2, θ3, ..., θn, kemudian melakukan transformasi Fourier pada masing-masing

proyeksi akan diperoleh harga F(u,v) berupa titik-titik pada koordinat radial seperti

yang ditunjukkan pada gambar 2.6

- II-7 -

Gambar 2.6 Kumpulan proyeksi dari objek pada sejumlah sudut [1]

Jika proyeksi yang dilakukan tak hingga banyaknya, maka akan diperoleh

F(u,v) pada semua titik pada bidang u-v. Dengan mengetahui harga F(u,v) maka

fungsi objek f(x,y) akan diperoleh dengan melakukan transformasi Fourier balik

dengan persamaan

2 ( )( , ) ( , ) j ux vyf x y F u v e dudvπ∞ ∞ +

−∞ −∞= ∫ ∫ (2-9)

Jika fungsi f(x,y) dibatasi pada daerah 2 2A Ax−< < dan

2 2A Ay−< < , maka untuk

keperluan komputasi persamaan (9) dapat dituliskan sebagai

( ) ( )2

21( , ) ,

m nj x yA A

m n

m nf x y F eA AA

π ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ (2-10)

untuk

2 2A Ax−< < dan 2 2

A Ay−< <

- II-8 -

Dalam prakteknya hanya beberapa komponen Fourier yang diketahui,

sehingga persamaan (11) dapat dituliskan sebagai

( ) ( )2 2 2

2

2 2

1( , ) ,N N

m nj x yA A

N Nm n

m nf x y F eA AA

π ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

− −= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (2-11)

untuk

2 2A Ax−< < dan 2 2

A Ay−< <

dengan anggapan bahwa N merupakan bilangan genap. Dengan demikian resolusi

dalam koordinat ruang ditentukan oleh N. Persamaan (11) dapat dengan cepat

diimplemetasikan dengan menggunakan algoritma FFT (Fast Fourier Transform)

asalkan N2 koefisien Fourier ,m nFA A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

diketahui.

2.1.3. Filtered Backprojection Untuk Parallel Beam (Invers Radon) Operator yang berkaitan dengan transformasi Radon adalah operator proyeksi

balik B yang didefinisikan sebagai

θθθπ

θ dyxgBgyxb )sincos(),(0

+=≡ ∫ (2-12)

Proyeksi balik merepresentasikan akumulasi penjumlahan sinar yang melewati suatu

titik (x,y) atau (r,φ). Transformasi Radon yang diproyeksi balik merupakan suatu citra

f(x,y) yang dikaburkan dengan PSF 2 2 1/ 21/( )x y+ , yaitu 2/122 )(),(),( −+⊗==≡ yxyxfBRfBgyxf (2-13)

sehingga dapat dilihat bahwa operator B bukan inverse dari R.

Pada persamaan (10) untuk invers transformasi Fourier, fungsi objek f(x,y)

dapat dinyatakan sebagai

2 ( )( , ) ( , ) j ux vyf x y F u v e dudvπ∞ ∞ +

−∞ −∞= ∫ ∫ . (2-14)

- II-9 -

Pengubahan sistem koordinat rectangular pada domain frekuensi, (u,v), menjadi

sistem koordinat polar, (w,θ) dilakukan dengan melakukan subtitusi

u = w cos θ (2-15)

v = w sin θ (2-16)

dan mengubah diferensial dengan menggunakan

du dv = w dw dθ (2-17)

sehingga invers trasnformasi Fourier sebagai fungsi polar adalah

2 2 ( cos sin )

0 0( , ) ( , ) j w x yf x y F w e w dw d

π π θ θθ θ∞ += ∫ ∫ (2-18)

Integral ini dapat dipisah menjadi dua bagian dengan mempertimbangkan nilai θ dari

00 sampai 1800 dan dari 1800 sampai 3600,

2 ( cos sin )

0 0( , ) ( , ) j w x yf x y F w e w dw d

π π θ θθ θ∞ += ∫ ∫

0 00 2 [ cos( 180 ) sin( 180 ]

0 0( , 180 ) j w x yF w e w dw d

π π θ θθ θ∞ + + ++ +∫ ∫ , (2-19)

dan dengan menggunakan sifat

0( , 180 ) ( , )F w F wθ θ+ = − (2-20)

persamaan (20) dapat ditulis sebagai

2

0( , ) ( , ) j wsf x y F w w e dw d

π πθ θ∞

−∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (2-21)

dengan menyederhanakan bentuk

cos sinx y sθ θ+ =

sesuai dengan persamaan (2-2). Bila transformasi Fourier dari proyeksi pada sudut θ,

Sθ(w), digunakan untuk mensubtitusi transformasi Fourier dua dimensi F(w,θ) sesuai

dengan Teorema Irisan Fourier pada persamaan (2-8) maka didapatkan

2

0( , ) ( ) j wsf x y S w w e dw d

π πθ θ

∞

−∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ . (2-22)

Intergral pada persamaan (21) dapat dituliskan sebagai

- II-10 -

0( , ) ( cos sin )f x y Q x y d

π

θ θ θ θ= +∫ (2-23)

dimana

2( ) ( ) j wsQ s S w w e dwπθ θ

∞

−∞= ∫ (2-24)

Nilai estimasi dari f(x,y) di atas, dengan nilai transformasi data proyeksi Sθ(w)

yang telah diketahui, memiliki bentuk yang sederhana. Persamaan (24)

merepresentasikan operasi penapisan (filtering), dengan respon frekuensi dari filter

diberikan oleh w . Oleh karena itu Qθ(w) disebut sebagai “proyeksi terfilter”

(filtered projection). Hasil proyeksi untuk sudut θ yang berbeda kemudian

dijumlahkan untuk membentuk nilai estimasi dari f(x,y).

Gambar 2.7 Filtered Backprojection

Persamaan (2-23) menggunakan nilai masing-masing proyeksi ter-filter, Qθ, untuk di-

”proyeksi balik”-kan sebagaimana nilai gθ pada persamaan (2-8)

∫ +=≡π

θ θθθ0

)sincos(),( dyxgBgyxb

- II-11 -

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk setiap titik (x,y) pada bidang citra ada

nilai cos sinx y sθ θ+ = yang berkorespdensi untuk nilai θ tertentu, dan proyeksi ter-

filter Qθ berkontribusi untuk merekonstruksi nilainya pada s ( cos sinx yθ θ= + ). Hal

ini diilustrasikan pada gambar 2.6. Secara mudah ditunjukkan bahwa untuk suatu

sudut θ tertentu, nilai dari s adalah sama untuk seluruh (x,y) pada garis LM. Qθ akan

membuat kontribusi yang sama untuk rekonstruksi pada titik-titik di garis LM. Oleh

karena itu dapat dikatakan bahwa proses rekonstruksi untuk masing-masing proyeksi

ter-filter , Qθ, adalah suatu proyeksi balik pada seluruh bagian bidang citra. Filtered

backprojection untuk proyeksi paralel ini dikenal juga dengan sebutan invers radon.

Dengan demikian dapat dirangkum bahwa proses rekonstruksi citra dari data

proyeksi adalah sebagaimana ditunjukkan pada gambar 2.7.

Gambar 2.8 Perhitungan Invers Radon

2.1.4. Filtered Backprojection Untuk Equally Spaced Fan Beam

(Invers Fan Beam) Kebanyakan sistem CT menggunakan proyeksi fan-beam karena

keuntungannya dalam kecepatan pengambilan data. Pemindaian fan-beam dilakukan

oleh sebuah sumber sinar-X serta sebuah array detektor yang diputar mengelilingi

obyek. Dengan parallel-beam tomography dibutuhkan sebuah array sumber sinar-X

dan sebuah array detektor sinar-X. Sistem mekanis dibuat sedemikian rupa agar array

sumber dan detektor mampu ’menyapu’ obyek pada berbagai arah.

Diasumsikan fan-beam yang dipancarkan oleh sumber ditangkap oleh detektor

berbentuk planar. Pada detektor berbentuk planar ini informasi intensitas di-sampling

dengan jarak yang sama (equally spaced detector). Sumber sinar-X diputar sebesar

g(s,θ) Transform Fourier

F1

S(w,θ)

|w|

Filter Transform Fourier Inverse

F1-1

Proyeksi

Balik

( ),Q s θ f(x,y)

- II-12 -

sudut β terhadap koordinat y. Sudut antara sebuah berkas sinar-X terhadap berkas

pusat kipas dilambangkan dengan γ. Dalam kasus ini jarak sumber terhadap detektor

yang sesungguhnya tidak diperhatikan. Diasumsikan ada sebuah detektor virtual yang

melalui origin.

Dalam koordinat polar filtered backprojection untuk parallel-beam dapat

dituliskan dengan persaman berikut :

( ) ( ) θθθθπ

dtdtyxhtPyxftm

tm

−+= ∫ ∫−

sincos21),(

2

0

(2-24)

Untuk menggunakan persamaan di atas untuk rekonstruksi fan-beam, perlu

diketahui set data proyeksi parallel-beam yang berpasangan dengan data proyeksi

fan-beam.

Gambar 2.9 Pasangan berkas pada proyeksi parallel-beam dan pada proyeksi fan-beam

Transformasi koordinat dapat diaplikasikan ke integral filtered backprojection

untuk mentransformasikan parameter (β,s) ke kasus paralel. Hubungan antara (β,s)

dengan (θ,t) adalah sebagai berikut :

Ds1tan−+=+= βγβθ (2-25)

S

- II-13 -

22cos

sDsDst+

== γ (2-26)

Formula filtered backprojection yang dihasilkan menjadi sebagai berikut :

ββ

π

dsdssgsD

DsRU

yxf )'()(1).(22

2

02 −

+= ∫∫

∞

∞−

(2-27)

Gambar 2.10 Berkas proyeksi pada proyeksi fan-beam dan proyeksi parallel-beam

Algoritma filtered backprojection untuk proyeksi fan-beam dengen detektor planar

memiliki tiga tahapan yaitu :

a. Diasumsikan bahwa masing-masing proyeksi )(sRβ disampling dengan

sampling interval a. Data yang diketahui menjadi )(anR iβ dimana n

merupakan integer. N = 0 menujukkan berkas pusat yang melalui origin. β

adalah sudut berkas yang diketahui. Langkah pertama adalah melakukan

modifikasi proyeksi menjadi sebagai berikut :

- II-14 -

22 )()()('

anDDanRanR+

= ββ (2-28)

Faktor modifikasi ini dapat diterjemahkan sebagai kosinus sudut antara

berkas yang dimaksud dengan berkas pusat pada proyeksi tersebut.

b. Langkah berikutnya adalah mengkonvolusi proyeksi termodifikasi )(anR iβ

dengan g(na) untuk menghasilkan proyeksi terfilter :

)(*)()( nagnaRnaQ ii ββ = (2-29)

)(21)( nahnag = (2-30)

h(γ) adalah filter ramp untuk kasus parallel-beam.

Konvolusi ini diimplementasikan dalam domain frekuensi menggunakan

algoritma FFT. Data proyeksi harus di-padd dengan sejumlah nilai zero

untuk menghindari distorsi akibat adanya interferensi interperiod.

Superior rekonstruksi didapatkan jika filter penghalus diikutserakan dalam

konvolusi. Misalkan k(na) adalah respon impuls dari filter penghalus,

langkah kedua ini dapat ditulis sebagai berikut :

)(*)(*)()( naknagnaRnaQ ii ββ = (2-31)

Dalam domain frekuensi, implementasi dari penghalusan dapat dilakukan

dengan multiplicative window sederhana, misalnya Hamming Window

c. Proyeksi balik terbobot terhadap proyeksi yang telah terfilter dan

termodifikasi. Proyeksi balik dilakukan sepanjang fan-beam dengan

pembobot U. U merupakan rasio antara proyeksi paralel titik (x,y) terhadap

berkas pusat (SP pada gambar 29) dan jarak origin dengan sumber D.

Jumlah keseluruhan proyeksi adalah citra hasil rekonstruksi :

∑=

Δ=M

ii sQ

iyxUByxf

12 )'(

),,(1),( ββ

(2-32)

Di mana :

- II-15 -

DyxDyxU βββ cossin),,( −+

= (2-33)

2.2. Tomography Cone-Beam Algoritma tomography dua dimensi yang dijelaskan di atas dapat

merekonstruksi irisan obyek. Apabila diinginkan rekonstruksi tiga dimensi

volumetrik, citra-citra irisan dua dimensi tersebut disusun secara vertikal ke atas

menjadi citra tiga dimensi.

Gambar 2.11 Pembentukan citra tiga dimensi dari citra dua dimensi

Cara lain yang lebih efisien adalah dengan menggunakan volumetrik CT

dengan detektor dua dimensi. Berkas sinar-X akan membentuk kerucut diantara

detektor dan sumber. Pemindaian cukup dilakukan dengan meradiasi obyek pada

sudut 00-3600 satu kali saja. Diantara kelebihan tomography cone-beam adalah

sebagai berikut:

1. Pembatasan berkas sinar-X

2. Akurasi citra

3. Reduksi dosis

4. Mereduksi artifact

5. Tidak memerlukan kolimator

- II-16 -

Gambar 2.12 Ilustrasi Sistem Tomography Cone-beam

2.2.1. Geometri Cone-beam Geometri cone beam diilustraswikan pada gambar 2.13 . Untuk geometri

cone-beam sudut proyeksi dilambangkan dengan β dan sudut fan-beam dilambangkan

dengan γ (sama seperti pada kasus fan-beam). Sama seperti kasus fan-beam, dalam

kasus ini jarak sumber terhadap detektor yang sesungguhnya tidak diperhatikan.

Diasumsikan ada sebuah detektor virtual yang melalui origin. Data dari detektor

disimpan pada ),( baRβ .

- II-17 -

Gambar 2.13 Geometri Cone-beam

2.2.1. Rekonstruksi dengan Algoritma Felkamp,Davis,Kress (FDK)

untuk Detektor Planar

Feldkamp, Davis, dan Kress (1984) mendeskripsikan algoritma rekonstruksi

untuk tomography cone-beam dengan lintasan sirkular. Algoritma ini disebut dengan

algoritma FDK. Algoritma ini didasarkan pada pem-filter-an dan proyeksi balik pada

masing-masing bidang di dalam ruang pindai kerucut. FDK memandang di dalam

ruang pindai cone-beam terdapat beberapa beberapa fan-beam dengan pusat yang

sama. Masing-masing fan-beam di dalam ruang pindai kerucut direkonstruksi sendiri-

sendiri. Rekonstruksi tiga dimensi didapatkan dengan menjumlahkan kontribusi

terhadap obyek dari masing-masing fan-beam.

x

y

z,b

aβ

detektor virtual

γ

),( baRβ

berkas kipas sinar-X

berkas pusat

sumber D

κ

- II-18 -

Algoritma FDK sangat mirip dengan algoritma rekonstruksi dua dimensi.

Yang membedakan adalah faktor modifikasi bergantung pada sudut fan-beam dan

sudut cone-beam. Berikut ini adalah langkah-langkah dalam algoritma FDK :

1. Memodifikasi proyeksi sesuai dengan posisinya didalam ruang pindai kerucut:

222),(),('

baDDbaRbaR

++= ββ (2-34)

Faktor modifikasi ini merupakan cosinus sudut antara berkas dengan berkas

pusat dari proyeksi. Faktor ini dapat dipecah menjadi faktor kosinus fan-

beam dan faktor kosinus sudut kerucut sebagai berikut :

κγ coscos222

22

22222=

++

+

+=

++ baDaD

aDD

baDD (2-35)

Dimana :

ββββββ sincos

cossin),,(yxD

yxDyxa++

+−= (2-36)

βββ sincos),,(

yxDDzzyxb++

= (2-37)

2. Memfilter proyeksi termodifikasi :

)(21)( shsg = (2-38)

)(*),('),( agbaRbaQ ββ = (2-39)

3. Memproyeksi balik proyeksi terfiliter sepanjang cone-beam dengan faktor

pembobot U(x,y,β) pada persamaan 32 :

DyxDyxU ββ

βcossin),( −+

=

ββ β

π

βββ

dzyxbyxaQyxU

Dzyxf fdk )),,(,),(,(),(

),,(2

02

2

∫= (2-40)

U bersifat independen terhadap koordinat z voksel dan hanya bergantung pada

jarak antara sumber dengan proyeksi voksel yang direkonstruksi terhadap

berkas pusat.