1.6 Beberapa Contoh Getaran Harmonis Sederhana

Pada sub bab terdahulu telah dibahas sifat-sifat umum getaran harmonis

sederhana berdasarkan model osilator harmonis sederhana berupa benda yang diikat

pada pegas horisontal dan terletak pada permukaan yang licin. Dalam sub bab ini

akan ditinjau beberapa contoh gerak benda yang menunjukkan gejala getaran

harmonis sederhana, yakni meliputi getaran benda pada pegas vertikal, ayunan

bandul sederhana dan ayunan bandul fisis.

A. Getaran Benda Pada Pegas Vertikal

Ketika sebuah benda tergantung pada sebuah pegas vertikal (gambar 1.6),

maka pada benda bekerja dua jenis gaya, yaitu gaya berat benda yang

berarah ke bawah dan gaya pegas , dengan asumsi y diukur ke arah bawah

dari posisi pegas tak teregang.

Gambar 1.6 Gerak benda yang tergantung pada pegas vertikal. a) Pegas dalam keadaan tak teregang. b) Pegas teregang sebesar yo, ketika benda bermassa m tergantung padanya dalam keadaan setimbang. c) Benda bergetar di sekitar posisi kesetimbangan y = yo dengan suatu simpangan y’ = y – yo.

Untuk sistem ini, hukum kedua Newton memberikan :

(1. 17)

Persamaan ini berbeda dengan persamaan (1.4), karena terdapat suku tambahan mg.

11

m

m

F

W

yo y

y’

a) b) c)

Untuk menyederhanakan persamaan di atas, dalam kasus ini didefinisikan

variabel baru yakni :

y’ = y – yo (1.18)

atau dapat dituliskan menjadi :

y = y’ + yo (1.19)

dengan yo adalah besarnya regangan pegas ketika benda dalam kesetimbangan.

Ketika benda dalam kesetimbangan pada y = yo, persamaan (1.17) dapat dituliskan

menjadi :

sehingga besarnya yo dapat ditentukan sebagai berikut :

(1.20)

Karena selisih y’ dan y hanya merupakan suatu konstanta, maka dapat diperoleh :

dan (1.21)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1.19) dan persamaan (1.21) dalam persamaan

(1.17), akan diperoleh :

Apabila persamaan (1.20) disubstitusikan ke persamaan di atas, maka didapatkan :

(1.22)

Persamaan di atas sama persis dengan persamaan umum getaran harmonis sederhana

(persamaan (1.4)) yang sudah dibahas pada sub bab terdahulu, hanya di sini

simpangannya dinyatakan dalam y’, sehingga memiliki penyelesaian yang sama pula,

yaitu :

Jadi, pengaruh gaya gravitasi mg semata-mata hanya menggeser posisi

kesetimbangan dari y = 0 ke y’ = 0. Ketika benda digeser dari posisi

kesetimbangan ini sebesar y’, maka gaya pemulih pada pegas adalah . Benda

12

bergetar di sekitar posisi kesetimbangan ini dengan frekuensi sudut , sama

seperti nilai untuk getaran benda pada pegas horisontal.

Apabila simpangan diukur dari posisi kesetimbangan, maka energi potensial

benda pada sistem ini dapat dituliskan :

(U = 0 pada y’ = 0) (1.23)

B. Ayunan Bandul Matematis

Sebuah benda yang tergantung pada seutas tali tak bermassa, akan berayun

ketika disimpangkan dari poisisi kesetimbangannya. Sistem ayunan seperti ini

disebut ayunan bandul matematis. Apabila ayunan bandul mempunyai simpangan

yang kecil, sedemikian hingga lintasan bandul dapat dianggap lurus, maka gerak

ayunan ini termasuk getaran harmonis sederhana.

Gambar 1.7 memperlihatkan sebuah benda bermassa m yang tergantung pada

seutas tali yang panjangnya L. Gaya-gaya yang bekerja pada beban adalah gaya berat

benda, mg, dan tegangan tali, T. Ketika beban disimpangkan sebesar θ, gaya berat

memiliki komponen mg cos θ yang bekerja sepanjang tali, dan komponen mg sin θ

yang bekerja tegak lurus terhadap tali.

Gambar 1.7 Bandul sederhana. Gaya pada beban adalah berat benda, mg, dan tegangan tali, T. Ketika bandul diayunkan, maka akan terjadi gerak osilasi dengan gaya pemulih F = - mg sin θ. Untuk simpangan kecil, gerak ayunan bandul merupakan getaran harmonis sederhana.

13

L

mg cos mg sin

mg

m

T

θ

θ

x

Apabila benda diayunkan, maka akan terjadi gerak osilasi dengan gaya

pemulihnya :

(1.24)

Untuk simpangan sudut ( ) yang kecil, maka garis kerja gaya F berimpit dengan

simpangan x, sehingga . Dalam hal ini, persamaan (1.24) dapat dituliskan

menjadi :

(1.25)

Berdasarkan hukum kedua Newton, persamaan gerak ayunan bandul ini dapat

diperoleh sebagai berikut :

atau dapat disederhanakan menjadi :

(1.26)

Hal ini berarti bahwa frekuensi sudut ayunan sederhana adalah :

(1.27)

Sebagaimana jenis getaran harmonis sederhana yang telah dibahas terdahulu,

persamaan getaran ayunan bandul sederhana seperti ditunjukkan pada persamaan

(1.26) ini, mempunyai penyelesaian umum . Karena

, maka dari persamaan (1.27), periode dan frekuensi getaran sistem ini dapat

dituliskan sebagai berikut :

(1.28)

(1.29)

Dari persamaan di atas, terlihat bahwa apabila percepatan gravitasi (g) dianggap

tetap, maka periode maupun frekuensi getaran dari ayunan bandul sederhana hanya

bergantung pada panjang tali (L), dan tidak bergantung kepada massa beban (m).

Prinsip ayunan bandul sederhana ini dapat digunakan untuk tujuan praktis.

Misalnya digunakan untuk menentukan percepatan gravitasi bumi (g) di suatu

14

tempat. Hal ini dapat dilakukan karena panjang tali (L) dapat diukur dengan

penggaris, sedangkan periodenya dapat diukur dengan stopwatch. Dari persamaan

(1.28) percepatan gravitasi (g) dapat ditentukan dengan rumus :

(1.29)

Contoh penggunaan yang lain adalah pada lonceng. Berapa panjang tali yang

harus digunakan, agar periode ayunannya 1 detik.

C. Ayunan Bandul Fisis

Sebuah benda tegar yang digantung dari suatu titik yang bukan merupakan

pusat masssanya akan berayun ketika disimpangkan dari posisi kesetimbangannya.

Sistem ayunan seperti ini disebut ayunan bandul fisis.

Gambar 1.8 menunjukkan sebuah benda datar yang digantung pada sebuah

titik berjarak d dari pusat massanya. Benda kemudian disimpangkan sebesar dari

kesetimbangannya.

Gambar 1.8 Bandul fisis. Momen gaya (torsi) terhadap poros karena gaya gravitasi adalah –mgd sin . Tanda negatif menyatakan bahwa momen gaya ini selalu melawan simpangan sudut .

Momen gaya (torsi) terhadap titik tumpu adalah :

(1.30)

15

d

mg

d sin

Titik Tumpu

PusatMassa

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah momen gaya ini selalu berlawanan dengan

simpangan sudut ( ), atau dengan kata lain momen gaya ini cenderung mengurangi

simpangan sudut ( ).

Momen gaya mempunyai hubungan dengan percepatan sudut ( ) sesuai

dengan persamaan :

(1.31)

dengan I adalah adalah momen inersia di sekitar titik tumpu. Berdasarkan persamaan

(1.30) dan persamaan (1.31), dapat dituliskan hubungan sebagai berikut :

selanjutnya diperoleh :

(1.32)

Ayunan akan mendekati getaran harmonis sederhana, jika simpangan sudutnya kecil

sehingga dapat dilakukan pendekatan . Dalam hal ini, persamaan (1.32)

dapat dituliskan sebagai :

(1.33)

Persamaan (1.33) menyatakan persamaan getaran harmonis sederhana yang

penyelesaian umumnya adalah , sedangkan frekuensi sudutnya

adalah :

(1.34)

sedangkan periode dan frekeunsinya, berturut-turut adalah :

(1.35a)

(1.35b)

Persamaan (1.35a) dapat digunakan untuk mengukur momen inersia suatu

bangun datar. Apabila pusat massa benda tersebut diketahui atau dapat ditentukan,

maka momen inersianya dapat dihitung dengan persamaan :

16

(1.36)

dengan I : momen inersia (kg m2)

m : massa beban (kg)

g : percepatan gravitaasi bumi (m/det2)

d : jarak titik tumpu ke pusat massa benda (m)

T : periode ayunan (det).

17