Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 1

Y

1

BAB 9

FUNGSI LOGARITMA

RINGKASAN MATERI

1. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma f dengan bilangan pokok atau basis a dapat dituliskan dalam bentuk

f : x a log x atau y = f(x) =

a log x,

dengan:

1. x adalah peubah bebas atau numerus dan sebagai daerah asal fungsi f, yaitu Df = {x | x > 0, xR},

2. a adalah bilangan pokok atau basis logaritma, dengan a > 0 dan a 1,

3. y adalah peubah tak bebas dan daerah hasil fungsi f, Rf = {y | yR}.

Grafik fungsi logaritma

2. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dengan bilangan pokok

atau numerusnya berbentuk suatu fungsi dalam suatu variabel.

Menyelesaikan persamaan logaritma

a. Jika alog f(x) = b, maka f(x) = a

b, dengan f(x) > 0.

b. Jika alog f(x) =

alog p, maka f(x) = p, dengan f(x) > 0.

c. Jika alog f(x)=

blog f(x), maka f(x) = 1

d. Jika alog f(x) =

alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

e. Jika f(x)

log g(x) = f(x)

log h(x), maka g(x) = h(x), dengan g(x) > 0, h(x) > 0, f(x) > 0 dan f(x) 1.

f. Jika A{alogf(x)}2

+ B{alog f(x)} + C = 0 maka penyelesaian menggunakan persamaan kuadrat.

3. Pertidaksamaan Logaritma

Jika alog f(x) >

alog g(x), dengan a > 1, maka f (x) > g (x) > 0

Jika alog f(x) >

alog g(x) dengan 0 < a < 1, maka 0 < f (x) < g (x)

y = alog x, 0 < a < 1

y = alog

x, a > 1

X

A

Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 2

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 3log (x

2 – 2x) = 1 adalah …..

a. {–1} b. {3} c. {–1, 3} d. {1, 3} e. {1, –3}

Jawaban: c

Penyelesaian: 3 log (x

2 – 2x) = 1

(x2 – 2x) = 3

x2 – 2x – 3 = 0

(x + 1) (x – 3) = 0

x = –1 atau x = 3

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {–1, 3}

2. Ebtanas 1999

Penyelesaian persamaan 2log (x + 2) –

4log (3x

2 – x + 6) = 0 adalah p dan q. Untuk p > q, nilai p q = ….

a. 2 b. 2

3 c.

2

1 d. –

2

3 e. –

2

5

Jawaban: b

Penyelesaian:

2log (x + 2) –

4log (3x

2 – x + 6) = 0

2log (x + 2) =

4log (3x

2 – x + 6)

4log (x + 2)

2 =

4log (3x

2 – x + 6)

x2 + 4x + 4 = 3x

2 – x + 6

2x2 – 5x + 2 = 0

(2x – 1)(x – 2) = 0

x = 2

1 = q atau x = 2 = p

Jadi, nilai p – q = 2

3

3. UAN 2003

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (3log x)

2 3

3log x + 2 = 0, maka nilai x1 x2 = ….

a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27

Jawaban: e

Penyelesaian:

Misalnya 3log x = a, maka persamaan

(3log x)

2 3

3log x + 2 = 0 ekuivalen dengan persamaan:

a2 3a + 2 = 0

(a 1) (a – 2) = 0

a = 1 atau a = 2

a = 1 3log x = 1 x1 = 3

a = 2 3log x = 2 x2 = 9

Jadi, x1 x2 = 3 9 = 27

4. Ebtanas 2000

Nilai x yang memenuhi log 2 + log (2x –1) > log (x + 7) untuk bilangan pokok 3 adalah ….

a. –7 < x < 2

1 b.

2

1 < x < 3 c. x > 2 d. x > 3 e. x > 4

Jawaban: e

Penyelesaian:

Syarat yang harus dipenuhi adalah:

1) 2x – 1 > 0 x > 2

1

2) x + 7 > 0 x > 7

3) 3

log 2 + 3log (2x –1) >

3log (x + 7)

3log (4x – 2) >

3log (x + 7)

4x 2 > x +7

x > 3

Dari syarat 1), 2), dan 3) yang memenuhi adalah x > 3.

Metode Praktis:

Persamaan a(g log x)

2 + b

g log x + c = 0,

akar-akarnya x1 dan x2, maka x1 x2 = a

b

g

.

Persamaan (3log x)

2 – 3

3log x + 2 = 0

maka x1 x2 = 33 = 27

7

2

1

3

B

Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 3

5. UAN 2002

Himpunan penyelesain pertidaksamaan xlog 9 <

xlog x

2 adalah.…

a. {x |x ≥ 3} b. {x | 0 < x < 3} c. {x |1 < x < 3} d. {x | x > 3} e. {x |0 < x ≤ 3}

Jawaban: d

Penyelesaian: xlog 9 <

xlog x

2

Syarat yang harus dipenuhi adalah

1) Bilangan pokok logaritma: x > 1 atau 0 < x < 1

2) Untuk bilangan logaritma: x > 1, maka 9 < x²

x² 9 > 0

(x + 3)(x 3) > 0

x < 3 atau x > 3 Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 3}.

3) Untuk bilangan pokok logaritma: 0 < x < 1, maka 9 > x²

x² – 9 < 0

(x + 3) (x – 3) < 0

3 < x < 3

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 1}.

Dari syarat 2) dan 3) diperoleh himpunan penyelesaiannya: {x | x > 3 atau 0 < x < 1}.

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = x

x

log21

log3

3

, maka f(x) + f

x

3 = ....

a. 3 d. –1

b. 2 e. –3

c. 1

2. Jika 2 log x + log 6x – log 2x – log 27 = 0, maka x =

a. –3 d. 9

b. 3 e. –9 atau 9

c. –3 atau 3

3. Jika alog (3x – 1)

5log a = 3, maka x = ….

a. 42 d. 36

b. 48 e. 35

c. 50

4. Nilai x yang memenuhi persamaan 10

log x2 +

10log x + 2

10log x = 50 adalah ….

a. 1010

d. 100

b. 105 e. 5000

c. 50

5. UN 2006

Akar-akar dari persamaan 2log (x

2 – 4x + 5) = 3

adalah x1 dan x2. Nilai x12 + x2

2 = ....

a. 3 d. 16

b. 4 e. 22

c. 10

6. Ebtanas 1997

Penyelesaian persamaan 2log (2x

2 – 4x + 3) –

2log (6x – 9) = 0 adalah dan

. Untuk > , maka – = ….

a. 1 d. 5

b. 2 e. 11

c. 4

3 1 3

3 1 3 0

C

Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 4

7. UN 2006

Himpunan penyelesaian persamaan 5log (x – 2) +

5log (2x + 1) = 2 adalah ….

a. {121 } d. {1

21 , 3}

b. {3} e. {3, 421 }

c. {421 }

8. Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 5 – 4x

log (x2 – 7x – 5) = log 10 adalah ….

a. –4 d. 2

b. –3 e. 3

c. –2

9. UAN 2002

Himpunan penyelesaian persamaan logaritma xlog (10x

3 – 9x) =

xlog x

5 adalah ....

a. {3} d. {–3, –1, 1, 3}

b. {1, 3} e. {–3, –1, 0, 1, 3}

c. {0, 1, 3}

10. Ebtanas 1994

Hasil kali dari semua anggota himpunan

penyelesaian persamaan xlog (3x

+ 1) –

xlog (3x

2 – 15x + 25) = 0 adalah ....

a. 6 d. 12

b. 8 e. 15

c. 10

11. Diketahui sistem persamaan 5log x +

5log y = 5 dan

5log x

4 –

5log y

3 = –1 . Nilai x dan y yang memenuhi

persamaan itu mempunyai jumlah ....

a. 225 d. 75

b. 150 e. 50

c. 100

12. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan

x 2 + log x

= 1.000, maka x1.x2 = ….

a. 10 –2

d. 10

b. 10 –1

e. 100

c. 100

13. UN 2008

Akar-akar persamaan 2log

2 x – 6.

2log x + 8 =

2log 1

adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ....

a. 6 d. 12

b. 8 e. 20

c. 10

14. Diketahui 2(4log x)

2 – 2

4log x = 1. Jika akar-akar

persamaan di atas adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = ..

a. 5 d. 2 ½

b. 4 ½ e. 2 ¼

c. 4 ¼

15. UN 2006

Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 2log

2log (2

x + 1 + 3) = 1 +

2log x adalah ….

a. 2log 3 d. –1 atau 3

b. 3log

3

2 e. 8 atau

2

1

c. log 2

Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 5

16. Ebtanas 2001

Pertidaksamaan 25

log (x2

– 2x – 3) < 2

1 dipenuhi

oleh ....

a. –4 < x < 2

b. –2 < x < 4

c. x < –1 atau x > 3

d. –4 < x < –1 atau 2 < x < 3

e. –2 < x < –1 atau 3 < x < 4

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

log6

1

(x2 – x) > –1 adalah ….

a. –2 < x < 3

b. x < 0 x > 1

c. –2 < x < 0 1 < x < 3

d. 0 < x < 3

e. x > –2

18. Ebtanas 2000

Batas-batas nilai x yang memenuhi

log (x – 1)2 < log (x – 1) adalah ….

a. x < 1 atau x > 2 d. 1 < x < 2

b. –1 < x < 5 e. –1 < x < 2

c. x > 1

19. UN 2006

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma

log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

a. x > 6 d. –8 < x < 6

b. x > 8 e. 6 < x < 8

c. 4 < x < 6

20. UN 2005

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :

2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….

a. 2

5 ≤ x ≤ 10 d.

2

5 ≤ x < 0

b. –2 ≤ x ≤ 10 e. –2 < x < 0

c. 0 < x ≤ 10

21. Nilai-nilai x yang memenuhi 2log x –

xlog 2 > 0

adalah ….

a. x > 21

b. x > 1

c. 1 < x < 2

d. –1 < x < 0 x > 1

e. 21 < x < 1 x > 2

22. Nilai x yang memenuhi 1log

1

log

122

xx

< 1

adalah ….

a. x < 1 atau x > 2

b. 1 < x < 2

c. 0 < x < 1

d. x < 2 atau x > 3

e. 0 < x < 1 atau x > 2

By Kusnandar

Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 6