Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 1
Y
1
BAB 9
FUNGSI LOGARITMA
RINGKASAN MATERI
1. Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma f dengan bilangan pokok atau basis a dapat dituliskan dalam bentuk
f : x a log x atau y = f(x) =
a log x,
dengan:
1. x adalah peubah bebas atau numerus dan sebagai daerah asal fungsi f, yaitu Df = {x | x > 0, xR},
2. a adalah bilangan pokok atau basis logaritma, dengan a > 0 dan a 1,
3. y adalah peubah tak bebas dan daerah hasil fungsi f, Rf = {y | yR}.
Grafik fungsi logaritma
2. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dengan bilangan pokok
atau numerusnya berbentuk suatu fungsi dalam suatu variabel.
Menyelesaikan persamaan logaritma
a. Jika alog f(x) = b, maka f(x) = a
b, dengan f(x) > 0.
b. Jika alog f(x) =
alog p, maka f(x) = p, dengan f(x) > 0.
c. Jika alog f(x)=
blog f(x), maka f(x) = 1
d. Jika alog f(x) =
alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
e. Jika f(x)
log g(x) = f(x)
log h(x), maka g(x) = h(x), dengan g(x) > 0, h(x) > 0, f(x) > 0 dan f(x) 1.
f. Jika A{alogf(x)}2
+ B{alog f(x)} + C = 0 maka penyelesaian menggunakan persamaan kuadrat.
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika alog f(x) >
alog g(x), dengan a > 1, maka f (x) > g (x) > 0
Jika alog f(x) >
alog g(x) dengan 0 < a < 1, maka 0 < f (x) < g (x)
y = alog x, 0 < a < 1
y = alog
x, a > 1
X
A
Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 2
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 3log (x
2 – 2x) = 1 adalah …..
a. {–1} b. {3} c. {–1, 3} d. {1, 3} e. {1, –3}
Jawaban: c
Penyelesaian: 3 log (x
2 – 2x) = 1
(x2 – 2x) = 3
x2 – 2x – 3 = 0
(x + 1) (x – 3) = 0
x = –1 atau x = 3
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {–1, 3}
2. Ebtanas 1999
Penyelesaian persamaan 2log (x + 2) –
4log (3x
2 – x + 6) = 0 adalah p dan q. Untuk p > q, nilai p q = ….
a. 2 b. 2
3 c.
2
1 d. –
2
3 e. –
2
5
Jawaban: b
Penyelesaian:
2log (x + 2) –
4log (3x
2 – x + 6) = 0
2log (x + 2) =
4log (3x
2 – x + 6)
4log (x + 2)
2 =
4log (3x
2 – x + 6)
x2 + 4x + 4 = 3x
2 – x + 6
2x2 – 5x + 2 = 0
(2x – 1)(x – 2) = 0
x = 2
1 = q atau x = 2 = p
Jadi, nilai p – q = 2
3
3. UAN 2003
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (3log x)
2 3
3log x + 2 = 0, maka nilai x1 x2 = ….
a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27
Jawaban: e
Penyelesaian:
Misalnya 3log x = a, maka persamaan
(3log x)
2 3
3log x + 2 = 0 ekuivalen dengan persamaan:
a2 3a + 2 = 0
(a 1) (a – 2) = 0
a = 1 atau a = 2
a = 1 3log x = 1 x1 = 3
a = 2 3log x = 2 x2 = 9
Jadi, x1 x2 = 3 9 = 27
4. Ebtanas 2000
Nilai x yang memenuhi log 2 + log (2x –1) > log (x + 7) untuk bilangan pokok 3 adalah ….
a. –7 < x < 2
1 b.
2
1 < x < 3 c. x > 2 d. x > 3 e. x > 4
Jawaban: e
Penyelesaian:
Syarat yang harus dipenuhi adalah:
1) 2x – 1 > 0 x > 2
1
2) x + 7 > 0 x > 7
3) 3
log 2 + 3log (2x –1) >
3log (x + 7)
3log (4x – 2) >
3log (x + 7)
4x 2 > x +7
x > 3
Dari syarat 1), 2), dan 3) yang memenuhi adalah x > 3.
Metode Praktis:
Persamaan a(g log x)
2 + b
g log x + c = 0,
akar-akarnya x1 dan x2, maka x1 x2 = a
b
g
.
Persamaan (3log x)
2 – 3
3log x + 2 = 0
maka x1 x2 = 33 = 27
7
2
1
3
B
Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 3
5. UAN 2002
Himpunan penyelesain pertidaksamaan xlog 9 <
xlog x
2 adalah.…
a. {x |x ≥ 3} b. {x | 0 < x < 3} c. {x |1 < x < 3} d. {x | x > 3} e. {x |0 < x ≤ 3}
Jawaban: d
Penyelesaian: xlog 9 <
xlog x
2
Syarat yang harus dipenuhi adalah
1) Bilangan pokok logaritma: x > 1 atau 0 < x < 1
2) Untuk bilangan logaritma: x > 1, maka 9 < x²
x² 9 > 0
(x + 3)(x 3) > 0
x < 3 atau x > 3 Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 3}.
3) Untuk bilangan pokok logaritma: 0 < x < 1, maka 9 > x²
x² – 9 < 0
(x + 3) (x – 3) < 0
3 < x < 3
Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 1}.
Dari syarat 2) dan 3) diperoleh himpunan penyelesaiannya: {x | x > 3 atau 0 < x < 1}.
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = x
x
log21
log3
3
, maka f(x) + f
x
3 = ....
a. 3 d. –1
b. 2 e. –3
c. 1
2. Jika 2 log x + log 6x – log 2x – log 27 = 0, maka x =
a. –3 d. 9
b. 3 e. –9 atau 9
c. –3 atau 3
3. Jika alog (3x – 1)
5log a = 3, maka x = ….
a. 42 d. 36
b. 48 e. 35
c. 50
4. Nilai x yang memenuhi persamaan 10
log x2 +
10log x + 2
10log x = 50 adalah ….
a. 1010
d. 100
b. 105 e. 5000
c. 50
5. UN 2006
Akar-akar dari persamaan 2log (x
2 – 4x + 5) = 3
adalah x1 dan x2. Nilai x12 + x2
2 = ....
a. 3 d. 16
b. 4 e. 22
c. 10
6. Ebtanas 1997
Penyelesaian persamaan 2log (2x
2 – 4x + 3) –
2log (6x – 9) = 0 adalah dan
. Untuk > , maka – = ….
a. 1 d. 5
b. 2 e. 11
c. 4
3 1 3
3 1 3 0
C
Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 4
7. UN 2006
Himpunan penyelesaian persamaan 5log (x – 2) +
5log (2x + 1) = 2 adalah ….
a. {121 } d. {1
21 , 3}
b. {3} e. {3, 421 }
c. {421 }
8. Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 5 – 4x
log (x2 – 7x – 5) = log 10 adalah ….
a. –4 d. 2
b. –3 e. 3
c. –2
9. UAN 2002
Himpunan penyelesaian persamaan logaritma xlog (10x
3 – 9x) =
xlog x
5 adalah ....
a. {3} d. {–3, –1, 1, 3}
b. {1, 3} e. {–3, –1, 0, 1, 3}
c. {0, 1, 3}
10. Ebtanas 1994
Hasil kali dari semua anggota himpunan
penyelesaian persamaan xlog (3x
+ 1) –
xlog (3x
2 – 15x + 25) = 0 adalah ....
a. 6 d. 12
b. 8 e. 15
c. 10
11. Diketahui sistem persamaan 5log x +
5log y = 5 dan
5log x
4 –
5log y
3 = –1 . Nilai x dan y yang memenuhi
persamaan itu mempunyai jumlah ....
a. 225 d. 75
b. 150 e. 50
c. 100
12. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
x 2 + log x
= 1.000, maka x1.x2 = ….
a. 10 –2
d. 10
b. 10 –1
e. 100
c. 100
13. UN 2008
Akar-akar persamaan 2log
2 x – 6.
2log x + 8 =
2log 1
adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ....
a. 6 d. 12
b. 8 e. 20
c. 10
14. Diketahui 2(4log x)
2 – 2
4log x = 1. Jika akar-akar
persamaan di atas adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = ..
a. 5 d. 2 ½
b. 4 ½ e. 2 ¼
c. 4 ¼
15. UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 2log
2log (2
x + 1 + 3) = 1 +
2log x adalah ….
a. 2log 3 d. –1 atau 3
b. 3log
3
2 e. 8 atau
2
1
c. log 2
Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 5
16. Ebtanas 2001
Pertidaksamaan 25
log (x2
– 2x – 3) < 2
1 dipenuhi
oleh ....
a. –4 < x < 2
b. –2 < x < 4
c. x < –1 atau x > 3
d. –4 < x < –1 atau 2 < x < 3
e. –2 < x < –1 atau 3 < x < 4
17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
log6
1
(x2 – x) > –1 adalah ….
a. –2 < x < 3
b. x < 0 x > 1
c. –2 < x < 0 1 < x < 3
d. 0 < x < 3
e. x > –2
18. Ebtanas 2000
Batas-batas nilai x yang memenuhi
log (x – 1)2 < log (x – 1) adalah ….
a. x < 1 atau x > 2 d. 1 < x < 2
b. –1 < x < 5 e. –1 < x < 2
c. x > 1
19. UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma
log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6 d. –8 < x < 6
b. x > 8 e. 6 < x < 8
c. 4 < x < 6
20. UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :
2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….
a. 2
5 ≤ x ≤ 10 d.
2
5 ≤ x < 0
b. –2 ≤ x ≤ 10 e. –2 < x < 0
c. 0 < x ≤ 10
21. Nilai-nilai x yang memenuhi 2log x –
xlog 2 > 0
adalah ….
a. x > 21
b. x > 1
c. 1 < x < 2
d. –1 < x < 0 x > 1
e. 21 < x < 1 x > 2
22. Nilai x yang memenuhi 1log
1
log
122
xx
< 1
adalah ….
a. x < 1 atau x > 2
b. 1 < x < 2
c. 0 < x < 1
d. x < 2 atau x > 3
e. 0 < x < 1 atau x > 2
By Kusnandar
Fungsi Logaritma Sukses Ujian Nasional Matematika 6