bab 8 integral
TRANSCRIPT
Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Ix)x(f)x('F
Contoh
* 31( )
3F x x adalah anti turunan dari
2x)x(f
* 7x3
1)x(F 3
adalah anti turunan dari 2x)x(f
* Secara umum, Cx3
1)x(F 3
adalah anti turunan 2x)x(f
Dari contoh diatas terlihat walaupun anti turunan suatu fungsi berbeda, namun perbedaannya hanya berupa konstanta. Anti turunan disebut juga integral tak tentu,
Notasi : C)x(Fdx)x(f
Sifat-sifat integral tak tentu
Sifat yang diperoleh langsung dari turunan, disebut juga sebagai rumus-rumus dasar integral :
1. C1r
xdxx
1rr
; r -1
2. Cxcosdxxsin
3. Cxsindxxcos
4. Cxtandxxsec2
A
Sifat kelinieran
dx)x(gbdx)x(fadx)x(bg)x(fa
B
Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , )x('gdu , dan F suatu anti turunan dari f, maka
c))x(g(Fc)u(Fdu)u(fdx)x('g))x(g(f
C
1. 5 61
6x dx x c
2. 7 833
8x dx x c
3. 3 3 1
2
1 1
3 1 2x dx x c c
x
4. 125 . 5x dx x dx
12
1
12
5
1x c
32
10
3x c 310
3x c
5. 2 52x x x dx 5 2 41 1
5 4x x x c
Contoh
1. Cari a. 83 25 3 5x x x dx
b. 5Sin x Cos x dx
Jawab :
a. Misal 3 5U x x , maka 2(3 5)dU x dx , jadi
9
8 83 25 3 59
Ux x x dx U dU c
9315
9x x c
b. Misal U Sin x , maka dU Cos x dx , Jadi
65 5 61 1
6 6Sin x Cos x dx U dU U c Sin x c
CONTOH
Tentukan integral berikut ini!
a. 82 5 2x x dx e.
34 53 2 6x x dx
b. 65 3 5x dx f. 23 3 7x x dx
c. 53 24 7 6x x dx
g.
2
3
2 5
ydy
y
d. 43 24x x dx
CONTOH
Solusi
a. 82 5 2x x dx , Misal 2 5 2u x du x dx
Jadi , 82 85 2x x dx u du
9
92
1
9
15
9
u c
x c
Solusi
b. 65 3 5x dx + , Misal 5 3 5u x du dx
Jadi, 6 65 3 5x dx u du
7
7
1
7
15 3
7
u c
x c
c. 53 24 7 12x x dx , misal 3 24 7 12u x du x dx
52 24 7 12x x dx
5
6
63
1
6
14 7
6
u du
u c
x c
Solusi
Solusi
d. 43 24x x dx misal 3 24 3u x du x dx
2 1
3x dx du
43 24x x dx 4 41 1.3 3
u du u du
55 31 1 1
43 5 15
u c x c
e. 34 53 2 6x x dx Misal 52 6x u
4
4
10
1
10
du x dx
x dx du
34 5 4
45
45
3 13 2 6
10 4
3 1 2 6
10 4
3 2 6
40
x x dx u c
x c
x c
f. 23 3 7x x dx misal 23 7u x 6du xdx
1
6xdx du
jadi, 122 23 3 7 3 7 3x x dx x xdx
1 12 2
1 13.
6 2u du u du
312 2
1
12
3 2 3
1 1 1 2
2 1 2 3
1 1(3 7)
3 3
u c u c
u c x c
g. 2
3
2 5
ydy
y
misal 22 5u y 4 .du ydy
1.
4y dy du
12
12
12
12
2
1
12
2
3 3 3
42 5
3 1
4 1
3 3 2 2 5
4 2
y ydy dy u du
uy
u c
u c y c
Integral Tentu
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x). Maka
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f .
Sifat-sifat Integral Tentu
1.
b
a
b
a
b
a
dx)x(gqdx)x(fpdx)x(gq)x(fp ( sifat linier )
2.
c
b
b
a
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f , dengan a < b < c
3.
a
a
0dx)x(f dan
a
b
b
a
dx)x(fdxxf
a. 3 32
222 5 5x dx x x
2 23 5 3 2 5 2
9 15 4 10 10
b. 2
22
11
33 1
2x dx x x
2 23 3
2 2 1 12 2
3 16 2 1 7
2 2
Contoh
c. 8
11 3 ?xdx , Misal : dxduxu 331
dudx3
1
12
331 1 2 21 3 . 1 3
3 3 3 9x dx u du u c x c
8
8 3
11
21 3 . 1 3
9x dx x
3 321 24 1 3
9
3 32 2 13425 4 125 8
9 9 9
Contoh
Latihan Soal Integral Tak Tentu
Hitunglah integral berikut!
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
dxxx )( 2
dxxx )( 3
dxx 2)1(
(sin cos )x x dx
2 2 3y y dy
dxxxx 322322
dxxxx 68623 2
2 (2 1)cos(2 1)sin x x dx
Latihan Soal Integral Tentu
1.
2.
3.
4.
5.
44
21
8sds
s0
2 3
13 1x x dx
12
08 7 2t t dx
2
62sin t dt
22
0sin 3 cos3 x x dx