MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 6 1

Bab 6

Distribusi Kontinu: ”Normal adalah Segalanya”

Ilustrasi 6.1 Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pen-

gukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian,

sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah

satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa ke-

banyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari dis-

tribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi

frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang

disebut DISTRIBUSI NORMAL.

Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapa hal yang

dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua, seseorang da-

pat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuran akan terjadi. Dengan

demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yang lebih mungkin terjadi dan pelu-

ang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilai tersebut.

Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya, nilai IQ.

Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara 85-115 atau 15 nilai

dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasi standar maka akan dapat diten-

tukan proporsi skor/nilai yang berada disetiap daerah jangkauan (range). Tentu saja,

terlepas dari keumuman distribusi normal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil

pengukuran yang tidak berdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data

sangat penting dalam menentukan uji statistik yang bersesuaian.

MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 6 2

BEBERAPA DISTRIBUSI KONTINU

Distribusi SERAGAM (Uniform)

Definisi 6.1

Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi

peluang fX nya sbb:

fX(x) =1

b− a, a ≤ x < b

Distribusi NORMAL

Definisi 6.2

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter

µ dan σ2 jika fungsi peluang fX nya sbb:

fX(x) =1√

2π σexp(−(x− µ)2 / 2σ2), −∞ ≤ x <∞

Latihan.

1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (|X| > 1/2), tentukan

fungsi peluang dari |X|.

2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah TP adalah peubah

acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang

seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?

Teorema 6.1 Teorema Limit DeMoivre-Laplace

Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen,

dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,

P

(a ≤ Sn − np√

np(1− p)

)→ Φ(b)− Φ(a),

untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p) besar,

np(1− p) ≥ 10)

Diskusi. Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas TP adalah 60 orang. Namun

demikian, Departemen MA ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen maha-

siswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika

MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 6 3

MA ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas TP, berapa peluang bahwa

lebih dari 60 orang hadir di kelas?

Distribusi UNIFORM/SERAGAM (lanjutan)

Inverse Transformation Method

Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F , jika

kita definisikan peubah acak X sbb:

X = F−1(U)

maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F .

Contoh. Jika F (x) = 1− e−x maka F−1(u) adalah nilai x sedemikian hingga

1− e−x = u

atau

x = − log(1− u)

Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka

F−1(U) = − log(1− U)

adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).

Distribusi GAMMA

Definisi Fungsi Gamma :

Γ(t) =

∫ ∞0

xt−1 e−x dx

Catatan:

Γ(t+ 1) = tΓ(t), t > 0

Diskusi.

Γ(n) = (n− 1)! n = 1, 2, . . .

Γ

(n+

1

2

)=

(2n)!

n! 22n√π

Latihan. Bagaimana grafik fungsi Gamma?

MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 6 4

Peubah acak Gamma.

Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’

yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p,

dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli

yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan

peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak

Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif.

Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktuyang

diberikan untuk sukses ke-r.

Definisi 6.3

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang (pdf)

f(x) =λα

Γ(α)xα−1 e−λx, x > 0

dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma

dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).

Diskusi.

• α = 1

• α < 1

• α > 1

• Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang

Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5